专题12 解直角三角形实际应用（期末真题汇编，福建专用）九年级数学上学期

专题12 解直角三角形实际应用 4大高频考点概览 考点01 仰角与俯角问题 考点02 方位角问题 考点03 坡度坡比问题 考点04 其他应用类问题 地 城 考点01 仰角与俯角问题 1、 填空题 1．（24-25九年级上·福建泉州·期末）新石器时代的河姆渡人为使房子与地面隔离而达到有效的防潮，建造了如图①所示的干栏式房屋，图②为其正面简易图，若米，在点处测得房檐处的俯角为，距离为米，则房屋的高度约为 米． 2．（24-25九年级上·福建南平·期末）鼓楼是建瓯的标志性建筑，是历史文化名城的重要景观．现代科技的发展，可利用无人机测算鼓楼的高度．已知无人机在C点与地面B点的垂直距离为113米，从C点水平飞行至D点时，俯视地面B点，测得，继续水平飞行40米，即米，在点E俯视鼓楼顶A点，测得，若点A，B，C，D，E在同一平面内，则鼓楼的高度约为 米．（参考数据： ）        三、解答题 3．（24-25九年级上·福建·期末）如图，为一栋高楼，楼的底部不能到达．某广告公司计划在楼的顶部安装一块广告宣传画，但不能超出楼顶A也不能遮住这栋楼的窗户．小明先在这栋楼周围的空地上选一个点D，并在D处安装了测角仪，测得楼的顶部A的仰角（视线与水平线所成的锐角）为，窗户顶部M的仰角为，再在的延长线上确定一点G，使米，并在地面G处，水平放置一面镜子，小明沿方向移动，当小明到F处时，恰好在镜子中看到楼的顶部A，此时测得米，小明眼睛与地面的距离米，测角仪的高度米，已知点F，G，D，B在同一条水平线上，均垂直于地面．问：计划安装的广告宣传画的高度不能超过多少米？（参考数据：，） 4．（24-25九年级上·福建泉州·期末）开元寺是福建省内规模最大的佛教寺院，东西塔是寺院内游客打卡必选之地，图①是西塔．元旦小明同学随父母到开元寺游玩，他操作无人机在空中处探测到西塔．此时无人机飞行高度米，如图②．从无人机上看塔尖的俯角，看塔底的俯角，求西塔的高度（结果保留根号）． 地 城 考点02 方位角问题 1、 单选题 1．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，则B、C之间的距离为（ ）. A．20海里 B．10海里 C．20海里 D．30海里 2、 填空题 2．（24-25九年级上·福建泉州·期末）某区域平面示意图如图，点在河的一侧，和表示两条互相垂直的公路．甲侦测员在处测得点位于北偏东，乙勘测员在处测得点位于南偏西，测得，则点到的距离为 ．（参考数据：， ，） 三、解答题 3．（24-25九年级上·福建宁德·期末）如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，，从A测得船C在北偏东的方向，从B测得船C在北偏东的方向，求船C离海岸线l的距离（即的长）（结果不取近似值）． 4．（24-25九年级上·福建漳州·期末）森林防火不仅是政府和相关部门的责任，每个公民应当参与到森林防火工作中，了解相关防火知识并在日常生活中做出相应的贡献．如图所示，在一条笔直公路上，公路两旁是林地，位于森林防火卡点的北偏东方向的处发生火灾，防火员从卡点去火灾处救援有两种方案，方案1：防火员立即骑车沿正东方向行驶800米到达离点最近的处再跑步到点救援；方案2：防火员从卡点直接跑步前往处救援．若防火员的跑步速度为，骑车的速度为．（参考数据：，，，，，） (1)的长为__________米（结果保留整数）； (2)防火员必须在两个方案中选择一个，请问选择哪个方案更合理，请通过计算说明理由． 5.（24-25九年级上·福建莆田·期末）如图，我国某海域上有A、B两个小岛，B在A的正东方向．有一艘渔船在点C处捕鱼，在A岛测得渔船在东北方向上，在B岛测得渔船在北偏西的方向上，且测得B、C两处的距离为海里． (1)求A、C两处的距离； (2)突然，渔船发生故障，而滞留C处等待救援．此时，在D处巡逻的救援船立即以每小时40海里的速度沿方向前往C处，测得D在小岛A的北偏西方向上距A岛30海里处．求救援船到达C处所用的时间．（结果保留根号） 6．（24-25九年级上·福建三明·期末）“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某直线路段MN限速60千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟，已知∠CAN=45°，∠CBN=60°，BC=200米，此车超速了吗．请说明理由．（参考数据：≈1.41，≈1.73） 地 城 考点03 坡度坡比问题 1、 单选题 1．（24-25九年级上·福建龙岩·期末）斜坡的长，坡角，则斜坡的铅垂高度为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，河堤横断面迎水坡的坡比，堤高，则坡面的长为（    ） A． B． C． D． 2、 填空题 3．（24-25九年级上·福建泉州·期末）小明沿坡比为的山坡向上走了13米．那么他沿着垂直方向升高了 米． 4．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，某防洪指挥部发现长江边一处坝高10米，背水坡的坡角为的防洪大堤（横断面为梯形）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3米，加固后背水坡的坡度，则加固后坝底增加的宽度 ． 三、解答题 5．（24-25九年级上·福建泉州·期末）某数学小组在刘老师的指导下测量一建筑物高度，活动报告如下： 活动报告 活动目的 测量建筑物的高度 活动过程 步骤一：设计测量方案（小组讨论后，画出如图的测量示意图） 步骤二：准备测量工具 皮尺、测倾器 步骤三：实地测量并记录数据（，，，在同一平面上，于点） ①建筑物前有一段斜坡，斜坡的坡度； ②在斜坡的底部测得建筑物顶点的仰角为； ③斜坡长52米； ④在点测得建筑物顶点的仰角为． 步骤四：计算建筑物的高度 请结合以上信息完成步骤四：计算建筑物的高度． （参考数据：，，，，）． 地 城 考点04 其他应用类问题 1、 单选题 1．（24-25九年级上·福建莆田·期末）如图，厂房屋顶人字架（等腰三角形）的上弦米，，则中柱（D为底边中点）的长为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．（24-25九年级上·福建南平·期末）圭表是通过测定日影长度来确定时间的仪器．如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中立柱的根部与圭表的冬至线的距离（即的长）为．已知冬至时北京的正午日光入射角约为，则立柱的高约为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，是电线杆的一根拉线，米，，则的长为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 二、解答题 4．（24-25九年级上·福建福州·期末）为了充分利用四边形余料，小明设计了不同的方案裁剪正方形，裁剪方案与数据如表： 方案设计 方案1 方案2 裁剪方案示意图 说明 图中的正方形AEFG和正方形MNPQ四个顶点都在原四边形的边上 测量数据 ，，，； 任务1：探寻边角 填空：________ ，________； 任务2：应用实践 通过计算比较正方形和正方形边长的大小． 5．（24-25九年级上·福建泉州·期末）数学综合实践小组用所学的数学知识来解决实际问题，报告如下． 项目 设计遮阳棚前挡板 素材 厦门是福建省的一座沿海旅游城市，受其地理位置影响，气候比较湿润，夏季高温多雨，日照时间长，平均年日照时数小时左右，因此大门朝南的临街商铺都搭建了遮阳棚． 素材 我市某景点的游客服务中心为了方便旅游高峰期间游客遮阳，在服务窗口外安装了遮阳棚，结果发现旅游高峰期正午时纳凉面积不够，现在为使服务窗口外的纳凉区域增加到宽，计划在遮阳棚前端加装一块前挡板（前挡板垂直于地面），抽象模型如图，现在要计算所需前挡板的宽度． 测量数据 我们实地测量了相关数据，并画出了侧面示意图，如图，遮阳篷的长为，其与墙面的夹角，其靠墙端离地面的高度为．如图，通过实地勘察，该服务窗口在每年的旅游高峰期间正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角）约为，加装前挡板后，此时服务窗口前恰好有宽的阴影． 运算过程 …… 该报告运算过程还没有完成，请帮助实践兴趣小组完成该部分．（结果精确到，参考数据：，，，）． 6．（24-25九年级上·福建福州·期末）学科综合 我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图），我们把称为折射率（其中代表入射角，代表折射角）． 观察实验 为了观察光线的折射现象，设计了图所示的实验，即通过细管可以看见水底的物块，但不在细管所在直线上，图是实验的示意图，四边形为矩形，点，，在同一直线上，测得，． (1)求入射角的度数． (2)若，求光线从空气射入水中的折射率．（参考数据：，，） 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 解直角三角形实际应用 4大高频考点概览 考点01 仰角与俯角问题 考点02 方位角问题 考点03 坡度坡比问题 考点04 其他应用类问题 地 城 考点01 仰角与俯角问题 1、 填空题 1．（24-25九年级上·福建泉州·期末）新石器时代的河姆渡人为使房子与地面隔离而达到有效的防潮，建造了如图①所示的干栏式房屋，图②为其正面简易图，若米，在点处测得房檐处的俯角为，距离为米，则房屋的高度约为 米． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，过点A作，垂足为F，根据题意可得：米，米，，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：如图：过点A作，垂足为F， 由题意得：米，米，， ∴， 在中，（米）， ∴（米）， ∴房屋的高度约为3.54米， 故答案为：3.54． 2．（24-25九年级上·福建南平·期末）鼓楼是建瓯的标志性建筑，是历史文化名城的重要景观．现代科技的发展，可利用无人机测算鼓楼的高度．已知无人机在C点与地面B点的垂直距离为113米，从C点水平飞行至D点时，俯视地面B点，测得，继续水平飞行40米，即米，在点E俯视鼓楼顶A点，测得，若点A，B，C，D，E在同一平面内，则鼓楼的高度约为 米．（参考数据： ）        【答案】或23 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题：把实际问题归结为直角三角形中边角关系问题加以解决是解题的关键． 在和中，根据三角函数解答即可． 【详解】解：根据题意可得，，，， 在中，米， 在中，，即， 解得：米，或米， ∴米或23米， 故答案为：或23． 二、解答题 3．（24-25九年级上·福建·期末）如图，为一栋高楼，楼的底部不能到达．某广告公司计划在楼的顶部安装一块广告宣传画，但不能超出楼顶A也不能遮住这栋楼的窗户．小明先在这栋楼周围的空地上选一个点D，并在D处安装了测角仪，测得楼的顶部A的仰角（视线与水平线所成的锐角）为，窗户顶部M的仰角为，再在的延长线上确定一点G，使米，并在地面G处，水平放置一面镜子，小明沿方向移动，当小明到F处时，恰好在镜子中看到楼的顶部A，此时测得米，小明眼睛与地面的距离米，测角仪的高度米，已知点F，G，D，B在同一条水平线上，均垂直于地面．问：计划安装的广告宣传画的高度不能超过多少米？（参考数据：，） 【答案】计划安装的广告宣传画的高度不能超过米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用和相似三角形的实际应用，正确理解题意，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 过点作于点，解中，设，则，解中，则，可证明，则，求出，再由求解即可． 【详解】解：过点作于点， 由题意得：， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，，， 在中，，设 ∴， ∵在中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴ ∴计划安装的广告宣传画的高度不能超过米． 4．（24-25九年级上·福建泉州·期末）开元寺是福建省内规模最大的佛教寺院，东西塔是寺院内游客打卡必选之地，图①是西塔．元旦小明同学随父母到开元寺游玩，他操作无人机在空中处探测到西塔．此时无人机飞行高度米，如图②．从无人机上看塔尖的俯角，看塔底的俯角，求西塔的高度（结果保留根号）． 【答案】米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．先解得到米，再解，米，即可求解． 【详解】解：延长交于点G，由题意得米，， 在中，， ∴米， 在中，， ∴（米）， ∴米， 答：西塔的高度为米． 地 城 考点02 方位角问题 1、 单选题 1．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，则B、C之间的距离为（ ）. A．20海里 B．10海里 C．20海里 D．30海里 【答案】C 【分析】如图，根据题意易求△ABC是等腰直角三角形，通过解该直角三角形来求BC的长度． 【详解】如图，∵∠ABE=15°，∠DAB=∠ABE， ∴∠DAB=15°， ∴∠CAB=∠CAD+∠DAB=90°． 又∵∠FCB=60°，∠CBE=∠FCB=60°，∠CBA+∠ABE=∠CBE， ∴∠CBA=45°． ∴在直角△ABC中，sin∠ABC==， ∴BC=20海里． 故选C． 【点睛】解直角三角形的应用-方向角问题． 2、 填空题 2．（24-25九年级上·福建泉州·期末）某区域平面示意图如图，点在河的一侧，和表示两条互相垂直的公路．甲侦测员在处测得点位于北偏东，乙勘测员在处测得点位于南偏西，测得，则点到的距离为 ．（参考数据：， ，） 【答案】480 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义、正确标注方向角是解题的关键． 作于M，于N，设，根据矩形的性质用x表示出、，根据正切的定义用x表示出，根据题意列式计算即可． 【详解】解：作于M，于N， 则四边形为矩形， ∴，， 设，则，， 在中，， ∴，则， 在中，， 由题意得，， 解得，， 答：点O到的距离为． 故答案为：480． 三、解答题 3．（24-25九年级上·福建宁德·期末）如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，，从A测得船C在北偏东的方向，从B测得船C在北偏东的方向，求船C离海岸线l的距离（即的长）（结果不取近似值）． 【答案】船C离海岸线l的距离为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意是解题的关键． 由题意得，则为等腰直角三角形，则，解得，由线段和差得到，即可求解． 【详解】解：由题意得， 在中，∵， ， ∴， 在中，∵， ∴ ∵， ∴ ∴ 答：船C离海岸线l的距离为 4．（24-25九年级上·福建漳州·期末）森林防火不仅是政府和相关部门的责任，每个公民应当参与到森林防火工作中，了解相关防火知识并在日常生活中做出相应的贡献．如图所示，在一条笔直公路上，公路两旁是林地，位于森林防火卡点的北偏东方向的处发生火灾，防火员从卡点去火灾处救援有两种方案，方案1：防火员立即骑车沿正东方向行驶800米到达离点最近的处再跑步到点救援；方案2：防火员从卡点直接跑步前往处救援．若防火员的跑步速度为，骑车的速度为．（参考数据：，，，，，） (1)的长为__________米（结果保留整数）； (2)防火员必须在两个方案中选择一个，请问选择哪个方案更合理，请通过计算说明理由． 【答案】(1)976 (2)选择方案一更合理．见解析 【分析】本题考查解直角三角形的应用方向角问题，理解题意，熟练运用三角函数关系是解题的关键． （1）在中，直接根据正弦函数关系即可求出； （2）求出，再分别求出两种方案下所用时间较少，从而作出判断，并说明理由． 【详解】（1）解：由题意，知米，， 在中， （米）， 故答案为：976； （2）解：选择方案一更合理． 理由：在中， （米）， 方案一需要时间为：， 方案二需要时间为：， ， 选择方案一更合理． 5.（24-25九年级上·福建莆田·期末）如图，我国某海域上有A、B两个小岛，B在A的正东方向．有一艘渔船在点C处捕鱼，在A岛测得渔船在东北方向上，在B岛测得渔船在北偏西的方向上，且测得B、C两处的距离为海里． (1)求A、C两处的距离； (2)突然，渔船发生故障，而滞留C处等待救援．此时，在D处巡逻的救援船立即以每小时40海里的速度沿方向前往C处，测得D在小岛A的北偏西方向上距A岛30海里处．求救援船到达C处所用的时间．（结果保留根号） 【答案】(1)、两处的距离为20海里； (2)救援船到达处所用的时间为小时． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理的应用以及锐角三角函数定义等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过作于点，由含角的直角三角形的性质得海里，再由等腰直角三角形的性质即可得出结论； （2）过点作于点，由锐角三角函数定义得海里，海里，则海里，再由勾股定理求出的长，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图1，过作于点， 由题意得：海里，，， （海里），是等腰直角三角形， （海里）， 答：、两处的距离为20海里； （2）解：如图2，过点作于点， 在中，海里，， （海里）， （海里）， （海里）， 在中，由勾股定理得：（海里）， （小时）， 答：救援船到达处所用的时间为小时． 6．（24-25九年级上·福建三明·期末）“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某直线路段MN限速60千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟，已知∠CAN=45°，∠CBN=60°，BC=200米，此车超速了吗．请说明理由．（参考数据：≈1.41，≈1.73） 【答案】此车没有超速，理由见解析． 【分析】根据题意结合锐角三角函数关系得出BH，CH，AB的长进而求出汽车的速度，进而得出答案． 【详解】解：此车没有超速． 理由：过C作CH⊥MN， ∵∠CBN=60°，BC=200米， ∴CH=BCsin60°=200×=100（米）， BH=BCcos60°=100（米）， ∵∠CAN=45°， ∴AH=CH=100米， ∴AB=100﹣100≈73（m）， ∵60千米/小时=m/s， ∴=14.6（m/s）＜≈16.7（m/s）， ∴此车没有超速． 【点睛】本题考查勾股定理以及锐角三角函数关系的应用． 地 城 考点03 坡度坡比问题 1、 单选题 1．（24-25九年级上·福建龙岩·期末）斜坡的长，坡角，则斜坡的铅垂高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-判断坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．根据正弦的定义计算，得到答案． 【详解】解：在中，， 故选：C. 2．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，河堤横断面迎水坡的坡比，堤高，则坡面的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，利用坡比求出的长度，再根据勾股定理即可求解，掌握坡比的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，坡比， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 2、 填空题 3．（24-25九年级上·福建泉州·期末）小明沿坡比为的山坡向上走了13米．那么他沿着垂直方向升高了 米． 【答案】5 【分析】本题主要考查了坡比，勾股定理， 先根据坡比的定义得，再设则，根据勾股定理列出方程，求出解即可. 【详解】解：根据题意，可知， 设则，根据勾股定理，得 ， 即， 解得， ∴， 所以他沿着垂直方向升高了5米. 故答案为：5. 4．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，某防洪指挥部发现长江边一处坝高10米，背水坡的坡角为的防洪大堤（横断面为梯形）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3米，加固后背水坡的坡度，则加固后坝底增加的宽度 ． 【答案】米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数关系是解题的关键．过点作于点，过点作于点．解，，得出，根据即可求解． 【详解】解：过点作于点，过点作于点． 依题意：（米），（米） 在中，， （米） 在中， （米） （米） 故答案为：米． 三、解答题 5．（24-25九年级上·福建泉州·期末）某数学小组在刘老师的指导下测量一建筑物高度，活动报告如下： 活动报告 活动目的 测量建筑物的高度 活动过程 步骤一：设计测量方案（小组讨论后，画出如图的测量示意图） 步骤二：准备测量工具 皮尺、测倾器 步骤三：实地测量并记录数据（，，，在同一平面上，于点） ①建筑物前有一段斜坡，斜坡的坡度； ②在斜坡的底部测得建筑物顶点的仰角为； ③斜坡长52米； ④在点测得建筑物顶点的仰角为． 步骤四：计算建筑物的高度 请结合以上信息完成步骤四：计算建筑物的高度． （参考数据：，，，，）． 【答案】的高度约为． 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质与判定，过点B作于点E，过点B作于点F，由斜坡的坡度得到的比值，设，则，求出的长，设，得到，的长，由列方程求出y的值，即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点B作于点E，过点B作于点F，则四边形是矩形， ∴， ∵斜坡的坡度； ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， 解得， ∴， 设， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴建筑物的高度约为． 地 城 考点04 其他应用类问题 1、 单选题 1．（24-25九年级上·福建莆田·期末）如图，厂房屋顶人字架（等腰三角形）的上弦米，，则中柱（D为底边中点）的长为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形应用，等腰三角形的性质，掌握边角之间的转化是解题的关键．先得到，继而由即可求解． 【详解】解：由题意得，而D为底边中点， ∴， ∵在中，，，， ∴米， 故选：B． 2．（24-25九年级上·福建南平·期末）圭表是通过测定日影长度来确定时间的仪器．如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中立柱的根部与圭表的冬至线的距离（即的长）为．已知冬至时北京的正午日光入射角约为，则立柱的高约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答．在中利用正切函数即可得出答案． 【详解】解∶在中，， 约为，， ，即． ． 故选∶B． 3．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，是电线杆的一根拉线，米，，则的长为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．根据正弦函数的定义得，由此可得出答案． 【详解】解：在中，米，， ， （米）． 故选：B． 二、解答题 4．（24-25九年级上·福建福州·期末）为了充分利用四边形余料，小明设计了不同的方案裁剪正方形，裁剪方案与数据如表： 方案设计 方案1 方案2 裁剪方案示意图 说明 图中的正方形AEFG和正方形MNPQ四个顶点都在原四边形的边上 测量数据 ，，，； 任务1：探寻边角 填空：________ ，________； 任务2：应用实践 通过计算比较正方形和正方形边长的大小． 【答案】任务1：15； 任务2：正方形的边长大于正方形边长 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正方形的性质，勾股定理，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 任务1：作于，利用勾股定理以及三角函数的定义求解即可； 任务2：分两种情况，画出图形，利用三角函数的关系即可求解； 【详解】解：任务1：探寻边角， 作于， ，， 四边形是矩形， ，，， ，， 故答案为：15，； 任务2：应用实践 设与相交于点，正方形的边长为， ， ，， 在中， ，，， ， 解得； ∴正方形的边长为； 设正方形边长为， ∵正方形， ∴，， ， 在中，，则， 在中，，则， ， 解得， ∴正方形边长为； ∵ ∴正方形的边长大于正方形边长. 5．（24-25九年级上·福建泉州·期末）数学综合实践小组用所学的数学知识来解决实际问题，报告如下． 项目 设计遮阳棚前挡板 素材 厦门是福建省的一座沿海旅游城市，受其地理位置影响，气候比较湿润，夏季高温多雨，日照时间长，平均年日照时数小时左右，因此大门朝南的临街商铺都搭建了遮阳棚． 素材 我市某景点的游客服务中心为了方便旅游高峰期间游客遮阳，在服务窗口外安装了遮阳棚，结果发现旅游高峰期正午时纳凉面积不够，现在为使服务窗口外的纳凉区域增加到宽，计划在遮阳棚前端加装一块前挡板（前挡板垂直于地面），抽象模型如图，现在要计算所需前挡板的宽度． 测量数据 我们实地测量了相关数据，并画出了侧面示意图，如图，遮阳篷的长为，其与墙面的夹角，其靠墙端离地面的高度为．如图，通过实地勘察，该服务窗口在每年的旅游高峰期间正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角）约为，加装前挡板后，此时服务窗口前恰好有宽的阴影． 运算过程 …… 该报告运算过程还没有完成，请帮助实践兴趣小组完成该部分．（结果精确到，参考数据：，，，）． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形、锐角三角函数、矩形的判定和性质．首先过点作，过点作，延长交于点，可得四边形和四边形是矩形，根据，利用三角函数可得，，从而可得，根据，从而可得关于的方程，解方程即可求出的长度． 【详解】解：如下图所示，过点作，过点作，延长交于点， 则， 四边形和四边形是矩形， ， ， ， ， ， 设， 又， 则， 又， ， 又， ， ， ， 解得：， 前挡板的宽度为． 6．（24-25九年级上·福建福州·期末）学科综合 我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图），我们把称为折射率（其中代表入射角，代表折射角）． 观察实验 为了观察光线的折射现象，设计了图所示的实验，即通过细管可以看见水底的物块，但不在细管所在直线上，图是实验的示意图，四边形为矩形，点，，在同一直线上，测得，． (1)求入射角的度数． (2)若，求光线从空气射入水中的折射率．（参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（）设法线为，根据平行线的性质得到，根据正切的定义求出，据此即可求解； （）根据直角三角形的边角关系求出，再根据锐角三角函数的定义求出即可求解； 本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系以及“折射率”的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，设法线为，则， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴入射角约为； （2）解：在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴，， ∴光线从空气射入水中的折射率， 答：光线从空气射入水中的折射率． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $