第23期 第二十八章整章复习（锐角三角函数）（参考答案见下期）-【数理报】2024-2025学年九年级(中考)数学学案（人教版）

书 《锐角三角函数》章节测试卷 ◆数理报社试题研究中心 　（说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间１２０分钟，满分１２０分）　 题　号 一 二 三 总　分 得　分 第Ⅰ卷 选择题 （共３０分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答案 一、精心选一选（本大题１０个小题，每小题３分，共３０分） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．２ｓｉｎ３０°的值为 （　　） Ａ．１２ 槡Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ． ２ ３ ２．如图１，在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＢＣ＝２，ＡＣ＝３，则ｔａｎＢ的值是 （　　） Ａ． 槡３ １３１３ Ｂ． ３ ２ Ｃ． 槡２ １３ １３ Ｄ． ２ ３ ３．如图２，某小区的一块草坪旁边有一条直角小路，社区为了方便群 众，沿ＡＣ修了一条近路，已知ＡＢ＝８０米，新修小路与ＡＢ的夹角∠ＣＡＢ为 ４０°，则走这条近路ＡＣ的长可以表示为 （　　） Ａ．８０ｓｉｎ４０°米 Ｂ．８０ｃｏｓ４０°米 Ｃ． ８０ｓｉｎ４０°米 Ｄ． ８０ ｃｏｓ４０°米 ４．如图３，在△ＡＢＣ中，已知ＡＤ是ＢＣ边上的高，ＤＣ＝１，ＢＤ＝２，ｔａｎＢ ＝ｃｏｓ∠ＤＡＣ，则ＡＢ的值为 （　　） 槡 槡Ａ．５ Ｂ．７ Ｃ．３ Ｄ．７ ５．如图４是某游乐场一座摩天轮的示意图，其直径为９０ｍ，旋转１周 用时１８ｍｉｎ．小明从摩天轮的底部（与地面相距０．５ｍ）出发开始观光，摩 天轮转动１周，小明在离地面６８ｍ以上的空中时间是 （　　） Ａ．３ｍｉｎ Ｂ．５ｍｉｎ Ｃ．６ｍｉｎ Ｄ．９ｍｉｎ ６．电力公司在农村电网改造升级工程中把某一输电线铁塔ＡＢ建在了 一个坡度为１∶０．７５的山坡 ＣＤ的平台 ＢＣ上（如图５），测得 ∠ＡＥＤ＝ ５２５°，ＢＣ＝５米，ＣＤ＝３５米，ＤＥ＝１９米，则铁塔ＡＢ的高度约为（参考数 据：ｓｉｎ５２．５°≈０７９，ｃｏｓ５２．５°≈０６１，ｔａｎ５２５°≈１．３０） （　　） Ａ．３２．５米 Ｂ．２７．５米 Ｃ．３０．５米 Ｄ．５８．５米 ７．某型号飞机的机翼形状如图６所示，根据图中数据计算ＡＢ的长为 （　　） Ａ．（５３槡３＋１．６）ｍ Ｂ．（ ５ ３槡３－１．６）ｍ Ｃ．（５２槡２＋０．９）ｍ Ｄ．（ ５ ２槡２－０．９）ｍ ８．如图７所示，某景区以山脚Ａ为起点，沿途修建长度分别为１２００ｍ， ９００ｍ的两段索道ＡＢ和ＣＤ及观景平台ＢＣ（ＢＣ∥ＡＦ），已知索道ＡＢ与ＡＦ 的夹角是２０°，ＣＤ与ＢＣ的延长线的夹角是６０°，则点Ｄ到ＡＦ的距离是 （　　） Ａ．（ 槡４５０３＋１２００ｓｉｎ２０°）ｍ Ｂ．（ 槡４５０３＋１２００ｃｏｓ２０°）ｍ Ｃ．（４５０＋１２００ｓｉｎ２０°）ｍ Ｄ．（ 槡４５０３＋１２００ｔａｎ２０°）ｍ ９．如图８，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＢＣ＝１，ｓｉｎＡ＝１３，以点Ｂ为 圆心，以合适长度为半径作弧，分别交ＢＣ，ＢＡ于Ｎ，Ｍ两点，再分别以点Ｍ， Ｎ为圆心，大于 １２ＭＮ的长为半径作弧，两弧交于点Ｐ，作射线ＢＰ交ＡＣ于 点Ｄ，则ＣＤ的长度为 （　　） Ａ．２３ Ｂ． 槡２ ２ Ｃ． 槡２５ ５ 槡Ｄ．２２ １０．如图９，在平面直角坐标系ｘＯｙ中，ＡＢ＝槡５，连接 ＡＢ并延长至点 Ｃ，连接ＯＣ，若满足ＯＣ２ ＝ＢＣ·ＡＣ，ｔａｎα＝ １２，则点Ｃ的坐标为 （　　） Ａ．（－２，４） Ｂ．（－４３， ２ ３） Ｃ．（－２３， ４ ３） Ｄ．（－１，２） 第Ⅱ卷 非选择题 （共９０分） 二、细心填一填（本大题６个小题，每小题３分，共１８分） １１．已知∠α为锐角，且ｃｏｓα＝ １２，则ｔａｎα＝ ． １２．如图１０，一架落地座钟的钟摆长２ｍ，钟摆摆动时，偏离铅垂线的 最大夹角为α，那么，钟摆摆至最高位置与摆至最低位置的高度之差为 ｍ（用含α的式子表示）． １３．如图１１，在△ＡＢＣ中，ＡＤ⊥ＢＣ，垂足为Ｄ，若ＢＣ＝１４，ＡＤ＝１２，ＢＤ ＝ ３４ＡＤ，则ｓｉｎＣ＝ ． １４．某指示牌的平面示意图如图１２所示，若ＡＢ∥ＣＤ，∠ＥＣＤ＝∠ＢＡＥ ＝５０°，ＡＥ＝ＣＥ＝２米，则点 Ａ到地面的距离为 米（参考数据： ｓｉｎ５０°≈０．７７，ｃｏｓ５０°≈０．６４，ｔａｎ５０°≈１．１９）． １５．无动力帆船是借助风力前行的．图１３是帆船借助风力航行的平面 示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角 ∠ＰＤＡ为７０°，帆与航 行方向的夹角∠ＰＤＱ为３０°，风对帆的作用力Ｆ为４００Ｎ．根据物理知识，Ｆ 可以分解为两个力Ｆ１与Ｆ２，其中与帆平行的力Ｆ１不起作用，与帆垂直的 力Ｆ２可以分解为两个力ｆ１与ｆ２，ｆ１与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；ｆ２与 航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度 表示力的大小，据此，建立数学模型：Ｆ＝ＡＤ＝４００，则ｆ２＝ＣＤ＝ （单位：Ｎ，参考数据：ｓｉｎ４０°≈０．６４，ｃｏｓ４０°≈０．７７）． １６．如图１４，已知正方形ＡＢＣＤ边长为１，Ｅ为ＡＢ边上一点，以点Ｄ为中 心，将△ＤＡＥ按逆时针方向旋转得到△ＤＣＦ，连接ＥＦ，分别交ＢＤ，ＣＤ于点 Ｍ，Ｎ，若ＡＥＤＮ＝ ２ ５，则ｓｉｎ∠ＥＤＭ ＝ ． 三、耐心解一解（本大题８个小题，共７２分） １７．（６分）计算： ２ｔａｎ３０°－２ｓｉｎ６０°ｃｏｓ４５°＋３ｔａｎ３０°ｓｉｎ４５°． !!"#$%&'()*+ !!,#$%&'(-./012345 &'(-6789:;<= !>?#$@ABCD !DE%FGH !IJKLMN>?OP@!"#$%&'&'(Q)R !STUP@*+,#-' V W @ . . . . . . . . . X Y @ . . . . . . . . . Z P @ . . . . . . . . . + / [ \ ] V W ^ X Y ^ Z P * 0 [ _ ` a b c d e f g a 1 0 [ h \ i j k l m ` n k o p j q 名 师 名 卷 r s t +uvwxyzo ! " # $ % & '% !!!"& (&) !" *&*2*+*+-, !"#$ !"#$%& ! " # ! + ! $ " ! * " % & $ ! 1 & " ' $ ! 2 ( % " # & ! - ! +* %" ) ( # & " % & # ! ++! +& !"# 2-# # & 102 3 " - 3 % ! 4 & % * + $ " , ! 5 -! ' $ . " ! ! 6 ) ( " % $ & ! ' ) " , % + $ ( & ! #2 & ) # ) * / # / * " % 0 * ! "# $%&# $ ! #1 ) 书 １８．（８分）如图１５，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝１３，ＢＤ⊥ＡＣ于点Ｄ，ｓｉｎＡ ＝１２１３． （１）求ＢＤ的长； （２）求ｔａｎＣ的值． １９．（８分）如图１６，某渔船向正东方向以１４海里 ／时的速度航行，在Ａ 处测得小岛Ｃ在北偏东７０°方向，２小时后渔船到达Ｂ处，测得小岛Ｃ在北 偏东４５°方向，已知该岛周围２０海里范围内有暗礁（结果精确到０１海里， 参考数据：ｓｉｎ７０°≈０９４，ｃｏｓ７０°≈０３４，ｔａｎ７０°≈２．７５，槡２≈１４１）． （１）求Ｂ处距离小岛Ｃ的距离； （２）为安全起见，渔船在Ｂ处向东偏南转了２５°继续航行，通过计算说 明船是否安全？ ２０．（８分）如图１７，在平行四边形ＡＢＣＤ中，以Ａ为圆心，ＡＢ长为半径 画弧交ＡＤ于点Ｆ；再分别以Ｂ，Ｆ为圆心，大于 １２ＢＦ的长为半径画弧，两弧 交于点Ｐ；连接ＡＰ并延长交ＢＣ于点Ｅ，连接ＥＦ． （１）求证：四边形ＡＢＥＦ是菱形； （２）若菱形 ＡＢＥＦ的周长为 ４，ＡＥ ＝槡３，请直接写出 ｃｏｓＣ ＝ ． ２１．（１０分）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的 桥塔ＡＢ的高度（如图１８－①）．某学习小组设计了一个方案：如图１８－②， 点Ｃ，Ｄ，Ｅ依次在同一条水平直线上，ＤＥ＝３６ｍ，ＥＣ⊥ＡＢ，垂足为Ｃ．在Ｄ 处测得桥塔顶部 Ｂ的仰角（∠ＣＤＢ）为 ４５°，测得桥塔底部 Ａ的俯角 （∠ＣＤＡ）为６°，又在Ｅ处测得桥塔顶部Ｂ的仰角（∠ＣＥＢ）为３１°． （１）求线段ＣＤ的长（结果取整数）； （２）求桥塔ＡＢ的高度（结果取整数，参考数据：ｔａｎ３１°≈０．６，ｔａｎ６° ≈０．１）． ２２．（１０分）如图１９，已知Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＣＤ是斜边ＡＢ上 的中线，过点Ａ作ＡＥ⊥ＣＤ，ＡＥ分别与ＣＤ，ＣＢ相交于点Ｈ，Ｅ，ＡＨ＝２ＣＨ． （１）求ｓｉｎＢ的值； （２）如果ＣＤ＝槡５，求ＢＥ的值． ２３．（１０分）图２０－①是某种可调节支撑架，ＢＣ为水平固定杆，竖直固 定杆ＡＢ⊥ＢＣ，活动杆ＡＤ可绕点Ａ旋转，ＣＤ为液压可伸缩支撑杆，已知ＡＢ ＝１０ｃｍ，ＢＣ＝２０ｃｍ，ＡＤ＝５０ｃｍ． （１）如图２０－②，当活动杆ＡＤ处于水平状态时，求可伸缩支撑杆ＣＤ 的长度（结果保留根号）； （２）如图２０－③，当活动杆ＡＤ绕点Ａ由水平状态按逆时针方向旋转 角度α，且ｔａｎα＝３４（α为锐角）时，求此时可伸缩支撑杆ＣＤ的长度（结果 保留根号）． ２４．（１２分）白沙岛是众多海钓人的梦想之地．月月的爸爸周末去白沙 岛钓鱼，将鱼竿ＡＢ摆成如图２１－①所示．已知ＡＢ＝４．８ｍ，鱼竿尾端Ａ离 岸边０．４ｍ，即ＡＤ＝０．４ｍ．海面与地面 ＡＤ平行且相距１．２ｍ，即 ＤＨ＝ １．２ｍ． （１）如图２１－①，在无鱼上钩时，鱼竿ＡＢ与地面ＡＤ的夹角∠ＢＡＤ＝ ２２°，海面上方的鱼线ＢＣ与海面ＨＣ成一定角度，求点Ｂ到海面ＨＣ的距离； （２）如图２１－②，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角∠ＢＡＤ＝５３°，此 时鱼线被拉直，鱼线ＢＯ＝５．４６ｍ，点Ｏ恰好位于海面，求点Ｏ到岸边ＤＨ的 距离（参考数据：ｓｉｎ３７°＝ｃｏｓ５３°≈ ３５，ｃｏｓ３７°＝ｓｉｎ５３°≈ ４ ５，ｔａｎ３７°≈ ３ ４，ｓｉｎ２２°≈ ３ ８，ｃｏｓ２２°≈ １５ １６，ｔａｎ２２°≈ ２ ５）． ! " # $%&'()*+, " !-2345 !6789:0$%#!&#'(!'#) !;<=>?@ABCDEFGHIJK !%' LMN<OPQMR678 !ST6U0$%$$$) !EV8W<X!0$%#!!#'(!!'# $%#!!#'(!'%(YZ[, !W\?]^;<EV8>_`abcdSeYfg !STW\X!?!!!*# !hijkWlmWnoW !;<pabcBqEgrstuv< !wxyz{h|L0!+,,,,+,,,!!, !wx89:0,%#!!#'(!'## !;<}~€Z‚ƒ„…†‡ˆq‰ŠE‹ŒHŽ‘’“” !! Lg•ƒ–—…ƒ˜™š›œ]^;<EV8>_žŸ ! " # $ ! !# " ! % & ' # ( ! !( '#" +#" (," % " ! ( # ! !) ( " % ) ! # ! !- * ! ( " ) + !" #$ * ( " ) # !" % & ! " ! '! % " # ! ( ! " ! !* ! " ( # ! " # ( "! ! " ( # # ! " $ ! ',