专题11 锐角三角函数（期末真题汇编，福建专用）九年级数学上学期

专题11 锐角三角函数 6大高频考点概览 考点01 求角的正弦、余弦、正切值 考点02 特殊角的锐角三角函数值 考点03 方格中的三角函数 考点04 利用同角三角函数关系求值 考点05 解直角三角形 考点06 解非直角三角形 地 城 考点01 求角的正弦、余弦、正切值 1、 单选题 1．（24-25九年级上·福建漳州·期末）在中，，，的值为（    ）． A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，点A，B，C在半径为5的上，，则的值为（    ）． A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·福建厦门·期末）如图，正方形的两边、分别在y轴、x轴上，点在边上，则的正弦值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·福建泉州·期末）在中，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 2、 填空题 5．（24-25九年级上·福建漳州·期末）在中，，是斜边上的中线，，，则 ． 6．（24-25九年级上·福建南平·期末）（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，正方形的两边、分别在x轴、y轴上，点在边上，则的余弦值是 ． 7．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，，是边的中点．点，分别是边，，上一点，且，连接，则的值为 ． 地 城 考点02 特殊角的锐角三角函数值 1、 单选题 1．（24-25九年级上·福建三明·期末）计算的值为（     ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·福建宁德·期末）已知实数，，，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 2、 填空题 3．（24-25九年级上·福建莆田·期末） ． 4．（24-25九年级上·福建福州·期末）计算： ． 三、解答题 5．（24-25九年级上·福建泉州·期末）计算：． 6．（24-25九年级上·福建三明·期末）计算：． 7．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，在中，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作的外接．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）所作的外接上有动点（不与，，三点重合），若，连接，，求的度数． 地 城 考点03 方格中的三角函数 1、 单选题 1．（24-25九年级上·福建南平·期末）如图，在的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，则图中的正切值是（    ） A．2 B． C． D． 2．（24-25九年级上·福建福州·期末）在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（　　）​ A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都为1，已知点A，B，C，D都在格点（网格线的交点）上，与相交于点P，则的值为（   ） A． B． C． D． 2、 填空题 4．（24-25九年级上·福建漳州·期末）如图，在每个小正方形的边长均为1的方格图中，点A，B，C，D均在网格点上，与交于点E，则 ． 5．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点、、三点都在格点上，则 ． 6．（24-25九年级上·福建泉州·期末）在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，M，C，N都在格点处，AN与CM相交于点P，则cos∠CPN的值等于 ． 7．（24-25九年级上·福建南平·期末）如图，在网格图中，小正方形的边长均为1，点都在格点上，则的余弦值是 ． 6．（24-25九年级上·福建莆田·期末）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以为直径的圆经过点C，D，则的值为 ． 地 城 考点04 利用同角三角函数关系求值 一、单选题 1．（24-25九年级上·福建厦门·期末）已知m为实数，且是关于x的方程的两根，则的值为（   ） A． B． C． D．1 2．（24-25九年级上·福建龙岩·期末）如果是锐角，且，那么的值（　　） A． B． C． D． 二、填空题 3．（24-25九年级上·福建福州·期末）化简： ． 三、解答题 4．（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题： ____ ；________；___． (1)观察上述等式，猜想：在中，，都有____ ； (2)如图④，在中，，，，的对边分别是a，b，c，利用三角函数的定义和勾股定理，证明（1）中的猜想； (3)若，且，求的值． 5．（24-25九年级上·福建宁德·期末）计算：． 6．（24-25九年级上·福建漳州·期末）求证：若为锐角，则．要求： (1)如图，锐角和线段，用尺规作出一个以线段为直角边，为内角，为的（保留作图痕迹，不写作法）． (2)根据（1）中所画图形证明该命题． 7．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别∠A，∠B，∠C的对边．    (1)求的值； (2)填空：当为锐角时，______； (3)利用上述规律，求下列式子的值：． 地 城 考点05 解直角三角形 1、 单选题 1．（24-25九年级上·福建莆田·期末）如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是（　 ）    A．cm B．cm C．cm D．1cm 2．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，是的高，若，，则边的长为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·福建三明·期末）如图，把两条宽度都是1的纸条，其中一条对折后再两条交错地叠在一起，相交成角α，则重叠部分的面积是（　　）    A．2sinα B．2cosα C． D． 4．（24-25九年级上·福建厦门·期末）如图所示，矩形中，，，，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 2、 填空题 5．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，中，，，，为的中点．若与相交，则的半径的取值范围是 ． 3、 解答题 6．（24-25九年级上·福建莆田·期末）“巳巳如意，生生不息”，我们迎来了农历乙已蛇年．为了丰富同学们的寒假生活，在寒假期间，某校数学兴趣小组的成员开展了“玩‘转’数学，乐享数学”的主题活动．请你参与他们的活动，共享他们的成果． 【问题背景】 兴趣小组的成员首先回顾人教版教材九年级上册第60页“探究”部分的内容： 探究如图，在硬纸板上，挖一个三角形洞，再另挖一个小洞O作为旋转中心，硬纸板下面放一张白纸．先在纸上描出这个挖掉的三角形图案，然后围绕旋转中心转动硬纸板，再描出这个挖掉的三角形，移开硬纸板． 是由绕点O旋转得到的． 接着，兴趣小组的成员将三角形替换为半径为3，圆心角的扇形，继续探索旋转的奥妙． 【问题探索】 （1）如图1，将扇形绕着点O旋转得到扇形．粗心的小明忘记标记点O的位置，请你帮他找出旋转中心点O的位置并在图中标注出来；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写做法） （2）如图2，将扇形绕着点C顺时针旋转得到扇形，若与相切于点C，点M为半径的中点，求点M经过的路径长； 【问题拓展】 （3）如图3，将扇形绕着的中点N逆时针旋转得到扇形，请直接写出两个扇形重叠部分的面积． 地 城 考点06 解非直角三角形 1、 单选题 1．（24-25九年级上·福建南平·期末）如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 2、 填空题 2．（24-25九年级上·福建漳州·期末）如图，3个大小完全相同的正六边形无缝隙、不重叠的拼在一起，连接正六边形的三个顶点得到，则的值是 ．    3．（24-25九年级上·福建厦门·期末）如图，点是外一点，，与相交于点，，连接，若，，，则 ． 4．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，在矩形中，，连接，点在上，平分 ．    三、解答题 5．（24-25九年级上·福建宁德·期末）如图，在中，，、、所对的边分别记为a、b、c． (1)若，求的面积（用含a、c的式子表示）； (2)若，，求的值， 6．（24-25九年级上·福建厦门·期末）阅读下列材料： 在中，、、所对的边分别为、、，求证：． 证明：如图1，过点作于点，则： 在中， CD=asinB 在中， 根据上面的材料解决下列问题： (1)如图2，在中，、、所对的边分别为、、，求证：； (2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：， 7．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，是的中线，    求： (1)的长； (2)的正弦值． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 锐角三角函数 6大高频考点概览 考点01 求角的正弦、余弦、正切值 考点02 特殊角的锐角三角函数值 考点03 方格中的三角函数 考点04 利用同角三角函数关系求值 考点05 解直角三角形 考点06 解非直角三角形 地 城 考点01 求角的正弦、余弦、正切值 1、 单选题 1．（24-25九年级上·福建漳州·期末）在中，，，的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理、余弦的定义等知识点，熟记余弦的定义是解题的关键． 先根据勾股定理求出的长，再由求解即可． 【详解】解：如图： ∵在中，，， ∴ ∴． 故选A． 2．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，点A，B，C在半径为5的上，，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作直径，连接，勾股定理求得，根据同弧所对的圆周角相等得出，进而根据余弦的定义即可求解． 【详解】解：如图所示， 作直径，连接， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了求余弦，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，同弧所对的圆周角相等，熟练掌握以上知识是解题的关键． 3．（24-25九年级上·福建厦门·期末）如图，正方形的两边、分别在y轴、x轴上，点在边上，则的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求正弦值，由正方形性质和点可知正方形的边长为10，，，继而求出，由即可求解． 【详解】解：∵在正方形中，， ∴， ∵， ∴正方形的边长为10，即，，， ∴， ∴， 故选D． 4．（24-25九年级上·福建泉州·期末）在中，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求角的正切值，勾股定理，先由勾股定理求出，再根据正切的定义求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， 故选C． 2、 填空题 5．（24-25九年级上·福建漳州·期末）在中，，是斜边上的中线，，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查的是直角三角形斜边上的中线的性质、求正弦值等知识点，掌握正弦的定义成为解题的关键． 如图：根据直角三角形的性质可得，再利用正弦的定义求解即可． 【详解】解：如图：∵在中，，是斜边上的中线，， ∴， ∴． 故答案为：． 6．（24-25九年级上·福建南平·期末）（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，正方形的两边、分别在x轴、y轴上，点在边上，则的余弦值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，解直角三角形，根据四边形是正方形，得，，由点在边上，得，，然后利用勾股定理求出，进而可得的余弦值． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 点在边上， ，， ， 的余弦值是， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，，是边的中点．点，分别是边，，上一点，且，连接，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角函数定义，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．熟练掌握是解题的关键． 作于，于，构造三角形，可得，根据，即得． 【详解】解：作于，于， ， 四边形是矩形， ，， ∵，， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 地 城 考点02 特殊角的锐角三角函数值 1、 单选题 1．（24-25九年级上·福建三明·期末）计算的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值，即可解答，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 2．（24-25九年级上·福建宁德·期末）已知实数，，，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了特殊三角函数值、实数的大小比较，熟练掌握特殊三角函数值是解题的关键；因此此题可根据特殊三角函数值进行求解 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选：B ． 2、 填空题 3．（24-25九年级上·福建莆田·期末） ． 【答案】1 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的计算，在中考中经常出现，需要掌握特殊角的三角函数值． 根据特殊角的三角函数值计算． 【详解】解：， ， 故答案为：1． 4．（24-25九年级上·福建福州·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据二次根式的性质，特殊角的三角函数值，零指数幂的意义，负整数指数幂的意义等计算即可． 【详解】解∶原式 ， 故答案为∶． 三、解答题 5．（24-25九年级上·福建泉州·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，特殊角的三角函数值的计算，掌握二次根式的性质化简，二次根据的混合运算，特殊角的三角函数值的计算是解题的关键． 【详解】解： ． 6．（24-25九年级上·福建三明·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查特殊角的锐角三角函数值，二次根式的混合运算，以及实数的混合运算，掌握特殊角的锐角三角函数值和实数的混合运算法则，即可解题． 【详解】解： ． 7．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，在中，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作的外接．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）所作的外接上有动点（不与，，三点重合），若，连接，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查了作三角形的外接圆以及圆内接四边形的性质等知识，熟练掌握是解题的关键． （1）根据直角三角形外接圆性质可知的外接圆圆心为斜边的中点，半径为长度的一半，先作的中垂线，然后作外接圆即可； （2）分两种情况讨论，当点分别在弦两侧时，求得的度数． 【详解】（1）如图1，的外接为所求． （2）在中，，， ， ． 点的位置分两种情况： 如图2，当点在上时（图中）． 由圆的内接四边形的对角互补可得； 如图2，当点在上时（图中）． 由同弧所对的圆周角相等可得． 综上所述，的度数为或． 地 城 考点03 方格中的三角函数 1、 单选题 1．（24-25九年级上·福建南平·期末）如图，在的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，则图中的正切值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据网格的特点判断是直角三角形，根据正切的定义即可求解． 【详解】∵由图可知，， ∴是直角三角形，且， ， 故选：C． 【点睛】本题考查的是勾股定理及其逆定理，求正切函数值，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 2．（24-25九年级上·福建福州·期末）在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（　　）​ A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，过点作的垂线构造出直角三角形及熟知正弦的定义是解题的关键．也考查了等腰三角形的三线合一性质． 【详解】解：过点作的垂线，垂足为，设小正方形的边长为， ∵在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上， ∴，，， ∴， ∵， ∴点是的中点， ∴， 在中，， ∴， ∴的值为． 故选：C． 3．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都为1，已知点A，B，C，D都在格点（网格线的交点）上，与相交于点P，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形、平行线的性质，勾股定理，作出合适辅助线是解题关键．连接，连接，易知，由勾股定理逆定理可以证明为直角三角形，所以即可得答案． 【详解】如图，连接，连接 由图可知： ∴四边形是平行四边形 在中，有， ∴为直角三角形， 故选：A 2、 填空题 4．（24-25九年级上·福建漳州·期末）如图，在每个小正方形的边长均为1的方格图中，点A，B，C，D均在网格点上，与交于点E，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了求角的余弦值，平行四边形的性质与判定，勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的性质与判定，取格点F，连接，则四边形是平行四边形，则可证明，再证明是等腰直角三角形，得到，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，取格点F，连接， 由网格的特点可得， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴，且， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点、、三点都在格点上，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股逆定理以及求一个角的余弦值，先根据勾股定理求出每个边长，证明，结合余弦值的定义列式代入数值，进行计算，即可作答． 【详解】解：连接网格顶点，如图所示： ∵ ∴ ∴ 则 故答案为： 6．（24-25九年级上·福建泉州·期末）在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，M，C，N都在格点处，AN与CM相交于点P，则cos∠CPN的值等于 ． 【答案】 【分析】连接MN．设小正方形的边长1．利用相似三角形的性质证明∠CPN=45°即可解决问题． 【详解】解：连接MN．设小正方形的边长1． ∵△MNF是等腰直角三角形， ∴∠FMN＝∠FNM＝45°， ∴∠AMN＝∠MNC＝135°， ∵MN＝，AM＝2．CN＝1， ∴＝＝， ∴△ANM∽△MCN， ∴∠MAN＝∠CMN， ∵∠NMF＝∠MAN+∠ANM＝45°， ∴∠CPN＝∠PMN+∠PNM＝45°， ∴cos∠CPN＝， 故答案为． 【点睛】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． 7．（24-25九年级上·福建南平·期末）如图，在网格图中，小正方形的边长均为1，点都在格点上，则的余弦值是 ． 【答案】 【分析】构造直角三角形，根据勾股定理求出边长计算即可； 【详解】如图所示，可知， ∵，， ∴； 故答案是． 【点睛】本题主要考查了勾股定理与网格，三角函数的计算，准确作图解题是关键． 6．（24-25九年级上·福建莆田·期末）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以为直径的圆经过点C，D，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】根据勾股定理求得直径的长，再根据圆周角定理得到，再根据余弦函数的定义计算即可． 【详解】解：连接， 由图可得：，，， ∵为直径，有， ∴在中，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，余弦函数，熟悉掌握余弦的比值关系是解题的关键． 2 地 城 考点04 利用同角三角函数关系求值 一、单选题 1．（24-25九年级上·福建厦门·期末）已知m为实数，且是关于x的方程的两根，则的值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，锐角三角函数，根据是关于x的方程的两根，可得，结合，可得答案． 【详解】解：根据题意，得， 又， ． 故选C． 2．（24-25九年级上·福建龙岩·期末）如果是锐角，且，那么的值（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同角的三角函数的关系，熟练掌握同角的三角函数的关系是解答本题的关键． 根据题意得，利用求出答案． 【详解】解：， ． 故选：． 二、填空题 3．（24-25九年级上·福建福州·期末）化简： ． 【答案】1 【分析】利用三角函数公式求得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题考查三角函数公式的运用，熟练掌握三角函数公式求得是解题的关键． 三、解答题 4．（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题： ____ ；________；___． (1)观察上述等式，猜想：在中，，都有____ ； (2)如图④，在中，，，，的对边分别是a，b，c，利用三角函数的定义和勾股定理，证明（1）中的猜想； (3)若，且，求的值． 【答案】(1)1，1，1 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查三角函数计算综合，涉及三角函数定义、同角三角函数关系、勾股定理及三角函数恒等变形求值，数形结合，灵活运用三角函数定义是解决问题的关键． （1）根据三角函数定义，数形结合，分别得到正弦函数值与余弦函数值，代入式子求解即可得到答案； （2）根据题意，由勾股定理及三角函数定义，得到正弦函数值与余弦函数值，代入式子求解即可得证； （3）由上述归纳及证明的结论知，结合，根据完全平方和公式恒等变形，由确定，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：1，1，1； 由上面运算结果即可猜想在中，，都有， 故答案为：1； （2）证明：在中，，，，的对边分别是，，， 由勾股定理即可得到， ， ； （3）解：， ， ， ， ． 5．（24-25九年级上·福建宁德·期末）计算：． 【答案】 【分析】根据同一个角正弦的平方与余弦的平方的和等于1，和特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查特殊角三角函数值的混合运算．掌握同一个角正弦的平方与余弦的平方的和等于1，特殊角的三角函数值是解题关键． 6．（24-25九年级上·福建漳州·期末）求证：若为锐角，则．要求： (1)如图，锐角和线段，用尺规作出一个以线段为直角边，为内角，为的（保留作图痕迹，不写作法）． (2)根据（1）中所画图形证明该命题． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）作线段，过点作，作，射线，交于点，即为所求； （2）利用勾股定理，三角函数的定义证明即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）证明：， ， ，， ． 【点睛】本题考查了作一个角等于已知角、作垂线、作三角形、勾股定理、三角函数，熟练掌握勾股定理和三角函数是解题关键． 7．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别∠A，∠B，∠C的对边．    (1)求的值； (2)填空：当为锐角时，______； (3)利用上述规律，求下列式子的值：． 【答案】(1)1 (2)1 (3) 【分析】（1）由三角函数的定义及勾股定理即可证明； （2）由（1）得出的结论解答即可； （3）由（1）得出的结论进行化简并求值即可； 【详解】（1）证明：∵在Rt△ABC中，∠C=90°， ∴a2+b2=c2． 又∵， ∴； （2）当为锐角时，， 故答案为 1； （3） = =（44个1相加） = 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义及同角三角函数的关系，熟记定义是解题的关键． 地 城 考点05 解直角三角形 1、 单选题 1．（24-25九年级上·福建莆田·期末）如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是（　 ）    A．cm B．cm C．cm D．1cm 【答案】A 【分析】根据正六边形的内角度数可得出，再通过解直角三角形即可得出的值，进而可求出的值，此题得解． 【详解】正六边形的任一内角为， （如图），   ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了正多边形以及解直角三角形，牢记正多边形的内角度数是解题的关键． 2．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，是的高，若，，则边的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先解直角求出AD，再在直角中应用勾股定理即可求出AB． 【详解】解：∵， ∴， ∵直角中，， ∴， ∴直角中，由勾股定理可得，． 故选D． 【点睛】本题考查利用锐角函数解直角三角形和勾股定理，难度较小，熟练掌握三角函数的意义是解题的关键． 3．（24-25九年级上·福建三明·期末）如图，把两条宽度都是1的纸条，其中一条对折后再两条交错地叠在一起，相交成角α，则重叠部分的面积是（　　）    A．2sinα B．2cosα C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可知：所得图形是菱形，设菱形ABCD，由已知得∠ABE=α，过A作AE⊥BC于E，由勾股定理可求BE、AB、BC的长度，根据菱形的面积公式即可求出所填答案． 【详解】解：由题意可知：重叠部分是菱形，设菱形ABCD，则∠ABE＝α， 过A作AE⊥BC于E，则AE＝1， 设BE＝x， ∵∠ABE＝α， ∴AB＝， ∴BC＝AB＝， ∴重叠部分的面积是：×1＝． 故选：C．    【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，菱形的面积公式等知识点，把实际问题转化成数学问题，利用所学的知识进行计算是解此题的关键． 4．（24-25九年级上·福建厦门·期末）如图所示，矩形中，，，，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形，矩形的性质，解直角三角形，过点A作y轴的平行线交x轴与点E，过点B过作该平行线的垂线垂足为点I，交y轴于点F，过点C作x轴的垂线，垂足为点D，解直角三角形，求出，利用矩形的性质得到，求出，进而求出，即可得到点B的坐标． 【详解】解：如图，过点A作y轴的平行线交x轴与点E，过点B作该平行线的垂线垂足为点I，交y轴于点F，过点C作x轴的垂线，垂足为点D，则， ∵矩形中，，，， ∴，， ∴， ∴， 同理，， ∴在中，，， ∴在中，，， ∴在中，，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵点B在第二象限， ∴点B的坐标为． 故选：A． 2、 填空题 5．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，中，，，，为的中点．若与相交，则的半径的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先由勾股定理得，找出两个临界状态，即当与相切，求出此时的半径，以及当经过点时，求出此时的半径，即可求出与相交时对应的半径的取值范围． 【详解】解：当与相切，记切点，连接，则， ∵，，， ∴由勾股定理得， ∵为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴此时半径为3； 当经过点B时，则为直径， ∵， ∴点在上，如图： 此时半径为5， ∴若与相交，则的半径的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解直角三角形，圆周角定理，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 3、 解答题 6．（24-25九年级上·福建莆田·期末）“巳巳如意，生生不息”，我们迎来了农历乙已蛇年．为了丰富同学们的寒假生活，在寒假期间，某校数学兴趣小组的成员开展了“玩‘转’数学，乐享数学”的主题活动．请你参与他们的活动，共享他们的成果． 【问题背景】 兴趣小组的成员首先回顾人教版教材九年级上册第60页“探究”部分的内容： 探究如图，在硬纸板上，挖一个三角形洞，再另挖一个小洞O作为旋转中心，硬纸板下面放一张白纸．先在纸上描出这个挖掉的三角形图案，然后围绕旋转中心转动硬纸板，再描出这个挖掉的三角形，移开硬纸板． 是由绕点O旋转得到的． 接着，兴趣小组的成员将三角形替换为半径为3，圆心角的扇形，继续探索旋转的奥妙． 【问题探索】 （1）如图1，将扇形绕着点O旋转得到扇形．粗心的小明忘记标记点O的位置，请你帮他找出旋转中心点O的位置并在图中标注出来；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写做法） （2）如图2，将扇形绕着点C顺时针旋转得到扇形，若与相切于点C，点M为半径的中点，求点M经过的路径长； 【问题拓展】 （3）如图3，将扇形绕着的中点N逆时针旋转得到扇形，请直接写出两个扇形重叠部分的面积． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）由旋转的性质可知，旋转中心在对应点连线的垂直平分线上，即连接，，作，的垂直平分线即可； （2）连接，可知是等边三角形，求得，结合切线的性质可知旋转角为，则点的路径为以圆心，为半径，圆心角的扇形的弧长，利用弧长公式即可求解； （3）连接，分别交，于，，令，交于点，结合旋转可知点以为圆心，3为半径的圆上，则，即点，，在同一个圆中，再根据重叠部分的面积为即可求解． 【详解】解：（1）如图所示，即为所求； （2）连接，， ∵，， ∴是等边三角形， ∵点为半径的中点，则 ∴，则， ∵与相切于点C， ∴，即旋转角为， 则点的路径为以圆心，为半径，圆心角的扇形的弧长， ∴点的路径长为； （3）连接，分别交，于，，令，交于点， ∵点为的中点， ∴，则， 由旋转可知，，，，，，则为等边三角形， ∴，， ∴，则点以为圆心，3为半径的圆上，则，即点，，在同一个圆中， ∴，， ∴，则， ，则， ∴重叠部分的面积为 ． 【点睛】本题考查尺规作图作垂线，旋转的性质，切线的性质，弧长公式，不规则图形的面积，解直角三角形，等边三角形的判定及性质等知识点，添加辅助线将不规则图形分割成常见图形进行求解是解决问题的关键． 地 城 考点06 解非直角三角形 1、 单选题 1．（24-25九年级上·福建南平·期末）如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 【答案】D 【分析】作于，根据，，算出和，再根据，算出，最后根据计算即可． 【详解】如下图，作于，    在中，，， ，， 在中，， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了用锐角三角函数解非直角三角形，作垂直构造直角三角形是解题的关键． 2、 填空题 2．（24-25九年级上·福建漳州·期末）如图，3个大小完全相同的正六边形无缝隙、不重叠的拼在一起，连接正六边形的三个顶点得到，则的值是 ．    【答案】 【分析】如图所示，补充一个与已知相同的正六边形，根据正六边形的内角为，设正六边形的边长为1，求得，根据正切的定义，即可求解． 【详解】解：如图所示，补充一个与已知相同的正六边形，    ∵正六边形对边互相平行，且内角为， ∴    过点作于， ∴ 设正六边形的边长为1，则，， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了正六边形的性质，解直角三角形，熟练掌握正六边形的性质是解题的关键． 3．（24-25九年级上·福建厦门·期末）如图，点是外一点，，与相交于点，，连接，若，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解非直角三角形，过点作交延长线于，先由，，得到，即可得到，设，则，，在中，利用勾股定理列方程求得，即可得到，，最后根据计算即可． 【详解】解：如图，过点作交延长线于，则， ，， ， ∵， ∴， ∴设，则， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，在矩形中，，连接，点在上，平分 ．    【答案】/ 【分析】过点D作，由平分可得是等腰直角三角形，再根据矩形性质和勾股定理易求对角线长，进而解三角形求出、即可解答． 【详解】解：过点D作，如图：    ∵平分， ∴， ∴， ∵在矩形中，， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形性质和解三角形，解题关键是过点D作构造是等腰直角三角形，再解三角形． 三、解答题 5．（24-25九年级上·福建宁德·期末）如图，在中，，、、所对的边分别记为a、b、c． (1)若，求的面积（用含a、c的式子表示）； (2)若，，求的值， 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）本题考查解直角三角形，延长，作于点，根据题意得到，利用，求得，再根据，即可解题． （2）本题考查勾股定理和解直角三角形，根据题意得到，，结合得到，两边同时除以，将看作一个整体求解，即可解题． 【详解】（1）解：延长，作于点，如图所示： ，， ， ，， ， ，解得， 的面积为：． （2）解：，， ， ， ，即有， 整理得，解得或， 的值为或． 6．（24-25九年级上·福建厦门·期末）阅读下列材料： 在中，、、所对的边分别为、、，求证：． 证明：如图1，过点作于点，则： 在中， CD=asinB 在中， 根据上面的材料解决下列问题： (1)如图2，在中，、、所对的边分别为、、，求证：； (2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：， 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作BC边上的高，利用三角函数表示AD后，即可建立关联并求解； （2）作BC边上的高，利用三角函数分别求出AE和BC，即可求解． 【详解】（1）证明：如图2，过点作于点， 在中，， 在中，， ， ； （2）解：如图3，过点作于点， ，， ， 在中， 又， 即， ， ． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数的定义是解决问题的前提． 7．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，是的中线，    求： (1)的长； (2)的正弦值． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是： （1）作于．在中，求出，在中，求出即可解决问题； （2）在中，求出，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，作于．        在中，，， ，， 在中，， ， ． （2）， ，，， 在中，． 的正弦值为． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $