专题10 相似三角形（期末真题汇编，福建专用）九年级数学上学期

专题10 相似三角形 6大高频考点概览 考点01 成比例线段与平行截线 考点02 相似三角形的判定 考点03 相似比的应用 考点04 与相似三角形有关的尺规作图 考点05 相似三角形与动点 考点06 圆与相似三角形 地 城 考点01 成比例线段与平行截线 1、 单选题 1．（24-25九年级上·福建泉州·期末）下列各组中的四条线段成比例的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【分析】本题考查比例线段的概念．注意掌握在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．由题意根据比例线段的概念：如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，依次对各选项进行分析判断． 【详解】解：A．，这四条线段不成比例，故不符合题意； B．，这四条线段成比例，符合题意； C．，这四条线段不成比例，故不符合题意； D．，这四条线段不成比例，故不符合题意． 故选：B． 2．（24-25九年级上·福建福州·期末）若是成比例的线段，其中，，，则线段d的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了成比例线段，根据成比例线段的性质列出比例式是解题的关键． 根据比例线段的性质列出比例式，然后代入相关数据即可解答． 【详解】解：∵是成比例的线段， ∴， ∴，即，解得：． 故选：D． 3．（24-25九年级上·福建莆田·期末）如图，，分别交、、于点、、，分别交、、于点、、，若，，，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例即可求解． 【详解】解：∵，，，， ∴，即， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握比例的运算，平行线分线段成比例的知识是解题的关键． 2、 填空题 4．（24-25九年级上·福建宁德·期末）已知线段，，，是成比例线段，其中，，，则的值是 . 【答案】 【分析】本题主要考查了比例线段，熟练掌握比例线段的性质是解题的关键．根据比例线段的定义得到，即可得到答案． 【详解】解：由于线段，，，是成比例线段， 故， 即 解得 故答案为：． 5．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，已知，交于，，，则的长为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 由得到，则代入数据即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 解得：， 故答案为：9． 6．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，，，，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，找准对应关系，灵活运用定理是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理列出比例式，再结合已知条件即可得解． 【详解】解：∵， ， ， 即：， ， 故答案为：6． 三、解答题 7．（24-25九年级上·福建龙岩·期末）如图，直线，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，理解并熟练运用基本性质定理是解题关键．直接根据平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 地 城 考点02 相似三角形的判定 1、 单选题 1．（24-25九年级上·福建莆田·期末）如图，能使成立的条件是（　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定．在与中与是公共角，只要再有一组角对应相等就可以证明两三角形相似． 【详解】解：在与中与是公共角， ， A选项：只有，一组角对应相等不能证明，故A选项不符合题意； B选项：只能说明是等腰三角形，不能说明，故B选项不符合题意； C选项：只能说明是等腰三角形，不能说明，故C选项不符合题意； D选项：在与中与是公共角，，所以可证，故D选项符合题意． 故选： D． 2．（24-25九年级上·福建南平·期末）如图，在中，点、分别在边、上，下列条件中不能判断与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，结合相似三角形的判定定理进行解答即可． 【详解】解：．∵，，∴，故该选项不符合题意； ．∵，，∴，故该选项不符合题意； ．∵∴，∴，故该选项不符合题意； ．∵，而与不一定相等，不能使和相似，故该选项符合题意； 故选：D． 2、 填空题 3．（24-25九年级上·福建漳州·期末）如图，在中，点D是边上的一点，请添加一个条件： ，使． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． 利用相似三角形的判定定理进行添加条件即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 4．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，在中，，点，分别在，上，，连接，，交于点．若，则图中与相似的三角形是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定，全等三角形的判定与性质，难度较大，解题的关键在于构造辅助线． 在上截取，，导角证明，即可证明． 【详解】解：在上截取， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴图中与相似的三角形是， 故答案为：． 三、解答题 5．（24-25九年级上·福建莆田·期末）如图，在中，为边上一点，，，，求证：． 【答案】答案见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键．求出两组对应边的比例，利用两边对应成比例且其夹角相等的判定方法证明相似． 【详解】证明：∵，，， ∴，， ∴． ∵， ∴． 6．（24-25九年级上·福建南平·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，和的顶点都在边长为1的小正方形的格点上： (1)则 ， ； (2)判断与是否相似，若相似，请说明理由． 【答案】(1)， (2)，见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用图象法以及勾股定理解决问题即可． （2）结论：．根据两边成比例夹角相等两三角形相似证明即可． 【详解】（1）解：观察图象可知，，． 故答案为：，； （2）解：结论：． 理由：，，，， ， ， ． 7．（24-25九年级上·福建漳州·期末）如图，点为线段上一点，满足，，． (1)求长度； (2)求证：． 【答案】(1)4 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由，可得，证明，则，即，计算求解即可； （2）由勾股定理得，，，由， ，可证结论． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∴， ∴，即， 解得，， ∴的长度为4； （2）证明：∵ ∴由勾股定理得，，， ∴， ∵， ， ∴． 地 城 考点03 相似比的应用 1、 单选题 1．（24-25九年级上·福建泉州·期末）中，，，已知与相似的三角形的最长边是16，则其最短边是（   ） A．8 B．10 C． D．12 【答案】A 【分析】此题主要考查了相似三角形的性质，正确得出对应边成比例是解题关键． 直接利用相似三角形的性质对应边成比例，进而得出答案． 【详解】解：∵中，， ∴设其最短边是x，则， 解得：． 故选：A． 2、 填空题 2．（24-25九年级上·福建南平·期末）若两个相似三角形的面积比是，则它们的周长比是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键． 【详解】解：∵两个相似三角形的面积比是， ∴它们的相似比是， ∴它们的周长比是． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·福建福州·期末）已知，如果它们对应高的比，那么和的面积比是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，由此即可计算． 【详解】解：∵，如果它们对应高的比， ∴和的相似比是 ∴和的面积比是， 故答案为：． 三、解答题 4．（24-25九年级上·福建厦门·期末）如图，在中，点E在的延长线上，与交于点F． (1)求证：； (2)若的面积为4，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)25 【分析】本题考查平行四边形的性质与相似三角形的判定及性质．熟练掌握相似三角形的判定定理和性质是解题关键． （1）通过平行四边形对边平行、对角相等的性质，找到两组对应角相等，证明三角形相似； （2）利用平行关系确定相似三角形，结合相似三角形面积比与相似比的平方关系，逐步推导面积． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ， ， ； （2）解：∵四边形是平行四边形， ， ， ∵ ∴， ， ， ． 5．（24-25九年级上·福建厦门·期末）如图，在等边中，点P、D分别是边上的点，连接，且． (1)求证：； (2)若；求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）由题意可得，，可证； （2）由，可得，代入数值即可求出的长． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ， ， ， ， 又， ． （2）由（1）， ，即， 即， ． 6．（24-25九年级上·福建三明·期末）如图，在边长为4的正方形中，点E、F分别在上，且，若与相似，求的长． 【答案】2或 【分析】此题考查了相似三角形的性质、正方形的性质，熟记相似三角形的性质是解题的关键．根据“相似三角形的对应边成比例”分类讨论求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵与相似， ∴或， 设，正方形的边长为4，， ①当时，， ∴， ∴（经检验是所列方程的解）， ∴， ②当时，， ∴（经检验是所列方程的解）， ∴， ∴为2或 地 城 考点04 与相似三角形有关的尺规作图 1．（24-25九年级上·福建南平·期末）如图，在中，，在上作点D，连接，使得． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，作图−基本作图，解答本题的关键是熟练掌握角平分线的作法．作的角平分线交于点D，则点D即为所求． 【详解】解：如图，作的平分线交于点D；理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴． 即点D即为所求． 2．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，，． (1)实践与操作：请用尺规作图的方法在线段上找一点D，使得．（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与计算：在（1）的条件下，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据，得，问题转化为过点A作的垂线，垂足即为所求． （2）根据勾股定理求得，结合列出比例式，代入计算即可． 本题考查了垂线的基本作图，三角形相似的性质，熟练掌握基本作图，相似的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由，得， 故过点A作的垂线，垂足即为所求．如解图， 则点D即为所求． （2）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得． 3．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，在中，点D为边上一点． (1)用尺规在边上求作一点E，使得；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，已知，，，求的值． 【答案】(1)作图见详解 (2)4 【分析】本题考查了尺规作图-利用平行线分线段成比例定理，比例的基本性质及方程的求解． （1）要在边上作一点E，使得，可利用平行线分线段成比例定理，过点D作交于点E，此时点E即为所求，因为，根据平行线分线段成比例定理，可得； （2）先计算的长度，利用平行线截线段成比例定理列比例式，设未知数并代入比例式求解，最终求解x的值即为的长． 【详解】（1）解：如图所示为所求： （2）解：∵，，， ∴， 由（1）知，， ∴， 设，则， ∴，解得， ∴的值为4． 4．（24-25九年级上·福建厦门·期末）在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究． 【定义】至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． (1)操作判断用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有______（填序号） (2)【性质探究】根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质．如图2，四边形是邻等对补四边形，，是它的一条对角线． ①写出图2中相等的角，并说明理由； ②若，，，求的长（用含，，的式子表示）． (3)【拓展应用】如图3，在中，，，，分别在边，上取点，，使四边形是邻等对补四边形． ①请利用尺规，作出符合要求的邻等对补四边形； ②当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出的长． 【答案】(1)②④ (2)①，理由见详解；② (3)①见详解；②或 【分析】（1）根据邻等对补四边形的定义判断即可； （2）①延长至点E，使，连接，根据邻等对补四边形定义、补角的性质可得出，证明，得出，， 根据等边对等角得出，即可得出结论； ②过A作于F，根据三线合一性质可求出，由①可得，在中，根据余弦的定义求解即可； （3）①分三种情况如图1，，，；如图2，, ；如图2，，，分别作图即可； ②分三种情况： 情况1：如图4，当，时，，不符合题意． 情况2：如图5，当，时，连接，过N作于H．先证，根据相似三角形对应边成比例可求得，．再证，可求得，，进而可得．再根据勾股定理可求得．情况3：当，时，连接，过N作于H．先证，根据相似三角形对应边成比例可求得，．再证，可求得，，进而可得．再根据勾股定理可求得． 【详解】（1）解：观察图知，图①和图③中不存在对角互补，图②和图④中存在对角互补且邻边相等，故图②和图④中四边形是邻等对补四边形． 故答案为：②④； （2）解：①，理由如下： 如图，延长至点E，使，连接， ∵四边形是邻等对补四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； ②如图，过A作于F， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴； （3）解：①符合要求的邻等对补四边形共有三种情况： 如图1，，，； 如图2，， ； 如图3，，． ②分三种情况： 情况1：如图4，当，时， ， 则，不符合题意． 情况2：如图5，当，时，连接，过N作于H． ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴． 情况3：如图6,当，时，连接，过N作于H． ∵，， ∴， ∴， 设， 则， 解得， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴． 综上，的长为：或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识，明确题意，理解新定义，添加合适辅助线，构造全等三角形、相似三角形是解题的关键． 地 城 考点05 相似三角形与动点 一、填空题 1．（24-25九年级上·福建莆田·期末）如图，在中，， ．动点从点出发，在边上以每秒的速度向定点运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点运动，运动时间为秒，连接．若与相似，求的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了动点问题，相似三角形的判定及性质等，分类讨论，数形结合是解答此题的关键． 根据题意得出，，易得，，分类讨论当时，利用相似三角形的性质得，解得；当时，，解得，综上所述，与相似，得的值． 【详解】解：由题意知，，， ，， 当时，， ，解得：； 当时，， ，解得：， 故答案为：或． 2．（24-25九年级上·福建宁德·期末）如图，在锐角三角形中，，，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止，点D运动的速度为，点E运动的速度为，如果两点同时开始运动，那么以点A，D，E为顶点的三角形与相似时的运动时间为 【答案】4.8s或3s 【分析】本题考查了三角形相似的判定及性质．根据对应角不同进行分类讨论：①当时，②当时，即可求解． 【详解】解：设经过后，以点A，D，E为顶点的三角形与相似， ，， 由图得：， ①当时， ， ， ， 解得：； ②当时， ， ， ， 解得：； 经过或后，以点A，D，E为顶点的三角形与相似． 故答案为：或． 二、解答题 3．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，，，，，．点以的速度从点出发，沿方向向点运动，同时点以的速度从点出发，沿方向向点运动，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动，设运动的时间为． (1)填空：的长为__________；的长为__________； (2)求为何值时，平行于的一边； (3)当点在边上运动，求为何值时，的面积为． 【答案】(1)8； (2)5或 (3) 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟知相似三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由勾股定理可求的长，通过证明，可得，可求的长； （2）分两种情况讨论：当点Q在上，时，当点Q在上，时，根据相似三角形的性质与判定定理讨论求解即可； （3）如图1，点Q在边上运动，此时，，过点Q作于E，由锐角三角函数可求的长，由三角形面积公式可求t的值． 【详解】（1）解：在中，由勾股定理得； ∵， ∴，且， ∴， ∴，即， ∴； （2）解：当点Q在上，时， ∵， ∴， ∴， 由题意可知，，则， ∴， 解得； 当点Q在上，时， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得， 综上所述，当或时，平行于的一边． （3）解：如图1，点Q在边上运动，此时，， 过点Q作于E， ∴， 又∵， ∴， ∴，即 ， 解得 ， ∵， ∴的面积， 整理，得， 解这个方程，得（不合题意，舍去）， ∴当点Q在边上运动，秒时，的面积为． 4．（24-25九年级上·福建·期末）问题背景：如图1，已知，求证：； 尝试运用：如图2，在中，点D是边上一动点，，且，与相交于点F，在点D运动的过程中，连接，当时，求的长度； 拓展创新：如图3，D是内一点，，，，，．求的长． 【答案】问题背景：证明过程见解析；尝试运用：；拓展创新： 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、勾股定理，问题背景：根据相似三角形的性质可得，，利用等量代换可得，再由，再根据相似三角形的判定即可得证； 尝试运用：利用勾股定理求得，证明，可得，再利用等量代换可得，从而证得，可得，，求得，，利用等量代换可得，再利用勾股定理求解即可； 拓展创新：拓展创新：过点A作的垂线，过点D作的垂线，两垂线交于点M，连接，证明，可得，利用等量代换可得，证得，可得，从而可得，，利用勾股定理求得，再根据勾股定理可得， 再求解即可． 【详解】问题背景：解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴； 尝试运用：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴； 拓展创新：过点A作的垂线，过点D作的垂线，两垂线交于点M，连接， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴，， ∴， ∵，即， ∴． 地 城 考点06 圆与相似三角形 一、、填空题 1．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，在圆内接四边形中，为的外角平分线，F为 上一点，，延长与的延长线交于E．若，，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是圆内接四边形性质、相似三角形判定与性质及圆内弧、弦、圆心角关系，先证明，再证明，进而证明求出，设，则，求出x值即可求出结论． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵四边形为圆内接四边形， ∴， ， ∴， 又， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴同理，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，则， ∴，解得（负值舍去）， ∴， 故答案为：． 二、解答题 2．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，是直角三角形，，，，点P是边上的动点，是过C，P，B三点的圆，是的直径，与相交于点M．设． (1)求证：． (2)若，求的面积S的值． (3)当时，求x的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据圆周角定理可得，即可求证； （2）连接，根据圆内接四边形的性质可得，可证明，从而得到，，在中，根据勾股定理可得，从而得到，再由勾股定理可得，从而得到，再根据三角形的面积公式可得到关于的函数关系式，然后把x值代入计算即可求解； （3）过点作于点，于点，则，证明，可得，再证，可得，，然后根据，可得，求解即可． 【详解】（1）证明：是的直径， ， ， ； （2）解：如图1，连接， 四边形是圆内接四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 在中，， ， 是的直径， ， ， ， ， 当时，； （3）解：如图2，过点作于点，于点，则， ， ， ，， ∴， ， 即， ，即， ， ，即， 解得：， ， ， ， ， ， ， ， 解得：． 【点睛】本题主要考查了圆的综合题．涉及了圆周角定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的应用．熟练掌握圆周角定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的图象和性质是解题的关键． 3．（24-25九年级上·福建南平·期末）如图，在圆内接四边形中，，延长至点E，使，延长至点F，连结，使． (1)若，为直径，求的度数． (2)求证：①；②． 【答案】(1) (2)①见详解；②见详解 【分析】（1）根据圆周角定理即可求解，由为直径，得到，故，由，得到； （2）①由四点共圆得，而，等量代换得到，故； ②过点D作平行线交于点G，可证明，，因此得到，由，得到． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明①：∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴； ②过点D作平行线交于点G， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵由（1）知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆的内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 4．（24-25九年级上·福建厦门·期末）如图，内接于圆O，连接．           (1)如图1，求证：； (2)如图2，于D交圆O于E，于H，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，若平分，延长交于P，，，求长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接，得出由三角形内角和得出根据圆周角定理得代入可得结论； （2）证明得再证明得从而可证明； （3）过点P作于点N，过点O作于点Q，则四边形是矩形，得出证明得出证明得出求出，由勾股定理求出，由相似得出设求出由勾股定理可求出的长． 【详解】（1）连接，如图，    ∴； （2）∵ ∴ ∴ 又 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴； （3）过点P作于点N，过点O作于点Q，则四边形是矩形，    ∴ ∵平分 ∴ 又 ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∴ 在中， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 设 ∴ 又 ∴ 解得， ∴ ∴ 在中，． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，垂径定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质等知识，正确作出辅助线构造全等三角形和相似三角形是解答本题的关键． 5．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，在中，，点O在斜边上，以O为圆心，的长为半径的圆交于点D，交于点E，为的切线．    (1)求证：； (2)若，，求的半径的长． 【答案】(1)见解析 (2)⊙O的半径为 【分析】（1）连接，利用圆的切线的性质定理，直角三角形的两个锐角互余，同角的余角相等得到，利用同圆的半径相等，等腰三角形的性质即可得出结论； （2）通过证明求得线段的长，连接，由圆周角定理可得，可知，易证，可得，求得，根据勾股定理得，进而可求的半径． 【详解】（1）证明：如图，连接，    ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 连接，    ∵是的直径， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据勾股定理得， ∴． ∴的半径为． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 相似三角形 6大高频考点概览 考点01 成比例线段与平行截线 考点02 相似三角形的判定 考点03 相似比的应用 考点04 与相似三角形有关的尺规作图 考点05 相似三角形与动点 考点06 圆与相似三角形 地 城 考点01 成比例线段与平行截线 1、 单选题 1．（24-25九年级上·福建泉州·期末）下列各组中的四条线段成比例的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 2．（24-25九年级上·福建福州·期末）若是成比例的线段，其中，，，则线段d的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（24-25九年级上·福建莆田·期末）如图，，分别交、、于点、、，分别交、、于点、、，若，，，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 2、 填空题 4．（24-25九年级上·福建宁德·期末）已知线段，，，是成比例线段，其中，，，则的值是 . 5．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，已知，交于，，，则的长为 ． 6．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，，，，则的长为 ． 三、解答题 7．（24-25九年级上·福建龙岩·期末）如图，直线，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F，，求的长． 地 城 考点02 相似三角形的判定 1、 单选题 1．（24-25九年级上·福建莆田·期末）如图，能使成立的条件是（　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·福建南平·期末）如图，在中，点、分别在边、上，下列条件中不能判断与相似的是（   ） A． B． C． D． 2、 填空题 3．（24-25九年级上·福建漳州·期末）如图，在中，点D是边上的一点，请添加一个条件： ，使． 4．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，在中，，点，分别在，上，，连接，，交于点．若，则图中与相似的三角形是 ． 三、解答题 5．（24-25九年级上·福建莆田·期末）如图，在中，为边上一点，，，，求证：． 6．（24-25九年级上·福建南平·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，和的顶点都在边长为1的小正方形的格点上： (1)则 ， ； (2)判断与是否相似，若相似，请说明理由． 7．（24-25九年级上·福建漳州·期末）如图，点为线段上一点，满足，，． (1)求长度； (2)求证：． 地 城 考点03 相似比的应用 1、 单选题 1．（24-25九年级上·福建泉州·期末）中，，，已知与相似的三角形的最长边是16，则其最短边是（   ） A．8 B．10 C． D．12 2、 填空题 2．（24-25九年级上·福建南平·期末）若两个相似三角形的面积比是，则它们的周长比是 ． 3．（24-25九年级上·福建福州·期末）已知，如果它们对应高的比，那么和的面积比是 ． 三、解答题 4．（24-25九年级上·福建厦门·期末）如图，在中，点E在的延长线上，与交于点F． (1)求证：； (2)若的面积为4，，求的面积． 5．（24-25九年级上·福建厦门·期末）如图，在等边中，点P、D分别是边上的点，连接，且． (1)求证：； (2)若；求的长． 6．（24-25九年级上·福建三明·期末）如图，在边长为4的正方形中，点E、F分别在上，且，若与相似，求的长． 地 城 考点04 与相似三角形有关的尺规作图 1．（24-25九年级上·福建南平·期末）如图，在中，，在上作点D，连接，使得． 2．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，，． (1)实践与操作：请用尺规作图的方法在线段上找一点D，使得．（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与计算：在（1）的条件下，求的长． 3．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，在中，点D为边上一点． (1)用尺规在边上求作一点E，使得；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，已知，，，求的值． 4．（24-25九年级上·福建厦门·期末）在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究． 【定义】至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． (1)操作判断用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有______（填序号） (2)【性质探究】根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质．如图2，四边形是邻等对补四边形，，是它的一条对角线． ①写出图2中相等的角，并说明理由； ②若，，，求的长（用含，，的式子表示）． (3)【拓展应用】如图3，在中，，，，分别在边，上取点，，使四边形是邻等对补四边形． ①请利用尺规，作出符合要求的邻等对补四边形； ②当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出的长． 地 城 考点05 相似三角形与动点 一、填空题 1．（24-25九年级上·福建莆田·期末）如图，在中，， ．动点从点出发，在边上以每秒的速度向定点运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点运动，运动时间为秒，连接．若与相似，求的值为 ． 2．（24-25九年级上·福建宁德·期末）如图，在锐角三角形中，，，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止，点D运动的速度为，点E运动的速度为，如果两点同时开始运动，那么以点A，D，E为顶点的三角形与相似时的运动时间为 二、解答题 3．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，，，，，．点以的速度从点出发，沿方向向点运动，同时点以的速度从点出发，沿方向向点运动，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动，设运动的时间为． (1)填空：的长为__________；的长为__________； (2)求为何值时，平行于的一边； (3)当点在边上运动，求为何值时，的面积为． 4．（24-25九年级上·福建·期末）问题背景：如图1，已知，求证：； 尝试运用：如图2，在中，点D是边上一动点，，且，与相交于点F，在点D运动的过程中，连接，当时，求的长度； 拓展创新：如图3，D是内一点，，，，，．求的长． 地 城 考点06 圆与相似三角形 一、、填空题 1．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，在圆内接四边形中，为的外角平分线，F为 上一点，，延长与的延长线交于E．若，，则的长度为 ． 二、解答题 2．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，是直角三角形，，，，点P是边上的动点，是过C，P，B三点的圆，是的直径，与相交于点M．设． (1)求证：． (2)若，求的面积S的值． (3)当时，求x的值． 3．（24-25九年级上·福建南平·期末）如图，在圆内接四边形中，，延长至点E，使，延长至点F，连结，使． (1)若，为直径，求的度数． (2)求证：①；②． 4．（24-25九年级上·福建厦门·期末）如图，内接于圆O，连接．           (1)如图1，求证：； (2)如图2，于D交圆O于E，于H，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，若平分，延长交于P，，，求长． 5．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，在中，，点O在斜边上，以O为圆心，的长为半径的圆交于点D，交于点E，为的切线．    (1)求证：； (2)若，，求的半径的长． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $