第27章 相似 章末复习2024-2025学年人教版数学九年级下册

27 相似 章末复习 一、单选题 1．如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若，的面积为2，则的面积为（   ） A．32 B．18 C．6 D．4 2．如图，与位似，位似中心为点O，的面积为4，则面积为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 3．如图，已知点是线段上的一点，且满足，则（    ） A． B． C． D． 4．下列长度的四组线段中，成比例的一组是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．cm，，， 5．如图所示，已知，那么下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 6．如图所示，已知，下列比例式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，，点，分别在边上，且，平分的面积，则的长为（　　） A．5 B．2 C．4.8 D．2 8．如图，在中，，，平分交于，交延长线于，则的值为（   ） A． B． C． D．2 9．如图，平面内三点A、B、C，AB=8，AC=6，以BC边为斜边在BC右侧作等腰直角三角形BCD，连接AD，则的最大值是（    ） A．98 B．100 C．72 D．70 10．如图，正方形的边长为，对角线交于点，点为边上的三等分点，连接，分别交于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知，那么 ． 12．如图，在矩形中，E是边的中点，连接交对角线于点F．若，则的长为 ． 13．如图，在中，，，点从点沿向以的速度移动，到即停，点从点沿向以的速度移动，到就停．若点从点出发后点从点出发，再经过 秒与相似． 14．如图，已知，若，，则 . 15．如图，是边长为1的等边三角形，取的中点，作，，得到四边形，它的面积记为，取的中点，作，，得到四边形，它的面积记作，照此规律，则 ． 三、解答题 16．已知：如图，在中，E为的中点，于点G，交于点F，，连接，．求证： (1)； (2)四边形是菱形． 17．如图，在平行四边形中，连接，E为边上一点，连接并延长交的延长线于点M，交于点G，过点G作交于点F，． (1)若，求的长； (2)已知，求的值． 18．如图，在正方形中，是的中点，点在上，且．求证：． 19．如图，已知正方形ABCD，点E为AB上的一点，，交BD于点F． (1)如图1，直按写出的值_______； (2)将△EBF绕点B顺时针旋转到如图2所示的位置，连接AE、DF，猜想DF与AE的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，当BE=BA时，其他条件不变，△EBF绕点B顺时针旋转，设旋转角为，当为何值时EA=ED?请在图3或备用图中画出图形并求出的值． 20．如图，已知P是正方形ABCD边BC上一点，BP＝3PC，Q是CD的中点， （1）求证：△ADQ∽△QCP； （2）若AB＝10，连接BD交AP于点M，交AQ于点N，求BM，QN的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案 1．A 【分析】本题考查了位似图形的性质：面积的比等于位似比的平方，直接利用位似图形的性质结合相似三角形的性质得出答案． 【详解】解：∵和是位似图形，点O为位似中心，， ∴位似比， ∴， ∴， ∵的面积为2， ∴的面积为：． 故选：A． 2．D 【分析】此题考查了位似的性质、相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．根据与位似得到，由相似三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：与位似， ， ， 的面积为4， 故选：D． 3．A 【分析】本题考查了一元二次方程，比例线段，根据题意列出比例式是关键．设，，根据求出x，得到和，再计算结果即可． 【详解】解：设，，则， ∵， ∴， 解得：或（舍）， 即， ∴， ∴， 故选A． 4．D 【分析】此题考查了比例线段，掌握比例的性质是解题的关键； 根据成比例线段的定义，若四条线段满足最大与最小的乘积等于中间两段的乘积，则它们成比例，逐项判定即可． 【详解】解：A．，，因为，所以这四条线段不成比例，故此选项不符合题意； B．，，因为，所以这四条线段不成比例，故此选项不符合题意； C．，，因为，所以这四条线段成比例，故此选项不符合题意； D．，，因为，所以这四条线段成比例，故此选项符合题意； 故选：D． 5．A 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， 故选项A正确，符合题意，选项B错误，不符合题意； ，故选项C错误，不符合题意； ，故选项D错误，不符合题意． 故选：A 6．B 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例， 根据平行线分线段成比例定理即可得出结论． 【详解】解：， ， 故选：B. 7．A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，过D作于F，根据已知求出的面积，进而求出，证明，根据相似三角形的性质求出，进而求出，然后在中根据勾股定理求出即可． 【详解】解：过D作于F， ∵，，， ∴， ∵平分的面积， ∴， 又 ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 8．A 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，灵活运用相关知识成为解题的关键． 由平行四边形的性质可得，进而得到再结合得到，即；再由线段的和差可得；然后根据可得，然后根据相似三角形的性质列比例式求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 9．A 【分析】以AB为斜边作等腰直角三角形∆AOB，连接OD，利用相似三角形的性质得出OD，即可得出结果． 【详解】解：如图所示，以AB为斜边作等腰直角三角形∆AOB，连接OD， ∵∆CBD，∆AOB都是等腰直角三角形， ∴，，∠ABO=∠CBD=45°， ∴，∠ABC=∠OBD， ∴∆ABC~∆OBD， ∴， ∴， ∵AB=8，∠AOB=90°，OA=OB， ∴OA=OB=， ∵AD≤OA+OD， ∴AD≤， AD2≤98， 故选：A． 【点睛】题目主要考查旋转变换，相似三角形的判定和性质，作出相应辅助线，构造相似三角形及确定点D的运动轨迹是解题关键． 10．A 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，由正方形的性质可得，，，即得，进而由可得，得到，同理可得，最后根据线段的和差关系即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵点是的三等分点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 同理可得，， ∴， 解得， ∴， 故选：． 11． 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质对式子进行灵活变形是解题关键． 根据比例的性质得出：，再代入到原式计算即可． 【详解】由，得 ， 则． 故答案为：． 12．2 【分析】本题考查了矩形的性质，平行线分线段成比例，掌握矩形的性质是解题的关键，由矩形的性质可得，由平行线分线段成比例可得，即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ， 点E是的中点， ， ， ， ， ， ， 故答案为：2． 13．或 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定．设再经过t秒与相似，分两种情况：当时，当时，即可求解． 【详解】解：设再经过t秒与相似， 根据题意得：， ∴， ∵， 当时，， 此时， 解得：； 当时，， 此时， 解得：； 综上所述，再经过或秒与相似． 故答案为：或 14． 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定，解答本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质； 根据，可得，，根据，，即可求解； 【详解】解：由， 可得，， 故，， 故， 即， 解得 故答案为： 15． 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质和应用，找出规律，是解题的关键．首先由得出，根据相似三角形的性质得出，根据的面积求出，，求出，同理，，，…，根据规律可写出，再n将取2023，计算即可得答案． 【详解】解∶的中点，， ∴， ， ， ， ， 的面积是 ， 推理， ， 同理，，，…， （个） 故答案为∶． 16．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）证明，可得，可得，再证明，，即可得到结论； （2）先证明四边形为平行四边形，结合E为的中点，，可得，从而可得结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∵在中，， ∴，， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵E为的中点，， ∴， ∴四边形为菱形． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，平行线分线段成比例，掌握以上基础知识是解本题的关键． 17．(1)8 (2) 【分析】本题考查平行线分线段成比例，线段的比，平行四边形的性质，掌握平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例是解题关键． （1）根据平行线分线段成比例得出，结合，即可求出的长； （2）根据平行四边形的性质得出，结合（1）可得出，从而即可求出． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴； （2）解：∵四边形为平行四边形， ∴． 由（1）可知， ∴， ∴． 18．见解析 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 设正方形的边长为．则，，再利用正方形的性质与勾股定理求得，．即可根据相似三角形的判定定理得出结论． 【详解】证明：法一：设正方形的边长为． 是的中点， ． ． 四边形为正方形， ． 在Rt中，， ． 又， ． 同理． ． ． 在和中，， ． 法二：设正方形的边长为． 是的中点， ． ． 四边形为正方形， ． 在Rt中，， ． 又， ． 同理． 在中，， ． ． 又， ． 在和中， ， ． 法三： ． 四边形为正方形， ． 是的中点， ， ． 在和中， ， ． ． ， ， ． 在和中， ， ． 19．(1) (2)，证明见解析 (3)画图见解析，α的值为30°或150°， 【分析】由是正方形ABCD的对角线，可知∠ABD=45°，由垂直可知，，则可求出边相等，进而可知，根据边之间的等量关系可知，故可知； 由（1）知，，，，进而可知边之间的比例关系，由旋转知，，故可证明，根据相似比可证明边之间的等量关系； （3）连接DE，CE根据边相等的条件，以及角相等的条件可知AE=DE，BE=CE，由四边形ABCD是正方形，可知，AB=BC，进而可得△BCE是等边三角形，，进而可证，即：，同理，也可证明△BCE是等边三角形，，即：． 【详解】（1）是正方形ABCD的对角线， ∴∠ABD=45°，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）， 理由：由（1）知，，，， ， 由旋转知，， ， ， ； （3）如图3，连接DE，CE ∵EA=ED， ∴点E在AD的中垂线上， ∴AE=DE，BE=CE， ∵四边形ABCD是正方形， ，AB=BC， ， ∴△BCE是等边三角形， ， ，即：， 如图4，同理，△BCE是等边三角形， ，即：， 故答案为：30°或150°． 【点睛】本题考查图形的旋转变换，相似三角形的性质与判定，正方形的性质与判定，等边三角形的性质，能够根据题意将变换后的图像画出来并构造适合的辅助线是解决本题的关键． 20．(1)证明见解析;(2),. 【分析】（1）根据正方形的性质可表示出PC，DQ，CQ，AD的长，从而根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来进行判定． （2）根据得到△BMP∽△DMA，根据相似三角形的对应边成比例即可求得BM的长．同理可得△ABN∽△QDN，根据相似三角形的对应边成比例即可求得QN的长． 【详解】证明：（1）∵正方形ABCD中，BP＝3PC，Q是CD的中点 ∴PC＝BC，CQ＝DQ＝CD，且BC＝CD＝AD ∴PC：DQ＝CQ：AD＝1：2 ∵∠PCQ＝∠ADQ＝90° ∴△PCQ∽△ADQ （2）四边形是正方形， ∴△BMP∽△DMA ∴BM：DM＝BP：AD＝3：4 ∵AB＝10， ∴BD＝10， ∴BM= 同理可得： ∴△ABN∽△QDN ∴QN：AN＝DQ：AB＝1：2 ∵AB＝10， ∴ ∴ QN＝ 【点睛】此题主要考查学生对正方形的性质及相似三角形的判定及性质的综合运用．掌握相似三角形的判定定理是解题的关键. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$