专题08 反比例函数与一次函数（期末真题汇编，福建专用）九年级数学上学期

专题08 反比例函数与一次函数 5大高频考点概览 考点01 求反比例函数与一次函数图像问题 考点02 根据图象求不等式解集 考点03 反比例函数与一次函数的实际应用 考点04 所围成的几何图形面积 考点05 动点问题 地 城 考点01 求反比例函数一一次函数交点 1、 单选题 1．（24-25九年级上·福建泉州·期末）若双曲线与直线的一个交点坐标为，则另一个交点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的图象和性质，根据双曲线 关于原点对称，直线也经过原点，因此两个交点关于原点对称求解即可. 【详解】解：∵ 已知交点坐标为，且双曲线与直线的交点关于原点对称， ∴ 另一个交点的坐标为， 故选A. 2．（24-25九年级上·福建漳州·期末）已知正比例函数与反比例函数的图象交于点，则这个函数图象的另一个交点为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正比例函数与反比例函数的图象都关于原点对称，即可求解． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象都关于原点对称，两函数图象交于点， ∴这个函数图象的另一个交点为， 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数图象的性质，掌握反比例函数与正比例函数图象的性质是解题的关键． 3．（24-25九年级上·福建宁德·期末）已知反比例函数的图象与直线交于点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例的对称性及与一次函数的交点问题，把点代入，求得，得，再把代入，求出的值即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象与直线交于点， ∴把点代入，得， ∴， ∴， 把代入，得， 解得，， 㽁选：D． 4．（24-25九年级上·福建厦门·期末）已知正比例函数图象与反比例函数的图象交于A，B两点，其中点A在第二象限，横坐标为，另一交点B纵坐标为，则，的值是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，其中点A在第二象限，横坐标为，另一交点B的纵坐标为，可以得到关于和的方程组，然后化简，即可判断哪个选项是正确的． 【详解】解：正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，其中点在第二象限，横坐标为，另一交点的纵坐标为， ， 化简，得， 解得：或, 因两函数的交点A在第二象限，故不合题意，舍去. 所以. 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，得出k1和k2的关系． 2、 填空题 5．（24-25九年级上·福建福州·期末）若正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点，，则的值为 ． 【答案】15 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的交点问题，反比例函数的对称性，待定系数法求解析式，熟练掌握知识点是解题的关键．先根据反比例函数的对称性求得，，继而可求和． 【详解】解：反比例函数的图象是关于原点为对称中心的中心对称图形， 点与关于原点对称， ，， ，， 正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点，， ∴， ，， ． 故答案为：15． 6．（24-25九年级上·福建泉州·期末）已知反比例函数和函数的图象交于，两点．若，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查反比例函数与正比例函数的交点问题，两点间的距离公式．根据题意得到点和的坐标，再由两点间的距离公式进行计算即可． 【详解】解：联立与， 即， 解得，对应， ，， 两点间的距离为， ， 故答案为：4． 7．（24-25九年级上·福建三明·期末）若一个正比例函数的图象与一个反比例函数的图象的一个交点为（2，5），则另一个交点坐标为 ． 【答案】（﹣2，﹣5） 【分析】根据对称性即可得到答案． 【详解】∵另一个交点的坐标与点（2，5）关于原点对称， ∴另一交点的坐标为（−2，−5）． 故答案是：(−2，−5)． 【点睛】此题考查了正比例函数与反比例函数的交点问题，理解反比例函数关系原点对称性是解题的关键． 8．（24-25九年级上·福建厦门·期末）函数的图象与直线没有交点，那么的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，联立两函数解析式得到对应的一元二次方程，根据函数无交点即对应的一元二次方程无解进行求解即可． 【详解】解：联立得， ∵函数的图象与直线没有交点， ∴方程没有解， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（24-25九年级上·福建福州·期末）将的图象先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的新双曲线与直线相交于两点，其中一个交点的横坐标为，另一个交点的纵坐标为，则 ． 【答案】 【分析】根据“左加右减，上加下减”得平移后解析式，与一次函数联立方程，由根与系数关系得出与的关系式，套入所求代数式即可得出结果． 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，联立方程得交点坐标，本题的关键是利用了根与系数的关系得出、的关系． 【详解】解：根据题意，平移后反比例函数解析式为：， 和一次函数联立得：， 整理得：， 由根与系数的关系得：， 有一根是，则， ， 当时，， ， ． 故答案为：． 地 城 考点02 根据图像求不等式解集 1、 单选题 1．（24-25九年级上·福建南平·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，则不等式的解为（   ） A．或 B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，找到一次函数的图象在双曲线上方时的的范围即可． 【详解】解：由图象可知：不等式的解为：或； 故选C． 2．（24-25九年级上·福建厦门·期末）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，点的横坐标为4，当时，的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握交点坐标满足两个函数解析式是关键．根据反比例函数与一次函数的交点问题解答本题即可． 【详解】解：正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，点的横坐标为4， 点的横坐标为． 根据函数图象可知：当时，的取值范围是或． 故选：B 2、 填空题 3．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图像交于点，，结合图象，关于x的不等式的解集为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，利用函数图象求不等式的解集，解题的关键是理解不等式的意义． 关于x的不等式的意义为一次函数的图象在反比例函数的图象的下方，由此对照图象写出不等式的解集． 【详解】解：观察图象得：当或时，一次函数的图象位于反比例函数图象的下方， ∴关于x的不等式的解集为：或． 故答案为：或． 三、解答题 4．（24-25九年级上·福建莆田·期末）已知反比例函数（为常数，）的图象的一支如图所示，它与直线（均为常数，）交于点，． (1)求的值，并补全图象； (2)根据图象直接写出当自变量满足_____________时，． 【答案】(1)，补全图象见解析 (2)或 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，根据两条直线的交点求不等式的解集等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）根据反比例函数图象上点的坐标特征得到,解方程即可求得． （2）根据交点坐标，观察函数图象即可求得． 【详解】（1）解：∵反比例函数（为常数，）的图象过点，， ∴，解得：， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 补全该反比例函数图象的另一支如图： （2）解：由图象可知，∵反比例函数的图象的一支如图所示，它与直线（均为常数，）交于点，， ∴当或时，， 即当或时，， 故答案为：或． 5．（24-25九年级上·福建龙岩·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴相交于点． (1)求点、点的坐标和反比例函数的表达式； (2)观察图象，直接写出不等式的解集； 【答案】(1)，， (2)或 【分析】本题考查反比例函数图象与一次函数的交点问题，利用数形结合思想求解是解答的关键． （1）先根据一次函数图象上点的坐标特征求得a、b值，进而利用待定系数法求解反比例函数解析式； （2）根据图象，只需找到一次函数图象位于反比例函数图象下方部分点的横坐标的取值范围即可求解． 【详解】（1）∵点在一次函数图象上， ∴将代入， 则，， ∴，， ∴，， ∵点在反比例函数图象上的， ∴， 反比例函数的表达式为； （2）解：∵，， ∴观察图象，当或时，一次函数图象位于反比例函数图象下方， ∴不等式的解集是或． 6．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图所示，直线与双曲线交于、两点，已知点坐标为，点的纵坐标是，直线与轴交于点． (1)求直线的解析式和反比例函数解析式； (2)直接写出不等式的解集． 【答案】(1)的解析式为；双曲线的解析式为 (2)或 【分析】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法， （1）利用待定系数法求出双曲线的解析式，进而求出点的坐标，最后用待定系数法，即可得出结论； （2）直接利用图象即可得出结论； 【详解】（1）解：点在双曲线上，， ， 双曲线的解析式为， 点在双曲线上，且纵坐标为， ， ， ， 将点代入直线中得， ， 解得， 直线的解析式为； （2）∵ ∴ 由图象知，不等式的解集为或； 地 城 考点03 反比例函数与一次函数的实际应用 1、 单选题 1．（24-25九年级上·福建漳州·期末）某品牌自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热．水温开始下降，此时水温（）与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热．若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（    ） A．上午8点接通电源，可以保证当天能喝到不超过的水 B．水温下降过程中，与之间的函数关系式是 C．水温从加热到需要 D．水温不低于的时间为 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的应用，数形结合是解决本题的关键．该题为反比例函数与一次函数的实际应用的典型题目——浓度、温度问题，先利用待定系数法求函数的解析式，再利用解析式求得对应信息． 【详解】A、根据题意可得与的函数关系式是，令，则， ，即饮水机每经过，要重新从开始加热一次从点至，经过的时间为，，而水温加热到，需要的时间为，故时，饮水机第三次从开始加热了，令，则，即时，饮水机的水温为，故A选项不符合题意； B、由题意可得点在反比例函数的图像上，设反比例函数的解析式为，将点代入，可得， 水温下降过程中，与的函数关系式是，故B选项不符合题意； C、开机加热时水温每分钟上升， 水温从升高到，需要的时间为，故C选项不符合题意； D、水温从加热到所需要的时间为， 令，则，解得， 水温不低于的时间为，故D选项符合题意． 故选：D． 2、 填空题 2．（24-25九年级上·福建龙岩·期末）如图1是某种呼气式酒精测试仪的电路原理图，电源电压保持不变，为气敏可变电阻，定值电阻．检测时，可通过电压表显示的读数换算为酒精气体浓度，设，电压表显示的读数与之间的反比例函数图象如图2所示，与酒精气体浓度的关系式为，当电压表示数为时，酒精气体浓度为 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的实际应用等知识．先求出与之间的反比例函数为，再根据求出，代入即可求出． 【详解】解：设电压表显示的读数与之间的反比例函数为， ∵反比例函数图象经过点， ∴， ∴与之间的反比例函数为， 当时，, ∵，， ∴， 把代入得， 解得． 故答案为： 三、解答题 3．（24-25九年级上·福建福州·期末）为了做好校园疫情防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物熏蒸消毒消毒药物在一间教室内空气中的浓度（单位：）与时间（单位：）的函数关系如图所示：校医进行药物熏蒸时与的函数关系式为，药物熏蒸完成后与成反比例函数关系，两个函数图象的交点为．    (1)求的值； (2)当时，求与的函数关系式； (3)当教室空气中的药物浓度不低于时，对杀灭病毒有效问：本次消毒中有效杀灭病毒的时间持续多长时间？ 【答案】(1)6 (2) (3)8min 【分析】（1）依据题意，将代入可以得解； （2）由（1）得坐标，再设反比例函数解析式，从而将代入反比例函数解析式可以得解； （3）依据题意，令，结合函数的性质可得有效时间． 【详解】（1）解：由题意，，即为，． （2）解：由（1）可得． 设熏蒸完后函数的关系式为：， ． 熏蒸完后函数的关系式为：． （3）解：药物浓度不低于， 当时，， 当时，， 有效时长为， 答：有效杀灭病毒的时间持续． 【点睛】本题考查了反比例函数及正比例函数的应用，解题的关键是能够从实际问题中抽象出反比例函数和正比例函数模型，难度不大． 4．（24-25九年级上·福建福州·期末）通过试验研究发现：一节40分钟的课堂，初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．如图，学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分．    (1)求反比例函数解析式和点A、D的坐标； (2)陈老师在一节课上讲解一道数学综合题需要16分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32？请说明理由． 【答案】(1)反比例函数的解析式为，， (2)陈老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32，理由见解析 【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的实际应用： （1）设反比例函数的解析式为，由求出，可得坐标，从而求出的坐标； （2）求出解析式，得到时，，由反比例函数可得时，，根据，即可得到答案． 【详解】（1）解：设当时，反比例函数的解析式为，将代入得： ，解得， 反比例函数的解析式为， 当时，， ， ； （2）解：陈老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32，理由如下： 设当时，的解析式为，将、代入得： ， 解得， 的解析式为， 在中，当时，， 在中，当时，， 时，注意力指标都不低于32， ∵， 陈老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32． 5．（24-25九年级上·福建宁德·期末）探索一个问题：“任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？” (1)完成下列空格： 当已知矩形A的边长分别为6和1时，小明是这样研究的：设所求矩形的一边是x，则另一边为，由题意得方程：，化简得：． ，______，_____． 满足要求的矩形B存在． 小红的做法是：设所求矩形的两边分别是x和y，由题意得方程组：消去y化简后也得到：，（以下同小明的做法） (2)如果已知矩形A的边长分别为2和1，请你仿照小明或小红的方法研究是否存在满足要求的矩形B． (3)在小红的做法中，我们可以把方程组整理为：，此时两个方程都可以看成是函数解析式，从而我们可以利用函数图象解决一些问题．如图，在同一平面直角坐标系中画出了一次函数和反比例函数的部分图象，其中x和y分别表示矩形B的两边长，请你结合刚才的研究，回答下列问题：（完成下列空格） ①这个图象所研究的矩形A的面积为________；周长为________． ②满足条件的矩形B的两边长为________和________． 【答案】(1)2； (2)不存在矩形B (3)①8；18；②， 【分析】（1）用解一元二次方程的方法求一元二次方程的根即可； （2）设所求矩形的一条边是x，根据周长表示出另外一条边，根据面积列出方程，解方程即可； （3）①由图可知，一次函数解析式为，反比例函数解析式为，组成方程组，消去y求出方程的根，再根据一元二次方程根与系数的关系求出，，即可． ②利用解二元二次方程，可求出满足条件的矩形B的两边长． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴，． 故答案为：2；． （2）解：设B矩形的一边长为x，则另一边为 ， ， ， 不存在矩形B． （3）解：①设直线的关系式为，把，代入得： ， 解得：， ∴一次函数解析式为， 设反比例函数解析式为，把代入得：，解得：， ∴反比例函数解析式为， 根据一次函数解析式可得：，根据反比例函数解析式可得：， ∴图形B的两边之和为，面积为4， ∴图形A的周长为：，面积为； 故答案为：8；18． ②把代入得：， 解得：，， 当时，， 当时，， ∴满足条件的矩形B的两边长为，． 故答案为：，． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程解，利用函数图象得函数解析式等知识，根据图象得出函数解析式，是解题关键． 地 城 考点04 所围成几何图形面积 1、 单选题 1．（24-25九年级上·福建厦门·期末）如图，已知点A是一次函数图象上一点，过点A作x轴的垂线l，B是l上一点（B在A上方），在的右侧以为斜边作等腰直角三角形，反比例函数的图象过点B，C，若的面积为8，则的面积是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质、三角形面积，熟练掌握反比例函数上的点符合反比例函数的关系式是关键． 如图，过C作轴于D，交于E．由是等腰直角三角形得到，设，则，设，则，，反比例函数的图象过点B，C，则，解得，则，再根据即可求解． 【详解】解：如图，过C作轴于D，交于E． ∵轴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， 设，则， 设，则，， ∵反比例函数的图象过点B，C， ∴， 解得，则， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 2．（24-25九年级上·福建泉州·期末）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，若点的坐标为，则宽为，长为的矩形的面积、周长分别为（    ） A．4，6 B．4，12 C．8，6 D．8，12 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点，观察题目，求的是矩形的面积和周长，首先表示出矩形的面积：，正好符合反比例函数的特点，因此根据点在反比例函数的图象上即可得解；然后求矩形的周长：，此时发现周长的表达式正好符合直线的解析式，根据点在直线的函数图象上即可得解． 【详解】解：点在与双曲线的图象上， ，， ，； 矩形的面积为：，矩形的周长为：； 故选：B． 3．（24-25九年级上·福建南平·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，是反比例函数图像上的一个动点，连接，，当的面积为定值时，相应的点有且只有个，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，一次函数的图像与性质，解题的关键是理解题意并掌握相关知识．过点作于点，根据题意可得：此时点到的距离是点在下方反比例函数图像上点到的最大距离，即点位于点或或处（点，，到直线的距离相等），当为的中点时，即为所求，先求出，，进而求出，再将直线向左平移个单位，得到直线，使得该直线与反比例函数图像只有一个交点，则直线的解析式为，与反比例函数联立可得，然后利用判别式求出，进而求出，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 当的面积为定值时，相应的点有且只有个， 此时点到的距离是点在下方反比例函数图像上点到的最大距离，即点位于点或或处（点，，到直线的距离相等）， 由图可知，当为的中点时，即为所求， 联立：， 解得：或， ，， 此时， 将直线向左平移个单位，得到直线，使得该直线与反比例函数图像只有一个交点， 直线的解析式为， 与反比例函数联立可得：， 整理得：， 反比例函数与直线只有一个交点， ， 解得：或（不合题意，舍去）， ， 解得：， ， ， 故选：B． 4．（24-25九年级上·福建漳州·期末）如图，已知正比例函数与反比例函数交于A，B两点，C是第三象限反比例函数图象上一点，且点C在点A的左侧，线段交y轴的正半轴于点P，若的面积是12，则点C的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的交点问题、正比例函数与反比例函数的性质、待定系数法求一次函数的表达式及三角形的面积．熟练掌握反比例函数的性质和两个函数的交点是解答本题的关键． 先通过函数解析式求出交点A、B坐标，设点C的坐标，再利用待定系数法求出的解析式，最后再根据的面积得到关于m的方程，即可求得点C的坐标． 【详解】解：由题可得： ， 解得：或， ，， 设，设直线为，则， 解得：，， 直线为， 过A作y轴的平行线交于点Q,则， ， ， 即， 解得：， ． 故答案为： ． 2、 填空题 5．（24-25九年级上·福建莆田·期末）如图，正比例函数和反比例函数的图像交于点，将直线向上平移3个单位后，与轴交于点，与的图像交于点，连接，，则的面积 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，掌握待定系数法求函数解析式，运用数形结合思想解题是关键．待定系数法求反比例函数解析式为；根据平移的性质求得平移后函数解析式，确定B点坐标，然后待定系数法求直线的解析式，从而利用三角形面积公式分析计算． 【详解】解：把代入中，， 解得， ∴， 把代入中，， 解得， ∴反比例函数的解析式为； 将直线向上平移3个单位后，其函数解析式为， 当时，， ∴点B的坐标为， 设直线的函数解析式为， 将，代入可得， 解得， ∴直线的函数解析式为， 联立方程组， 解得（舍去）， ∴C点坐标为， 过点C作轴，交于点，    在中，当时，， ∴， ∴． 故答案为：． 6．（24-25九年级上·福建三明·期末）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A、C两点，过点作轴的垂线交轴于点，连接，则的面积等于 ． 【答案】4 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数的几何意义，熟练掌握过反比例函数上任意一点向坐标轴作垂线，与原点所连的线段所围成的直角三角形的面积为是解题的关键．由正比例函数与反比例函数的图象相交于两点可得，从而得到，由反比例函数的几何意义可得，由此即可得到答案． 【详解】解：正比例函数与反比例函数的图象相交于两点， 点关于原点对称， ， ，， ， 过点作轴的垂线交轴于点， ， ， ， 故答案为：4． 3、 解答题 7．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的，两点，与轴相交于点． (1)求该反比例函数和一次函数的表达式． (2)连接，，求的面积． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为； (2)． 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的图象与性质，待定系数法求解析式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； （）由（）得，一次函数的表达式为，求出，故有，然后通过即可求解． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过，两点， ∴， 解得：，， ∴反比例函数的表达式为，， ∵一比例函数的图象过，两点， ∴，解得：， ∴一次函数的表达式为； （2）解：如图， 由（）得，一次函数的表达式为， 当时，，解得， ∴， ∴， ∴ ． 8．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数 的图象上，点B在x轴上．将线段向左平移一定距离后，点A的对应点C刚好落在反比例函数的图象上，点B 的对应点为点 D，且直线的解析式为． (1)若，求的长； (2)若四边形的面积是8，求直线的解析式． 【答案】(1)3 (2) 【分析】此题考查了平移的性质、平行四边形的性质、反比例函数的图象和性质、求一次函数解析式等知识，熟练掌握平移的性质和反比例函数的性质是关键． （1）求出和，根据平行四边形的性质即可得到的长； （2）求出点的坐标为．代入求出，即可得到直线的解析式． 【详解】（1）解：由平移可得轴， ∴ 四边形为平行四边形． ∵点在反比例函数 的图象上， ∴， 解得， ∴， 由平移可知，点的纵坐标为， ∵，点A的对应点C刚好落在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴点 C 的横坐标为，即点． ∴； （2）∵四边形的面积是8，点， ∴， ∴， ∴点的横坐标为． 由平移可得点C的纵坐标为2， ∴点的坐标为． 将代入， 得，解得． ∴直线的解析式为． 9．（24-25九年级上·福建厦门·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴于点，并与的图象在第一象限交于点C，轴，垂足为D，点B是的中点．    (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若点是点C关于x轴的对称点，请求出的面积． 【答案】(1)一次函数的解析式为：；反比例函数的解析式为： (2)24 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力． （1）把，代入中，即可求得一次函数的解析式，根据，求得C点坐标，进而求得反比例函数解析式； （2）交x轴于M点，，求得M点的坐标，即可求得的面积． 【详解】（1）解：∵直线y=kx+b交x轴于点A（-4，0），交y轴于点B（0，3） ∴把，代入中， ， 得，， ∴一次函数的解析式为：， ∵轴，垂足为D，点B是的中点， ∴， ∴， ∴C点的横坐标为4，把横坐标代入， ∴C点坐标为， 把代入， ∴求得， ∴反比例函数的解析式为：； （2）解：若点是点C关于x轴的对称点， ∴的坐标为， 设直线的解析式为， 把， 点代入， ∴，， 的解析式为，     交x轴于M点， ∴M点的坐标为， ∴ ． 地 城 考点05 动点问题 1、 单选题 1．（24-25九年级上·福建莆田·期末）如图，点是反比例函数图像上的一动点，连接并延长交图像的另一支于点．在点的运动过程中，若存在点，使得，，则，满足（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，过点作轴于点，过点作轴于点，根据等腰直角三角形的性质得出，通过角的计算找出，结合“，”可得出，根据全等三角形的性质，可得出，进而得到，进一步得到． 【详解】解：连接，过点作轴于点，过点作轴于点，如图所示： 由直线与反比例函数的对称性可知、点关于点对称， ， 又，， ，， ，， ， 又，， ， ，， 点， ，， ，， ， 点是反比例函数图像上， ，即， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征、反比例函数的性质，等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定及性质，解题的关键是求出点的坐标． 2、 填空题 2．（24-25九年级上·福建漳州·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点．若P为x轴上一动点，当是以为腰的等腰三角形时，点P的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、等腰三角形的定义、勾股定理，先求出，，过点A作轴，则由勾股定理可得，再分三种情况：当P在x轴正半轴时；当P在x轴负半轴时；当P在x轴正半轴时；分别求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：由，解得或． 根据图象可知，，， 如图，过点A作轴， ∵点， ∴， ∵P为x轴上一动点，是以为腰的等腰三角形， ∴可分为以下三种情况： ①当P在x轴正半轴时，， ∴，即， ②当P在x轴负半轴时，， ∴， ③当P在x轴正半轴时，， ∴， 综上所述：点P的坐标为或或， 故答案为：或或． 3．（24-25九年级上·福建宁德·期末）如图，P是第一象限内一次函数图象上一动点，反比例函数经过点P，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，二次函数的性质．根据题意可设可设点P的坐标为，且，可得，再根据反比例函数的性质可得，然后根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】解：∵P是第一象限内一次函数图象上一动点， ∴可设点P的坐标为，且， ∴， ∵反比例函数经过点P， ∴， ∴当时，k的值最大，最大值为2， ∵， ∴当时，k随a的增大而增大，当时，k随a的增大而减小， ∵当时，，当时，， ∴k的取值范围是． 故答案为： 三、解答题 4．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点． (1)求函数和的表达式； (2)若在x轴上有一动点C，当时，求点C的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，一次函数的解析式，反比例函数的解析式，一次函数与几何综合，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把代入反比例函数中，解得，运用待定系数法解得一次函数的解析式为：； （2）设与y轴交于点D，过点C作轴交于点E，先整理得，，再结合三角形面积公式列式，因为，得，解得或，即可作答． 【详解】（1）解：将点代入反比例函数中， 得； ∴反比例函数的解析式为：， 将点分别代入一次函数的解析式， 得， ， ∴一次函数的解析式为：． （2）解：如图，设与y轴交于点D，过点C作轴交于点E， 设， 由（1）得反比例函数的解析式为：，一次函数的解析式为：． ， ， 令，， ， ∴， ∵， ∴， 即， 解得或， ∴点C的坐标为或． 5．（24-25九年级上·福建三明·期末）如图，一次函数与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数交于和两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)如图，点是轴上一动点，连接，，当的面积为6时，求点的坐标； (3)将一次函数向右平移1个单位得到新的一次函数，点是新的一次函数与轴的交点，点是轴上一动点，请直接写出取最小值时点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】此题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，轴对称最短路线问题等，解答（1）的关键是熟练掌握待定系数法求函数的表达式，解答（3）的关键是利用轴对称求最短路线． （1）将点和代入反比例函数可得、的值，再将点、的坐标代入一次函数解析式可得答案； （2）根据求得，进一步求得的坐标即可； （3）先求出点，作点关于轴的对称点，则点，连接交轴于点，此时的值最小，最小值为线段的长，可根据待定系数法求得直线的解析式，进而求得的坐标即可． 【详解】（1）解：点和都在反比例函数的图象上， ， ， ， 将点和代入得，， ， ， 反比例函数解析式为，一次函数解析式为； （2）解：令，则，解得， 令，则， ，， ， ， ， 或； （3）解：将一次函数向右平移1个单位得到新的一次函数， 点是新的一次函数与轴的交点， ， 作点关于轴的对称点，则点，连接交轴于点，此时的值最小， 设直线的解析式为， 代入得，解得， 直线的解析式为， 当时，， ． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 反比例函数与一次函数 5大高频考点概览 考点01 求反比例函数与一次函数图像问题 考点02 根据图象求不等式解集 考点03 反比例函数与一次函数的实际应用 考点04 所围成的几何图形面积 考点05 动点问题 地 城 考点01 求反比例函数一一次函数交点 1、 单选题 1．（24-25九年级上·福建泉州·期末）若双曲线与直线的一个交点坐标为，则另一个交点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·福建漳州·期末）已知正比例函数与反比例函数的图象交于点，则这个函数图象的另一个交点为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·福建宁德·期末）已知反比例函数的图象与直线交于点，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·福建厦门·期末）已知正比例函数图象与反比例函数的图象交于A，B两点，其中点A在第二象限，横坐标为，另一交点B纵坐标为，则，的值是（　　） A．， B．， C．， D．， 2、 填空题 5．（24-25九年级上·福建福州·期末）若正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点，，则的值为 ． 6．（24-25九年级上·福建泉州·期末）已知反比例函数和函数的图象交于，两点．若，则的值为 ． 7．（24-25九年级上·福建三明·期末）若一个正比例函数的图象与一个反比例函数的图象的一个交点为（2，5），则另一个交点坐标为 ． 8．（24-25九年级上·福建厦门·期末）函数的图象与直线没有交点，那么的取值范围是 ． 9．（24-25九年级上·福建福州·期末）将的图象先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的新双曲线与直线相交于两点，其中一个交点的横坐标为，另一个交点的纵坐标为，则 ． 地 城 考点02 根据图像求不等式解集 1、 单选题 1．（24-25九年级上·福建南平·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，则不等式的解为（   ） A．或 B． C．或 D．或 2．（24-25九年级上·福建厦门·期末）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，点的横坐标为4，当时，的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 2、 填空题 3．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图像交于点，，结合图象，关于x的不等式的解集为 ． 三、解答题 4．（24-25九年级上·福建莆田·期末）已知反比例函数（为常数，）的图象的一支如图所示，它与直线（均为常数，）交于点，． (1)求的值，并补全图象； (2)根据图象直接写出当自变量满足_____________时，． 5．（24-25九年级上·福建龙岩·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴相交于点． (1)求点、点的坐标和反比例函数的表达式； (2)观察图象，直接写出不等式的解集； 6．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图所示，直线与双曲线交于、两点，已知点坐标为，点的纵坐标是，直线与轴交于点． (1)求直线的解析式和反比例函数解析式； (2)直接写出不等式的解集． 地 城 考点03 反比例函数与一次函数的实际应用 1、 单选题 1．（24-25九年级上·福建漳州·期末）某品牌自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热．水温开始下降，此时水温（）与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热．若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（    ） A．上午8点接通电源，可以保证当天能喝到不超过的水 B．水温下降过程中，与之间的函数关系式是 C．水温从加热到需要 D．水温不低于的时间为 2、 填空题 2．（24-25九年级上·福建龙岩·期末）如图1是某种呼气式酒精测试仪的电路原理图，电源电压保持不变，为气敏可变电阻，定值电阻．检测时，可通过电压表显示的读数换算为酒精气体浓度，设，电压表显示的读数与之间的反比例函数图象如图2所示，与酒精气体浓度的关系式为，当电压表示数为时，酒精气体浓度为 ． 三、解答题 3．（24-25九年级上·福建福州·期末）为了做好校园疫情防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物熏蒸消毒消毒药物在一间教室内空气中的浓度（单位：）与时间（单位：）的函数关系如图所示：校医进行药物熏蒸时与的函数关系式为，药物熏蒸完成后与成反比例函数关系，两个函数图象的交点为．    (1)求的值； (2)当时，求与的函数关系式； (3)当教室空气中的药物浓度不低于时，对杀灭病毒有效问：本次消毒中有效杀灭病毒的时间持续多长时间？ 4．（24-25九年级上·福建福州·期末）通过试验研究发现：一节40分钟的课堂，初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．如图，学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分．    (1)求反比例函数解析式和点A、D的坐标； (2)陈老师在一节课上讲解一道数学综合题需要16分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32？请说明理由． 5．（24-25九年级上·福建宁德·期末）探索一个问题：“任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？” (1)完成下列空格： 当已知矩形A的边长分别为6和1时，小明是这样研究的：设所求矩形的一边是x，则另一边为，由题意得方程：，化简得：． ，______，_____． 满足要求的矩形B存在． 小红的做法是：设所求矩形的两边分别是x和y，由题意得方程组：消去y化简后也得到：，（以下同小明的做法） (2)如果已知矩形A的边长分别为2和1，请你仿照小明或小红的方法研究是否存在满足要求的矩形B． (3)在小红的做法中，我们可以把方程组整理为：，此时两个方程都可以看成是函数解析式，从而我们可以利用函数图象解决一些问题．如图，在同一平面直角坐标系中画出了一次函数和反比例函数的部分图象，其中x和y分别表示矩形B的两边长，请你结合刚才的研究，回答下列问题：（完成下列空格） ①这个图象所研究的矩形A的面积为________；周长为________． ②满足条件的矩形B的两边长为________和________． 地 城 考点04 所围成几何图形面积 1、 单选题 1．（24-25九年级上·福建厦门·期末）如图，已知点A是一次函数图象上一点，过点A作x轴的垂线l，B是l上一点（B在A上方），在的右侧以为斜边作等腰直角三角形，反比例函数的图象过点B，C，若的面积为8，则的面积是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（24-25九年级上·福建泉州·期末）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，若点的坐标为，则宽为，长为的矩形的面积、周长分别为（    ） A．4，6 B．4，12 C．8，6 D．8，12 3．（24-25九年级上·福建南平·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，是反比例函数图像上的一个动点，连接，，当的面积为定值时，相应的点有且只有个，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·福建漳州·期末）如图，已知正比例函数与反比例函数交于A，B两点，C是第三象限反比例函数图象上一点，且点C在点A的左侧，线段交y轴的正半轴于点P，若的面积是12，则点C的坐标是（   ） A． B． C． D． 2、 填空题 5．（24-25九年级上·福建莆田·期末）如图，正比例函数和反比例函数的图像交于点，将直线向上平移3个单位后，与轴交于点，与的图像交于点，连接，，则的面积 ． 6．（24-25九年级上·福建三明·期末）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A、C两点，过点作轴的垂线交轴于点，连接，则的面积等于 ． 3、 解答题 7．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的，两点，与轴相交于点． (1)求该反比例函数和一次函数的表达式． (2)连接，，求的面积． 8．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数 的图象上，点B在x轴上．将线段向左平移一定距离后，点A的对应点C刚好落在反比例函数的图象上，点B 的对应点为点 D，且直线的解析式为． (1)若，求的长； (2)若四边形的面积是8，求直线的解析式． 9．（24-25九年级上·福建厦门·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴于点，并与的图象在第一象限交于点C，轴，垂足为D，点B是的中点．    (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若点是点C关于x轴的对称点，请求出的面积． 地 城 考点05 动点问题 1、 单选题 1．（24-25九年级上·福建莆田·期末）如图，点是反比例函数图像上的一动点，连接并延长交图像的另一支于点．在点的运动过程中，若存在点，使得，，则，满足（    ） A． B． C． D． 2、 填空题 2．（24-25九年级上·福建漳州·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点．若P为x轴上一动点，当是以为腰的等腰三角形时，点P的坐标为 ． 3．（24-25九年级上·福建宁德·期末）如图，P是第一象限内一次函数图象上一动点，反比例函数经过点P，则k的取值范围是 ． 三、解答题 4．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点． (1)求函数和的表达式； (2)若在x轴上有一动点C，当时，求点C的坐标． 5．（24-25九年级上·福建三明·期末）如图，一次函数与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数交于和两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)如图，点是轴上一动点，连接，，当的面积为6时，求点的坐标； (3)将一次函数向右平移1个单位得到新的一次函数，点是新的一次函数与轴的交点，点是轴上一动点，请直接写出取最小值时点的坐标． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $