专题14 压轴题专项（期末真题汇编，福建专用）九年级数学上学期

专题14 压轴题专项 6大高频考点概览 考点01 一元二次方程压轴题 考点02 二次函数压轴 考点03 旋转压轴题 考点04 圆压轴题 考点05 相似压轴题 考点06 反比例函数压轴题 考点07 三点共线 地 城 考点01 一元二次函数压轴题 1、 填空题 1．（24-25九年级上·福建泉州·期末）关于x的一元二次方程下列说法：①若c是方程的一个根，则一定有成立；②当时，则关于x的方程必有实数根；③若，则方程一定有两个不相等的实数根；④若是一元二次方程的根，则．其中正确的是 （填序号） 二、解答题 2．（24-25九年级上·福建三明·期末）阅读材料：在一元二次方程中，根的判别式通常用来判断方程实数根的个数，但在实际应用中，我们也可以用根的判别式来解决部分函数的最值问题，例如：已知函数，当取何值时，取最小值，最小值为多少？ 解答： ． ，即，解得 ， 因此的最小值为， 此时，解得，符合题意， 当时，； 解决问题：请根据上述材料，解答下列问题． (1)已知函数，当取何值时，取最大值， 的最大值为多少？ (2)已知，当取何值时，取最小值，的最小值为多少？ (3)如图，已知，，是线段上一点，，，，当为何值时，取最小值，最小值是多少？ 3．（24-25九年级上·福建三明·期末）已知关于的一元二次方程（为实数）． (1)求证：无论取何实数，该方程总有两个不相等的实数根； (2)设方程的两个实数根为，，且满足，求的值； (3)在方程有两个整数根的情况下，求的值． 地 城 考点02 二次函数压轴题 1、 单选题 1．（24-25九年级上·福建泉州·期末）已知二次函数的图象交轴于，顶点为．将该图象平移，点、点分别平移至点、点，连接，且轴．若点落在轴的正半轴上，且平移后的二次函数的图象仍然经过点，则线段的长为（    ） A．8 B． C． D． 2、 填空题 2．（24-25九年级上·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，抛物线经过矩形的顶点和，轴．若将抛物线向左（右）平移不超过个单位长度，使其经过点，可与抛物线重合，记抛物线和在该矩形内部的部分为图象，点在图象上，则点的横坐标的取值范围是 ．（表达式中可含有，，） 3．（24-25九年级上·福建福州·期末）抛物线（a，c是常数且，）经过点． 下列四个结论： ①该抛物线一定经过点； ②； ③若点，在该抛物线上，，则的取值范围为： ④若是方程的两个根，其中，则． 其中正确的是 ．（填写序号） 三、解答题 4．（24-25九年级上·福建莆田·期末）综合与探究 在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，且与y轴交于点，点D是直线上方抛物线上的点． (1)求二次函数的解析式； (2)点E是y轴上任意一点，若是以为腰的等腰三角形，求点E的坐标； (3)当时，在x轴上存在一点F，连接、， 求的最小值，此时点F的坐标是多少． 5．（24-25九年级上·福建莆田·期末）综合与实践 问题情境：如图1，矩形是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段组成的封闭图形，点A，B在矩形的边上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案． 方案设计：如图2，米，的垂直平分线与抛物线交于点P，与交于点O，点P是抛物线的顶点，且米．欣欣设计的方案如下： 第一步：在线段上确定点C，使，用篱笆沿线段分隔出区域，种植串串红； 第二步：在线段上取点F（不与C，P重合），过点F作的平行线，交抛物线于点D，E．用篱笆沿将线段与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季． 方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩6米篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定与的长．为此，欣欣在图2中以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题： (1)在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式； (2)求6米材料恰好用完时与的长； (3)种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段上．直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值． 6．（（24-25九年级上·福建宁德·期末）正方形的顶点T在某抛物线上，称该正方形为该抛物线的“T悬正方形”．若直线l：与“T”是正方形“以T为端点的一边相交，且点T到直线l的距离为，则称直线l为该正方形的“T悬割线”． 已知抛物线M：，其中，，，以为边作正方形（点D在点A的下方）． (1)证明：正方形是抛物线M的“A悬正方形”； (2)判断正方形是否还可能是抛物线M的“B悬正方形”，并说明理由； (3)若直线l是正方形的“A悬割线”，现将抛物线M及正方形进行相同的平移，是否存在直线l为平移后正方形的“C悬割线”的情形？若存在，请探究抛物线M经过了怎样的平移；若不存在，请说明理由． 地 城 考点03 旋转压轴题 1、 单选题 1．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，将绕点顺时针旋转得到，其中，，若C，D，E三点共线，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 二、解答题 2．（24-25九年级上·福建厦门·期末）图是某产品电子组件的平面示意图．该组件包含一个边长为的正方形电子板和一个矩形感应带．该组件的工作方式是：电子板绕点从起始位置顺时针旋转后，再绕点逆时针旋转，保持每秒的旋转速度循环往复转动，且电子板在旋转过程中不能超出感应带所围区域． (1)为尽可能节省材料，应如何设计矩形感应带的尺寸？（直接写出尺寸即可） (2)该产品用户要求加装指示灯，在产品工作过程中指示灯能按一定时间间隔闪烁，以起到提醒、警示的作用．研发团队拟在（1）的基础上采取如下方案：在点处、的延长线与的交点处、正方形电子板的边上分别加装一个传感器，电子板旋转时，当边上的传感器捕捉到与，两处传感器的距离相等时，指示灯闪烁，且两次闪烁间隔3秒．该方案是否可行？若可行，求的长；若不可行，请说明理由． 3．（24-25九年级上·福建宁德·期末）【问题情境】 在综合与实践课上，同学们以“图形的旋转”为主题展开数学探究活动．在 中，的垂直平分线分别交于点D，E，将 绕点D按顺时针方向旋转得到，点B，E的对应点分别是点F，G． 【操作探究】 (1)如图①，当落在直线上时，求证：； (2)如图②，当时，交于点H，连接．求证：四边形是平行四边形； (3)若，探究在绕点D旋转的过程中，E，F两点之间距离的取值范围是 ． 地 城 考点04 圆压轴题 一、填空题 1．（24-25九年级上·福建厦门·期末）如图，点为线段的中点，为直线上方的一动点，且满足，连接，以为腰，A为直角顶点在直线上方作等腰直角三角形，连接，当最大时，下列结论：①D、A、C、E四点共圆；②；③平分；④．其中正确的是 ． 2、 解答题 2．（24-25九年级上·福建厦门·期末）如图所示，已知与直线相切于点，等边三角形与在直线的同侧，且点，在直线上，，连接，，，是与的交点，． (1)求的长； (2)将沿射线的方向平移至． ①当点落在之间且时，判断点与线段的位置关系，并说明理由； ②在平移过程中，与交于点，是否存在的情形？若存在，请求出相应的的度数；若不存在，请说明理由． 3．（24-25九年级上·福建福州·期末）已知：顶点为A的抛物线过点和． (1)求抛物线的函数表达式； (2)直线交x轴于B；交抛物线于C，D两点（点C在点D的左侧）， ①若的面积是面积的两倍，求k的值； ②以为直径作，若与直线所截的弦长恒为定值，求t的值． 4．（24-25九年级上·福建厦门·期末）四边形是菱形，点O为对角线交点，边的垂直平分线交线段于点P（P不与O重合），连接，以点P为圆心，长为半径的圆交直线于点E，直线与直线交于点F，如图所示． (1)当时，求证：直线与相切； (2)当，时，求的度数； (3)在菱形的边长与内角发生变化的过程中，若点C与E不重合，请探究与的数量关系． 5．（24-25九年级上·福建漳州·期末）矩形中，，点O是边BC上的一个动点（不与点B重合），连接，将沿折叠，得到，再以O为圆心，长为半径作半圆，交射线于G，连接并处长交射线于F，连接，设．    (1)求证：是半圆O的切线； (2)当点E落在上时，求x的值； (3)当半圆O与的边有两个交点时，求x的取值范围． 地 城 考点05 相似压轴题 一、填空题 1．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，在矩形中，点O是对角线的中点，点M、N分别在边上，且过点O，若，则的长为 ． 二、解答题 2．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，已知在四边形中，是对角线，，是的中点．连接，交于点，过作的平行线，分别交、的延长线于点、点；连接并延长，交于点，交于点． (1)求证：； (2)若， ①求证：； ②连接，若，求证：． 3．（24-25九年级上·福建福州·期末）一款多功能桌子，若将4张此款桌子无缝拼接，恰好可以形成中间有圆形镂空的大圆桌，俯视图（从上面看物体，所得图形的形状）如图1所示，其外围及镂空边界为一大一小的同心圆，大圆的半径为，小圆的半径为，相邻两张桌子接缝的延长线皆过圆心．现将2张此款桌子先后按图2，图3的方式进行无缝拼接． (1)将拼成桌子俯视图的外围周长的值称为桌子的功能值，图2的功能值记为，图3的功能值记为． ①判断大小：_____（填“＞”，“＝”，“＜”）； ②求的大小； (2)如果一个矩形能把一个图形完全覆盖，且每条边与该图形至少有一个公共点，我们称这个矩形为该图形的占地区域．例如，若矩形能把图2完全覆盖，且边是图2大半圆的直径，其余三边与大半圆都只有一个公共点，则矩形为图2的其中一个占地区域（如图4所示）． ①请通过运算说明图4中的矩形不能是图3的占地区域； ②在图4中的矩形中，若只改变该矩形的长，宽不变，或者只改变该矩形的宽，长不变，使得调整后的矩形是图3的占地区域，请画出示意图，并写出调整后的矩形的边长（要求：画出两种符合题意的示意图并写出正确的边长，即可得满分） 4．（24-25九年级上·福建泉州·期末）在中，，E是上的一点，过点E作于点D． (1)如图1，求证：． (2)连接，平分，G是上的一点，与交于点F，，． ①如图2，当时，求的值． ②如图3，当F为的中点时，求的值． 5．（24-25九年级上·福建福州·期末）在中，为边上一点，连接，点在的延长线上，，连接，过点作于点，交于点，且． (1)当是中点时，如图1，求的度数； (2)当时，如图2． ①求的值； ②若，求的长． 地 城 考点06 反比例函数压轴题 1、 单选题 1．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，直线与反比例函数交于，两点，若，则的值为（   ） A．8 B． C．6 D． 2、 解答题 2．（24-25九年级上·福建龙岩·期末）【阅读理解】求证：对于任意正实数a、b，． 证明：， ， ，（只有当时，）． 推论：在、均为正实数中，若为定值，则；当时，有最小值． 根据上述内容，回答下列问题： 问题1：若，当　　时，有最小值为_____-． 问题2：已知，试求出函数的最小值． 问题3：如图，已知点、，点为双曲线在第一象限内的点．过点作轴于点，轴于点．试求出四边形面积的最小值，并说明此时四边形的形状． 3．（24-25九年级上·福建三明·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点， (1)求反比例函数的表达式； (2)如图，点在反比例函数的图象上且在点的右侧，过点作轴于点，连接、，交于点，若点是的中点，求的面积； (3)点在反比例函数的图象上，点坐标为，为整数，若是等边三角形，求的值．（在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．） 4．（24-25九年级上·福建福州·期末）在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于，两点，与轴和轴分别相交于，两点．经过点的直线与该反比例函数图象在第一象限内相交于另一点，且满足，连接． (1)求反比例函数的表达式； (2)如图，若直线恰好经过原点，求的值； (3)设直线与轴负半轴相交于点，当是以为底边的等腰三角形时，求点的坐标． 地 城 考点07 三点共线 1．（24-25九年级上·福建厦门·期末）如图，为等腰直角三角形，，为边的中点，将绕点顺时针旋转得到，交于点，连接． (1)证明：； (2)连接并延长，交的延长线于点，连接． ①求证：三点共线； ②用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 2．（24-25九年级上·福建南平·期末）已知抛物线顶点为． (1)求点坐标（用含的式子表示） (2)若点在抛物线上，求证 (3)若，直线与抛物线交于，两点（点在点左侧），过点作垂直于轴的直线交直线于点，求证：点，，三点共线． 3．（24-25九年级上·福建漳州·期末）已知在等边中，点E是的中点，以为斜边在的内部作，且，． (1)如图1，过点D作直线交直线于点F，且，交于点G，请直接写出线段与的数量关系； (2)将绕点C顺时针旋转到如图2所示的位置时，过点D作直线交直线于点F，且，过点B作的平行线交直线于点G，（1）的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； (3)在（2）的条件下，若，将旋转到E，D，G三点共线时，请直接写出的长度． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14 压轴题专项 6大高频考点概览 考点01 一元二次方程压轴题 考点02 二次函数压轴 考点03 旋转压轴题 考点04 圆压轴题 考点05 相似压轴题 考点06 反比例函数压轴题 考点07 三点共线 地 城 考点01 一元二次函数压轴题 1、 填空题 1．（24-25九年级上·福建泉州·期末）关于x的一元二次方程下列说法：①若c是方程的一个根，则一定有成立；②当时，则关于x的方程必有实数根；③若，则方程一定有两个不相等的实数根；④若是一元二次方程的根，则．其中正确的是 （填序号） 【答案】②③④ 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、判断是否是一元二次方程的解 【分析】本题考查一元二次方程的根的定义和判别式的性质。对于每个说法，通过代入根的定义、分析判别式或代数变形进行判断即可． 【详解】解：①若c是方程的一个根，将代入方程得：，即，这意味着或，并非“一定有”，因此说法①错误； ②由，则， 所以，， 所以，方程必有实数根，说法②正确； ③∵，， ∴， ∴， ∴， ∴方程一定有两个不相等的实数根，说法③正确； ④若是方程的根，则，即， 而， 因此，说法④正确． 故答案为：②③④． 二、解答题 2．（24-25九年级上·福建三明·期末）阅读材料：在一元二次方程中，根的判别式通常用来判断方程实数根的个数，但在实际应用中，我们也可以用根的判别式来解决部分函数的最值问题，例如：已知函数，当取何值时，取最小值，最小值为多少？ 解答： ． ，即，解得 ， 因此的最小值为， 此时，解得，符合题意， 当时，； 解决问题：请根据上述材料，解答下列问题． (1)已知函数，当取何值时，取最大值， 的最大值为多少？ (2)已知，当取何值时，取最小值，的最小值为多少？ (3)如图，已知，，是线段上一点，，，，当为何值时，取最小值，最小值是多少？ 【答案】(1)时，的最大值是； (2)当时， 的最小值是； (3)当时，取最小值，最小值是 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，勾股定理，利用是解题的关键． （1）由题意可得，根据得出，计算即可得解； （2）由题意可得，根据得出，求解即可； （3）设，，由勾股定理可得，即可得出，变形整理得，结合，求解即可． 【详解】（1）解：（1）∵， 即， ， 解得， 时，解得（经检验符合题意）， ∴时，的最大值是； （2）解：设， ， 即， ， 解得：，即的最小值是， 时，， 解得：（经检验符合题意）， ∴当时， 的最小值是； （3）解：设，则， ， ， ∴， 设，即， ， ，解得， ∴， 将代入方程得：， 解得（经检验符合题意）， ∴当时，取最小值，最小值是． 3．（24-25九年级上·福建三明·期末）已知关于的一元二次方程（为实数）． (1)求证：无论取何实数，该方程总有两个不相等的实数根； (2)设方程的两个实数根为，，且满足，求的值； (3)在方程有两个整数根的情况下，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 (3)、、 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况、公式法解一元二次方程 【分析】本题考查一元二次方程的判别式、根与系数的关系以及整数根问题． （1）通过计算判别式并完成平方，证明其恒大于零； （2）利用根与系数的关系结合给定条件列方程求解； （3）根据整数根的条件，推导根与系数的整数关系，求出所有可能的m值． 【详解】（1）证明：， ∵， ∴， 故无论取何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：设方程的两个实数根为、， 则，， ∵， ∴， 即， 又∵， 代入，得， 即， 两边乘以4，得， 整理得， 解得， ∴或； （3）解：设方程的两个整数根为、， 则，． 由，得， 代入，得， 即， 两边加1，得， ∴． ∵、为整数， ∴、为整数，且乘积为， 可能情况如下：①，，得，，； ②，，得，，； ③，，得，，； ④，，得，，； ⑤，，得，，； ⑥，，得，，； 综上，的值为、、． 地 城 考点02 二次函数压轴题 1、 单选题 1．（24-25九年级上·福建泉州·期末）已知二次函数的图象交轴于，顶点为．将该图象平移，点、点分别平移至点、点，连接，且轴．若点落在轴的正半轴上，且平移后的二次函数的图象仍然经过点，则线段的长为（    ） A．8 B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题考查二次函数图象的平移，先求出的坐标，根据轴，得到点的纵坐标为，进而推出点的纵坐标为：，根据点在轴的正半轴上，求出的值，得到抛物线向下平移了3个单位，设抛物线向右平移了个单位，得到，根据平移后的抛物线仍过点，求出的值，进而求出点的坐标，即可得出结果． 【详解】解：∵， 当时，， ∴，， ∵轴， ∴点的纵坐标为， ∴点沿着轴向上平移了个单位， ∴点也沿着轴向上平移了个单位，即：点的纵坐标为：， ∵点在轴的正半轴上， ∴， ∴， ∴， ∴点沿着轴向下平移了3个单位，即抛物线向下平移了3个单位， ∵点在轴的正半轴上， ∴设抛物线向右平移了个单位，则：新的抛物线的解析式为：， ∵平移后的抛物线仍然过点， ∴，解得：或（舍去）， ∴抛物线向右平移了个单位， ∴点平移后的坐标为：，即：， ∴； 故选D． 2、 填空题 2．（24-25九年级上·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，抛物线经过矩形的顶点和，轴．若将抛物线向左（右）平移不超过个单位长度，使其经过点，可与抛物线重合，记抛物线和在该矩形内部的部分为图象，点在图象上，则点的横坐标的取值范围是 ．（表达式中可含有，，） 【答案】或 【知识点】二次函数图象的平移、已知二次函数的函数值求自变量的值、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查了二次函数的平移、二次函数与一元二次方程、矩形的性质，解题的关键是掌握相关知识点，学会利用数形结合的思想解决问题．代入和到抛物线可得，，得到点在点的上方，利用矩形的性质得到，，利用二次函数的对称性得到抛物线也经过点，得到抛物线在、之间的部分图象在矩形内部；结合图象可得将抛物线向左平移个单位，可使其经过点，可与抛物线重合，则有抛物线，令可得抛物线恰好经过点，再利用二次函数的对称性得到抛物线也经过点，得到抛物线在、之间的部分图象在矩形内部，根据题意即可得出结论． 【详解】解：代入和到抛物线得， ，，即， 点在点的上方， 矩形，，，轴， ，， ，， 抛物线对称轴为直线，点关于直线的对称点为， 抛物线也经过点， 在矩形的边上， 抛物线在、之间的部分图象在矩形内部，且随的增大而减小； ，， 将抛物线向左平移个单位，可使其经过点，可与抛物线重合， 抛物线， 令，则， ， 解得：，， 抛物线经过点，即恰好经过点， 抛物线对称轴为直线，点关于直线的对称点为， 抛物线也经过点， 在矩形的边上， 抛物线在、之间的部分图象在矩形内部，且随的增大而增大； 记抛物线和在该矩形内部的部分为图象，点在图象上， 点在、之间的抛物线图象上，或在、之间的抛物线图象上， 点的横坐标的取值范围是或． 故答案为：或． 3．（24-25九年级上·福建福州·期末）抛物线（a，c是常数且，）经过点． 下列四个结论： ①该抛物线一定经过点； ②； ③若点，在该抛物线上，，则的取值范围为： ④若是方程的两个根，其中，则． 其中正确的是 ．（填写序号） 【答案】①②④ 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的性质及数形结合思想，掌握二次函数的基本性质并会灵活应用是解题的关键． 根据题意确定抛物线的对称轴，再根据图象与系数的关系逐个判断即可． 【详解】解：①抛物线经过点， ， ， 当时，， 该抛物线一定经过， 故此项正确； ②由①得：， ， ， ， ， ， ， 故此项正确； ③抛物线的对称轴为直线， ， 当时， ， 解得，或， 故此项错误． ④抛物线，对称轴为直线， 抛物线经过点，， ∵是方程的两个根，其中，， 所以两个根就是抛物线与直线交点的横坐标， ， ∴， 故此项正确， 故答案为：①②④． 三、解答题 4．（24-25九年级上·福建莆田·期末）综合与探究 在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，且与y轴交于点，点D是直线上方抛物线上的点． (1)求二次函数的解析式； (2)点E是y轴上任意一点，若是以为腰的等腰三角形，求点E的坐标； (3)当时，在x轴上存在一点F，连接、， 求的最小值，此时点F的坐标是多少． 【答案】(1) (2)或或 (3)最小值为， 【知识点】特殊三角形问题(二次函数综合)、线段周长问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）由待定系数法及二次函数的交点式得可设，将点代入，即可求解； （2）设，由勾股定理得，分类讨论：当时，由等腰三角形的定义得，即可求解；当时，同理可求； （3）过作轴交于，设，由待定系数法得直线解析式为，可设， 由可求出，由三角形面积得，即可求解；取关于轴的对称点，连接交轴于点，此时，，，即最小值为的长，即可求解． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点，， 且与y轴交于点， 设， 将点代入得： ， 即， 解得， ， 二次函数的解析式为． （2）解：设， ， 是以为腰的等腰三角形， 当时， ， 或， 或， 或， 当时， ， ， 解得：，， 其中与点重合， ， 点， 综上所述，或或． （3）解：过作轴交于， 设， 设直线的解析式为， 将代入得， ， 解得， 直线解析式为， ， ， ， ， ， ， 整理得：， 解得， ， 点． 取关于轴的对称点， ， 连接交轴于点， 此时， ， ，即最小值为的长， ， ， 最小值为， 设所在直线的表达式为， 则， 解得， 所在直线的表达式为， 当时， ， 解得， ． 【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法，等腰三角形的定义，勾股定理，线段和最小值问题，掌握待定系数法，能熟练利用等腰三角形腰的不同进行分类讨论及找到取得最小值的条件是解题的关键． 5．（24-25九年级上·福建莆田·期末）综合与实践 问题情境：如图1，矩形是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段组成的封闭图形，点A，B在矩形的边上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案． 方案设计：如图2，米，的垂直平分线与抛物线交于点P，与交于点O，点P是抛物线的顶点，且米．欣欣设计的方案如下： 第一步：在线段上确定点C，使，用篱笆沿线段分隔出区域，种植串串红； 第二步：在线段上取点F（不与C，P重合），过点F作的平行线，交抛物线于点D，E．用篱笆沿将线段与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季． 方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩6米篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定与的长．为此，欣欣在图2中以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题： (1)在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式； (2)求6米材料恰好用完时与的长； (3)种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段上．直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值． 【答案】(1)图见解析， (2)的长为4米，的长为2米 (3)矩形周长的最大值为米 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，建立适当坐标系求出函数表达式是解题的关键． （1）根据题意以点O为原点建立坐标系，根据垂直平分，得出，根据设抛物线的函数表达式为，将代入求出a的值即可； （2）设点E的坐标为，可得，，，根据求出m的值即可； （3）由矩形周长，即可求解． 【详解】（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系， ∵所在直线是的垂直平分线，且， ∴． ∴点B的坐标为， ∵， ∴点P的坐标为， ∵点P是抛物线的顶点， ∴设抛物线的函数表达式为， ∵点在抛物线上， ∴， 解得：． ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：∵点D，E在抛物线 上， ∴设点E的坐标为， ∵，交y轴于点F， ∴，， ∴． ∵在中，， ∴． ∴， 根据题息，得， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴． ∴， 答：的长为4米，的长为2米． （3）解：如图矩形灯带为， ，，点C在y轴的正半轴，点A在x轴的负半轴， ∴，， 设直线解析式为， 将，代入，得：， 解得， ∴直线解析式为， 同理可得，直线的表达式， 设点、、、， 则矩形周长， 故矩形周长的最大值为米． 6．（（24-25九年级上·福建宁德·期末）正方形的顶点T在某抛物线上，称该正方形为该抛物线的“T悬正方形”．若直线l：与“T”是正方形“以T为端点的一边相交，且点T到直线l的距离为，则称直线l为该正方形的“T悬割线”． 已知抛物线M：，其中，，，以为边作正方形（点D在点A的下方）． (1)证明：正方形是抛物线M的“A悬正方形”； (2)判断正方形是否还可能是抛物线M的“B悬正方形”，并说明理由； (3)若直线l是正方形的“A悬割线”，现将抛物线M及正方形进行相同的平移，是否存在直线l为平移后正方形的“C悬割线”的情形？若存在，请探究抛物线M经过了怎样的平移；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)正方形不可能是抛物线M的“B悬正方形”，理由见解析 (3)存在，要使直线l为平移后正方形的“C悬割线”，抛物线M向右平移h个单位，向上平移个单位，其中h为任意实数 【知识点】因式分解法解一元二次方程、二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质、根据正方形的性质求线段长 【分析】证明点A在抛物线M上即可； 解法一：假设点B在抛物线M上，代入解得，与矛盾，假设不成立；解法二：假设点B在抛物线M上，由和求得抛物线M的对称轴，而由抛物线M的表达式可知对称轴是，列方程解得，与矛盾，假设不成立,所以点B不在抛物线M上，从而正方形不可能是抛物线M的“B悬正方形”； 首先假设存在直线l满足情形，由平移后正方形是抛物线M的“C悬正方形”，可知平移前也为“C悬正方形”，根据正方形的性质，可求得点，即可得到平移前点、和坐标．由直线l：可判定与x轴夹角是．因为平移前，设直线l与，分别交于点P，Q，得．可得点，代入直线可求得t．设点平移后的坐标为．同理可得，得点坐标，代入直线得．即可得平移单位． 【详解】（1）解：当时，， 则点A在抛物线M上， 故正方形是抛物线M的“A悬正方形”． （2）解法一： 正方形不可能是抛物线M的“B悬正方形”，理由如下： 假设点B在抛物线M上，则当时，， 则， 化简得：，解得， 与矛盾，假设不成立， 所以点B不在抛物线M上． 故正方形不可能是抛物线M的“B悬正方形”． 解法二： 正方形不可能是抛物线M的“B悬正方形”，理由如下： 假设点B在抛物线M上， 由，可知抛物线M的对称轴， 由抛物线M：可知对称轴是． 所以，解得． 与矛盾，假设不成立． 所以点B不在抛物线M上． 故正方形不可能是抛物线M的“B悬正方形”． （3）假设存在直线l为平移后正方形的“C悬割线”的情形，则平移后，正方形是抛物线M的“C悬正方形”． ∵抛物线M及正方形进行相同的平移， ∴平移前，正方形是抛物线M的“C悬正方形”． 则点C在抛物线M上． ∵，， ∴轴． ∵ ∴， 在正方形中，，，则． ∵点C在抛物线M上， ∴． 解得：，（不合题意，舍去）． ∴． 那么平移前，，，． ∵直线l：与x轴，y轴分别交于，， ∵ ∴，直线l：与x轴夹角是． 因为平移前，直线l是正方形的“A悬割线”，如图，设直线l与，分别交于点P，Q， ∵轴， ∴， 在正方形中，， ∴． 则． ∴． ∵，， ∴， ∴， ∵点P在直线l：上， ∴， 设点平移后的坐标为． 设直线l与平移后正方形的边交于点E， 如图，同理可得：． 则． ∵点E在直线l：上， ∴， ∴． ∵抛物线M及正方形进行相同的平移， ∴要使直线l为平移后正方形的“C悬割线”，则抛物线M向右平移h个单位，向上平移个单位，其中h为任意实数． 【点睛】本题主要考查新定义下二次函数图像的性质、解一元二次方程，函数图像的平移、正方形的性质和勾股定理，解题的关键是理解新定义和熟悉函数平移． 地 城 考点03 旋转压轴题 1、 单选题 1．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，将绕点顺时针旋转得到，其中，，若C，D，E三点共线，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理．先根据旋转的性质得到，，，，则可判断和都为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到，，所以，从而得到，然后利用勾股定理计算出的长． 【详解】解：连接， ∵绕点A顺时针旋转得到， ∴，，，， ∴和都为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， 在中，． 故选：C． 二、解答题 2．（24-25九年级上·福建厦门·期末）图是某产品电子组件的平面示意图．该组件包含一个边长为的正方形电子板和一个矩形感应带．该组件的工作方式是：电子板绕点从起始位置顺时针旋转后，再绕点逆时针旋转，保持每秒的旋转速度循环往复转动，且电子板在旋转过程中不能超出感应带所围区域． (1)为尽可能节省材料，应如何设计矩形感应带的尺寸？（直接写出尺寸即可） (2)该产品用户要求加装指示灯，在产品工作过程中指示灯能按一定时间间隔闪烁，以起到提醒、警示的作用．研发团队拟在（1）的基础上采取如下方案：在点处、的延长线与的交点处、正方形电子板的边上分别加装一个传感器，电子板旋转时，当边上的传感器捕捉到与，两处传感器的距离相等时，指示灯闪烁，且两次闪烁间隔3秒．该方案是否可行？若可行，求的长；若不可行，请说明理由． 【答案】(1)应设计矩形感应带的边长为和 (2)可行， 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关的知识点，学会利用正方形和旋转的性质求线段长度是解题的关键． （1）由旋转的性质可知，绕点从起始位置顺时针旋转后，恰好落在边上，则有，连接，则有，电子板在旋转过程中不能超出感应带所围区域，则有，结合题意即可求出矩形感应带的尺寸； （2）由题意“两次闪烁间隔3秒”，分析可得当指示灯闪烁时，电子板应处于相对初始位置旋转角为的位置，结合（1）中的结论可得，设与的交点为，进而推出，得到，当边上的传感器装在点处，则符合题意，所以方案可行，再利用正方形的性质求出的长即可解答． 【详解】（1）解：电子板在起始位置时，有， 绕点从起始位置顺时针旋转后，恰好落在边上， 如图，连接，则有， 又电子板在旋转过程中不能超出感应带所围区域， ，， ，， 的最小值为，的最小值为， 尽可能节省材料， 应设计矩形感应带的边长为和． （2）解：方案可行，理由如下： 因为电子板绕点从起始位置顺时针旋转后，再绕点逆时针旋转，保持每秒的旋转速度循环往复转动，并且指示灯两次闪烁间隔3秒，根据该方案，当指示灯闪烁时，电子板应处于相对初始位置旋转角为的位置． 此时，在（1）的条件下，在正方形的对角线上，点与点重合，，设与的交点为． ， ，，． 在正方形与中，、是对角线，， ，，， ，即，． 又， ． ，，即． 若边上的传感器装在点处，当电子版处于相对于初始位置旋转角为的位置时，则指示灯闪烁，且两次闪烁间隔3秒，因此该方案可行． 在正方形中，，， ， 在中，， ． ． 3．（24-25九年级上·福建宁德·期末）【问题情境】 在综合与实践课上，同学们以“图形的旋转”为主题展开数学探究活动．在 中，的垂直平分线分别交于点D，E，将 绕点D按顺时针方向旋转得到，点B，E的对应点分别是点F，G． 【操作探究】 (1)如图①，当落在直线上时，求证：； (2)如图②，当时，交于点H，连接．求证：四边形是平行四边形； (3)若，探究在绕点D旋转的过程中，E，F两点之间距离的取值范围是 ． 【答案】（1）见解析（2）见解析（3） 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】（1）直接根据旋转的性质，中垂线的性质，得到，再根据线段的和差即可得出结论； （2）根据旋转的性质，中垂线的性质，推出，平行线的性质，得到，进而得到，得到，得到四边形为平行四边形，进而得到，得到，即可得出结论； （3）勾股定理求出的长，设，在中，勾股定理求出的值，再利用勾股定理求出的长，旋转得到，根据，即可得出结果． 【详解】解：（1）∵垂直平分， ∴， ∵绕点D按顺时针方向旋转得到， ∴， ∴， ∵落在直线上， ∴，即：； （2）∵垂直平分， ∴，， ∴， ∵绕点D按顺时针方向旋转得到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （3）∵，， ∴， ∴， ∵， ∴设， ∴， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， ∴， 在中，， ∵旋转， ∴， 连接 ∵， ∴，即：． 【点睛】本题考查中垂线的性质，旋转的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 地 城 考点04 圆压轴题 一、填空题 1．（24-25九年级上·福建厦门·期末）如图，点为线段的中点，为直线上方的一动点，且满足，连接，以为腰，A为直角顶点在直线上方作等腰直角三角形，连接，当最大时，下列结论：①D、A、C、E四点共圆；②；③平分；④．其中正确的是 ． 【答案】①③④ 【知识点】圆内知识综合(圆的综合问题)、线段问题(旋转综合题)、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，，证明，得到当D，C，H共线时，最大，再根据四点共圆的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质即可依次判断． 【详解】解：如图，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，， ∵， ∴，即， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴当D，C，H共线时，最大，如下图所示 ∵，，，， ∴、是等腰直角三角形 ∴ ∴， ∵ ∴， ∴， ∴D、A、C、E四点共圆，故①正确； ∵ ∴， ∵点C为线段的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，故②错误； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分，故③正确； ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故④正确． 综上所述，结论正确的是①③④． 故答案为：①③④ 【点睛】此题主要考查旋转的性质综合，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是根据题意将线段绕点A逆时针旋转得到线段，找到最大的情况，再进行求解． 2、 解答题 2．（24-25九年级上·福建厦门·期末）如图所示，已知与直线相切于点，等边三角形与在直线的同侧，且点，在直线上，，连接，，，是与的交点，． (1)求的长； (2)将沿射线的方向平移至． ①当点落在之间且时，判断点与线段的位置关系，并说明理由； ②在平移过程中，与交于点，是否存在的情形？若存在，请求出相应的的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①点在线段上，理由见解析；②存在， 【知识点】切线的性质定理、圆与三角形的综合(圆的综合问题)、求弧长、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）连接，设的半径，根据切线的性质可得，得到，，由勾股定理解得，最后运用弧长公式计算即可； （2）①解法一：过作于点，交的延长线于点，运用矩形的性质，勾股定理等知识可得，，，由此即可求解； 解法二：如图所示，以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，由（1）可得：点坐标为，点坐标为，平移至，连接，过作于点，则点坐标为，运用待定系数法可得直线的表达式为：，由点与直线的位置关系即可求解； ②根据题意，过作于点，交的延长线于点，可得矩形，证明，结合角的关系即可求解． 【详解】（1）解：连接，设的半径， 与直线相切于点， ， ，， 在中，，， ，即， 解得， ． （2）解：①将沿射线的方向平移至，当点落在之间且时， 解法一：点在线段上，理由如下： 过作于点，交的延长线于点， ∴四边形是矩形， ，， 点在之间，且， ． 由（1）可知， 在中，， 在等边三角形中，，， ，， 在中，， ， ， ， 点在线段上． 解法二：点在线段上，理由如下： 如图所示，以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系， 由（1）可得：点坐标为，点坐标为， 平移至，连接，过作于点， 点在之间，且， ， ， 点的坐标为， 在等边三角形中，，， ， 点坐标为， 设直线的表达式为：， 则有， 直线的表达式为：， 当时，，且， 点在线段上． ②当平移距离为时，，理由如下： 当平移距离为时，， ， ，故点与点重合， 由（1）可知， ， 在中，， 过作于点，交的延长线于点，可得矩形， ，，， 在中，， 点在上，且， ，，， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，求弧长，勾股定理，切线的性质，点与直线的位置关系，待定系数法求解析式，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，图形平移的性质，圆周角定理等知识的综合，掌握以上知识，数形结合分析是解题的关键． 3．（24-25九年级上·福建福州·期末）已知：顶点为A的抛物线过点和． (1)求抛物线的函数表达式； (2)直线交x轴于B；交抛物线于C，D两点（点C在点D的左侧）， ①若的面积是面积的两倍，求k的值； ②以为直径作，若与直线所截的弦长恒为定值，求t的值． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】其他问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合)、利用垂径定理求值、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）待定系数法求解析式即可； （2）①根据抛物线的解析式，求出点坐标，根据，当时，，得到，联立两个解析式，得到，求出，设点的横坐标为，点的横坐标为，根据的面积是面积的两倍，得到，求解即可； ②设， 根据为直径，得到点坐标，过点作轴，延长交于点，得到，垂径定理，得到，求出，勾股定理得到，化简得到，根据是定值，得到的值与的值无关，求解即可． 【详解】（1）解：∵顶点为的抛物线过点和， ∴，解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）①∵， ∴， ∵，当时，时， ∴， ∴轴，， 联立，整理，得：， ∴， 设点的横坐标为，点的横坐标为， ∵点在点的左侧，则：， ∴，， ∵的面积是面积的两倍， ∴， ∴， ∴， 整理，得：， 解得：； ②如图，直线与交于，设， ∵，为的中点， ∴， 过点作轴，延长交于点， ∵直线平行于轴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴ ， ∵为定值， ∴为定值， ∴且， ∴． 【点睛】本题属于二次函数综合题，综合考查了一次函数、二次函数、一元二次方程、勾股定理及圆的性质等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质定理是解题的关键．本题的难度较大，属于压轴题． 4．（24-25九年级上·福建厦门·期末）四边形是菱形，点O为对角线交点，边的垂直平分线交线段于点P（P不与O重合），连接，以点P为圆心，长为半径的圆交直线于点E，直线与直线交于点F，如图所示． (1)当时，求证：直线与相切； (2)当，时，求的度数； (3)在菱形的边长与内角发生变化的过程中，若点C与E不重合，请探究与的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【知识点】切线的性质和判定的综合应用、四点共圆、利用菱形的性质求线段长、线段垂直平分线的性质 【分析】（1）连接，根据菱形的性质得，，，有，根据垂直平分线的性质得，利用三角形内角和定理得．根据菱形的性质得点A在上即可． （2）由同弧所对圆周角相等得．结合菱形的性质得，可证得．由勾股定理逆定理得为直角三角形，且，利用即可求得． （3）设，分两类讨论：①当点E在延长线上时，可得：，以及，进一步求得和；②当点E在边上时，由四点共圆和同角的补角相等得结合菱形的性质有．则有，进一步求得和即可． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵四边形是菱形， ∴，，． ∴． ∵． ∴． ∵P是垂直平分线上的点， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∵垂直平分，P在上， ∴，即点A在上． ∴直线与相切． （2）由（1）得，则点D在上． ∵与同对， ∴． ∵四边形是菱形， ∴，． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴在中，． ∵由（1）得，即． ∴． ∴为直角三角形，且． ∴． 又∵， ∴． （3）设， 由（1）知：当时，直线与相切，同理：当时，直线与相切，此时，点C是切点，点E、F、C重合． 所以若点C与E不重合，可分两类讨论： ①当点E在延长线上时， 由（2）知：． ∴，即． ∵， ∴． ∴． 则． 即． ②当点E在边上时， ∵点A，E，C，D在上， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 即． 又∵， ∴． ∴． ∴． 即． 综上，或． 【点睛】本题主要考查圆与几何图形的结合，涉及菱形的性质、垂直平分线的性质、同弧所对圆周角相等、勾股定理逆定理和四点共圆，解题的关键是掌握菱形的性质和圆的相关知识． 5．（24-25九年级上·福建漳州·期末）矩形中，，点O是边BC上的一个动点（不与点B重合），连接，将沿折叠，得到，再以O为圆心，长为半径作半圆，交射线于G，连接并处长交射线于F，连接，设．    (1)求证：是半圆O的切线； (2)当点E落在上时，求x的值； (3)当半圆O与的边有两个交点时，求x的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)x的值为3 (3)综上所述，当或时，半圆O与的边有两个交点 【知识点】已知直线和圆的位置关系求半径的取值、矩形与折叠问题、证明某直线是圆的切线、用勾股定理解三角形 【分析】（1）通过翻折的性质，证明即可解答； （2）画出图形，在中根据勾股定理构建方程，即可解答； （3）将临界情况，即当半圆O与相切时；当半圆O与相切时；当半圆O经过点D时；当半圆O的圆心与点C重合时；求出此时的长度，即可解答． 【详解】（1）证明：是矩形， ， ∵沿折叠，得到， ， ， 是半圆O的半径， 是半圆O的切线． （2）解：当点E落在上时，如图2所示：    ∵沿折叠，得到， ，， ∴， ∵在中，， ∴ ∴ ∵由（1）知是半圆O的切线， ， ∴在中， ∴，解得：， 答：x的值为3． （3）分情况进行讨论： ①如图2，当半圆O与相切时，根据（2）中解答，可得；    如图3，当半圆O与相切时，．    ∴当时，半圆O与的边和各有一个交点； ②如图4，当半圆O经过点D时，连接，设圆的半径为a，    在中，可得，即 解得： 如图5，当半圆O的圆心与点C重合时，此时，， ∴当时，半圆O与的边和各有一个交点， ∴综上所述，当或时，半圆O与的边有两个交点． 【点睛】本题考查了切线的证明，翻折的性质，圆与直线的位置关系，勾股定理，画出正确的图形是解题的关键． 地 城 考点05 相似压轴题 一、填空题 1．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，在矩形中，点O是对角线的中点，点M、N分别在边上，且过点O，若，则的长为 ． 【答案】16 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，证明得出，作于，设，则，，，再由勾股定理计算得出，即可得解． 【详解】∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∵点是对角线的中点， ∴， ∴， ∴， 作于， 设， ∵， ∴， ∴， ∵点是对角线的中点，， ∴是的中点， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：． 二、解答题 2．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，已知在四边形中，是对角线，，是的中点．连接，交于点，过作的平行线，分别交、的延长线于点、点；连接并延长，交于点，交于点． (1)求证：； (2)若， ①求证：； ②连接，若，求证：． 【答案】(1)见详解 (2)①见详解；②见详解 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、圆周角定理、判断确定圆的条件 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定、圆的基本性质及圆周角定理，熟练掌握相似三角形的性质与判定、圆的基本性质及圆周角定理是解题的关键； （1）由题意易得，然后问题可求解； （2）①由题意易得，，则有，由（1）可知，进而问题可求证；②由题意易得点D、C、B三点在以点A为圆心，半径为的圆上，则有，然后可得，则有，进而可设，则有，则有，所以有，最后问题可求证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴； （2）证明：①∵，是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 由（1）可知：，即， ∴， ∴； ②由可知：点D、C、B三点在以点A为圆心，半径为的圆上，如图， ∴， 由①可知：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则有， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 3．（24-25九年级上·福建福州·期末）一款多功能桌子，若将4张此款桌子无缝拼接，恰好可以形成中间有圆形镂空的大圆桌，俯视图（从上面看物体，所得图形的形状）如图1所示，其外围及镂空边界为一大一小的同心圆，大圆的半径为，小圆的半径为，相邻两张桌子接缝的延长线皆过圆心．现将2张此款桌子先后按图2，图3的方式进行无缝拼接． (1)将拼成桌子俯视图的外围周长的值称为桌子的功能值，图2的功能值记为，图3的功能值记为． ①判断大小：_____（填“＞”，“＝”，“＜”）； ②求的大小； (2)如果一个矩形能把一个图形完全覆盖，且每条边与该图形至少有一个公共点，我们称这个矩形为该图形的占地区域．例如，若矩形能把图2完全覆盖，且边是图2大半圆的直径，其余三边与大半圆都只有一个公共点，则矩形为图2的其中一个占地区域（如图4所示）． ①请通过运算说明图4中的矩形不能是图3的占地区域； ②在图4中的矩形中，若只改变该矩形的长，宽不变，或者只改变该矩形的宽，长不变，使得调整后的矩形是图3的占地区域，请画出示意图，并写出调整后的矩形的边长（要求：画出两种符合题意的示意图并写出正确的边长，即可得满分） 【答案】(1)①＝；② (2)①见解析；②见解析 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、求弧长、根据矩形的性质求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】（1）①利用弧长公式分别计算，，再比较即可；②直接运用弧长公式计算即可； （2）①先由勾股定理求得矩形的对角线长为，补全两个圆心，连接交于点，根据勾股定理得，可得，再比较即可得出结论；②根据题意设计出方案并画出示意图即可． 【详解】（1）解：①∵， ， ∴ 故答案为：=； ②； （2）解：①根据题意，得矩形的边长分别为，， 根据勾股定理可得矩形的对角线长为． 如图补全两个圆心，连接交于点， ． 又， ， ． 根据勾股定理得， ． ，即无法在矩形内部， 矩形无法完全覆盖图3， 矩形不能是图3的占地区域． ②方案一：如图， 由题意，得，由①， ∴ ∴调整后的矩形的长为，宽为． 方案二：如图， 设矩形长与弧相切于E、F， 由题意，得，，，， ∴ ∴四边形、四边形都是矩形， ∴矩形的宽为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即 ∴，， 同理可得， ∴ ∴调整后的矩形的长为，宽为. 方案三： 此时，长为，宽为 方案四： 此时，宽为，长为 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，弧长公式，勾股定理，矩形的性质等知识，关键是要熟练掌握相似三角形的判定与性质，弧长公式，勾股定理，矩形的性质，并学会进行方案设计． 4．（24-25九年级上·福建泉州·期末）在中，，E是上的一点，过点E作于点D． (1)如图1，求证：． (2)连接，平分，G是上的一点，与交于点F，，． ①如图2，当时，求的值． ②如图3，当F为的中点时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、相似三角形的判定与性质综合、全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据题意可证，由此即可求证； （2）①在中，运用勾股定理可得，根据垂直的定义可得，可证，由此即可求解； ②根据平分，由角平分线的性质定理可得，可证，由（1）可知，可得，过点C作，与延长线交于点H，则，可证，得到，则，由相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴ 又， ∴， ∴， 即； （2）解：①∵在中，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； ②∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， 则， 由（1）知，， 则， ∵， ∴， 解得， 过点C作，与延长线交于点H，如图， 则， ∴， 又点F是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 【点睛】本题主要考查全等三角形和相似三角形．熟练掌握角平分的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形角的性质，中点性质，是解题的关键． 5．（24-25九年级上·福建福州·期末）在中，为边上一点，连接，点在的延长线上，，连接，过点作于点，交于点，且． (1)当是中点时，如图1，求的度数； (2)当时，如图2． ①求的值； ②若，求的长． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合、等边对等角、用勾股定理解三角形 【分析】（1）先证明，，再利用三角形内角和定理求解； （2）①，则，再设，则，利用勾股定理求出，即可得求解； ②先证明，得出，即，从而求得，．再过点作，证得，然后利用平行线分线段成比例可求解． 【详解】（1）解： 为中点， ． ， ， ， ． ， ． ， ， ，即， ． （2）解：①， 设，则． 在中，， ． 设，则， ， 解得， 即， ． ②， ， ． ， ． ， ， ． ， ， ， ， ， ． 过点作， ， ， ． ， ， ， ， ，解得， ． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是学会利用参数解决问题． 地 城 考点06 反比例函数压轴题 1、 单选题 1．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，直线与反比例函数交于，两点，若，则的值为（   ） A．8 B． C．6 D． 【答案】B 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、一元二次方程的根与系数的关系、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查一次函数与反比例函数交点问题，一元二次方程根与系数的关系，联立直线与反比例函数得到，设方程的两个根为，，利用一元二次方程根与系数的关系得到，，利用完全平方公式变形得到，再结合直线与轴交于点与建立等式求解，即可解题． 【详解】解：联立，得到， ， 设方程的两个根为，， ，， ， ， ， 直线与轴交于点， ， ． 故选：B． 2、 解答题 2．（24-25九年级上·福建龙岩·期末）【阅读理解】求证：对于任意正实数a、b，． 证明：， ， ，（只有当时，）． 推论：在、均为正实数中，若为定值，则；当时，有最小值． 根据上述内容，回答下列问题： 问题1：若，当　　时，有最小值为_____-． 问题2：已知，试求出函数的最小值． 问题3：如图，已知点、，点为双曲线在第一象限内的点．过点作轴于点，轴于点．试求出四边形面积的最小值，并说明此时四边形的形状． 【答案】问题1：4；8 问题2：8 问题3：最小值12，四边形ABCD是菱形 【知识点】反比例函数与几何综合、证明四边形是菱形 【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，菱形的判定与性质，掌握反比例函数的性质是解答本题的关键． 问题1：根据【阅读理解】可知，当时有最小值8，即可求出答案； 问题2：根据【阅读理解】右知，当时，有最小值6，可求出答案； 问题3：设点，得出，得出当时，四边形的面积有最小值，再求出点，坐标，即可判断出四边形的形状． 【详解】解：问题1：由【阅读理解】知，当，即（舍去）或时，有最小值， 故答案为：4；8； 问题 ； 由【阅读理解】知，当，即（舍去）或时，有最小值， 当时，函数有最小值； 问题3：设点，其中， 轴，轴， ，， ， ， ， ， ， ， 只有当，即时，有最小值12， 此时，， ，， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 3．（24-25九年级上·福建三明·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点， (1)求反比例函数的表达式； (2)如图，点在反比例函数的图象上且在点的右侧，过点作轴于点，连接、，交于点，若点是的中点，求的面积； (3)点在反比例函数的图象上，点坐标为，为整数，若是等边三角形，求的值．（在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．） 【答案】(1) (2) (3)的值为1或 【知识点】反比例函数与几何综合、含30度角的直角三角形、全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）将代入得，于是得到结论； （2）由轴，得到，根据点是的中点，得到，得到点和点横坐标相等，将代入得到，求得点坐标为，解方程得到的解析式为，得到点坐标为，根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）①当在轴正半轴时，如图1，在延长线上取点，使得，在延长线上取点使得，过点作轴于点1，得到，在中，，得到，求得，设，则，根据勾股定理得到(负值舍去)，求得，根据全等三角形的性质得到，求得，得到点坐标为，解方程得到； ②当在轴负半轴时，如图2在延长线上取点，使得，在延长线上取点，使得，过点作轴于点，根据等边三角形的性质得到，求得，根据勾股定理得到(负值舍去)，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：将代入，得，解得：， ∴反比例函数的表达式为． （2）解：∵轴， ∴， ∵点是的中点， ∴，， ∵轴于点， ∴点和点横坐标相等， 将代入得， ∴点坐标为， 设的解析式为，将代入得，解得， ∴的解析式为， 将代入，得， ∴点坐标为， ∴， ∴； （3）解：①当在轴正半轴时，如图1 在延长线上取点，使得，在延长线上取点，使得，过点作轴于点，                图1 ∵为等边三角形， ∴，， 在中，， ∴，， 设，则， 由勾股定理得， 即， 解得（负值舍去）， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴，， ∴， ∴点坐标为， ∵为反比例上的点， ∴， 即， ∵为整数且在轴正半轴上， ∴； ②当在轴负半轴时，如图2                  图2 在延长线上取点，使得，在延长线上取点，使得， 过点作轴于点， ∵为等边三角形， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 设，则，由勾股定理得， 即，解得（负值舍去）， ∴，，， 同理可证：， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点坐标为， ∵为反比例上的点， ∴，即， ∵为整数且在轴负半轴上， ∴， ∴综上所述，的值为1或． 【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积的计算，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 4．（24-25九年级上·福建福州·期末）在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于，两点，与轴和轴分别相交于，两点．经过点的直线与该反比例函数图象在第一象限内相交于另一点，且满足，连接． (1)求反比例函数的表达式； (2)如图，若直线恰好经过原点，求的值； (3)设直线与轴负半轴相交于点，当是以为底边的等腰三角形时，求点的坐标． 【答案】(1)反比例函数为 (2) (3) 【知识点】已知两点坐标求两点距离、公式法解一元二次方程、一次函数与反比例函数的其他综合应用、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）把代入可得，再利用待定系数法求解反比例函数解析式即可； （2）如图，记与轴的交点为，设为：，可得，同理：，证明，可得直线为，求解，，再利用待定系数法求解即可； （3）由（2）得：，，设直线为，可得直线为，同理可得：直线与轴的交点，而，，表示，，再结合等腰三角形的定义建立方程求解即可. 【详解】（1）解：∵直线与反比例函数的图象相交于， ∴，即， ∴， ∴， ∴反比例函数为； （2）解：如图，记与轴的交点为， ∵， ∴设为：， 当时，， ∴， 同理：， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴直线为， ∴， 解得：或， ∴， 同理：， 解得：或， ∴， 设直线的解析式为：， ∴，解得：，（舍去）， ∴； （3）解：由（2）得：，， 设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为， 同理可得：直线与轴的交点，而，， ∴， ， ∵是以为底边的等腰三角形时， ∴， ∴， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴. 【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的应用，等腰三角形的定义，勾股定理的含义，一元二次方程的解法，本题的计算量大，难度大，确定合适的计算方法是关键. 地 城 考点07 三点共线 1．（24-25九年级上·福建厦门·期末）如图，为等腰直角三角形，，为边的中点，将绕点顺时针旋转得到，交于点，连接． (1)证明：； (2)连接并延长，交的延长线于点，连接． ①求证：三点共线； ②用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②；理由见解析 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、根据旋转的性质求解 【分析】（1）根据证明三角形全等即可； （2）①根据，得出，证明，得出，证明，得出，证明，得出，求出，即可证明结论； ②过点N作于点F，过点M作于点G，求出，得出，证明、为等腰直角三角形， 得出，，证明，求出，得出，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵将绕点顺时针旋转得到， ∴，，， ∵为等腰直角三角形，为边的中点， ∴， ∴， ∴； （2）证明：①∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵为等腰直角三角形，为边的中点， ∴，， ∴， 根据旋转可知，，，， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴三点共线； ②；理由如下： 过点N作于点F，过点M作于点G，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴、为等腰直角三角形， ∴，， 根据旋转可知，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，旋转的性质，三角形内角和定理的应用，四边形内角和定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握全等三角形的判定方法． 2．（24-25九年级上·福建南平·期末）已知抛物线顶点为． (1)求点坐标（用含的式子表示） (2)若点在抛物线上，求证 (3)若，直线与抛物线交于，两点（点在点左侧），过点作垂直于轴的直线交直线于点，求证：点，，三点共线． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】其他问题(二次函数综合)、求一次函数解析式、一元二次方程的根与系数的关系、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】（1）直接利用二次函数顶点坐标公式求解即可． （2）将给定点代入抛物线方程得到和的表达式，计算并利用平方非负性证明不等式． （3）联立直线与抛物线方程得到交点坐标关系，待定系数法求出直线解析式和直线解析式，利用根与系数关系，并通过代数变换证明点在直线上，从而证得三点共线． 【详解】（1）解：∵抛物线顶点为， ∴点横坐标为，纵坐标为， ∴点坐标为． （2）证明：∵在抛物线上， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）证明：∵， ∴抛物线解析式为，顶点的坐标为， ∵直线与抛物线交于，两点， ∴联立， ，整理得， 设交点、，且， 则， 过点作垂直于轴的直线交直线于点， 故， 要证，，三点共线，即证点在直线上， 设直线解析式为， 代入，到，可得， 解得：，， ∴直线解析式为； 设直线解析式为， 代入，到，可得， 解得：，， ∴直线解析式为， ∵， ∴， 代入， 又∵， 代入得， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴，整理可得， ∴， ∴点在直线上，即，，三点共线． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，一次函数与二次函数，根与系数关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． 3．（24-25九年级上·福建漳州·期末）已知在等边中，点E是的中点，以为斜边在的内部作，且，． (1)如图1，过点D作直线交直线于点F，且，交于点G，请直接写出线段与的数量关系； (2)将绕点C顺时针旋转到如图2所示的位置时，过点D作直线交直线于点F，且，过点B作的平行线交直线于点G，（1）的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； (3)在（2）的条件下，若，将旋转到E，D，G三点共线时，请直接写出的长度． 【答案】(1) (2)（1）中的结论仍然成立，具体见解析 (3)的长为或 【知识点】含30度角的直角三角形、平行四边形性质和判定的应用、等边三角形的判定和性质、根据旋转的性质求解 【分析】（1）先根据是等边三角形，得，再根据，，，证、是等边三角形，根据，得到，最终可证． （2）根据，的特点延长至H，使得，证得是等边三角形，再证得，进而得到， 又结合， 可证， 再结合， 证四边形为平行四边形， 最终可证得． （3）根据题意，把符合题意的图形画出，存在两种情况：分别根据勾股定理进行计算即可． 【详解】（1）解： ∵是等边三角形， ， ，， ， ，， 是等边三角形，是等边三角形，， ， ，， ，即， ． （2）解：（1）中的结论仍然成立． 证明：如图1，延长至H，使得，连接、，并延长交于K，设与交于点， ，， ，， 又， ， ， 是等边三角形， ， ， 又在等边中，， ， ， 又， ， 又， ， ， 又， 四边形为平行四边形， ， 又， ； （3）解：的长为或； ①如图2，E，D，G三点共线时，， 在中，， ，， 在中，， ， ； ②如图3，E，D，G三点共线时，同①得， ； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形，勾股定理以及全等三角形的判定与性质的运用，第二问的关键是作辅助线构造全等三角形，第三问利用数形结合的思想和分类讨论的思想解决问题． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $