专题13 二次函数与几何综合（期末真题汇编，福建专用）九年级数学上学期

专题13 二次函数与几何综合 6大高频考点概览 考点01 面积问题 考点02 角度问题 考点03 线段问题 考点04 二次函数与三角形 考点05 二次函数与四边形 考点06 二次函数与圆 地 城 考点01 面积问题 1．（24-25九年级上·福建泉州·期末）已知抛物线的顶点为P，A、B、C、D是抛物线上的四点，且线段都垂直于抛物线的对称轴．如果，那么的值等于 ． 2．（24-25九年级上·福建莆田·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于，两点（点在点的左侧），其顶点为，是抛物线第四象限上一点． (1)求线段的长； (2)若的面积与的面积相等，求点的坐标． 3．（24-25九年级上·福建龙岩·期末）如图1，抛物线与轴交于点，与轴交于A，B两点，点A在点左侧，点的坐标为，． (1)求抛物线的解析式； (2)已知点D、F在抛物线上，点的横坐标为,点的横坐标为．过点作轴的垂线交直线于点．过点作轴的垂线交直线于点． ①如图2，连接，求四边形面积的最大值及此时点D的坐标； ②如图3，连接和，试探究与的面积之和是否为定值吗?若是，请求出来；若不是，请说明理由． 4．（24-25九年级上·福建漳州·期末）已知抛物线，顶点为点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求顶点坐标； (2)求的面积； (3)点是直线上方抛物线上的点且不同于顶点，是否存在点，使得和面积相等？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由？ 地 城 考点02 角度问题 1．（24-25九年级上·福建福州·期末）已知抛物线，顶点为． (1)求b，c的值； (2)若，抛物线与直线相交，P为y轴右侧抛物线C上一动点，过P作直线轴交x轴于点N，交直线L于M点，设P点的横坐标为m，当时，求m的值； (3)已知点、，若点A、B均为y轴右侧抛物线C上两动点，且，求证：直线经过一个定点． 2．（24-25九年级上·福建南平·期末）已知抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴为直线． (1)求的长； (2)点为上方抛物线上的一动点，若的面积是面积的一半，求点的横坐标； (3)过点的直线与抛物线的另一个交点为，若，求点的坐标． 3．（24-25九年级上·福建莆田·期末）如图1，抛物线过点，点，与y轴交于点C．M是抛物线上任意一点． (1)求抛物线的解析式、直接写出直线解析式． (2)如图1，设M的横坐标为m（），连接，交于点D，连接，设的面积为，的面积为，求的最大值． (3)当时，求点M的坐标 地 城 考点03 线段问题 1．（24-25九年级上·福建福州·期末）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且点A的坐标为，点C的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线距离的最大值． 2．（24-25九年级上·福建泉州·期末）已知抛物线（，，为常数，）．抛物线顶点为，与轴分别交于点A，（点A在点左边），为等腰直角三角形． (1)当，，抛物线经过点和，求抛物线的解析式； (2)求的值； (3)若经过点的直线与抛物线只有一个公共点，抛物线的对称轴与轴交于点，与直线交于点，求证：点是线段的中点． 地 城 考点04 二次函数与三角形 1．（24-25九年级上·福建宁德·期末）已知二次函数的图象与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点，顶点为． (1)求该二次函数的解析式； (2)过A、C两点作直线，并将线段沿该直线向上平移，记点A、C分别平移到点D、E处．若点F在这个二次函数的图象上，且是以为斜边的等腰直角三角形，求点F的坐标； (3)已知点满足，点M、N分别是x轴、直线上的动点，当的最小值为时，求n的值． 2．（24-25九年级上·福建福州·期末）已知：抛物线． (1)求证：抛物线与轴总有两个交点； (2)若抛物线与轴的交点为均为整数，且，求出的值． (3)在第（2）问的条件下，当时，抛物线上是否存在点，使得是直角三角形．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（24-25九年级上·福建漳州·期末）已知抛物线：与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，为等腰直角三角形，且． (1)求抛物线的解析式； (2)将向上平移一个单位得到，点M、N为抛物线上的两个动点，O为坐标原点，且，连接点M、N，过点O作于点E，求点E到y轴距离的最大值； (3)如图，若点F的坐标为，直线l分别交线段，（不含端点）于G、H两点．若直线l与抛物线有且只有一个公共点，设点G的横坐标为b，点H的横坐标为a，则是定值吗？若是，求出定值，若不是，请说明理由． 地 城 考点05 二次函数与四边形 1．（24-25九年级上·福建龙岩·期末）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找出一点Q，使的值最小，并求出点Q的坐标． (3)点P是抛物线上位于直线上方的点，连接，P点的横坐标为m，，请写出S与m的函数关系，并求S的最大值． (4)在平面直角坐标系中，是否存在一点E，使得以E、A、B、C四个点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点E坐标；若不存在，请说明理由． 2．（24-25九年级上·福建三明·期末）如图，在平面直角坐标系中已知抛物线与直线都经过两点，该抛物线的顶点为． (1)求此抛物线的解析式． (2)设点是直线下方抛物线上的一动点，连接，，请求出的最大面积是多少． (3)设直线与该抛物线的对称轴交于点，点为射线上一点，过作轴的垂线交抛物线于点，是否存在点，使点，，，是平行四边形的四个顶点？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（24-25九年级上·福建龙岩·期末）如图，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点． (1)求这个二次函数的解析式． (2)若点在线段上运动（点与点、点不重合），求面积的最大值， (3)若点在轴上运动，则在轴上是否存在点，使以为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标：若不存在，请说明理由． 地 城 考点06 二次函数与圆 1．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，二次函数交坐标轴于A，B，C，点Q在以C为圆心半径为1的圆上运动，P为中点，的最小值是 ． 2．（24-25九年级上·福建厦门·期末）如图，二次函数的图像与轴分别交于点（点A在点的左侧），直线是对称轴．点在函数图像上，其横坐标大于4，连接，过点作，垂足为，以点为圆心，作半径为的圆，与相切，切点为．      (1)求点的坐标； (2)若以的切线长为边长的正方形的面积与的面积相等，且不经过点，求长的取值范围． 3．（24-25九年级上·福建莆田·期末）如图，抛物线交y轴于点，且过点点B是抛物线M上一个动点，过B作，以B为圆心，2为半径的圆交直线于D、E两点（点E位于点D下方） (1)求抛物线M的解析式； (2)连接交于点F，连接．若是以为直角边的直角三角形，求的度数； (3)取的中点Q，连接，求线段的最小值．（直接写出答案） 4．（24-25九年级上·福建福州·期末）已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C． (1)直接写出A，B，C三点的坐标； (2)过A，B两点作，交抛物线于点D（点D在对称轴右侧），若，求点M的坐标； (3)如图2，点Q是抛物线对称轴上，纵坐标为的点，点E是对称轴上抛物线下方的动点，以点Q为圆心，为半径作圆交抛物线于点F（点F在对称轴右侧），求证：直线与抛物线有唯一公共点． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 二次函数与几何综合 6大高频考点概览 考点01 面积问题 考点02 角度问题 考点03 线段问题 考点04 二次函数与三角形 考点05 二次函数与四边形 考点06 二次函数与圆 地 城 考点01 面积问题 1．（24-25九年级上·福建泉州·期末）已知抛物线的顶点为P，A、B、C、D是抛物线上的四点，且线段都垂直于抛物线的对称轴．如果，那么的值等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查抛物线的顶点式、对称轴性质，以及几何图形中三角形面积的计算，解题的关键在于理解线段与对称轴垂直的几何意义，进而确定点的坐标，计算面积比． 先根据抛物线的顶点式确定顶点坐标为和对称轴为直线，再根据对称轴性质设点坐标为，点坐标为，点坐标为，点坐标为，进而求得的纵坐标，以及，的纵坐标，再利用底和高的关系，求出面积比． 【详解】解：∵抛物线方程为， ∴顶点为，对称轴为直线， ∵线段、都垂直于抛物线的对称轴， ∴线段、为水平方向，中点在对称轴上， ∴设点坐标为，点坐标为，点坐标为，点坐标为， ∴的纵坐标：， 的纵坐标为：， ∴的面积：底为，高为顶点到的垂直距离，面积为， 的面积：底为，高为顶点到的垂直距离，面积为， ∴面积比为， 故答案为：． 2．（24-25九年级上·福建莆田·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于，两点（点在点的左侧），其顶点为，是抛物线第四象限上一点． (1)求线段的长； (2)若的面积与的面积相等，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、求x轴与抛物线的截线长、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点问题，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键； （1）先求出、的坐标，然后根据两点间距离公式求解即可； （2）先求出顶点的坐标，直线解析式为，过作轴交轴于，轴交于，设，，得出，根据面积相等建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：令， ∴， 解得： ∴， ∴ ∴， （2）过作轴交轴于，轴交于，如图： ， ， 由，得直线解析式为， 设，， 在中，令得， ， ， ； 的面积与的面积相等， 而， ， 解得（舍去）或， 3．（24-25九年级上·福建龙岩·期末）如图1，抛物线与轴交于点，与轴交于A，B两点，点A在点左侧，点的坐标为，． (1)求抛物线的解析式； (2)已知点D、F在抛物线上，点的横坐标为,点的横坐标为．过点作轴的垂线交直线于点．过点作轴的垂线交直线于点． ①如图2，连接，求四边形面积的最大值及此时点D的坐标； ②如图3，连接和，试探究与的面积之和是否为定值吗?若是，请求出来；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)①四边形面积的最大值为2，此时点D的坐标为；②与的面积之和是定值为2. 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）根据可得，利用待定系数法求解即可． （2）①先利用待定系数法求出直线的表达式为，由点D、F在抛物线上，点M、N在直线上，可得，，，，由，可得，再根据顶点坐标公式即可求得四边形面积的最大值为2，此时点D的坐标为； ②将与的面积用含有m的式子表示出来再求和，即可得到结果． 【详解】（1）解：∵点的坐标为， ∴， ∵． ∴， ∴， 将，代入中， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：由得， ，， ∴，． 设直线的表达式为， 则， 解得， ∴直线的表达式为． ∵点D、F在抛物线上，且点的横坐标为．点的横坐标为． ∴点的纵坐标为， 点F的纵坐标为， ∴，， ∵轴，轴， ∴， ∴点M的横坐标为．点N的横坐标为． ∵点M、N在直线上， ∴点M的纵坐标为， 点N的纵坐标为， ∴，， ∴， ， ∴ ， 对称轴为，开口向下， ∵， ∴当时，， 此时，D点的坐标为． ②与的面积之和是定值，理由如下： ∵ ， ， ∴， ∴与的面积之和是定值，为2． 【点睛】本题考查了二次函数与几何综合，利用待定系数法求二次函数和一次函数的表达式．熟练掌握二次函数的性质，以及数形结合的思想是解题的关键． 4．（24-25九年级上·福建漳州·期末）已知抛物线，顶点为点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求顶点坐标； (2)求的面积； (3)点是直线上方抛物线上的点且不同于顶点，是否存在点，使得和面积相等？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由？ 【答案】(1) (2)3 (3)存在； 【知识点】求一次函数解析式、y=a（x-h）²+k的图象和性质、图形问题(实际问题与二次函数)、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了二次函数顶点式的性质，二次函数与几何图形面积的计算方法，掌握二次函数顶点式的计算，二次函数与几何图形面积的计算方法阿是解题的关键． （1）把二次函数一般式化为顶点式即可求解； （2）根据二次函数与坐标轴的交点的计算方法可得，，运用待定系数法求出直线的解析式，如图所示，过点作轴于点，交于点，可得，根据∴，即可求解； （3）根据题意，点是直线上方抛物线上的点且不同于顶点，过点作轴于点，交于点，设，计算方法如（2），由此即可求解． 【详解】（1）解：已知抛物线，顶点为点， ∴， ∴顶点坐标； （2）解：令，则， ∴， 令，则， 解得，， ∴， 设直线的解析式为，把代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 如图所示，过点作轴于点，交于点， ∴点的横坐标为， 把代入直线得，， ∴， ∴，， ∴， ∴的面积为3； （3）解：如图所示， ∵点是直线上方抛物线上的点且不同于顶点，过点作轴于点，交于点， ∴设， ∴点的横坐标为， ∴，即 ∴， 根据（2）的计算方法得，， ∴， ∴， 解得，（不符合题意，舍去），， 当时，， ∴， ∴存在点，使得和面积相等，坐标为． 地 城 考点02 角度问题 1．（24-25九年级上·福建福州·期末）已知抛物线，顶点为． (1)求b，c的值； (2)若，抛物线与直线相交，P为y轴右侧抛物线C上一动点，过P作直线轴交x轴于点N，交直线L于M点，设P点的横坐标为m，当时，求m的值； (3)已知点、，若点A、B均为y轴右侧抛物线C上两动点，且，求证：直线经过一个定点． 【答案】(1)， (2)或 (3)见解析 【知识点】求一次函数解析式、y=a（x-h）²+k的图象和性质、线段周长问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合) 【分析】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数图象上点的坐标特点、二次函数与一次函数的交点、二次函数与一元二次方程的关系等知识，熟练掌握二次函数的相关知识，灵活应用数形结合思想是解题的关键． （1）根据抛物线的顶点式即可解答； （2）设点的坐标为，则点，根据构建关于的方程求解即可，注意取舍； （3）作点关于轴的对称点，连接，如图，先证明三点共线，设点，则点，联立方程组利用根与系数的关系求出，再利用待定系数法求出直线的解析式是，进而可得结论． 【详解】（1）解：设这个抛物线的表达式为， ∵这个抛物线的顶点是， ∴这个抛物线的表达式， ∴，； （2）解：当时，抛物线的表达式为， ∵P为y轴右侧抛物线C上一动点， ∴设点P的坐标为，则点， ∵， ∴， ∴（舍去）或或或（舍去）， ∴或； （3）解：作点A关于y轴对称的对应点M， ∵抛物线关于y轴对称， ∴点M在抛物线上， 连接， ∵， ∴M，P，B三点共线， 设，则点， 设直线的解析式为， 得， ∴， ∴直线的解析式为， ∵点B，点M是抛物线C与直线的交点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 把的值代入得，， ∴点B的坐标为． ∵， ∴同理可求直线的解析式为． 当时，， ∴直线恒过一个定点，定点坐标为． 2．（24-25九年级上·福建南平·期末）已知抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴为直线． (1)求的长； (2)点为上方抛物线上的一动点，若的面积是面积的一半，求点的横坐标； (3)过点的直线与抛物线的另一个交点为，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)4或2 (3) 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、求抛物线与x轴的交点坐标、面积问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合) 【分析】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （1）根据对称轴为直线，求出的值，即可得出抛物线的表达式，令，即可得到，两点的横坐标，即可求解． （2）由，，三点的坐标可求的面积，设点，将的面积表示出来，即可求解； （3）设直线与轴交于点，证明，则，得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ， ． ． 令，则， ，． ，． ． （2）解：当时，， ． ． ． 设直线的表达式为：， 将点的坐标代入得：，则． 则直线的表达式为：． 如图，过点作轴交于， 设，则， ． ， ，． ∴点的横坐标为4或2． （3）解：如图，设直线与轴交于点， 则， ． ∴． ． ． 由点的坐标得，， 解得． ∴直线的解析式为：． 令， 解得：，． ． 3．（24-25九年级上·福建莆田·期末）如图1，抛物线过点，点，与y轴交于点C．M是抛物线上任意一点． (1)求抛物线的解析式、直接写出直线解析式． (2)如图1，设M的横坐标为m（），连接，交于点D，连接，设的面积为，的面积为，求的最大值． (3)当时，求点M的坐标 【答案】(1)抛物线的解析式为：；直线的解析式为： (2)见解析 (3)M的坐标为或 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的最值、角度问题(二次函数综合) 【分析】（1）利用两点式求抛物线的表达式，进而得出直线的解析式； （2）先用表示出，再利用配方法求出最值； （3）分M在直线下方，M在直线上方两种情况讨论，分别求出M点的坐标即可． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为， 则， 则，解得， ∴抛物线的解析式为：， 直线的解析式为：； （2） ∵， ∴当时取得最大值2； （3）①当M在直线下方时， 作点A关于y轴的对称点D， 由对称可知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点M在直线上， ∵， ∴， 设直线的解析式为：， 将、代入得：解得：， ∴直线的解析式为：， 联立方程得：， 解得： (舍去），， 将代入，得， ∴； ②当M在直线上方时， 作点D关于直线的对称点， ∴， ∴， ，(由①得)，， ∴， ∴点M在直线上， 设直线的解析式为：， 将、代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， 联立方程得：， 解得： (舍去），， 将代入，解得， ∴， 综上所述M的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，求一次函数解析式，的最值，角度问题(二次函数综合)，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 地 城 考点03 线段问题 1．（24-25九年级上·福建福州·期末）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且点A的坐标为，点C的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线距离的最大值． 【答案】(1) (2) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】（1）把点A、C的坐标代入解析式，求解即可； （2）过作于点，过点作轴交于点，证明是等腰直角三角形，得，当最大时，最大，运用待定系数法求直线解析式为，设，则，求得的长，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，， ∴，解得， ∴该抛物线的解析式为． （2）解：如图，过作于点，过点作轴交于点， ∵，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴， ∴当最大时，最大， 设直线解析式为， 将代入得， ∴， ∴直线解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，最大为， ∴此时最大为，即点到直线的距离最大值为． 【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，二次函数的性质．熟知几何图形的性质利用数形结合是解题的关键． 2．（24-25九年级上·福建泉州·期末）已知抛物线（，，为常数，）．抛物线顶点为，与轴分别交于点A，（点A在点左边），为等腰直角三角形． (1)当，，抛物线经过点和，求抛物线的解析式； (2)求的值； (3)若经过点的直线与抛物线只有一个公共点，抛物线的对称轴与轴交于点，与直线交于点，求证：点是线段的中点． 【答案】(1) (2)4 (3)见解析 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、抛物线与x轴的交点问题、图形问题(实际问题与二次函数)、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）为等腰直角三角形，则直角，求出，根据抛物线经过点M、N得出对称轴，从而得出,据此即可解答； （2）抛物线与x轴分别交于点A、B，由根与系数的关系、判别式以及为等腰直角三角形求出点C坐标，根据即可解答； （3）由经过点B的直线l与抛物线只有一个公共点，先设出直线l解析式，再得出关于x的一元二次方程有且只有一个实数根，由得出，由（2）得：，即，再分和两种情况解答即可． 【详解】（1）解：由题意得：为等腰直角三角形，即， 如图过点C作于点E， ∴， 抛物线经过点和， 则抛物线对称轴为，即, ∴, 当时，即，解得：或， ∴， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴， 把点代入得：，解得：， ∴， ∴抛物线的解析式为． （2）解：抛物线与x轴分别为交于点A、B （点A在点B左边）， 设，即是关于x的一元二次方程的两个不相等的根， ∴， ∴， ∴， ， ∴|， ∵， ∴，即， ∴， ∴． （3）证明：∵直线l与抛物线的对称轴交于点F， 直线l经过点，设直线l：， 则关于x的一元二次方程有且只有一个实数根， 即有且只有一个实数根，，即， 由（2）得：，即， ①当时，，，即, ∴，解得：， ∴直线l：， 当时，， ∴， ∴； ②当时，，，即, ∴，解得：， ∴直线l：， 当时，， ∴， ∴； 综上所述：时，；时，． ∴点C是线段的中点． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用、二次函数的解析式的求法、二次函数与一元二次方程根与系数的关系等知识点，掌握根与系数的关系以及判别式的应用是解题的关键． 地 城 考点04 二次函数与三角形 1．（24-25九年级上·福建宁德·期末）已知二次函数的图象与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点，顶点为． (1)求该二次函数的解析式； (2)过A、C两点作直线，并将线段沿该直线向上平移，记点A、C分别平移到点D、E处．若点F在这个二次函数的图象上，且是以为斜边的等腰直角三角形，求点F的坐标； (3)已知点满足，点M、N分别是x轴、直线上的动点，当的最小值为时，求n的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）由二次函数的顶点为，可设其解析式为，再把点代入，利用待定系数法即可求出该二次函数的解析式； （2）由二次函数的解析式求出或，再分两种情况讨论．过点C作轴于点H．解直角，得出，那么， ．解等腰直角得出，，由，得到轴．利用待定系数法求出直线的解析式为．设（其中），则点，那么，解方程求出m，进而得出点F的坐标； （3）作关于x轴的对称点 过作于 交x轴于 过作轴交直线于T， 与y轴交于点K，当时，最小，最小值为的长度，再求解，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵二次函数的顶点为， ∴可设该二次函数的解析式为， 把点代入，得， 解得， ∴该二次函数的解析式为； （2）解：由，得或，   ∵二次函数的图象与x轴正半轴交于点A， ， 如图，过点C作轴于点H． ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， 由平移可得：在等腰直角中， ，， ∴，， ∴， ∴轴． 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为． 由题意，设（其中），则点， ∴， ∴， ∴（负根不合题意舍去）， ∴点F的坐标为； （3）解：如图，作关于x轴的对称点 过作于 交x轴于 过作轴交直线于T， 与y轴交于点K， 关于x轴对称， ， ， 当时，最小，最小值为的长度， ， 由为，可得： ， ， ， ． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与等腰直角三角形，线段和的最小值问题，熟练的利用二次函数的性质解决问题是解本题的关键． 2．（24-25九年级上·福建福州·期末）已知：抛物线． (1)求证：抛物线与轴总有两个交点； (2)若抛物线与轴的交点为均为整数，且，求出的值． (3)在第（2）问的条件下，当时，抛物线上是否存在点，使得是直角三角形．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)不存在，见解析 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题、特殊三角形问题(二次函数综合)、相似三角形问题(二次函数综合) 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及根的判别式、直角三角形的存在性，根据题意进行正确得分类讨论是解决本题的关键． （1）令，则，计算一元二次方程根的判别式，即可求解； （2）将分别代入抛物线解析式，解方程组，即可求解； （3）假设当时，抛物线上存在点，使得是直角三角形，只有，过点作，交轴于点，过点作，证明，列出比例式，进而得出，则抛物线上不存在点使得是直角三角形． 【详解】（1）证明：令，则 ， 抛物线与轴总有两个交点； （2）抛物线与轴的交点为， ， ， ， ， ， 均为整数，且， ，都是整数，且， ， 解得， （3）抛物线与轴的交点为， ， ， 即 假设当时，抛物线上存在点，使得是直角三角形 由题意知，只有，过点作，交轴于点，过点作，交于点， ． ． ， ， ， ， ，矛盾，故假设不成立． 抛物线上不存在点使得是直角三角形． 3．（24-25九年级上·福建漳州·期末）已知抛物线：与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，为等腰直角三角形，且． (1)求抛物线的解析式； (2)将向上平移一个单位得到，点M、N为抛物线上的两个动点，O为坐标原点，且，连接点M、N，过点O作于点E，求点E到y轴距离的最大值； (3)如图，若点F的坐标为，直线l分别交线段，（不含端点）于G、H两点．若直线l与抛物线有且只有一个公共点，设点G的横坐标为b，点H的横坐标为a，则是定值吗？若是，求出定值，若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是定值，，理由见解析 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、图形问题(实际问题与二次函数)、相似三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）根据已知条件得到点，，，根据待定系数法即可求解； （2）将向上平移一个单位得到，设的直线解析式为，设点坐标为，，，，联立方程组，整理得，由根与系数的关系可得，过点作轴交于，过点作轴交于点，证明，可得，能够确定直线经过定点，则点在以为圆心，直径为1的圆上运动，所以点到轴距离的最大值为； （3）分别求出直线的表达式为①，直线的表达式为②，设直线的表达式为，联立方程组，由，可得，则直线的表达式为③，联立①③并解得，联立②③可得，，可求． 【详解】（1）解：， 点， 抛物线，对称轴为， ， 为等腰直角三角形，为顶点， ， ，， 将代入得， ， ， 抛物线； （2）解：将向上平移一个单位得到， 抛物线， 设的直线解析式为， 直线与轴的交点为， 设点坐标为，，，， 联立方程组， 整理得， ， 过点作轴交于，过点作轴交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， 直线经过定点， ， 点在以为圆心，直径为1的圆上运动， 点到轴距离的最大值为； （3）解：是定值，理由如下： 的坐标为， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的表达式为①， 同理可得，直线的表达式为②， 设直线的表达式为， 联立方程组， 整理得：， 直线与抛物线只有一个公共点， 故， 解得， 直线的表达式为③， 联立①③并解得， 联立②③可得，， 为常数． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 地 城 考点05 二次函数与四边形 1．（24-25九年级上·福建龙岩·期末）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找出一点Q，使的值最小，并求出点Q的坐标． (3)点P是抛物线上位于直线上方的点，连接，P点的横坐标为m，，请写出S与m的函数关系，并求S的最大值． (4)在平面直角坐标系中，是否存在一点E，使得以E、A、B、C四个点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点E坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，最大值为 (4)或或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（1）根据点A，B，C的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式； （2）利用二次函数的性质可得出抛物线对称轴为直线，作点C关于抛物线对称轴的对称点，连接，交抛物线对称轴于点Q，此时取最小值，求出直线的解析式，即可解答； （3）由题得，过点P作轴的垂线，交于点，求出直线的解析式，则，求出，根据，再利用二次函数的性质即可解答； （4）设，利用平行四边形的性质，分以为对角线，以为对角线，以为对角线三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 则，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 作点C关于抛物线对称轴的对称点，连接，交抛物线对称轴于点Q， 则，， 此时取最小值， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 将代入，则， ∴； （3）解：∵P点的横坐标为m， ∴， 过点P作轴的垂线，交于点， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 则 ∴， ∵，且， ∴当时，有最大值，最大值为； （4）解：设， 当以为对角线，四边形是平行四边形时，如图： 则，解得， ∴； 当以为对角线，四边形是平行四边形时，如图： 则，解得， ∴； 当以为对角线，四边形是平行四边形时，如图： 则，解得， ∴； 综上，存在点E坐标为或或时，以E、A、B、C四个点为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质，熟练运用分类讨论的思想是解题的关键． 2．（24-25九年级上·福建三明·期末）如图，在平面直角坐标系中已知抛物线与直线都经过两点，该抛物线的顶点为． (1)求此抛物线的解析式． (2)设点是直线下方抛物线上的一动点，连接，，请求出的最大面积是多少． (3)设直线与该抛物线的对称轴交于点，点为射线上一点，过作轴的垂线交抛物线于点，是否存在点，使点，，，是平行四边形的四个顶点？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数求最值问题，平行四边形的性质，利用数形结合思想和分类讨论思想解决问题是本题的关键． （1）利用待定系数法求二次函数； （2）作轴交直线于点，求得直线的解析式，设，则，先表示出，利用三角形面积公式得到，然后根据二次函数的性质解决问题； （3）先求出点坐标和点坐标，则，分两种情况讨论：①若点在轴下方，四边形为平行四边形，则；②若点在轴上方，四边形为平行四边形，则，设，则，可分别得到方程求出点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线经过两点， ，解得， 抛物线的解析式为， （2）如图，作轴交直线于点， 直线经过两点， ，解得， 直线的解析式为； 设，则， ， ， ， 当时，面积有最大值，最大值是； （3）存在，理由如下： ， 抛物线的顶点的坐标为， 轴， ， ， ①如图，若点在轴下方，四边形为平行四边形，则， 设，则， ， ， 解得：，舍去， ； ②如图，若点在轴上方，四边形为平行四边形，则， 设，则， ， ， 解得：或舍去， ， 综上可得点的坐标为或． 3．（24-25九年级上·福建龙岩·期末）如图，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点． (1)求这个二次函数的解析式． (2)若点在线段上运动（点与点、点不重合），求面积的最大值， (3)若点在轴上运动，则在轴上是否存在点，使以为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)最大值为 (3)Q的坐标为或或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、根据菱形的性质与判定求线段长、面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（1）由抛物线对称轴是直线，点B的坐标为，得点A的坐标为，故二次函数解析式为； （2）连接，设，则，得，根据二次函数的性质可得答案； （3）由，得直线解析式为，设，则，，由，知是一组对边；分两种情况：①当为对角线时，的中点重合，且，②当为对角线时，的中点重合，且，分别列出方程组，即可解得答案． 【详解】（1）解：抛物线对称轴是直线，点B的坐标为， 点A的坐标为， 二次函数解析式为； （2）解：连接，如图： 设，则， 在中，令得， ， ， ， ， 当时，取得最大值，且最大值为； （3）解：在y轴上存在点Q，使以M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形，理由如下： 由，得直线解析式为， 设，则，， ， 当M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形时，是一组对边； 当为对角线时，的中点重合，且， ， 解得：（此时M，N与C重合，舍去）或， ； ②当为对角线时，的中点重合，且， ， 解得：（舍去）或或， 或； 综上所述，Q的坐标为或或． 地 城 考点06 二次函数与圆 1．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，二次函数交坐标轴于A，B，C，点Q在以C为圆心半径为1的圆上运动，P为中点，的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、中位线定理． 在A点的左边取点D，使得，连接，结合P是的中点，可得，故当最小时，最小，再由二次函数为，可得，又Q为圆C上一点，D为圆C外一点，从而可得的最小值为，进而可以判断得解． 【详解】解：如图，在A点的左边取点D，使得，连接． 又∵P是的中点， ∴． ∴当最小时，最小． 又∵二次函数为， ∴令，则；令，则或． ∴． ∴． ∴D为． ∴． ∵Q为圆C上一点，D为圆C外一点， ∴的最小值为． ∴的最小值为． 故答案为：． 2．（24-25九年级上·福建厦门·期末）如图，二次函数的图像与轴分别交于点（点A在点的左侧），直线是对称轴．点在函数图像上，其横坐标大于4，连接，过点作，垂足为，以点为圆心，作半径为的圆，与相切，切点为．      (1)求点的坐标； (2)若以的切线长为边长的正方形的面积与的面积相等，且不经过点，求长的取值范围． 【答案】(1) (2)或或 【分析】（1）令求得点的横坐标即可解答； （2）由题意可得抛物线的对称轴为，设，则；如图连接，则，进而可得切线长为边长的正方形的面积为；过点P作轴，垂足为H，可得；由题意可得，解得；然后再分当点M在点N的上方和下方两种情况解答即可． 【详解】（1）解：令，则有：，解得：或， ∴． （2）解：∵抛物线过 ∴抛物线的对称轴为， 设， ∵， ∴, 如图：连接，则， ∴， ∴切线为边长的正方形的面积为， 过点P作轴，垂足为H，则：， ∴ ∵， ∴，      假设过点,则有以下两种情况： ①如图1：当点M在点N的上方，即      ∴，解得：或， ∵ ∴； ②如图2：当点M在点N的下方，即    ∴，解得：， ∵ ∴； 综上，或． ∴当不经过点时，或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、切线的性质、勾股定理等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键． 3．（24-25九年级上·福建莆田·期末）如图，抛物线交y轴于点，且过点点B是抛物线M上一个动点，过B作，以B为圆心，2为半径的圆交直线于D、E两点（点E位于点D下方） (1)求抛物线M的解析式； (2)连接交于点F，连接．若是以为直角边的直角三角形，求的度数； (3)取的中点Q，连接，求线段的最小值．（直接写出答案） 【答案】(1)； (2)的度数为或； (3)当时，有最小值，最小值为 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式． （2）分两种情况：①当∠ABD＝90°时，如图1，可得△BEF是等腰直角三角形，可得结论． ②当∠ADB＝90°时，如图2，根据△ADB是等腰直角三角形，可得结论． （3）设B（m，m2+2m﹣1），则D（m，m2+2m+1），求出点Q的坐标，利用勾股定理求出PQ，利用配方法解决问题即可． 【详解】（1）∵yx2+bx+c交y轴于点A（0，﹣1），且过点P（﹣1，）， ∴， ∴， ∴； （2）①∠ABD＝90°时，如图1， ∵BE＝BF，∠EBF＝90°， ∴∠BEF＝45°． ②∠ADB＝90°时，如图2， ∵AD∥x轴， ∴点D的纵坐标为﹣1， ∵BD＝2， ∴点B的纵坐标为﹣3， 将y＝﹣3代入，解得x1＝x2＝﹣2， 所以AD＝BD＝2，△ABD为等腰直角三角形， ∠BEF22.5°． 综上所述，∠BEF的度数为45°或22.5°； （3）设B（m，m2+2m﹣1），则D（m，m2+2m+1）， ∵A（0，﹣1），DQ＝AQ， ∴Q（，m2+m）， ∵P（﹣1，）， ∴当m+1＝0时，PQ有最小值，最小值为． 【点睛】本题是二次函数与圆的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、一次函数的应用、圆的性质、动点问题及抛物线的平移问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用数形结合的思想解决问题． 4．（24-25九年级上·福建福州·期末）已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C． (1)直接写出A，B，C三点的坐标； (2)过A，B两点作，交抛物线于点D（点D在对称轴右侧），若，求点M的坐标； (3)如图2，点Q是抛物线对称轴上，纵坐标为的点，点E是对称轴上抛物线下方的动点，以点Q为圆心，为半径作圆交抛物线于点F（点F在对称轴右侧），求证：直线与抛物线有唯一公共点． 【答案】(1)，， (2)或 (3)证明见解析 【分析】（1）分别求出当时，的值；当时，的值，由此即可得； （2）求出圆心必在的垂直平分线上，即在直线上，设点的坐标为，分两种情况：①点在轴上方和②点在轴下方，再通过全等三角形的性质求出点的坐标，代入二次函数的解析式求出的值，由此即可得； （3）先求出点的坐标为，设点的坐标为，点的坐标为，再过点作直线的垂线，垂足为点，连接，在中，利用勾股定理可得，从而可得点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，然后联立直线和抛物线的解析式，由此即可得证． 【详解】（1）解：对于二次函数， 当时，，解得或， 当时，， ∵抛物线与轴交于两点（点在点左侧），与轴交于点， ∴，，． （2）解：二次函数的对称轴为直线， ∵过两点作， ∴圆心必在的垂直平分线上，即在直线上， 设点的坐标为， ①如图，当点在轴上方时，则， 过点作轴于点，过点作，交的延长线于点， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴， 将点代入二次函数得：， 解得或（不符合题设，舍去）， ∴，位于对称轴右侧，符合题意， ∴此时点的坐标为； ②如图，当点在轴下方时，则， 过点作轴于点，过点作，交的延长线于点， ∴，，，， 同理可证：， ∴，， ∴，， ∴，即， 将点代入二次函数得：， 解得或（不符合题设，舍去）， ∴，位于对称轴右侧，符合题意， ∴此时点的坐标为； 综上，点的坐标为或． （3）证明：二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为， 则点的坐标为， 设点的坐标为，点的坐标为， 如图，过点作直线的垂线，垂足为点，连接， ∴，，， 在中，，即， 整理得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入得：， 解得， 则直线的解析式为， 联立直线和抛物线的解析式得：， 将②代入①得：，即， 这个方程的根的判别式为，这个方程有两个相等的实数根， ∴直线与抛物线有唯一公共点． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合、勾股定理、三角形全等的判定与性质、一元二次方程的根的判别式等知识，综合很强，正确分类讨论，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $