专题16 二次函数选择填空高频考题分类训练（12种类型60道）-2025-2026学年九年级数学上册期中复习高频考题专项训练（人教版，重庆专用）

弈泓共享数学 专题16 二次函数选择填空高频考题分类训练 （12种类型60道） 目录 【题型1二次函数定义】 1 【题型2 增减性】 1 【题型3二次函数化为顶点式】 2 【题型4 一次函数和二次函数图像综合】 3 【题型5 对称轴】 4 【题型6 二次函数与最短路径】 5 【题型7二次函数与一元二次方程】 7 【题型8由二次函数定义求参数】 8 【题型9二次函数的平移】 8 【题型10 二次函数最值问题】 8 【题型11二次函数与不等式】 9 【题型12 二次函数实际问题】 10 【题型1二次函数定义】 1．下列函数是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．下列函数是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 3．下列关于的函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 4．下列函数中，y是x的二次函数的是（　　） A． B． C． D． 5．下列函数中，是二次函数的有（   ） ①；②；③；④．⑤ A．个 B．个 C．个 D．个 【题型2 增减性】 6．点在抛物线上，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 7．点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 8．在抛物线上有两点和，则正确的是（    ） A． B． C． D．无法确定与的大小 9．抛物线的顶点坐标是，点，在抛物线上，则下列大小比较正确的是（    ） A． B． C． D．无法比较，的大小 10．抛物线y＝+x+2，点（2，a），（﹣1，﹣b），（3，c），则a，b，c的大小关系是（　　） A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．无法比较大小 【题型3二次函数化为顶点式】 11．将二次函数配方成的形式，下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 12．函数 图象顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 13．将二次函数化为的形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 14．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 15．二次函数可变形为（   ） A． B． C． D． 【题型4 一次函数和二次函数图像综合】 16．一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（    ） A．B．C． D． 17．一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 18．在同一平面直角坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A．B．C． D． 19．在同一坐标系中，函数与的图象大致是（　　） A． B． C． D． 20．如图，函数和 (a是常数，且)在同一平面直角坐标系的图象可能是（　　） A． B． C． D． E． 【题型5 对称轴】 21．若抛物线与轴的公共点是，，则抛物线的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 22．二次函数中的部分对应值如下表，则二次函数图像的对称轴为（   ） x … 0 1 2 … y … 0 … A．y轴 B．直线 C．直线 D．直线 23．二次函数的部分对应值如下表： … 0 1 2 3 … … 5 0 0 … 二次函数图象的对称轴是（   ） A．直线 B．轴 C．直线 D．直线 24．已知二次函数的图象如图所示，则该二次函数图象的对称轴为（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 25．二次函数 图像上部分点的坐标对应值列表如下： x … 0 1 … y … … 则该函数图像的对称轴是（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【题型6 二次函数与最短路径】 26．如图，抛物线 与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线，是抛物线对称轴上一动点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 27．如图，抛物线与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点是对称轴上的一个动点，连接，，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 28．已知抛物线具有如下性质：抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离相等，点M的坐标为（3，6），P是抛物线上一动点，则△PMF周长的最小值是（   ） A．5 B．9 C．11 D．13 29．如图，在抛物线上有，两点，其横坐标分别为1，2；在轴上有一动点，当最小时，则点的坐标是（    ） A．（0.0） B．（0，） C．（0，2） D．（0，） 30．如图，直线yx+3分别与x轴，y轴交于点A、点B，抛物线y=x2+2x﹣2与y轴交于点C，点E在抛物线y=x2+2x﹣2的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，CE+EF的最小值是（　　） A．4 B．4.6 C．5.2 D．5.6 【题型7二次函数与一元二次方程】 31．关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，则抛物线的对称轴为直线（   ） A． B． C． D． 32．二次函数的图象与轴的交点坐标为和，则一元二次方程的解为（    ） A．， B．， C．， D．， 33．二次函数的图象过点，则的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 34．如图，抛物线与轴交于，，则关于的方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 35．二次函数图象如图所示，则方程的解是（    ）    A． B． C．或 D．或 【题型8由二次函数定义求参数】 36．若是关于的二次函数，则的值为 ． 37．若函数是二次函数，则的值为 ． 38．若是关于的二次函数，则m的值为 ． 39．若是关于的二次函数，则的值为 ． 40．若关于的函数是二次函数，则的值为 ． 【题型9二次函数的平移】 41．将二次函数的图象向左平移个单位，再向下平移个单位，则平移后抛物线的表达式为 ． 42．将抛物线 向左平移1个单位，再向下平移2个单位后得到抛物线的解析式为． 43．将抛物线向左平移4个单位，再向下平移2个单位后得到的抛物线的解析式为 ． 44．抛物线向下平移2个单位，再向左平移3个单位后所得到的抛物线的解析式是 ． 45．将抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位后所得到新抛物线的解析式为 ． 【题型10 二次函数最值问题】 46．已知抛物线经过点和点，则的最小值是 ． 47．如图，一条抛物线与x轴相交于M，N点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段上移动，点A，B的坐标分别为，，点N的横坐标的最大值为4，则点M的横坐标的最小值为 ．    48．对于二次函数，若当时的函数值与时的函数值相等，则二次函数的最小值为 . 49．在平面直角坐标系中，已知和是抛物线上的两点，将抛物线的图象向上平移n（n是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴没有交点，则n的最小值为 ． 50．已知抛物线经过点和点，则的最大值是 ． 【题型11二次函数与不等式】 51．已知二次函数的图像如图所示，则一元二次不等式的解集是 ． 52．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集是 53．如图，二次函数（，，为常数，）的图像与轴交于点，顶点坐标为，则不等式的解集为 ． 54．如图，已知抛物线与直线相交于两点，则不等式成立时，的取值范围是 ． 55．抛物线的部分图象如图所示，则当时，的取值范围是 【题型12 二次函数实际问题】 56．如图，小明参加了运动会投掷铅球比赛，已知铅球的行进高度y（米）与水平距离x（米）间的函数关系式为，则小明将铅球推出的距离为 米． 57．太原市迎泽公园的喷泉以其激动人心的表演和世界级的设计而闻名．图1中的一条水柱可以近似看作一条抛物线，建立平面直角坐标系，如图2所示，喷口为点O，水柱的高度与距喷口的水平距离之间满足（），则该水柱的最大高度为 ． 58．“嫦娥”揽月、“祝融”探火、“羲和”逐日、“北斗”指路、“天和”遨游星辰．新中国成立75年来，中国航天事业从无到有、从弱到强，实现历史性、高质量、跨越式发展．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了航空航天模型．已知该模型每件成本为20元，按每件24元出售，每日可售出40件．经市场调查发现，这种模型每件涨价1元，日销售量会减少2件，每件模型应涨价 元，才能使每日利润最大． 59．近年来我国新能源汽车发展迅速，据中国汽车乘联会统计，2024年我国新能源汽车销售量约为1150万辆，假设我国新能源汽车每年销售增长率x保持不变，预计2026年我国新能源汽车销售量约为y万辆，则y关于x的函数表达式为 （不用写自变量的取值范围） 60．如图是榆次区某路口的一个拱形造型．小明上学经过此处时，总被这美丽的造型吸引，他想知道此造型中拱形最高点到地面的距离，但不方便直接测量，小明将拱形近似看作抛物线的一部分，尝试画出了此造型的截面图（如图），并调查了解到地面跨度约为米，两根立柱之间的水平宽度约为米（点，关于抛物线的对称轴对称），右侧立柱与抛物线的交点到地面的距离的长约为米，由此求得此造型中抛物线最高点到地面的距离约为 米． 精选考题才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 弈泓共享数学 专题16 二次函数选择填空高频考题分类训练 （12种类型60道） 目录 【题型1二次函数定义】 1 【题型2 增减性】 3 【题型3二次函数化为顶点式】 5 【题型4 一次函数和二次函数图像综合】 7 【题型5 对称轴】 11 【题型6 二次函数与最短路径】 13 【题型7二次函数与一元二次方程】 20 【题型8由二次函数定义求参数】 22 【题型9二次函数的平移】 24 【题型10 二次函数最值问题】 25 【题型11二次函数与不等式】 28 【题型12 二次函数实际问题】 31 【题型1二次函数定义】 1．下列函数是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如的函数叫做二次函数，据此求解即可． 【详解】解：A、中，当时，原函数不是二次函数，不符合题意； B、中，等式右边不是整式，原函数不是二次函数，不符合题意； C、是二次函数，符合题意； D、中，未知数的最高次为1，原函数不是二次函数，不符合题意； 故选；C． 2．下列函数是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，形如（a、b、c为常数，）的函数叫做二次函数．根据二次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、是一次函数，故本选项不符合题意； B、是反比例函数，故本选项不符合题意； C、是二次函数，故本选项符合题意； D、是一次函数，故本选项不符合题意． 故选：C． 3．下列关于的函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一般地，我们把形如（其中是、、为常数）的函数叫做二次函数，其中称为二次项系数，为一次项系数，为常数项，根据二次函数的定义逐项判断即可． 本题考查了二次函数的定义，理解并掌握二次函数的定义是解题的关键． 【详解】A．，是一次函数，故该选项不符合题意； B．，是一次函数，故该选项不符合题意； C．，不符合二次函数的定义，不是二次函数，故该选项不符合题意； D．，是二次函数，故该选项符合题意． 故选：D． 4．下列函数中，y是x的二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义：“一般地，形如（是常数，且）的函数叫做二次函数”，熟记定义是解题关键．根据二次函数的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、不是二次函数，则此项不符合题意； B、是正比例函数，不是二次函数，则此项不符合题意； C、是二次函数，则此项符合题意； D、是一次函数，不是二次函数，则此项不符合题意； 故选：C． 5．下列函数中，是二次函数的有（   ） ①；②；③；④．⑤ A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的定义，一般式为，根据给定的函数依次分析． 【详解】①，符合二次函数的一般式，是二次函数； ②，由于不是整式，不是二次函数； ③，是一次函数，不是二次函数； ④，函数中的最高次数是，不满足二次函数最高次数是的条件，不是二次函数； ⑤，当时，不是二次函数； 故选：A． 【题型2 增减性】 6．点在抛物线上，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的性质和二次函数图象具有对称性可以求得的大小关系，从而可以解答本题． 【详解】解：∵， ∴该抛物线开口向上，对称轴为轴， ∵点在抛物线上， ∵，离对称轴越远，函数值越大， ∴ 故选：A． 7．点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的对称轴直线，增减性是解题的关键． 根据二次函数解析式可得图象开口向上，对称轴直线为，当时，随的增大而减小，离对称轴直线越远，值越大，当时，随的增大而增大，离对称轴直线越远，值越大，由此即可求解． 【详解】解：在二次函数中，， ∴图象开口向上，对称轴直线为， ∴当时，随的增大而减小，离对称轴直线越远，值越大，当时，随的增大而增大，离对称轴直线越远，值越大， ∵， ∴，即， 故选：D ． 8．在抛物线上有两点和，则正确的是（    ） A． B． C． D．无法确定与的大小 【答案】A 【分析】本题考查的是二次函数的性质，把和代入函数解析式分别计算，，从而可得答案． 【详解】解：在抛物线上有两点和， ∴，， ∴， 故选：A． 9．抛物线的顶点坐标是，点，在抛物线上，则下列大小比较正确的是（    ） A． B． C． D．无法比较，的大小 【答案】B 【分析】由解析式可知抛物线开口向上，对称轴为直线，根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】解：由抛物线的顶点坐标是，可知抛物线开口向上，对称轴为直线，最大值， ，在抛物线上， ，， 故点A到对称轴的距离小于点B到对称的距离， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征：二次函数的图象为抛物线，则抛物线上的点的坐标满足其解析式；当，抛物线开口向下；对称轴为直线，在对称轴左侧，随的增大而增大，在对称轴右侧，随的增大而减小． 10．抛物线y＝+x+2，点（2，a），（﹣1，﹣b），（3，c），则a，b，c的大小关系是（　　） A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．无法比较大小 【答案】A 【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x＝﹣，然后将（2，a），（﹣1，b），（3，c）带入求出a、b、c，最后比较得到a、b、c的大小关系． 【详解】解：∵y＝+x+2， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝﹣， 将（2，a），（﹣1，b），（3，c）带入得， a=4+2+2=8，-b=1-1+2=2，c=9+3+2=14， ∴c＞a＞b； 故选：A． 【题型3二次函数化为顶点式】 11．将二次函数配方成的形式，下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的顶点式．利用配方法即可求解． 【详解】解：， 故选：B． 12．函数 图象顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过配方法将二次函数的一般式转化为顶点式，从而得出顶点坐标．本题主要考查了二次函数的顶点式，熟练掌握配方法将一般式转化为顶点式是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴ 函数图象的顶点坐标是 故选：A． 13．将二次函数化为的形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了将二次函数一般式化为顶点式，掌握配方法是解题的关键． 根据配方法将一般式化为顶点式即可求解． 【详解】解：∵，即， 故选：A． 14．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求抛物线顶点坐标的方法，关键是掌握求顶点坐标的公式或配方法． 先将二次函数解析式化为顶点式，然后再判断该二次函数的顶点坐标． 【详解】将抛物线解析式配方： 提取二次项系数：， 配方：将配成完全平方，需添加并减去得 即 展开并化简：， 即 因此，顶点坐标为 故选：B． 15．二次函数可变形为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了将二次函数化成顶点式，熟练掌握配方法是解题关键．利用配方法将二次函数化成顶点式即可得． 【详解】解： ， 则二次函数可变形为， 故选：B． 【题型4 一次函数和二次函数图像综合】 16．一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的图象与性质，根据一次函数的图象，判断的符号；再根据的符号判断抛物线的开口方向及对称轴即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由一次函数的图象可知，， 则二次函数可得，开口向上， 又二次函数的对称轴为直线，在轴左侧， 故二次函数的图象大致为： 故选：． 17．一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数图象综合判断，熟知一次函数、二次函数图象与系数的关系是解题的关键． 分别根据二次函数的性质和一次函数的性质求出对应的a、b及交点，看是否一致即可． 【详解】解：当时，一次函数图象过第一、三象限，二次函数图象开口向上，故C、D错误，不符合题意； 当，时，一次函数图象过第一、三、四象限，图象开口向上， 令时，， ∴， ∴可得一次函数过， 将代入中可得， 故两函数图象均过，交点在正半轴上，故B错误，不符合题意； 当，时，一次函数图象过第一、二、三象限，图象开口向上， 对称轴为直线，在y轴左侧，同理，两函数图象均过，交点在负半轴上，A正确，符合题意， 故选：A． 18．在同一平面直角坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的图象，依据题意，本题可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致． 【详解】解：A．观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，相矛盾，故本选项不符合题意； B、观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，相矛盾，故本选项不符合题意； C、观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，有可能，故本选项符合题意； D、观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，相矛盾，故本选项不符合题意； 故选：C． 19．在同一坐标系中，函数与的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数与二次函数的图象与性质，根据一次函数与二次函数的图象与性质分析各选项，即可解题． 【详解】解：当时，一次函数与二次函数的函数值都为， 一次函数与二次函数均过点，则A、C选项不符合题意； B选项中二次函数开口向下，，一次函数过一、三象限，，存在矛盾，不符合题意， D选项中二次函数开口向上，，一次函数过一、三象限，，符合条件，符合题意； 故选：D． 20．如图，函数和 (a是常数，且)在同一平面直角坐标系的图象可能是（　　） A． B． C． D． E． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可． 【详解】解：A、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，故选项错误； B、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴为直线，故选项正确； C、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴为直线，，故选项错误； D、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，故选项错误． 故选：B． 【题型5 对称轴】 21．若抛物线与轴的公共点是，，则抛物线的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线的对称性，根据抛物线与x轴的公共点的纵坐标都为0，可判定这两点是抛物线上的一对对称点，把两点的横坐标代入公式求解即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴的公共点为和，即这两个点关于抛物线的对称轴对称 ∴抛物线的对称轴为直线， 故选：B． 22．二次函数中的部分对应值如下表，则二次函数图像的对称轴为（   ） x … 0 1 2 … y … 0 … A．y轴 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质，根据图表找出函数值相等时对应的自变量即可求出对称轴． 【详解】解：由图表可知：时，，时，， 二次函数的对称轴为， 故选：B． 23．二次函数的部分对应值如下表： … 0 1 2 3 … … 5 0 0 … 二次函数图象的对称轴是（   ） A．直线 B．轴 C．直线 D．直线 【答案】D 【分析】根据纵坐标相等的两个点是对称点，对称点的横坐标和的一半是对称轴解答即可． 本题考查了对称点的判定，对称轴的计算，熟练掌握对称点的判定和对称轴的计算是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得和是对称点， 故抛物线的对称轴为直线， 故选：D． 24．已知二次函数的图象如图所示，则该二次函数图象的对称轴为（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质， 根据抛物线与x轴交点关于对称轴对称，再结合横坐标可得答案． 【详解】解：∵该二次函数的图象与x轴交于点和点， ∴该二次函数图象的对称轴为直线． 故选：B． 25．二次函数 图像上部分点的坐标对应值列表如下： x … 0 1 … y … … 则该函数图像的对称轴是（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据表格的数据得和对应的函数值都是，则二次函数图像的对称轴为直线，即可作答． 【详解】解：∵和对应的函数值都是， 则， ∴二次函数图像的对称轴为直线． 故选B． 【题型6 二次函数与最短路径】 26．如图，抛物线 与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线，是抛物线对称轴上一动点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，两点之间线段最短，勾股定理，先利用待定系数法求出二次函数的解析式，根据轴对称及两点之间线段最短确定点的位置，利用勾股定理即可求解，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：把点代入得，， ∵抛物线称轴为直线， ∴， ∴， 把代入得， ， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， 当时，， 解得，， ∴， 当时，， ∴， ∴，， 如图，连接，与对称轴相交于点， ∵点和点关于对称轴对称， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短，此时周长的最小，则点即为所求， ∴周长最小值， 故选：． 27．如图，抛物线与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点是对称轴上的一个动点，连接，，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】设抛物线与轴的另一个交点为，连接，，根据解析式求得的坐标，根据轴对称的性质得出，继而得出取得最小值，最小值为的长，勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，设抛物线与轴的另一个交点为，连接，， ∵，令， 即， 解得：， ∴, 令，解得， ∴， ∵点是对称轴上的一个动点， ∴， ∵ ∴当三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 即， 故选：D． 【点睛】本题考查了根据二次函数对称性求线段和的最值，掌握二次函数对称性是解题的关键． 28．已知抛物线具有如下性质：抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离相等，点M的坐标为（3，6），P是抛物线上一动点，则△PMF周长的最小值是（   ） A．5 B．9 C．11 D．13 【答案】C 【分析】如图所示过点P作PE⊥x轴于点E，由抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离相等，得到PE=PF，则△PMF的周长=FM+PM+PF，则要使△PMF周长最小，则PM+PF最小，即PM+PE最小，故当P、M、E三点共线时，PM+PE的值最小，最小为ME，由此求解即可． 【详解】解：如图所示过点P作PE⊥x轴于点E， ∵抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离相等， ∴PE=PF， ∴△PMF的周长=FM+PM+PF， ∴要使△PMF周长最小，则PM+PF最小，即PM+PE最小， ∴当P、M、E三点共线时，PM+PE的值最小，最小为ME， ∵M坐标为（3，6）， ∴ME=6， ∴PF+PM=6 ∵F（0，2）， ∴ ∴△PMF周长的最小值=ME+FM=6+5=11， 故选C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的最短路径问题，两点距离公式，解题的关键在于能够准确读懂题意得到PE=PF． 29．如图，在抛物线上有，两点，其横坐标分别为1，2；在轴上有一动点，当最小时，则点的坐标是（    ） A．（0.0） B．（0，） C．（0，2） D．（0，） 【答案】D 【详解】 解：如图，点A关于y轴的对称点A′的横坐标为﹣1， 连接A′B与y轴相交于点C，点C即为使AC+BC最短的点， 当x＝﹣1时，y＝﹣1， 当x＝2时，y＝﹣4， 所以，点A′（﹣1，﹣1），B（2，﹣4）， 设直线A′B为 当x=0时，y=-2 即C（0，-2） 故选D 【点睛】 本题考查了轴对称确定最短路线问题，二次函数的性质，熟记确定出最短路径的方法和二次函数的对称性确定出点C的位置是解题的关键． 30．如图，直线yx+3分别与x轴，y轴交于点A、点B，抛物线y=x2+2x﹣2与y轴交于点C，点E在抛物线y=x2+2x﹣2的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，CE+EF的最小值是（　　） A．4 B．4.6 C．5.2 D．5.6 【答案】C 【分析】C点关于对称轴对称的点C'，过点C'作直线AB的垂线，交对称轴与点E，交直线AB于点F，则C'F即为所求最短距离． 【详解】∵y=x2+2x﹣2的对称轴为，C(0，﹣2)， ∴C点关于对称轴对称的点C'(﹣2，﹣2)， 过点C'作直线AB的垂线，交对称轴与点E，交直线AB于点F， ∴CE=C'E， 则C'F=CE+EF=C'E+EF是CE+EF的最小值； ∵直线yx+3， 设直线C'F的解析式为， 将C'(﹣2，﹣2)代入得：， 解得：， ∴C'F的解析式为yx， 解方程组， 得：， ∴F(，)， ∴C'F． 故选：C． 【题型7二次函数与一元二次方程】 31．关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，则抛物线的对称轴为直线（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程，利用对称性求对称轴．根据题意，得到抛物线与轴的两个交点坐标为，，对称性得到对称轴为即可． 【详解】解：∵的两个实数根分别为，， ∴抛物线与轴的两个交点坐标为，， ∴对称轴为； 故选：B． 32．二次函数的图象与轴的交点坐标为和，则一元二次方程的解为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，二次函数图象与x轴的交点的横坐标即为对应一元二次方程的解．题目中已给出交点坐标为和，因此方程的解可直接得出． 【详解】解：二次函数的图象与x轴的交点坐标为和，说明当时，对应的值为2和． 因此，方程的解为和． 故选D． 33．二次函数的图象过点，则的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，且函数图象与x轴交于点， ∴二次函数图象与x轴的另一个交点为横坐标满足，解得， ∴方程的解为，， 故选：C． 34．如图，抛物线与轴交于，，则关于的方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，由题意可得方程的解为或，令，则关于的方程可变为，即可得方程的解为或，进而即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线与轴交于，， ∴方程的解为或， 令， 则关于的方程可变为， ∴方程的解为或， ∴或， 解得，， 故选：． 35．二次函数图象如图所示，则方程的解是（    ）    A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据二次函数图象得到二次函数对称轴和与x轴的一个交点坐标即可求解； 【详解】解：根据图象可知二次函数的对称轴为，二次函数与x轴的一个交点为， ∴二次函数与x轴另一个交点为 ∴程的解是或. 故选：D. 【题型8由二次函数定义求参数】 36．若是关于的二次函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义易得，且，解得的值即可得到答案．熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：是关于的二次函数， ，且， 解得， 故答案为：． 37．若函数是二次函数，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二次函数的定义， 根据二次函数的定义解答即可．一般地，形如是二次函数． 【详解】∵是二次函数， ∴，且， 解得． 故答案为：2． 38．若是关于的二次函数，则m的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次函数定义，利用二次函数定义可得，且，解方程即可． 【详解】解：∵是关于x的二次函数， ∴，且， 解得：． 故答案为：． 39．若是关于的二次函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的二次项系数不为零，最高次项的次数是是解题的关键．根据二次函数的定义求解即可． 【详解】解根据题意可得：，且， 解得：， 故答案为：． 40．若关于的函数是二次函数，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查二次函数的定义，一般地，形如（其中，且）的函数叫做二次函数，据此可得，则． 【详解】解：∵关于的函数是二次函数， ∴， 解得：， 故答案为：3． 【题型9二次函数的平移】 41．将二次函数的图象向左平移个单位，再向下平移个单位，则平移后抛物线的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键． 根据“上加下减，左加右减”的原则，进行解答，即可求解． 【详解】解：∵将二次函数的图象向左平移个单位， ∴函数解析式变为：， ∵将解析式再向下平移个单位， ∴函数解析式变为：， 故答案为：； 42．将抛物线 向左平移1个单位，再向下平移2个单位后得到抛物线的解析式为． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．根据“左加右减、上加下减”的原则反推进行解答即可． 【详解】解：将向上平移2个单位后为， 即， 再将向右平移1个单位为， 即． 43．将抛物线向左平移4个单位，再向下平移2个单位后得到的抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线向左平移4个单位，再向下平移2个单位后得到的抛物线的解析式为． 故答案为： 44．抛物线向下平移2个单位，再向左平移3个单位后所得到的抛物线的解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求得函数解析式是解题的关键．根据二次函数图象平移的规律即可得到平移后的函数解析式． 【详解】解：∵， ∴抛物线向下平移2个单位，再向左平移3个单位后，得到的抛物线的解析式为． 故答案为：． 45．将抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位后所得到新抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，将抛物线解析式化为顶点式，根据平移规律“左加右减，上加下减”即可解答． 【详解】解：抛物线， 将其向右平移3个单位，再向下平移2个单位后，得到新抛物线为， 即． 故答案为：． 【题型10 二次函数最值问题】 46．已知抛物线经过点和点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的对称性和增减性，根据抛物线的对称轴以及对称轴公式确定，即可得到，由抛物线经过点和点得到，结合即可确定的最小值． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线经过点和点， ∴点和点关于对称轴对称，， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴时，t有最小值为：． 故答案为：． 47．如图，一条抛物线与x轴相交于M，N点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段上移动，点A，B的坐标分别为，，点N的横坐标的最大值为4，则点M的横坐标的最小值为 ．    【答案】 【分析】根据顶点P在线段上移动，又知点A、B的坐标分别为，，分别求出对称轴过点A和B时的情况，即可判断出M点横坐标的最小值． 【详解】解：根据题意知， 点N的横坐标的最大值为4，此时对称轴过点B，点N的坐标为，此时的M点坐标为， 当对称轴过点A时，点M的横坐标最小，此时的N点坐标为，M点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的图象与性质，解答本题的关键是理解二次函数在平行于x轴的直线上移动时，两交点之间的距离不变． 48．对于二次函数，若当时的函数值与时的函数值相等，则二次函数的最小值为 . 【答案】 【分析】根据题意得出对称轴为直线，进而得出，根据抛物线开口向上，最小值即为时的函数值，代入，即可 【详解】解：∵当时的函数值与时的函数值相等， ∴二次函数的对称轴为直线， ∴ ∵抛物线开口向上， ∴当时，函数取得最小值为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据对称性求得对称轴是解题的关键． 49．在平面直角坐标系中，已知和是抛物线上的两点，将抛物线的图象向上平移n（n是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴没有交点，则n的最小值为 ． 【答案】4 【分析】通过A、B两点得出对称轴，再根据对称轴公式算出b，由此可得出二次函数表达式，从而算出最小值即可推出n的最小值． 【详解】∵A、B的纵坐标一样， ∴A、B是对称的两点， ∴对称轴，即， ∴b=-4． ∴抛物线解析式为：． ∴抛物线顶点(2，-3)． ∴满足题意n的最小值为4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查二次函数对称轴的性质，顶点式的变形及抛物线的平移，关键在于根据对称轴的性质从题意中判断出对称轴． 50．已知抛物线经过点和点，则的最大值是 ． 【答案】1 【分析】此题考查了二次函数的性质，求二次函数对称轴，解题的关键是掌握二次函数的性质． 根据抛物线的对称轴以及对称轴公式确定，即可得到，由抛物线经过点和点得到，结合即可确定的最小值． 【详解】解：抛物线， 抛物线的对称轴为直线， 抛物线经过点和点， 点和点关于对称轴对称，， ，即， ， ， ， 时，有最大值为：． 故答案为：1． 【题型11二次函数与不等式】 51．已知二次函数的图像如图所示，则一元二次不等式的解集是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了抛物线与不等式的解集，熟练掌握二者的关系是解题的关键． 利用数形结合思想求解，符合条件的取值在x轴下方． 【详解】根据题意，得一元二次不等式的解集是：或， 故答案为：或． 52．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集是 【答案】或 【分析】本题考查图象法求不等式的解集，将不等式变形为，即找到抛物线在直线下方时的自变量的范围即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵抛物线与直线交于两点， ∴由图象可知：的解集为：或； 故答案为：或． 53．如图，二次函数（，，为常数，）的图像与轴交于点，顶点坐标为，则不等式的解集为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次函数的性质、图象法求不等式的解集．根据二次函数图象的对称性，求出抛物线与x轴的另一个交点，找到图象在x轴上方时的自变量的取值范围即可． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为， ∴对称轴为直线， 又∵该函数的图像与轴交于点， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为：， 由图象可知：当时，， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 54．如图，已知抛物线与直线相交于两点，则不等式成立时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式的关系，由图像可求得的解集，即可获得答案，解题关键是利用数形结合的思想分析问题． 【详解】解：∵抛物线 与直线相交于两点， ∴由图可知，当时，二次函数图象在一次函数图象上方，此时， ∴的解集为， ∴不等式的解集为． 故答案为：． 55．抛物线的部分图象如图所示，则当时，的取值范围是 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的对称性，二次函数与不等式之间的关系，先由对称性求出抛物线与x轴的另一个交点坐标为，再结合函数图象即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，且与x轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴由函数图象可知，当时，x的取值范围是． 故答案为：． 【题型12 二次函数实际问题】 56．如图，小明参加了运动会投掷铅球比赛，已知铅球的行进高度y（米）与水平距离x（米）间的函数关系式为，则小明将铅球推出的距离为 米． 【答案】9 【分析】本题考查了二次函数的应用，求出抛物线与x轴的交点的横坐标即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：当时， ， ∴，（不合题意，舍去）， ∴小明将铅球推出的距离为9米． 故答案为：9． 57．太原市迎泽公园的喷泉以其激动人心的表演和世界级的设计而闻名．图1中的一条水柱可以近似看作一条抛物线，建立平面直角坐标系，如图2所示，喷口为点O，水柱的高度与距喷口的水平距离之间满足（），则该水柱的最大高度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用．熟练掌握抛物线的图象和性质，是解题的关键． 把抛物线解析式化成顶点式，即得水柱的最大高度． 【详解】解：抛物线形水柱，其解析式为， ， 水柱的最大高度是． 故答案为：． 58．“嫦娥”揽月、“祝融”探火、“羲和”逐日、“北斗”指路、“天和”遨游星辰．新中国成立75年来，中国航天事业从无到有、从弱到强，实现历史性、高质量、跨越式发展．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了航空航天模型．已知该模型每件成本为20元，按每件24元出售，每日可售出40件．经市场调查发现，这种模型每件涨价1元，日销售量会减少2件，每件模型应涨价 元，才能使每日利润最大． 【答案】8 【分析】本题考查了二次函数的应用． 设当涨价a元时，单日利润为W元，则，即可求解． 【详解】解：设当涨价a元时，单日利润为W元， 则， 因为，抛物线开口向下， 所以当时，， 即当每件模型应涨价8元，才能使每日利润最大． 故答案为：8． 59．近年来我国新能源汽车发展迅速，据中国汽车乘联会统计，2024年我国新能源汽车销售量约为1150万辆，假设我国新能源汽车每年销售增长率x保持不变，预计2026年我国新能源汽车销售量约为y万辆，则y关于x的函数表达式为 （不用写自变量的取值范围） 【答案】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，根据增长率为x，2024年我国新能源汽车销售量约为1150万辆，表示出2026年我国新能源汽车销售量约为y万辆，列出函数解析式即可． 【详解】解：y关于x的函数表达式为： ． 故答案为：． 60．如图是榆次区某路口的一个拱形造型．小明上学经过此处时，总被这美丽的造型吸引，他想知道此造型中拱形最高点到地面的距离，但不方便直接测量，小明将拱形近似看作抛物线的一部分，尝试画出了此造型的截面图（如图），并调查了解到地面跨度约为米，两根立柱之间的水平宽度约为米（点，关于抛物线的对称轴对称），右侧立柱与抛物线的交点到地面的距离的长约为米，由此求得此造型中抛物线最高点到地面的距离约为 米． 【答案】 【详解】解：如下图所示，以线段的中点为原点构造平面直角坐标系， 由题可知：，，， 点的坐标为，点的坐标为， 设抛物线表达式为， 抛物线关于轴对称， 对称轴， 解得：， 抛物线过点，， ， 解得：， 抛物线的表达式， 当时，值最大， 此时． ． 故答案为：6.4． 精选考题才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $