内蒙古通辽市科左中旗宝龙山中学2024-2025学年人教版九年级数学上册 第22章 二次函数 单元测试卷

人教版九年级上册《第22章 二次函数》单元测试卷 一．选择题（共10小题，共30分） 1．（3分）下列函数中，为二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（3分）抛物线的顶点在（   ） A．y轴上 B．x轴上 C．原点 D．第二象限 3．（3分）抛物线y＝3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（　　） A．y＝3（x﹣1）2﹣2 B．y＝3（x+1）2﹣2 C．y＝3（x+1）2+2 D．y＝3（x﹣1）2+2 4．（3分）将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，则得到的新抛物线与轴（   ） A．有一个交点 B．有两个交点 C．有三个交点 D．没有交点 5．（3分）已知抛物线y＝2（x﹣1）2+1经过（﹣2，y1），（0，y2），（，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y2＞y3＞y1 B．y1＞y2＞y3 C．y2＞y1＞y3 D．y1＞y3＞y2 6．（3分）某工厂七月份生产零件50万个，设该厂第三季度平均每月的增长率为，如果第三季度共生产零件万个，那么与满足的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 7．（3分）在同一坐标系中，一次函数y＝ax+2与二次函数y＝x2+a的图象可能是（　　） A． B． C． D． 8．（3分）二次函数的图象与x轴交于点，，则关于x的方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 9．（3分）函数的最大值与最小值分别是（   ） A．1和 B．5和 C．4和 D．5和 10．（3分）已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③该函数图象与x轴的另一个交点坐标为；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（共6小题，共18分） 11．（3分）若函数是关于x的二次函数，则m的值为 ． 12．（3分）将抛物线 向下平移2个单位后，所得新抛物线的解析式为 ． 13．（3分）某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离S（米）关于滑行的时间t（秒）的函数解析式是S＝﹣0.25t2+8t，无人机着陆后滑行 　 　 秒才能停下来． 14．（3分）如图是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则铅球推出的水平距离的长是 m，铅球推出的过程中最大高度是 m． 15．（3分）已知二次函数的图像如图所示，则一元二次不等式的解集是 ． 16．（3分）若函数y＝（a﹣1）x2﹣4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为 　 　 ． 三．解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）已知函数y＝（m﹣1）4x﹣5是二次函数； （1）求m的值； （2）写出这个二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 18．（8分）如下图，抛物线与x轴交于点（点A在点C的右边），抛物线的顶点为M．求的面积． 19．（8分）如图，小区工人用长为的围栏将一块荒地改造成矩形种植园，种植园的一面靠墙（墙的最大可用长度为），且为了方便出入，在段用其他材料做了一扇宽为的门． (1)若种植园的面积为40，求此时围栏段的长为多少米？ (2)当为多少米时，种植园面积最大，并求出这个最大面积． 20．（8分）某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果的销售量y（）与每千克降价x（元）（）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)该种干果每千克降价多少元时，商贸公司获利最大？最大利润是多少元？ 21．（8分）已知抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m﹣1（m是常数）与直线l：y＝x﹣1． （1）若抛物线的对称轴为直线x＝1，直接写出该抛物线的顶点坐标为 　 　 ； （2）若抛物线的顶点为P，求证：点P在直线l上； （3）问将抛物线向上平移多少个单位后与直线l有唯一公共点？ 22．（10分）请根据以下实际生活素材，完成项目式学习任务． 制定加工方案 生产背景 背景 某教具厂安排名工人加工一批教具，有“”“”两种样式． 因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“”教具件，或“”教具件， 要求全厂每天加工“”教具至少件 背景 每天加工的教具都能销售出去，扣除各种成本，教具厂的获利情况为：“”教具：元/件；“”教具：当每天加工件时，每件获利元；如果每天多加工件，那么平均每件获利将减少元． 信息整理 现安排名工人加工“”教具，名工人加工“”教具，列表如下： 教具种类 加工人数 (人) 每人每天加工量(件) 平均每件获利 (元) 探究任务 任务 探寻变量关系 求之间的数量关系． 任务 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为元，求关于的函数表达式． 任务 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案． 23．（10分）大鹏童装店销售某款童装每件售价为60元，每星期可卖100件，为了促销，该店决定降价销售，经市场调查反应：每降价1元，每星期可多卖出10件，已知该款童装每件成本30元，设该款童装每件售价x元每星期销售量为y件． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若商店按每件售价不超过45元来销售，当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少？ （3）若该店每星期想要获得不低于3910元的利润，则每星期至少要销售该童装多少件？ 24．（12分）综合与探究： 如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过点A，B，与x轴的另一个交点为点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是第二象限内抛物线上一动点，连接，求四边形面积的最大值； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点G，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 人教版九年级上册《第22章 二次函数》单元测试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A A B B D C D D B 一．选择题（共10小题，共30分） 1．（3分）下下列函数中，为二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【分析】一般地，形如(其中)的函数是二次函数，据此逐项分析判断即可． 【解答】A. 是一次函数，故本选项不符合题意； B. 展开后为，是二次函数，故本选项符合题意； C. ，未明确，若则不是二次函数，故本选项不符合题意； D. 是正比例函数，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义是解此题的关键，注意：形如y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数，叫二次函数． 2．（3分）抛物线的顶点在（   ） A．y轴上 B．x轴上 C．原点 D．第二象限 【分析】本根据抛物线的顶点式确定顶点坐标，进而判断其位置即可. 【解答】解：抛物线的顶点为， 顶点在轴上， 故选：A． 【点评】题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象的性质． 3．（3分）抛物线y＝3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（　　） A．y＝3（x﹣1）2﹣2 B．y＝3（x+1）2﹣2 C．y＝3（x+1）2+2 D．y＝3（x﹣1）2+2 【分析】根据图象向下平移减，向右平移减，可得答案． 【解答】解：抛物线y＝3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是y＝3（x﹣1）2﹣2， 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式． 4．（3分）将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，则得到的新抛物线与轴（   ） A．有一个交点 B．有两个交点 C．有三个交点 D．没有交点 【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则求得新抛物线的解析式，然后令，利用根的判别式即可求解． 【解答】解：将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，所得抛物线的解析式为：，即， 令，则， ， 新抛物线与轴有两个交点． 故选：B． 【点评】本题主要考查了二次函数图象的平移变换，以及图象与轴的交点个数判断，熟练掌握平移的规律“左加右减，上加下减”是解题关键． 5．（3分）已知抛物线y＝2（x﹣1）2+1经过（﹣2，y1），（0，y2），（，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y2＞y3＞y1 B．y1＞y2＞y3 C．y2＞y1＞y3 D．y1＞y3＞y2 【分析】利用二次函数的对称性和增减性即可判断． 【解答】解：由y＝2（x﹣1）2+可知，抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1， ∵抛物线y＝2（x﹣1）2+1经过（﹣2，y1），（0，y2），（，y3）三点， ∴（，y3）关于直线x＝1的对称点为（，y3）， ∵﹣2， ∴y1＞y2＞y3， 故选：B． 【点评】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 6．（3分）某工厂七月份生产零件50万个，设该厂第三季度平均每月的增长率为，如果第三季度共生产零件万个，那么与满足的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【分析】设该厂第三季度平均每月的增长率为x，则八月份生产零件万个，九月份生产零件万个，根据第三季度共生产零件y万个，即可列出与之间的函数关系式． 【解答】解：设该厂第三季度平均每月的增长率为x，则八月份生产零件万个，九月份生产零件万个，根据题意得： 与满足的函数关系式是 ． 故选：D 【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式． 7．（3分）在同一坐标系中，一次函数y＝ax+2与二次函数y＝x2+a的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据一次函数和二次函数的解析式可得一次函数与y轴的交点为（0，2），二次函数的开口向上，据此判断二次函数的图象． 【解答】解：当a＜0时，二次函数顶点在y轴负半轴，一次函数经过一、二、四象限； 当a＞0时，二次函数顶点在y轴正半轴，一次函数经过一、二、三象限． 故选：C． 【点评】此题主要考查了二次函数及一次函数的图象的性质，用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标． 8．（3分）二次函数的图象与x轴交于点，，则关于x的方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 【分析】根据二次函数与x轴的交点坐标，即可得到对应一元二次方程的根． 【解答】解：二次函数的图象与x轴交于点，， 关于x的方程的解为，， 故选：D． 【点评】本本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，掌握二次函数的图象与x轴交点的横坐标，即为所对应的方程的根是关键． 9．（3分）函数的最大值与最小值分别是（   ） A．1和 B．5和 C．4和 D．5和 【分析】先将解析式化为顶点式就可以求出最小值，再根据对称轴在其取值范围内就可以求出最大值． 【解答】解：∵， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线，当时y有最小值， ∵， ∴时，是最大值， ∴函数的最大值为5，最小值为． 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数的顶点式和二次函数的最值的运用． 10．（3分）已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③该函数图象与x轴的另一个交点坐标为；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】二次函数图象向下，与轴交于正半轴，得到，由二次函数的对称轴为直线， ，可判断①；由二次函数图象经过点，可判断②；求得由二次函数图象与轴的另一个交点为，可判断③；可得到，根据关于的方程无实数根，可判断④． 【解答】解：∵二次函数图象向下，与轴交于正半轴， ∴， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①不符合题意； ∵二次函数图象经过点， ∴，即，故②符合题意； ∵二次函数图象经过点，二次函数的对称轴为直线， ∴二次函数图象与轴的另一个交点为，故③符合题意； ∴可分解因式为， ∴，即， 若关于的方程无实数根， 则， ∴， ∴， ∵， ∴，故④不符合题意； 综上，符合题意的有②③，共个， 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式等知识， 二．填空题（共6小题，共18分） 11．（3分）若函数是关于x的二次函数，则m的值为 1 ． 【分析】根据二次函数的定义得到，，即可求出m的值． 【解答】解：函数是关于x的二次函数， ，， 解得：， 故答案为：1． 【点评】本题考查了二次函数的定义，解一元二次方程，掌握二次函数的定义是解题关键． 12．（3分）将抛物线 向下平移2个单位后，所得新抛物线的解析式为 ． 【分析】原抛物线的解析式减去2即可． 【解答】解：根据平移规则，向下平移2个单位需在解析式中减去2， , 故答案为：． 【点评】本题考查了二次函数的平移变换，解题的关键在于掌握函数图像向下平移的规则． 13．（3分）某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离S（米）关于滑行的时间t（秒）的函数解析式是S＝﹣0.25t2+8t，无人机着陆后滑行 　16　 秒才能停下来． 【分析】飞机停下时，也就是滑行距离最远时，即在本题中需求出s最大时对应的t值． 【解答】解：由题意得， S＝﹣0.25t2+8t ＝﹣0.25（t2﹣32t+256﹣256） ＝﹣0.25（t﹣16）2+64， ∵﹣0.25＜0， ∴t＝16时，飞机滑行的距离最大， 即当t＝16秒时，飞机才能停下来． 故答案为：16． 【点评】本题考查了二次函数的应用，能熟练的应用配方法得到顶点式是解题关键． 14．（3分）如图是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则铅球推出的水平距离的长是 10 m，铅球推出的过程中最大高度是 3 m． 【分析】由图可知，要求的长实际是需要点A的横坐标，已知点A的纵坐标为0，将代入函数的解析式，求出x的值，再舍去不符合实际的一个x的值即可；要求铅球推出的过程中最大高度，即求得顶点的纵坐标即可． 【解答】解：将代入， ， 整理得：， ， 解得：或（舍去） ∴铅球推出的水平距离的长是． ∵， ∴顶点的坐标为， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为3， ∴铅球推出的过程中最大高度是． 故答案为：10；3． 【点评】此题把函数问题转化为方程问题来解，渗透了函数与方程相结合的解题思想方法． 15．（3分）已知二次函数的图像如图所示，则一元二次不等式的解集是 或． ． 【分析】利用数形结合思想求解，符合条件的取值在x轴下方． 【解答】解：根据题意，得一元二次不等式的解集是：或， 故答案为：或． 【点评】本题考查了抛物线与不等式的解集，熟练掌握二者的关系是解题的关键． 16．（3分）若函数y＝（a﹣1）x2﹣4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为 　﹣1或2或1　 ． 【分析】直接利用抛物线与x轴相交，b2﹣4ac＝0，进而解方程得出答案． 【解答】解：∵函数y＝（a﹣1）x2﹣4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点， 当函数为二次函数时，b2﹣4ac＝16﹣4（a﹣1）×2a＝0， 解得：a1＝﹣1，a2＝2， 当函数为一次函数时，a﹣1＝0，解得：a＝1． 故答案为：﹣1或2或1． 【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点，正确得出关于a的方程是解题关键． 三．解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）已知函数y＝（m﹣1）4x﹣5是二次函数； （1）求m的值； （2）写出这个二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【分析】（1）根据形如函数y＝ax2+bx+c （a≠0）是二次函数，可得答案． （2）化成顶点是，根据二次函数的性质得到开口方向、对称轴及顶点坐标． 【解答】解：（1）由题意：， 解得m＝﹣1， ∴m＝﹣1时，函数y＝（m﹣1）4x﹣5是二次函数． （2）∵二次函数的解析式为y＝﹣2x2+4x﹣5＝﹣2（x﹣1）2﹣3， ∴这个二次函数的开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣3）． 【点评】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数；也考查了二次函数的性质． 18．（8分）如下图，抛物线与x轴交于点（点A在点C的右边），抛物线的顶点为M．求的面积． 【分析】先求出坐标，再把解析式化为顶点式求出点M的坐标，最后根据底高进行求解即可． 【解答】解：如图，连接AM，MC． 在中， 当时， 解得或， 抛物线的解析式为， 拋物线顶点M的坐标为． ，， ， ． 故的面积为． 【点评】本题主要考查了二次函数综合，掌握坐标轴特征和三角形面积公式是解题的关键． 19．（8分）某小区计划建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为a的墙，另三边用总长为79米的篱笆围成，围成的花圃是如图所示的矩形ABCD，并在BC边上留有一扇1米宽的门．设AD边的长为x米，矩形花圃的面积为S平方米． （1）求S与x之间的函数关系式． （2）若墙长a＝30米，求S的最大值． 【分析】对于（1），解：设，则，根据面积相等列出方程，求出解，再根据题意可得符合题意的解； 对于（2），设，则，可得二次函数，再求出a的取值范围，然后讨论二次函数的最大值即可. 【解答】解：设，则，根据题意，得 ， 整理，得， 解得. 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意. 所以围栏段的长为5米； （2）解：设，则，种植园的面积为S， 根据题意，得，且， 即. ∵，可知抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当时，（）. 所以当时，种植园的最大面积是，. 【点评】本题主要考查的是二次函数的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键． 20．（8分）某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果的销售量y（）与每千克降价x（元）（）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)该种干果每千克降价多少元时，商贸公司获利最大？最大利润是多少元？ 【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为，把和分别代入，再利用待定系数法即可求解； （2）设商贸公司获利w元，根据题意列出w与x之间的函数关系式，再利用二次函数的性质即可求解． 【解答】解：设y与x之间的函数关系式为， 把和分别代入，得， 解得， 所以y与x之间的函数关系式为． （2）解：设商贸公司获利w元．根据题意，得， 因为， 所以当时，， 答：该种干果每千克降价5元时，商贸公司获利最大，最大利润是2250元． 【点评】本题考查了二次函数的应用、求一次函数的解析式，理解题意是解题的关键． 21．（8分）已知抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m﹣1（m是常数）与直线l：y＝x﹣1． （1）若抛物线的对称轴为直线x＝1，直接写出该抛物线的顶点坐标为 　（1，0）　 ； （2）若抛物线的顶点为P，求证：点P在直线l上； （3）问将抛物线向上平移多少个单位后与直线l有唯一公共点？ 【分析】（1）将已知抛物线解析式转化为顶点式，然后直接得到答案； （2）将顶点P的坐标代入直线方程进行验证即可； （3）联立方程组，转化为关于x的一元二次方程，利用一元二次方程的根的判别式符号进行判断． 【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2mx+m2+m﹣1＝（x﹣m）2+m﹣1， ∴对称轴是直线x＝m． 又∵抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴m＝1， ∴该抛物线解析式为：y＝（x﹣1）2， ∴其顶点坐标为（1，0）； 故答案为：（1，0）； （2）证明：∵y＝x2﹣2mx+m2+m﹣1＝（x﹣m）2+m﹣1， ∴点P的坐标为（m，m﹣1）， ∵当x＝m时，y＝x﹣1＝m﹣1， ∴点P在直线l上； （3）设将抛物线向上平移n个单位后与直线l有唯一公共点， 则平移后的抛物线解析式为y＝x2﹣2mx+m2+m﹣1+n， 与直线l：y＝x﹣1联立，得， 消去y，并整理得，x2﹣（2m+1）x+m2+m+n＝0， 由Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4（m2+m+n）＝0， 解得，n， ∴将抛物线向上平移个单位后与直线l有唯一公共点． 【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，涉及到用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式、二次函数与一次函数的交点问题，有一定的难度． 22．（10分）请根据以下实际生活素材，完成项目式学习任务． 制定加工方案 生产背景 背景 某教具厂安排名工人加工一批教具，有“”“”两种样式． 因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“”教具件，或“”教具件， 要求全厂每天加工“”教具至少件 背景 每天加工的教具都能销售出去，扣除各种成本，教具厂的获利情况为：“”教具：元/件；“”教具：当每天加工件时，每件获利元；如果每天多加工件，那么平均每件获利将减少元． 信息整理 现安排名工人加工“”教具，名工人加工“”教具，列表如下： 教具种类 加工人数 (人) 每人每天加工量(件) 平均每件获利 (元) 探究任务 任务 探寻变量关系 求之间的数量关系． 任务 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为元，求关于的函数表达式． 任务 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案． 【分析】任务：根据题意列出函数关系式即可； 任务：由题意可得“”教具平均每件获利为元，进而列出关于的函数表达式即可； 任务：根据二次函数的性质解答即可求解； 【解答】解：任务：由题意得，， ∴； 任务：由题意得，“”教具平均每件获利为元， ∴ ， 即； 任务：由（）得，， ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵且为整数， ∴当或时，的值最大，此时或， ∴安排名工人加工“”教具，名工人加工“”教具或者安排名工人加工“”教具，名工人加工“”教具，能使每天总利润最大． 【点评】本本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，理解题意是解题的关键． 23．（10分）大鹏童装店销售某款童装每件售价为60元，每星期可卖100件，为了促销，该店决定降价销售，经市场调查反应：每降价1元，每星期可多卖出10件，已知该款童装每件成本30元，设该款童装每件售价x元每星期销售量为y件． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若商店按每件售价不超过45元来销售，当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少？ （3）若该店每星期想要获得不低于3910元的利润，则每星期至少要销售该童装多少件？ 【分析】（1）根据售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数关系即可得到结论． （2）设每星期利润为W元，构建二次函数利用二次函数性质解决问题． （3）列出不等式先求出售价的范围，即可解决问题． 【解答】解：（1）y＝100+10（60﹣x）＝﹣10x+700； （2）设每星期利润为W元， W＝（x﹣30）（﹣10x+700）＝﹣10（x﹣50）2+4000， 当x≤45时，W随x的增大而增大， ∴x＝45时，W最大值＝﹣10×（45﹣50）2+4000＝3750， 当每件售价为45元时，每星期的销售利润最大，最大利润3750元； （3）由题意：﹣10（x﹣50）2+4000≥3910， 令﹣10（x﹣50）2+4000＝3910， 解得：x＝53或47， ∴47≤x≤53， ∵y＝100+10（60﹣x）＝﹣10x+700． 170≤y≤230， ∴每星期至少要销售该款童装170件． 【点评】本题考查二次函数的应用，一元二次不等式，解题的关键是构建二次函数解决最值问题． 24．（12分）综合与探究： 如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过点A，B，与x轴的另一个交点为点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是第二象限内抛物线上一动点，连接，求四边形面积的最大值； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点G，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由一次函数解析式确定，再由待定系数法确定二次函数解析式即可； （2）根据题意得出∴，设点P的横坐标为，得出，，，作轴于点，交于点，然后表示出，利用二次函数的性质求解即可； （3）根据题意得出对称轴为， 设，根据等腰三角形的性质及勾股定理分情况求解即可． 【解答】解：直线，当时，， 当时，， 解得， ， 抛物线经过点， ， 解得：， 抛物线的解析式为：； （2）解：对于， 又∵， ∴， ∴， 设点P的横坐标为， ，，， 如图2，作轴于点，交于点，   ， ∴， 即， ∴当时，取得最大值为， ， ∴四边形面积的最大值为：； （3）解：存在， ∵, ∴对称轴为， ∵点G在对称轴上， ∴设， ∵， ∴，，， ∵是等腰三角形， ∴当时，， 解得：， ∴点G的坐标为或； ∴当时，， 解得：， ∴点G的坐标为或； ∴当时，， 解得：， ∴点G的坐标为； 综上可得，点G的坐标为，，，，． 【点评】本题主要考查一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、两点之间线段最短、勾股定理、等腰三角形的判定、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/8/17 20:24:10；用户：初中数学14；邮箱：tlshiyan017@xyh.com；学号：27405248 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$