第五章 比和比例关系（复习课件）数学新教材人教版五四制六年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了比、比例、正反比例的意义与性质，以及比例尺、图形缩放、按比例分配等应用，通过知识图谱将概念、性质与应用串联，构建“概念-性质-应用”的逻辑脉络。 其亮点在于“考点串讲-题型剖析-针对训练”的递进式复习策略，如“化简比与求比值”采用“统一形式-约分到最简-辨结果”三步法，结合单位换算实例培养运算能力，针对训练涵盖基础题与综合题如按比例分配问题，发展模型意识。这种设计帮助学生分层巩固知识，也为教师提供精准复习路径。

单元复习课件 第五章 比和比例关系 人教版五四制2024·六年级上册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.理解比、比例、正反比例的意义，掌握比和比例的基本性质；能求比值、化简比、解比例，会进行比例尺相关换算与图形缩放，能用比和比例解决简单实际问题. 3.感受比和比例在生活中的应用，增强学习兴趣；探究复杂问题时，培养抽象思维与逻辑推理能力. 2.通过生活实例与探究活动，经历知识形成过程，体会比与除法、分数的联系；解决实际问题时，提升分析能力与数学建模能力.​ 单元学习目标 比和比例关系 比 比的意义 求比值 比的基本性质 化简比 比例 比例的意义 列比例式 比例的基本性质 解比例 正比例与反比例 正比例 反比例 比和比例的应用 比例尺 图形的放大缩小 按比例分配 树影与身高问题 单元知识图谱 考点一、比的相关知识 1．比的意义：两个数的比中，“ ∶ ”是________，比号前面的数叫作比的________，比号后面的数叫作比的________；两个数的比也可以写成________形式（如2∶1可写成，仍读作“2比1”）；比可表示相同类别数量关系，也可表示________类别数量关系。 比号 前项 后项 分数 不同 考点串讲 考点一、比的相关知识 2．比值：比的前项除以后项所得的商叫作________，比值通常用________表示，也可以用________或________表示，我们可以这样来表示∶的比值：。 3．比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以________（________除外），比值________。根据这一性质可把比化成最简单的________。 比值 分数 小数 整数 相同的数 0 不变 整数比 考点串讲 考点二、比例的相关知识 1．比例的意义：表示两个比________的式子叫作比例。组成比例的四个数叫作比例的________，两端的两项叫作比例的________，中间的两项叫作比例的________。 2．比例的基本性质：在比例里，两个外项的积________两个内项的积。用字母表示为 如果（，，，），那么； 相等 项 外项 内项 等于 考点串讲 考点二、比例的相关知识 反过来，四个不为0的数，若其中两个数的乘积和另外两个数的乘积________，这四个数可组成________。 3．解比例：根据比例的____________，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个比例中的未知项，这一过程叫作________。 相等 比例 基本性质 解比例 考点串讲 考点三、正比例与反比例 1．正比例：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的________一定，这两个量就叫作成________的量，它们的关系叫作________关系。用字母表示为（一定，____），也可表示为（一定，____）。 比值 正比例 正比例 考点串讲 考点三、正比例与反比例 2．反比例：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的________一定，这两个量就叫作成________的量，它们的关系叫作________关系。用字母表示为（一定，____）。 乘积 反比例 反比例 考点串讲 考点四、比和比例的应用 1．比例尺：一幅图的图上距离和实际距离的比，叫作这幅图的________。表达式为 “________：________=比例尺”或“ ” 比例尺 图上距离 实际距离 考点串讲 比例尺分________比例尺（如一幅中国地图的比例尺是1∶100 000 000，有时也写成）和________比例尺（如一幅北京地图的比例尺这样表示 ，改写成数值比例尺为1:5 000 000）.计算时图上距离和实际距离的长度单位要________，为了计算方便，一般把比例尺写成前项或后项是________的形式。 考点四、比和比例的应用 数值 线段 相同 1 考点串讲 考点四、比和比例的应用 2．图形的放大与缩小：放大和缩小过程中，物体大小________、形状保持________；按一定比放大（或缩小），即把物体各边的长放大（或缩小）到原来的相应倍数；放大（或缩小）后图形与原图形对应边长的________不变，对应角的度数保持________，边长和周长________ 。 改变 不变 比值 不变 改变 考点串讲 考点四、比和比例的应用 3．其他实际问题：包括按比例分配（如按3∶2配制500mL润喉茶，可先求每份体积，再求水和浓浆的体积）、利用正反比例关系解决问题（如“立竿见影”测旗杆高度，因同一时间、同一地点物体高度和影长的比值一定，可列比例求解；货车行驶速度一定时，可根据正比例关系求行驶特定路程所需时间）等。 考点串讲 题型一、化简比与求比值 例1：下列语句正确的是（    ） A．1.2小时1小时20分 B．如果，那么， C．3厘米3米的比值是0.01 D．化为最简整数比是1 C 解：A、1.2小时1小时20分72分钟分钟 ，故A错误，不符合题意； B、如果，不一定为11，不一定为12，故B错误，不符合题意； C、3厘米3米厘米厘米，故C正确，符合题意； D、，故D错误，不符合题意，故选：C． 题型剖析 题型一、化简比与求比值 化简比与求比值 ——“两步走”+“辨结果” （1）统一形式，消除特殊项：若比的前项或后项是小数、分数，先转化为整数，保证比值不变. （2）约分到最简：将转化后的整数比，同时除以前项和后项的最大公因数，得到最简整数比. （3）明确 “化简比” 与 “求比值” 的区别：求比值是用前项除以后项，结果是数值；化简比是保留比的形式，结果是最简整数比，二者不可混淆. 题型剖析 变式：化简下列比，并求比值． (1) (2) (3) (4)时分 解：（1）， ； （2） ， ； 题型一、化简比与求比值 题型剖析 变式：化简下列比，并求比值． (1) (2) (3) (4)时分 解：（3） ， ； （4）时分分分， ． 题型一、化简比与求比值 题型剖析 题型二、解比例 例2：解比例． (1) (2) (3) 解：（1）， ， 解得； （2） 解得； （3） 解得 题型剖析 题型二、解比例 解比例 ——“抓性质”+“细计算” 锁定比例基本性质：牢记 “在比例里，两个外项的积 = 两个内项的积”，明确比例中的外项和内项. 列等式，解未知项：根据性质列出含未知项的等式，再通过等式变形求出未知项，计算时注意分数、小数的运算规则，避免计算错误. 验算验证：求出未知项后，代入原比例，检查前后两个比的比值是否相等（或外项积是否等于内项积），确保结果正确. 题型剖析 题型二、解比例 变式：今年，妈妈的年龄正好是小明的4倍．再过8年，小明与妈妈的年龄比是．今年小明和妈妈各多少岁？ 解：设小明今年是岁，则妈妈今年是岁． 妈妈：（岁） 答：今年小明是8岁，妈妈32岁． 题型剖析 题型三、正比例与反比例的判断 例3：如果路程为，速度为，时间为，那么与的关系可以用式子表示为 ，与之间的关系是 关系（填“正比例”或“反比例”）． 反比例 解：由路程公式可知 ， ，可得：， ， 速度与时间的乘积为常数 100， 与之间是反比例关系． 故答案为：；反比例． 题型剖析 题型三、正比例与反比例的判断 正比例与反比例的判断——“三步骤”+“抓关键” 步骤一 先看 “相关性”：判断两种量是否是 “相关联的量” ，若不相关联，直接排除正比例、反比例可能. 步骤二 再看 “变化规律”：若两种量 “同增同减”，且 “比值（商）一定” ，则成正比例；若两种量 “一增一减”，且 “乘积一定”，则成反比例. 步骤三：若比值和乘积都不固定，或变化无规律，则不成比例. 抓关键 结合定义验证：用正比例、反比例的字母表达式对照，确保符合定义本质，避免仅凭 “变化方向” 误判. 题型剖析 题型三、正比例与反比例的判断 变式：下面说法正确的是（    ） A．正方形的面积与边长成正比例关系 B．路程一定，行驶的时间与平均速度成反比例关系 C．完成一项工作，已完成的工作量与未完成的工作量成反比例关系 D．钢笔的单价一定时，购买的总价与钢笔数量成反比例关系 B 解：选项A、正方形的面积边长边长，则面积边长边长（非常数），故不成正比例； 选项B、路程时间速度，路程一定，则时间速度常数，故成反比例； 选项C、总工作量已完成的量未完成的量，则已完成未完成常数，故不成反比例； 选项D、总价单价数量，单价一定，则总价数量单价（常数），故成正比例，不是反比例．故选：B． 题型剖析 题型四、比例尺的应用 例4：某市体育场作为苏超足球联赛的主场，其足球场区域严格按照国际足联要求建设，长度为．若导览图比例尺为，则该足球场在导览图上的长度为 ． 7 解：． 设图上长度为，则 ， 解得， 故答案为：7． 题型剖析 题型四、比例尺的应用 比例尺的应用 ——“定公式”+“统单位” 牢记核心公式：比例尺 = 图上距离∶实际距离， 变形公式：实际距离 = 图上距离 ÷ 比例尺，图上距离 = 实际距离 × 比例尺，根据题目需求选择对应公式. 关键：单位统一：计算前必须统一 “图上距离” 和 “实际距离” 的单位，通常将实际距离的大单位转化为图上距离的小单位，避免单位混淆导致结果错误. 区分比例尺类型： 数值比例尺：直接按比例计算，注意前项表示图上距离，后项表示实际距离； 线段比例尺：先转化为数值比例尺，再按数值比例尺规则计算. 题型剖析 题型四、比例尺的应用 变式：甲、乙两城相距160千米，在一幅地图上量得甲、乙两城间的距离是4厘米．在这幅地图上还量得乙、丙两城间的距离是10厘米，乙、丙两城间的实际距离是多少千米？ 解：160千米厘米 （厘米） 厘米千米 答：乙、丙两城之间的实际距离是400千米． 题型剖析 题型五、按比例分配 例5：园艺师配制营养液，要求肥料和水按照的比例调配．现在他在50千克水中加入了0.6千克肥料，要使营养液符合要求，应（    ） A．再加入0.1千克肥料 B．倒出10千克营养液 C．加入10千克水 D．加入20千克水 C 解：0.6千克肥料需要千克水， 千克， 所以需要加入10千克水，故选：C． 题型剖析 题型五、按比例分配 按比例分配 ——“两种法”+“明总量” 核心：先定 “总份数” 与 “每份量”： 方法一（“归一法”）：先计算总份数，再用 “总量 ÷ 总份数” 求出 1 份的量，最后用 “1 份的量 × 各部分的份数”，得到各部分的具体量； 方法二（“占比法”）：先计算各部分占总量的比例，再用 “总量 × 各部分占比”，直接求出各部分的具体量. 注意 “总量对应”：确保题目中的 “总量” 是与比例直接相关的总量，若总量不直接给出，需先通过已知条件求出. 验算：各部分相加等于总量：计算后将各部分结果相加，看是否等于题目中的总量，若相等则结果正确，避免计算失误. 题型剖析 题型五、按比例分配 变式：学校一次选拔考试，参加的男生与女生之比是，结果录取117人，其中男女生人数之比是，在未被录取的学生中，男女生人数之比是，那么参加这次考试的男女生各有多少名？ 解：人，人， 所以录取的男生有72人，录取的女生有45人， 设参加这次考试的男生有人，则参加这次考试的女生有人， 所以， 解得：， 所以， 答：参加这次考试的男生有90人，女生有75人． 题型剖析 1．比的化简方法有很多，下面是4位同学化简的过程，其中正确的是（ ）． A．聪聪： B．明明： C．琦琦： D．妙妙： D 解：∵， ∴， 两边同时乘70（10和7的最小公倍数）： ， ∴化简结果为； 选项D正确，其他选项均错误；故选D． 针对训练 2．根据，可以组成的比例有(　　) A． B． C． D． C 解：A、∵，∴，故A不符合题意； B、∵，∴，故B不符合题意； C、∵，∴，故C符合题意； D、∵，∴，故D不符合题意． 故选：C． 针对训练 3．下面每个选项中的两个量成反比例关系的是（    ） A．正方体的表面积和它的棱长 B．被减数一定，减数和差 C．圆锥的高一定，它的体积和底面积 D．路程一定，速度和时间 D 解：A、正方体的表面积与棱长的平方的商为定值，不成反比例关系，不符合题意； B、被减数一定，减数和差的和为定值，不成反比例关系，不符合题意； C、圆锥的高一定，它的体积和底面积的商为定值，不成反比例关系，不符合题意； D、路程一定，速度和时间的乘积为定值，成反比例关系，符合题意； 故选D． 针对训练 4．一段路，甲3小时走完，乙4小时走完，甲、乙两人的速度最简整数比（    ） A．4∶3 B．3∶4 C．∶ D．3∶ A 解：甲、乙两人的速度比为：， 化简可得：， 故选：A． 针对训练 5．生物实验室里有各种动植物标本和相应的标本图片，其中一种非洲大白蚁在一幅比例尺是的标本图上长度是，那么这种非洲大白蚁的实际长度是（ ）． A．1 B．3 C．270 D．90 解：∵比例尺为，即图上距离是实际距离的30倍， ∴实际长度图上长度比例尺． 又∵， ∴． 故选：B． B 针对训练 6．（   ）：=（ ）％＝（ ）折＝（ ）成． 3 18 60 6 6 【解析】本题考查比，分数，小数和百分数的转化．根据比的性质，比与分数和除法的关系，进行求解即可． 解：折成． 故答案为：3；18；60；6；6． 针对训练 7．我国古代数学巨著《周髀算经》提到“勾三、股四、弦五”，其含义是“如果一个三角形中三条边长的比满足，则这个三角形是一个直角三角形”，已知一个这样的直角三角形周长是36厘米，则这个三角形的面积是 平方厘米． 54 解：设三边分别为厘米、厘米、厘米，则周长为： ， 解得：， 因此，两直角边分别为： （厘米），（厘米）， 则直角三角形的面积为：（平方厘米）． 故答案为：54． 针对训练 8．已知、两个量的值如下表所示，若与成反比例关系，则的值是 ． 12 8 6 9 解：∵A与B两个量成反比例关系， ∴， ∴． 故答案为：9． 针对训练 9．北京到天津的实际距离是千米，一幅地图上它们之间的距离是厘米，请把该地图的比例尺补充完整． 解：千米厘米， ， 厘米千米， 图上距离厘米表示实际距离千米， （千米），（千米）． 故答案为：，，. 针对训练 10．在一个水池中有两根直立的木棍，木棍的一端紧贴着池底，另一端都露在水面上．两个木棍露出水面部分的长度之比是．如果现在水池中的水面向上涨厘米，这时两根木棍露出水面的部分的长度之比是．那么原来这两根木棍露出水面部分的长度和是 厘米． 解：设原来这两根木棍露出水面部分的长度分别为厘米，厘米， 则， 解得，， （厘米） 即原来这两根木棍露出水面部分的长度和是厘米． 故答案为： 针对训练 11．解比例． (1) (2) (3) 解：（1）， ， ， ， ， ． （2）， ， ， ， ． （3）， ， ， ， ， ． 针对训练 12．某果园里苹果树与桃树的棵数比是，工人每天给31棵苹果树和15棵桃树喷药，几天后，当给桃树喷完时，发现苹果树还有28棵没有喷药．果园里这两种树各有多少棵？ 解：设共喷药x天， 根据题意，得 解得 （棵），（棵） 答：果园里苹果树有245棵，桃树有105棵． 针对训练 ✅ 知识构建： 比、比例的相关概念→比、比例的基本性质→实际应用 ✅ 思想方法： 建模思想、转化类比思想、数形结合思想 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. 课堂总结 感谢聆听! $