第五章 比和比例关系（复习讲义）数学新教材人教版五四制六年级上册

该初中数学复习讲义通过基础、进阶、拓展三级目标构建比和比例关系的知识体系，利用知识点表格系统梳理比与比例的意义性质、正反比例、比例尺等重点内容，同时标注常见易错点，清晰呈现知识脉络与内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，从比的化简、比例判定等基础题型到按比例分配、图形变换等综合应用，结合“绘制校园平面图”等实例培养数学思维与模型观念，基础巩固与能力提升测试助力分层提升，为教师精准教学和学生自主复习提供有力支持。

第五章 比和比例关系（复习讲义） 一、基础目标 1．比的意义与性质 （1）能阐述比的意义，明确比的各部分名称（前项、后项、比号），能区分同类量与不同类量的比，会用分数形式表示比。 （2）理解比的基本性质，即比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外）比值不变，能运用该性质将比化成最简单的整数比。 （3）掌握求比值的方法，能准确计算各类比的比值（分数、小数或整数形式），明确比值与比的区别。 2．比例的意义与性质 （1）能说明比例的意义，会判断两个比是否能组成比例。 （2）熟记比例的各部分名称（外项、内项），理解并掌握比例的基本性质（两个外项的积等于两个内项的积）。 （3）掌握解比例的方法，能根据比例的基本性质求出比例中的未知项。 3．正比例与反比例 （1）能识别相关联的量，明确正比例关系的定义（两个相关联的量比值一定）和反比例关系的定义（两个相关联的量乘积一定）。 （2）会用字母表达式表示正比例关系（y=kx，k一定且k≠0）和反比例关系（xy=k，k一定且k≠0），能举例说明生活中的正、反比例关系。 二、进阶目标 1．比和比例的综合运用 （1）能熟练进行比与分数、除法的相互转化，灵活运用三者关系解决问题。 （2）能根据正、反比例关系的特征，准确判断两个相关联的量是否成正、反比例，解决简单的正、反比例实际问题。 （3）掌握比例尺的意义，能进行数值比例尺与线段比例尺的相互转化，会运用比例尺计算图上距离或实际距离。 2．图形的放大与缩小 （1）理解图形放大与缩小的本质（形状不变、对应边长的比不变），能按指定的比将简单图形放大或缩小。 （2）能分析放大或缩小后图形与原图形的边长、周长、面积的变化规律，解决相关的图形变换问题。 三、拓展目标 1．比和比例的实际应用拓展 （1）能运用按比例分配的方法，解决生活中涉及多个量按一定比例分配的实际问题（如配制溶液、分摊费用等）。 （2）能综合运用比、比例、正反比例、比例尺等知识，解决复杂的实际问题（如行程问题、测量问题、工程问题等）。 2．数学思想与实践应用 （1）通过绘制校园平面图等实践活动，体会比和比例在实际生活中的应用价值，提升动手操作能力和模型观念。 （2）能探索比和比例中的数学规律（如图形放大缩小的比例规律等），培养观察、分析和推理能力，为后续学习更复杂的数量关系奠定基础。 知识点 重点归纳 常见易错点 比的意义与相关概念 1．比表示两个量的倍数关系，分为同类量的比和不同类量的比． 2．比的各部分名称：比号“∶”前后分别是前项、后项，可表示为分数形式（a∶b=，b≠0）． 3．比值是前项除以后项的商，结果为整数、小数或分数． 1．混淆“比”与“比值”，误将化简比的结果写成单一数值（如把2∶1写成2）． 2．不同类量的比意义理解不清，忽略其表示的新量． 比的基本性质与化简比 1．基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变． 2．化简比方法：整数比除最大公因数，小数比先化整数再化简，分数比交叉相乘化整数比，最终结果为最简整数比（前项、后项互质）． 1．化简时漏看“0除外”，出现后项乘0的错误． 2．小数或分数比化简步骤混乱，未先统一为整数比再计算． 3．化简结果未写成比的形式． 比例的意义与基本性质 1．比例的意义：表示两个比相等的式子． 2．比例各部分名称：两端为外项，中间为内项． 3．基本性质：外项积等于内项积（a∶b=c∶d→ad=bc），可用于判断比例和解比例． 1．判断比例时仅看形式不计算比值，误将不相等的比组成比例． 2．解比例时未运用外项积等于内项积，直接用算术方法计算． 3．分数形式的比例中，混淆外项和内项． 正比例与反比例 1．正比例：相关联的量比值一定（=k，k≠0）． 2．反比例：相关联的量乘积一定（xy=k，k≠0）． 3．判定关键：先看是否相关联，再看比值或乘积是否固定． 1．未判断“相关联的量”，直接根据变化趋势下结论． 2．混淆正比例和反比例的判定条件，将“乘积一定”当作正比例． 3．忽略“k≠0”的前提，出现类似“路程为0时速度与时间成比例”的错误． 比例尺 1．定义：图上距离与实际距离的比，分为数值比例尺和线段比例尺． 2．核心公式：比例尺=图上距离∶实际距离，实际距离=图上距离÷比例尺，图上距离=实际距离×比例尺． 3．单位换算：计算时需统一单位． 1．单位换算错误． 2．颠倒图上距离与实际距离，导致比例尺比值错误． 3．线段比例尺与数值比例尺互化时，误解线段比例尺的含义． 图形的放大与缩小 1．核心原则：形状不变（对应角相等），对应边的比相等（相似比）． 2．相关计算：放大（或缩小）后周长比=相似比，面积比=相似比的平方． 3．操作方法：按指定比放大或缩小各边长度，保持图形原有形状． 1．放大（或缩小）时只改变部分边长，导致图形变形． 2．混淆周长比与面积比，误将面积比等同于相似比． 3．未按指定比计算边长，随意改变图形大小． 比和比例的实际应用 1．按比例分配：先求总份数，再算每份数量（总量÷总份数），最后求各部分量（每份数量×对应份数）． 2．正反比例应用：先判定比例关系，再列比例式或方程求解（如行程、工程问题）． 3．测量应用：利用“立竿见影”等方法，通过比例求未知高度（如旗杆高度）． 1．按比例分配时，总份数计算错误． 2．解决实际问题时，未先判定比例关系，盲目列算式． 3．测量类问题中，忽略“同一时间、同一地点”的前提条件． 题型一 比的化简与比值计算 【例1】最简单的整数比是的比是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比的化简，熟练掌握比的基本性质是解题的关键． 根据比的基本性质，比的前项和后项同时乘或除以一个不为0的数，比值不变．将每个选项的比化简为最简整数比，判断是否为1∶2即可． 【详解】选项A：，故不符合题意； 选项B：，故不符合题意； 选项C：，故不符合题意； 选项D：，故符合题意； 故选：D． 【变式1-1】一个工程队5天铺设水管150米，铺设长度和天数的最简单整数比是 ，比值是 这个比值表示 ． 【答案】 每天铺设水管的长度 【分析】本题考查了比的应用、比的化简等知识点，掌握比的意义是解题的关键． 铺设长度和天数的比是，然后化简为最简整数比，求比值，这个比值表示平均每天铺设的长度． 【详解】解：；；比值30表示平均每天铺设的长度． 故答案为：；30；平均每天铺设的长度． 【变式1-2】化成最简整数比． (1)； (2)时：15分； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先统一形式，再根据比的性质化简； （2）先统一单位，再根据比的性质化简； （3）直接根据比的性质化简． 【详解】（1）； （2）时：15分=时：时=； （3）． 【点睛】此题考查比的性质，比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变． 题型二 比例的判定与解比例 【例2】下面两个比可以组成比例的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查了比例的基本性质，求比值，比例的定义，掌握比例的基本性质是解题的关键．根据比例的基本性质求解即可． 【详解】解：A．，， ∵， ∴和不能组成比例，故A不符合题意； B．，， ∴和能组成比例，故B符合题意； C．，， ∵， ∴和不能组成比例，故C不符合题意； D．，， ∵ ∴和不能组成比例，故D不符合题意． 故选：B． 【变式2-1】写出所有能与4，5，6组成比例的数 ． 【答案】，，． 【分析】分别从两内项之积为4×5,4×6,5×6去计算求解即可. 【详解】解：能与4，5，6组成比例的数为 则有：① ② ③． 故答案为：，，． 【点睛】本题考查了比例的意义和性质．解题的关键在于正确计算． 【变式2-2】解比例． (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了解比例式、比例的基本性质，掌握根据比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”是解题的关键． （1）根据比例的基本性质，先写成的形式，两边同时即可解答； （2）根据比例的基本性质，先写成的形式，两边同时即可解答； （3）根据比例的基本性质，先写成的形式，两边同时即可解答． 【详解】（1）解：， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ， ． （3）解：， ， ， ， ． 题型三 正、反比例的判定 【例3】下面说法错误的是（    ） A．被减数一定，减数和差成反比例 B．如果，那么a和b成反比例 C．路程一定，时间与速度成反比例 D．工作效率一定，工作总量和工作时间成正比例 【答案】A 【详解】本题考查正比例和反比例的定义．正比例是指两种量的比值一定，反比例是指两种量的乘积一定．根据各选项中的数量关系进行判断． 【分析】∵ 被减数一定时，减数和差满足：减数 + 差 = 被减数（常数），和一定，但乘积不一定， ∴ 减数和差不成反比例，故A错误； ∵，乘积一定， ∴ 和成反比例，故B正确； ∵ 路程一定时，时间×速度=路程（常数），乘积一定， ∴ 时间与速度成反比例，故C正确； ∵ 工作效率一定时，工作总量工作时间=工作效率（常数），比值一定， ∴ 工作总量和工作时间成正比例，故D正确． 故选A． 【变式3-1】下表中x和y两个量成反比例关系，则“△”处应填 ． x 12 △ y 6 24 【答案】3 【分析】本题主要考查了反比例关系的定义，根据反比例关系的定义可得，据此求解即可． 【详解】解：∵x和y两个量成反比例关系， ∴， ∴， 故答案为：3． 【变式3-2】某工程队计划挖掘一段隧道，每天挖掘隧道的长度和所需的天数如下表： 每天挖掘隧道的长度/ 20 50 100 … 所需天数 750 300 150 … (1)挖掘隧道所需的天数是怎样随着每天挖掘隧道的长度的变化而变化的？ (2)用表示所需的天数，用表示每天挖掘隧道的长度，用式子表示与的关系．与成什么比例关系？ 【答案】(1)所需的天数随着每天挖掘长度的增加而减少，且每天挖掘长度与所需天数的乘积保持不变． (2)，与成反比例关系． 【分析】本题考查了反比例的应用，解题的关键是掌握当两个变量乘积一定时则成反比例关系． （1）分析表格即可解答； （2）先根据题意列出关系式，再根据关系式判断成什么比例关系即可． 【详解】（1）解：由表格可知：所需天数随着每天所挖的长度的增加而减少，且每天挖掘长度与所需天数的乘积保持不变． （2）解： ，， 与的关系为， 因为与的乘积一定为15000， 所以与成反比例关系． 题型四 比例尺的实际应用 【例4】源源和明明分别将学校的同一个花坛画了下来，如下图．如果源源是按（）的比例尺画的，那么明明是按（    ）的比例尺画的．    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例尺，根据源源画的求出实际距离，进而根据比例尺图上距离实际距离即可求解，掌握比例尺的计算方法是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，实际距离为， ∵， ∴明明是按的比例尺画的， 故选：． 【变式4-1】甲、乙两地相距，画在比例尺是的地图上，应画( )．这幅地图的比例尺用线段比例尺表示，地图上的距离相当于地面上( )的距离． 【答案】 1.2 50 【分析】本题考查了比例尺，根据图上距离=实际距离×比例尺，列出算式即可求得结果． 【详解】解：， 图上距离， 比例尺表示图上代表实际，即地图上的距离相当于地面上， 故答案为：1.2；50． 【变式4-2】智能物流是把先进的物联网技术通过信息处理和网络通信技术平台广泛应用于物流业运输、仓储、配送、包装、装卸等基本活动环节，实现货物运输过程的自动化运作和高效率优化管理．某物流公司用机器人给某街道配送快递，下图是机器人配送快递的示意图． (1)已知出发点到户的实际距离是300米，则这幅图的比例尺是多少？ (2)户在出发点的东偏北方向，距离出发点的实际距离是多少米？ (3)机器人现在要给户配送快递，户位于出发点东偏南方向400米处，请在上图中画出户的位置． 【答案】(1)1∶10000 (2)200米 (3)见详解 【分析】本题应用比例尺画图、图上距离与实际距离的换算、根据方向、角度和距离确定物体的位置、比例尺的意义． （1）先从图上量出点到出发点的图上距离，再根据“图上距离∶实际距离＝比例尺”，求出这幅图的比例尺．注意单位的换算：1米＝100厘米． （2）先从图上量出点距离出发点的图上距离，再根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”，求出户距离出发点的实际距离，再根据进率“1米＝100厘米”换算单位即可． （3）已知户位于出发点东偏南方向400米处，先把400米换算成40000厘米，再根据“图上距离＝实际距离×比例尺”，求出户距离出发点的图上距离．以图上的“上北下南，左西右东”为准，以出发点为观测点，根据方向、角度和距离在图中画出户的位置． 【详解】（1）解：量得点到出发点的图上距离是3厘米，（以实际测量为准） 3厘米∶300米＝3厘米∶厘米＝3∶30000＝1∶10000． 答：这幅图的比例尺是1∶10000． （2）量得点距离出发点的图上距离是2厘米，（以实际测量为准） （厘米）， 2000厘米＝200米． 答：点距离出发点的实际距离是200米． （3）400米＝40000厘米    ， （厘米）． 如图： 题型五 按比例分配的实际应用 【例5】甲与乙的工作效率比是，两人合做一批零件共计880个，乙比甲少做 （     ） A．480个 B．400 个 C．80个 D．40个 【答案】C 【分析】本题考查比的应用，工作效率比是，则工作量之比也是，甲做的零件数量为总数的，乙做的零件数量为总数的，再列式求解，即可解题． 【详解】解： （个）， 即乙比甲少做80个， 故选：C． 【变式5-1】学校运来棵树苗，老师栽种了，剩下的树苗按分配给甲、乙、丙三个班．丙班分到 棵树苗． 【答案】 【分析】本题考查百分数和比，掌握相关知识是解决问题的关键．先求出三个班共栽种的数量，剩余的按比例求出即可． 【详解】解：∵老师栽种了， ∴剩下的树苗为棵， ∵剩下的树苗按分配给甲、乙、丙三个班， ∴丙班分到棵． 故答案为． 【变式5-2】为保障“双减”政策的落地，秉承“以人为本”的教育理念，学校将课后延时服务时间分为自主作业、阳光体育、科普活动三部分，课后延时服务共分钟，科普活动用分钟，自主作业、阳光体育用的时间按照的比分配，自主作业用多少分钟？ 【答案】分钟 【分析】本题考查比例分配的实际应用，解题的关键是按比例分配，先求可分配的总时间，易错点在于忽略科普活动时间：误将总时间分钟直接按分配；用课后延时服务的时间减去科普活动的时间，就得自主作业和阳光体育的总时间，再将自主作业和阳光体育的总时间平均分成份，求出份的时间，再乘就是自主作业的时间． 【详解】 （分钟） 答：自主作业用30分钟． 基础巩固通关测 一、单选题 1．下面能与5、7、10组成一组比例的是（   ） A．16 B．14 C．12 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了比例的基本性质，根据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积。对于给定数5、7、10，需要找到第四个数，使得或类似形式成立. 【详解】解：∵ ，且 ， ∴ ， 因此5、7、10、14能组成比例。其他选项（16、12、8）均不满足乘积相等， 故选B. 2．下面说法错误的是（    ） A．路程一定，时间与速度成反比例 B．如果，那么和成反比例 C．工作效率一定，工作总量和工作时间成反比例 D．班级总人数一定，班级的小组数和每小组的人数成反比例 【答案】C 【分析】本题考查反比例的定义，即两种相关联的量，乘积一定则成反比例；选项A、B、D均满足乘积一定，故正确；选项C中工作效率一定，工作总量与工作时间比值一定，成正比例，而非反比例，故错误 【详解】∵ 路程 = 时间 × 速度，路程一定， ∴ 时间与速度的乘积一定，成反比例，A正确； ∵ ，乘积一定， ∴ a和b成反比例，B正确； ∵ 工作效率 = 工作总量 ÷工作时间，工作效率一定， ∴ 工作总量与工作时间的比值一定，成正比例，而非反比例，C错误； ∵ 班级总人数 = 小组数 × 每小组人数，班级总人数一定， ∴ 小组数与每小组人数的乘积一定，成反比例，D正确； 故选C 3．比例尺表示（ ）． A．图上距离是实际距离的 B．实际距离60千米在图上用3厘米表示 C．实际距离是图上距离的600000倍 D．图上距离与实际距离的比是 【答案】D 【分析】本题考查了图上距离与实际距离的换算、比例尺的意义 A．观察线段比例尺，图上1厘米表示实际60千米，根据1千米厘米，统一单位，将实际距离看作单位“1”，图上距离实际距离图上距离是实际距离的几分之几； B．图上1厘米表示实际60千米； C．实际距离图上距离实际距离是图上距离的几倍； D．根据图上距离实际距离比例尺，转化成数值比例尺． 【详解】解：A．千米厘米， ， 图上距离是实际距离的，说法错误； B．实际距离60千米在图上用1厘米表示，说法错误； C．实际距离是图上距离的6000000倍，说法错误； D．1厘米厘米，说法正确． 故选：D． 4．参加某次数学竞赛的女生和男生人数的比是，这次竞赛的平均成绩是82分，其中男生的平均成绩是80分，则女生的平均成绩是（   ） A．82分 B．84分 C．86分 D．88分 【答案】D 【分析】本题主要考查比的应用，解题的关键是理解题意；：把女生人数看作单位“1”，则男生人数为单位“3”，然后分别得出全班总成绩和男生总成绩，进而问题可求解． 【详解】解：把女生人数看作单位“1”，则男生人数为单位“3”， 由题意得：全班总成绩为（分）， 男生总成绩为（分）， ∴女生的平均成绩为（分）； 故选D． 5．将一个长是5厘米、宽是3厘米的长方形按放大，得到的图形面积是（ ）平方厘米． A．15 B．240 C．60 D．64 【答案】B 【分析】本题考查了比的应用，按比例放大后，长方形的长和宽均变为原来的4倍，面积变为原来的16倍。直接计算放大后的尺寸再求面积即可． 【详解】解：∵放大比例为， ∴放大后长为，放大后宽为， ∴放大后面积为． 故选：B． 二、填空题 6． = %=15÷ =0.25=6： ． 【答案】 3 25 60 24 【分析】本题主要考查百分数、小数及比的换算，熟练掌握百分数、小数及比的性质是解题的关键；以0.25为基准，进行分数、百分数、除法和比的换算． 【详解】解：因为，所以，故第一个空为3；，故第二个空为25；，故第三个空为60；，故第四个空为24； 故答案为3、25、60、24． 7．如果，那么和成 (“正”或“反”)比例关系． 【答案】反 【分析】本题主要考查了反比例的定义，熟练掌握反比例的定义是解题的关键． 根据反比例的定义，若两个量的乘积一定，则这两个量成反比例关系即可判断． 【详解】解： ， 和成反比例关系． 故答案为：反． 8．十七世纪，著名数学家莱布尼茨认为比号与除号有一种亲缘关系，把“”的小横线去掉，于是就成了“”现在的样子，那么就可以改写成比例( )；可以改写成比例( )． 【答案】 【分析】本题主要考查了比例的应用，第一个空直接将除号“”替换为比号“”即可；第二个空根据比例的基本性质，即比例的两内项积等于两外项积，将乘积等式改写成比例形式. 【详解】解：直接改写成比例；根据比例的基本性质，将4和5作为外项，2和10作为内项，改写成比例. 故答案为：；. 9．在一个比例中，两个内项的积是最小的合数，已知一个外项是，另一个外项是( )． 【答案】20 【分析】本题主要考查了比例的基本性质、合数等知识点，掌握比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”是解题的关键． 由最小的合数是4，因此两个外项的积为4．据此列式计算即可． 【详解】解：∵最小的合数是4，两个内项的积是最小的合数， ∴两个内项的积是4． ∴两个外项的积也是4． ∵已知一个外项是 ， ∴另一个外项为 ． 故答案为20． 10．某平面图的比例尺为：，若平面图上甲、乙两地的距离为，则甲、乙两地的实际距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了图上距离与实际距离的换算，根据比例尺的定义，实际距离等于图上距离乘以比例尺的分母，再通过单位换算将厘米转换为千米； 【详解】解：比例尺为，表示图上1厘米代表实际距离厘米； ∵图上距离为3厘米，则实际距离为； ∵1千米 厘米， ∴实际距离为， 故答案为：90 三、解答题 11．解比例． (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了解比例式、比例的基本性质，掌握根据比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”是解题的关键． （1）根据比例的基本性质可得，再根据等式的性质2，等式两边同时除以32即可解答； （2）根据比例的基本性质可得，再根据等式的性质2，等式两边同时除以即可解答； （3）根据比例的基本性质可得，再根据等式的性质2，等式两边同时除以即可解答 【详解】（1）解：， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ， ， ． （3）解：， ， ， ， ， ． 12．大熊猫和花（又名花花）因其温顺亲人，吃东西慢，憨态可掬而走红网络．某工厂接到生产大熊猫花花布偶的任务，原计划每天生产120箱，8天完成任务．实际每天生产160箱，多少天能完成任务？（用比例知识解答） 【答案】6天 【分析】本题考查了比例的应用．根据工作总量=工作效率×工作时间，工作总量是一定的，工作效率和工作时间成反比例，即每天生产的箱数与生产的天数成反比例．设实际用x天能完成任务，可列出比例：，解出比例，即可解答． 【详解】解：设实际用x天能完成任务． ， ， ， 答：实际用6天能完成任务． 能力提升进阶练 一、单选题 1．下面各比中，能与组成比例的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查比例的意义和性质的运用：判断两个比能否组成比例，可以用求比值的方法：两个比的比值相等，就能组成比例，比值不相等，就不能组成比例；也可以根据比例的性质：两外项的积等于两内项的积判断． 先求出的比值，然后逐项求出每一个比的比值，再根据比例的意义，与的比值相等的两个比就能组成比例． 【详解】解： A．，，不能组成比例； B．，，能组成比例； C．，，不能组成比例； D．，，不能组成比例． 故选：B． 2．一个比的比值是，如果前项不变，后项扩大到原数的3倍，这时的比值（ ）． A．扩大到原比值的9倍 B．扩大到原比值的3倍 C．缩小到原比值的 D．缩小到原比值的 【答案】C 【分析】本题考查了比的基本性质及比值的变化规律，解题的关键是明确“比值前项后项”，根据后项的变化分析比值的变化． 设比的前项为、后项为，由原比值得；后项扩大到原数的3倍后，新比值为，计算其与原比值的关系，判断变化情况． 【详解】解：设该比的前项为，后项为，则原比值为． 当后项扩大到原数的3倍时，新后项为，此时新比值为，即新比值是原比值的． 故选：C． 3．阳光小学新建一个长方形游泳池，长米，宽米．把它画在长厘米、宽厘米的纸上，在下面比例尺中，选用（ ）不合适． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了比例尺的应用，熟练掌握“图上距离、实际距离与比例尺的数量关系”是解题的关键．先将实际长度换算为厘米，再根据“图上距离实际距离比例尺”计算各选项的图上长和宽，判断是否超过纸的尺寸，从而确定不合适的比例尺． 【详解】解：实际长米厘米，宽米厘米． 对于. ：图上长，图上宽，合适． 对于.：图上长，图上宽，但长超过纸长，不合适． 对于. ：图上长，图上宽，合适． 对于.：图上长，图上宽，合适． ∴选用不合适， 故答案为：． 4．甲、乙两人完成某项工程的天数之比是，乙、丙两人完成该项工程的天数之比为，那么甲做15天的工程丙要做（ ）天． A．6 B．7 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了比的性质． 通过求出甲、乙、丙完成工程的天数之比，再根据比例关系求解． 【详解】甲乙，乙丙， 甲乙，乙丙， 甲乙丙， 即甲丙， 甲做15天的工程，丙要做8天． 故选：C． 5．电是人们生产、生活的重要能源，节能环保，避开“白昼灯”、“长明灯”已成为人们的共识．某学校计划购买1000度电，若平均每天用电n度，则能使用m天．下列说法错误的是（    ）． A．若n减小一半，则m增大一倍 B．若，则 C．若n逐渐减小，则m随着减小 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查反比例的应用，每天用电量与能使用天数之积为定值，可知m与n成反比例关系，由此逐项判断即可． 【详解】解：由题意知， A．若n减小一半，则m增大一倍，说法正确； B．若，则，说法正确； C．若n逐渐减小，则m逐渐增大，选项中说法错误； D．若，则，说法正确； 故选C． 二、填空题 6．将化成最简整数比是 ，比值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了比值，化简，熟练掌握以上知识是解题的关键． 将比的前后项化为整数后约简，求比值时用前项除以后项． 【详解】解：化简比：， 同时乘100：， ∵和的最大公约数为， ∴，， ∴最简整数比为． 求比值：， 故答案为：，． 7．根据比例的基本性质，在括号里填上合适的数． ( ) ( ) ( )∶ 【答案】 0.2 2.4 2 2 【分析】本题主要考查比的性质，根据比例的基本性质，即比例中两个外项的积等于两个内项的积，计算每个括号内的未知数. 【详解】解：设第一个未知数为 ，由 得 ，计算得 . 设第二个未知数为 ，由 得 ，计算得 . 设第三个未知数为 ，由 得 ，计算得 . 设第四个未知数为 ，由 得 ，计算得 . 设第五个未知数为 ，由 得 ，计算得 . 设第六个未知数为 ，由 得 ，计算得 . 故答案为：0.2；2.4；；2；；2. 8．科技小组的同学制作弹簧秤，不挂重物时弹簧长8厘米．实验发现这个弹簧秤伸长的长度与它所挂物体的质量存在如下关系（弹簧自身的质量忽略不计）： 弹簧伸长的长度/厘米 1 2 3 … 5 物体的质量/千克 2 4 6 … 10 在一定范围内，弹簧伸长的长度与物体的质量成( )比例．当弹簧的总长度是12.8厘米时，所称物体的质量是( )千克． 【答案】 正 9.6 【分析】此题考查了正比例关系的认识及应用，要求学生掌握． （1）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系就叫做正比例关系；两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫反比例关系． （2）因为不挂重物时弹簧长8厘米，所以弹簧伸长的长度是弹簧伸长后的总长度减去弹簧原来的长度；用弹簧伸长的长度乘弹簧伸长每厘米所称物体的质量，就是所称物体的质量． 【详解】解：（1）（千克/厘米） （千克/厘米） （千克/厘米） …… （千克/厘米） 2是一定值，所以在一定范围内，弹簧伸长的长度与物体的质量成正比例． （2）因为不挂重物时弹簧长8厘米，所以弹簧伸长的长度是： （厘米） 所挂物体的质量是： （千克） 答：当弹簧的长度是12.8厘米时，所称物体的质量是9.6千克． 故答案为：（1）正．（2）9.6． 9．一家面包加工企业捐助一批面包发往某地灾区，在一幅标有的地图上，量得两地的距离是2.7厘米，两地间的实际距离是 千米；一辆大货车载着捐助的面包于上午11时出发，以90千米/时的速度开往某地，下午 时可以抵达． 【答案】 270 2 【分析】本题考查比例尺，行程问题： （1）图上距离乘以比例尺可得实际距离； （2）路程除以速度求出时间即可． 【详解】解：（千米） （小时） 上午11时小时下午2时 答：下午2时可以抵达， 故答案为：270，2． 10．某学校上一年度男生人数与女生人数比是，本年度男生减少了，女生增加了，那么在本年度中男生占全部学生的 ． 【答案】 【分析】本题考查了比的应用，百分数的应用，根据上一年度男女比例，设男生为份，女生为份，总人数为份，计算本年度男生减少后的人数份数和女生增加后的人数份数，再求本年度总人数份数，最后计算男生占比，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由上一年度男女比例， 设男生为份，女生为份，总人数为份， ∴本年度男生人数为（份），女生人数为（份）， ∴本年度总人数为（份）， ∴男生占全部学生的百分比为， 故答案为：． 三、解答题 11．解比例 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了解比例，解题的关键是掌握比例的性质． （1）根据比例的性质求解即可； （2）根据比例的性质求解即可； （3）根据比例的性质求解即可； （4）根据比例的性质求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 12．小源、小君、小凤三人是集邮爱好者，小源和小君邮票数量的比是，小君和小凤邮票数量的比是，小源比小凤多63枚．他们三人分别有多少枚邮票？ 【答案】小源105枚，小君168枚，小凤的42枚 【分析】本题考查了按比分配问题、比的应用．先找出三人邮票数量的比，小君原来平均分成8份，后来平均分成4份，统一两次的份数，8和4的最小公倍数是8，根据比的基本性质，可转化为，即统一后小源、小君、小凤三人邮票数量的比是，已知小源比小凤多63枚，即用63除以小源比小凤多少的份数，可得每份的邮票数量，再用每份的邮票数量分别乘三个对应的邮票数量的份数，即可得解． 【详解】解：小源和小君邮票数量的比是，小君和小凤邮票数量的比是， ∴， 则小源、小君、小凤三人邮票数量的比是， （枚）， 小源：（枚） 小君：（枚） 小凤：（枚） 即小源的邮票数量是105枚，小君的邮票数量是168枚，小凤的邮票数量是42枚． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 比和比例关系（复习讲义） 一、基础目标 1．比的意义与性质 （1）能阐述比的意义，明确比的各部分名称（前项、后项、比号），能区分同类量与不同类量的比，会用分数形式表示比。 （2）理解比的基本性质，即比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外）比值不变，能运用该性质将比化成最简单的整数比。 （3）掌握求比值的方法，能准确计算各类比的比值（分数、小数或整数形式），明确比值与比的区别。 2．比例的意义与性质 （1）能说明比例的意义，会判断两个比是否能组成比例。 （2）熟记比例的各部分名称（外项、内项），理解并掌握比例的基本性质（两个外项的积等于两个内项的积）。 （3）掌握解比例的方法，能根据比例的基本性质求出比例中的未知项。 3．正比例与反比例 （1）能识别相关联的量，明确正比例关系的定义（两个相关联的量比值一定）和反比例关系的定义（两个相关联的量乘积一定）。 （2）会用字母表达式表示正比例关系（y=kx，k一定且k≠0）和反比例关系（xy=k，k一定且k≠0），能举例说明生活中的正、反比例关系。 二、进阶目标 1．比和比例的综合运用 （1）能熟练进行比与分数、除法的相互转化，灵活运用三者关系解决问题。 （2）能根据正、反比例关系的特征，准确判断两个相关联的量是否成正、反比例，解决简单的正、反比例实际问题。 （3）掌握比例尺的意义，能进行数值比例尺与线段比例尺的相互转化，会运用比例尺计算图上距离或实际距离。 2．图形的放大与缩小 （1）理解图形放大与缩小的本质（形状不变、对应边长的比不变），能按指定的比将简单图形放大或缩小。 （2）能分析放大或缩小后图形与原图形的边长、周长、面积的变化规律，解决相关的图形变换问题。 三、拓展目标 1．比和比例的实际应用拓展 （1）能运用按比例分配的方法，解决生活中涉及多个量按一定比例分配的实际问题（如配制溶液、分摊费用等）。 （2）能综合运用比、比例、正反比例、比例尺等知识，解决复杂的实际问题（如行程问题、测量问题、工程问题等）。 2．数学思想与实践应用 （1）通过绘制校园平面图等实践活动，体会比和比例在实际生活中的应用价值，提升动手操作能力和模型观念。 （2）能探索比和比例中的数学规律（如图形放大缩小的比例规律等），培养观察、分析和推理能力，为后续学习更复杂的数量关系奠定基础。 知识点 重点归纳 常见易错点 比的意义与相关概念 1．比表示两个量的倍数关系，分为同类量的比和不同类量的比． 2．比的各部分名称：比号“∶”前后分别是前项、后项，可表示为分数形式（a∶b=，b≠0）． 3．比值是前项除以后项的商，结果为整数、小数或分数． 1．混淆“比”与“比值”，误将化简比的结果写成单一数值（如把2∶1写成2）． 2．不同类量的比意义理解不清，忽略其表示的新量． 比的基本性质与化简比 1．基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变． 2．化简比方法：整数比除最大公因数，小数比先化整数再化简，分数比交叉相乘化整数比，最终结果为最简整数比（前项、后项互质）． 1．化简时漏看“0除外”，出现后项乘0的错误． 2．小数或分数比化简步骤混乱，未先统一为整数比再计算． 3．化简结果未写成比的形式． 比例的意义与基本性质 1．比例的意义：表示两个比相等的式子． 2．比例各部分名称：两端为外项，中间为内项． 3．基本性质：外项积等于内项积（a∶b=c∶d→ad=bc），可用于判断比例和解比例． 1．判断比例时仅看形式不计算比值，误将不相等的比组成比例． 2．解比例时未运用外项积等于内项积，直接用算术方法计算． 3．分数形式的比例中，混淆外项和内项． 正比例与反比例 1．正比例：相关联的量比值一定（=k，k≠0）． 2．反比例：相关联的量乘积一定（xy=k，k≠0）． 3．判定关键：先看是否相关联，再看比值或乘积是否固定． 1．未判断“相关联的量”，直接根据变化趋势下结论． 2．混淆正比例和反比例的判定条件，将“乘积一定”当作正比例． 3．忽略“k≠0”的前提，出现类似“路程为0时速度与时间成比例”的错误． 比例尺 1．定义：图上距离与实际距离的比，分为数值比例尺和线段比例尺． 2．核心公式：比例尺=图上距离∶实际距离，实际距离=图上距离÷比例尺，图上距离=实际距离×比例尺． 3．单位换算：计算时需统一单位． 1．单位换算错误． 2．颠倒图上距离与实际距离，导致比例尺比值错误． 3．线段比例尺与数值比例尺互化时，误解线段比例尺的含义． 图形的放大与缩小 1．核心原则：形状不变（对应角相等），对应边的比相等（相似比）． 2．相关计算：放大（或缩小）后周长比=相似比，面积比=相似比的平方． 3．操作方法：按指定比放大或缩小各边长度，保持图形原有形状． 1．放大（或缩小）时只改变部分边长，导致图形变形． 2．混淆周长比与面积比，误将面积比等同于相似比． 3．未按指定比计算边长，随意改变图形大小． 比和比例的实际应用 1．按比例分配：先求总份数，再算每份数量（总量÷总份数），最后求各部分量（每份数量×对应份数）． 2．正反比例应用：先判定比例关系，再列比例式或方程求解（如行程、工程问题）． 3．测量应用：利用“立竿见影”等方法，通过比例求未知高度（如旗杆高度）． 1．按比例分配时，总份数计算错误． 2．解决实际问题时，未先判定比例关系，盲目列算式． 3．测量类问题中，忽略“同一时间、同一地点”的前提条件． 题型一 比的化简与比值计算 【例1】最简单的整数比是的比是（    ）． A． B． C． D． 【变式1-1】一个工程队5天铺设水管150米，铺设长度和天数的最简单整数比是 ，比值是 这个比值表示 ． 【变式1-2】化成最简整数比． (1)； (2)时：15分； (3) 题型二 比例的判定与解比例 【例2】下面两个比可以组成比例的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式2-1】写出所有能与4，5，6组成比例的数 ． 【变式2-2】解比例． (1) (2) (3) 题型三 正、反比例的判定 【例3】下面说法错误的是（    ） A．被减数一定，减数和差成反比例 B．如果，那么a和b成反比例 C．路程一定，时间与速度成反比例 D．工作效率一定，工作总量和工作时间成正比例 【变式3-1】下表中x和y两个量成反比例关系，则“△”处应填 ． x 12 △ y 6 24 【变式3-2】某工程队计划挖掘一段隧道，每天挖掘隧道的长度和所需的天数如下表： 每天挖掘隧道的长度/ 20 50 100 … 所需天数 750 300 150 … (1)挖掘隧道所需的天数是怎样随着每天挖掘隧道的长度的变化而变化的？ (2)用表示所需的天数，用表示每天挖掘隧道的长度，用式子表示与的关系．与成什么比例关系？ 题型四 比例尺的实际应用 【例4】源源和明明分别将学校的同一个花坛画了下来，如下图．如果源源是按（）的比例尺画的，那么明明是按（    ）的比例尺画的．    A． B． C． D． 【变式4-1】甲、乙两地相距，画在比例尺是的地图上，应画( )．这幅地图的比例尺用线段比例尺表示，地图上的距离相当于地面上( )的距离． 【变式4-2】智能物流是把先进的物联网技术通过信息处理和网络通信技术平台广泛应用于物流业运输、仓储、配送、包装、装卸等基本活动环节，实现货物运输过程的自动化运作和高效率优化管理．某物流公司用机器人给某街道配送快递，下图是机器人配送快递的示意图． (1)已知出发点到户的实际距离是300米，则这幅图的比例尺是多少？ (2)户在出发点的东偏北方向，距离出发点的实际距离是多少米？ (3)机器人现在要给户配送快递，户位于出发点东偏南方向400米处，请在上图中画出户的位置． 题型五 按比例分配的实际应用 【例5】甲与乙的工作效率比是，两人合做一批零件共计880个，乙比甲少做 （     ） A．480个 B．400 个 C．80个 D．40个 【变式5-1】学校运来棵树苗，老师栽种了，剩下的树苗按分配给甲、乙、丙三个班．丙班分到 棵树苗． 【变式5-2】为保障“双减”政策的落地，秉承“以人为本”的教育理念，学校将课后延时服务时间分为自主作业、阳光体育、科普活动三部分，课后延时服务共分钟，科普活动用分钟，自主作业、阳光体育用的时间按照的比分配，自主作业用多少分钟？ 基础巩固通关测 一、单选题 1．下面能与5、7、10组成一组比例的是（   ） A．16 B．14 C．12 D．8 2．下面说法错误的是（    ） A．路程一定，时间与速度成反比例 B．如果，那么和成反比例 C．工作效率一定，工作总量和工作时间成反比例 D．班级总人数一定，班级的小组数和每小组的人数成反比例 3．比例尺表示（ ）． A．图上距离是实际距离的 B．实际距离60千米在图上用3厘米表示 C．实际距离是图上距离的600000倍 D．图上距离与实际距离的比是 4．参加某次数学竞赛的女生和男生人数的比是，这次竞赛的平均成绩是82分，其中男生的平均成绩是80分，则女生的平均成绩是（   ） A．82分 B．84分 C．86分 D．88分 5．将一个长是5厘米、宽是3厘米的长方形按放大，得到的图形面积是（ ）平方厘米． A．15 B．240 C．60 D．64 二、填空题 6． = %=15÷ =0.25=6： ． 7．如果，那么和成 (“正”或“反”)比例关系． 8．十七世纪，著名数学家莱布尼茨认为比号与除号有一种亲缘关系，把“”的小横线去掉，于是就成了“”现在的样子，那么就可以改写成比例( )；可以改写成比例( )． 9．在一个比例中，两个内项的积是最小的合数，已知一个外项是，另一个外项是( )． 10．某平面图的比例尺为：，若平面图上甲、乙两地的距离为，则甲、乙两地的实际距离为 ． 三、解答题 11．解比例． (1) (2) (3) 12．大熊猫和花（又名花花）因其温顺亲人，吃东西慢，憨态可掬而走红网络．某工厂接到生产大熊猫花花布偶的任务，原计划每天生产120箱，8天完成任务．实际每天生产160箱，多少天能完成任务？（用比例知识解答） 能力提升进阶练 一、单选题 1．下面各比中，能与组成比例的是（   ） A． B． C． D． 2．一个比的比值是，如果前项不变，后项扩大到原数的3倍，这时的比值（ ）． A．扩大到原比值的9倍 B．扩大到原比值的3倍 C．缩小到原比值的 D．缩小到原比值的 3．阳光小学新建一个长方形游泳池，长米，宽米．把它画在长厘米、宽厘米的纸上，在下面比例尺中，选用（ ）不合适． A． B． C． D． 4．甲、乙两人完成某项工程的天数之比是，乙、丙两人完成该项工程的天数之比为，那么甲做15天的工程丙要做（ ）天． A．6 B．7 C．8 D．10 5．电是人们生产、生活的重要能源，节能环保，避开“白昼灯”、“长明灯”已成为人们的共识．某学校计划购买1000度电，若平均每天用电n度，则能使用m天．下列说法错误的是（    ）． A．若n减小一半，则m增大一倍 B．若，则 C．若n逐渐减小，则m随着减小 D．若，则 二、填空题 6．将化成最简整数比是 ，比值是 ． 7．根据比例的基本性质，在括号里填上合适的数． ( ) ( ) ( )∶ 8．科技小组的同学制作弹簧秤，不挂重物时弹簧长8厘米．实验发现这个弹簧秤伸长的长度与它所挂物体的质量存在如下关系（弹簧自身的质量忽略不计）： 弹簧伸长的长度/厘米 1 2 3 … 5 物体的质量/千克 2 4 6 … 10 在一定范围内，弹簧伸长的长度与物体的质量成( )比例．当弹簧的总长度是12.8厘米时，所称物体的质量是( )千克． 9．一家面包加工企业捐助一批面包发往某地灾区，在一幅标有的地图上，量得两地的距离是2.7厘米，两地间的实际距离是 千米；一辆大货车载着捐助的面包于上午11时出发，以90千米/时的速度开往某地，下午 时可以抵达． 10．某学校上一年度男生人数与女生人数比是，本年度男生减少了，女生增加了，那么在本年度中男生占全部学生的 ． 三、解答题 11．解比例 (1) (2) (3) (4) 12．小源、小君、小凤三人是集邮爱好者，小源和小君邮票数量的比是，小君和小凤邮票数量的比是，小源比小凤多63枚．他们三人分别有多少枚邮票？ 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $