第五章 比和比例关系（知识清单）数学新教材人教版五四制六年级上册

该初中数学知识清单系统梳理“比和比例关系”单元内容，涵盖比与比例的概念性质、正反比例判定及比例尺、图形放缩等应用，构建从基础概念到实际应用的递进式学习支架，配套易错点解析与练习题。 清单通过四大模块分类呈现知识体系，突出易错点专项突破，如“混淆比和比值”标注错误类型并配例题解析，培养学生数学思维与模型意识。实用设计助力学生自主精准复习，也为教师教学提供结构化辅助，提升学习与教学效率。

第五章 比和比例关系（知识清单） 一、比的相关知识 1．比的意义：两个数的比中，“∶”是__________，比号前面的数叫作比的__________，比号后面的数叫作比的__________；两个数的比也可以写成__________形式（如2∶1可写成，仍读作“2比1”）；比可表示相同类别数量关系，也可表示__________类别数量关系。 2．比值：比的前项除以后项所得的商叫作__________，比值通常用__________表示，也可以用__________或__________表示，我们可以这样来表示∶的比值： 。 3．比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以__________（__________除外），比值__________。根据这一性质可把比化成最简单的__________。 二、比例的相关知识 1．比例的意义：表示两个比__________的式子叫作比例。组成比例的四个数叫作比例的__________，两端的两项叫作比例的__________，中间的两项叫作比例的__________。 2．比例的基本性质：在比例里，两个外项的积__________两个内项的积。用字母表示为 如果（，，，），那么； 反过来，四个不为0的数，若其中两个数的乘积和另外两个数的乘积__________，这四个数可组成__________。 3．解比例：根据比例的__________，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个比例中的未知项，这一过程叫作__________。 三、正比例与反比例 1．正比例：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的__________一定，这两个量就叫作成__________的量，它们的关系叫作__________关系。用字母表示为（一定，），也可表示为（一定，）。 2．反比例：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的__________一定，这两个量就叫作成__________的量，它们的关系叫作__________关系。用字母表示为（一定，）。 四、比和比例的应用 1．比例尺：一幅图的图上距离和实际距离的比，叫作这幅图的__________。表达式为 __________：__________=比例尺 或 比例尺分__________比例尺（如一幅中国地图的比例尺是1∶100 000 000，有时也写成）和__________比例尺（如一幅北京地图的比例尺这样表示，改写成数值比例尺为1:5 000 000）.计算时图上距离和实际距离的长度单位要__________，为了计算方便，一般把比例尺写成前项或后项是__________的形式。 2．图形的放大与缩小：放大和缩小过程中，物体大小__________、形状保持__________；按一定比放大（或缩小），即把物体各边的长放大（或缩小）到原来的相应倍数；放大（或缩小）后图形与原图形对应边长的__________不变，对应角的度数保持__________，边长和周长__________。 3．其他实际问题：包括按比例分配（如按3∶2配制500mL润喉茶，可先求每份体积，再求水和浓浆的体积）、利用正反比例关系解决问题（如“立竿见影”测旗杆高度，因同一时间、同一地点物体高度和影长的比值一定，可列比例求解；货车行驶速度一定时，可根据正比例关系求行驶特定路程所需时间）等。 易错点1：混淆比和比值的概念 错误：将比（表示两个数的关系）与比值（比的前项除以后项的商）混淆，如把“3∶2”说成比值是3∶2。 注意：比表示两个数的倍数关系，形式为“a∶b”或“”；比值是一个具体的数，可表示为分数、小数或整数。 例题1：判断“2∶3的比值是2∶3”是否正确（ ） 易错点2：化简比时结果未写成最简整数比 错误：化简比后结果仍含分数、小数或不是整数比，如把0.2∶0.4化简为0.5。 注意：化简比的结果必须是最简整数比，即前项和后项为互质数的整数。 例题2：化简比0.3∶1.2 易错点3：解比例时未正确运用比例的基本性质 错误：解比例时忽略“外项积等于内项积”，直接交叉相乘出错，如解3∶x=2∶5时，误算为2x=3+5。 注意：解比例的核心是利用比例的基本性质，将比例转化为方程再求解。 例题3：解比例4∶x=6∶9 易错点4：混淆正比例和反比例的判定条件 错误：仅凭两个量“同增同减”判断成正比例，或仅凭“一增一减”判断成反比例，忽略“比值一定”或“乘积一定”的关键条件。 注意：正比例需满足“比值一定”（ =k，k为定值），反比例需满足“乘积一定”（xy=k，k为定值）。 例题4：判断“正方形的面积与边长成正比例关系”是否正确（ ） 易错点5：比例尺计算时单位未统一 错误：计算比例尺时，图上距离与实际距离单位不一致直接计算，如图上距离2cm，实际距离10km，误算为2∶10=1∶5。 注意：计算比例尺前，需将图上距离和实际距离转化为相同单位（通常以厘米为单位）。 例题5：一幅地图上，图上3cm代表实际距离150km，求这幅地图的比例尺 易错点6：按比例分配时漏算总份数 错误：按比例分配问题中，直接用部分量乘对应份数，未先求总份数，如将50按2∶3分配，误算为50×2=100，50×3=150。 注意：按比例分配需先求出总份数，再用总量分别乘各部分占总份数的分率。 例题6：把60个苹果按3∶2分配给甲、乙两人，甲、乙各分得多少个？ 易错点7：图形放大与缩小时改变形状 错误：放大或缩小图形时，只改变一条边的长度，导致图形形状改变，如将长方形长放大2倍，宽不变。 注意：图形放大或缩小需按相同比放大或缩小各边长度，形状保持不变（对应角不变，对应边比值不变）。 例题7：将长4cm、宽2cm的长方形按2∶1放大，放大后的长方形长和宽分别是多少？ 易错点8：运用比例解决实际问题时找错对应关系 错误：解决“立竿见影”等比例问题时，对应量匹配错误，如将物体高度与另一物体影长对应。 注意：运用正比例解决实际问题时，需保证两组相关联的量一一对应，比值不变。 例题8：同一时间、同一地点，测得1.8m高的竹竿影长2.7m，一棵大树影长13.5m，求大树高度。 一、单选题 1．在下列比中，最简整数比是的是（   ） A． B． C． D． 2．一个比的比值是，如果它的前项乘，后项不变，则比值变为（ ）． A． B． C．2 D． 3．在校运会的男子长跑1000米项目比赛中，运动员跑步的速度与时间的关系是（    ） A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．无法判断 4．已知，则a与b的大小关系为（    ）． A． B． C． D．无法确定 5．A车轮滚动2周的距离，B车轮要滚动3周，A车轮与B车轮半径的比是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．甲乙，丙乙，那么甲乙丙 ． 7．( ) ( ) ( ) 8．某一鱼缸内有黑色、黄色、红色三种金鱼一共62条，其中黑色的数量、黄色的数量和红色的数量的比为．则黑色的金鱼有 条． 9．在比例尺为的平面图上，操场长24厘米，宽14厘米，操场的实际面积是 平方米． 10．下列各对相关联的量中，成反比例关系的是 ．（填序号） ①车间计划加工800个零件，加工时间与每天加工的零件个数； ②社团共有500名学生，按各组人数相等的要求分组，组数与每组的人数； ③用100元购买苹果和香蕉两种水果，购买苹果的金额与购买香蕉的金额 ④圆柱的体积为，圆柱的底面积与高 三、解答题 11．化简比并求比值． (1) (2)500克千克 (3) (4) 12．下面是某学生宿舍的平面图． (1)比例尺是什么意思？ (2)每间学生宿舍的占地面积是多少平方米？ (3)卫生间的长是多少米？宽是多少米？实际占地面积是多少平方米？ (4)在房间内靠西墙的中间有一张长是厘米、宽是厘米的小桌，在图上画出小桌的位置． (5)房间内有3张单人床，每张床的长是米、宽是米．每张床在图中的长和宽各是多少厘米？每张床在图中的面积是多少平方厘米？ (6)请你将房间内的张床放在合适的位置，在图中画出来． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 比和比例关系（知识清单） 一、比的相关知识 1．比的意义：两个数的比中，“∶”是比号，比号前面的数叫作比的前项，比号后面的数叫作比的后项；两个数的比也可以写成分数形式（如2∶1可写成，仍读作“2比1”）；比可表示相同类别数量关系，也可表示不同类别数量关系。 2．比值：比的前项除以后项所得的商叫作比值，比值通常用分数表示，也可以用小数或整数表示，我们可以这样来表示∶的比值： 。 3．比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。根据这一性质可把比化成最简单的整数比。 二、比例的相关知识 1．比例的意义：表示两个比相等的式子叫作比例。组成比例的四个数叫作比例的项，两端的两项叫作比例的外项，中间的两项叫作比例的内项。 2．比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。用字母表示为 如果（，，，），那么； 反过来，四个不为0的数，若其中两个数的乘积和另外两个数的乘积相等，这四个数可组成比例。 3．解比例：根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个比例中的未知项，这一过程叫作解比例。 三、正比例与反比例 1．正比例：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的比值一定，这两个量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系。用字母表示为（一定，），也可表示为（一定，）。 2．反比例：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的乘积一定，这两个量就叫作成反比例的量，它们的关系叫作反比例关系。用字母表示为（一定，）。 四、比和比例的应用 1．比例尺：一幅图的图上距离和实际距离的比，叫作这幅图的比例尺。表达式为 图上距离：实际距离=比例尺 或 比例尺分数值比例尺（如一幅中国地图的比例尺是1∶100 000 000，有时也写成）和线段比例尺（如一幅北京地图的比例尺这样表示，改写成数值比例尺为1:5 000 000）.计算时图上距离和实际距离的长度单位要相同，为了计算方便，一般把比例尺写成前项或后项是1的形式。 2．图形的放大与缩小：放大和缩小过程中，物体大小改变、形状保持不变；按一定比放大（或缩小），即把物体各边的长放大（或缩小）到原来的相应倍数；放大（或缩小）后图形与原图形对应边长的比值不变，对应角的度数保持不变，边长和周长改变。 3．其他实际问题：包括按比例分配（如按3∶2配制500mL润喉茶，可先求每份体积，再求水和浓浆的体积）、利用正反比例关系解决问题（如“立竿见影”测旗杆高度，因同一时间、同一地点物体高度和影长的比值一定，可列比例求解；货车行驶速度一定时，可根据正比例关系求行驶特定路程所需时间）等。 易错点1：混淆比和比值的概念 错误：将比（表示两个数的关系）与比值（比的前项除以后项的商）混淆，如把“3∶2”说成比值是3∶2。 注意：比表示两个数的倍数关系，形式为“a∶b”或“”；比值是一个具体的数，可表示为分数、小数或整数。 例题1：判断“2∶3的比值是2∶3”是否正确（ ） 【答案】错误 【解析】比值是比的前项除以后项的商，2∶3的比值应为2÷3=，而非比的本身形式。 易错点2：化简比时结果未写成最简整数比 错误：化简比后结果仍含分数、小数或不是整数比，如把0.2∶0.4化简为0.5。 注意：化简比的结果必须是最简整数比，即前项和后项为互质数的整数。 例题2：化简比0.3∶1.2 【答案】1∶4 【解析】先将小数比转化为整数比，0.3∶1.2=（0.3×10）∶（1.2×10）=3∶12，再同时除以最大公因数3，得到1∶4。 解：0.3∶1.2=（0.3×10）∶（1.2×10）=3∶12=1∶4 易错点3：解比例时未正确运用比例的基本性质 错误：解比例时忽略“外项积等于内项积”，直接交叉相乘出错，如解3∶x=2∶5时，误算为2x=3+5。 注意：解比例的核心是利用比例的基本性质，将比例转化为方程再求解。 例题3：解比例4∶x=6∶9 【答案】x=6 【解析】根据比例的基本性质，外项积等于内项积，即6x=4×9，解得x=36÷6=6。 解：4∶x=6∶9 6x=4×9， x=36÷6 x=6 易错点4：混淆正比例和反比例的判定条件 错误：仅凭两个量“同增同减”判断成正比例，或仅凭“一增一减”判断成反比例，忽略“比值一定”或“乘积一定”的关键条件。 注意：正比例需满足“比值一定”（ =k，k为定值），反比例需满足“乘积一定”（xy=k，k为定值）。 例题4：判断“正方形的面积与边长成正比例关系”是否正确（ ） 【答案】错误 【解析】正方形面积=边长×边长，面积与边长的比值是边长（不是定值），不满足正比例条件，故正方形的面积与边长不成正比例关系。 易错点5：比例尺计算时单位未统一 错误：计算比例尺时，图上距离与实际距离单位不一致直接计算，如图上距离2cm，实际距离10km，误算为2∶10=1∶5。 注意：计算比例尺前，需将图上距离和实际距离转化为相同单位（通常以厘米为单位）。 例题5：一幅地图上，图上3cm代表实际距离150km，求这幅地图的比例尺 【答案】1∶5000000 【解析】先统一单位，150km=15000000cm，比例尺=图上距离∶实际距离=3∶15000000=1∶5000000。 解：150km=15000000cm， 3∶15000000=1∶5000000 答：这幅地图的比例尺为1∶5000000。 易错点6：按比例分配时漏算总份数 错误：按比例分配问题中，直接用部分量乘对应份数，未先求总份数，如将50按2∶3分配，误算为50×2=100，50×3=150。 注意：按比例分配需先求出总份数，再用总量分别乘各部分占总份数的分率。 例题6：把60个苹果按3∶2分配给甲、乙两人，甲、乙各分得多少个？ 【答案】甲36个，乙24个 【解析】总份数=3+2=5，甲分得60×=36（个），乙分得60×=24（个）。 解：3+2=5， 60×=36（个）， 60×=24（个）， 答：甲分到苹果36个，乙分到苹果24个。 易错点7：图形放大与缩小时改变形状 错误：放大或缩小图形时，只改变一条边的长度，导致图形形状改变，如将长方形长放大2倍，宽不变。 注意：图形放大或缩小需按相同比放大或缩小各边长度，形状保持不变（对应角不变，对应边比值不变）。 例题7：将长4cm、宽2cm的长方形按2∶1放大，放大后的长方形长和宽分别是多少？ 【答案】长8cm，宽4cm 【解析】按2∶1放大即各边长度乘2，长=4×2=8（cm），宽=2×2=4（cm），放大后长与宽的比仍为2∶1，形状不变。 解：4×2=8（cm）， 2×2=4（cm）， 答：放大后的长方形长和宽分别是8cm和4cm。 易错点8：运用比例解决实际问题时找错对应关系 错误：解决“立竿见影”等比例问题时，对应量匹配错误，如将物体高度与另一物体影长对应。 注意：运用正比例解决实际问题时，需保证两组相关联的量一一对应，比值不变。 例题8：同一时间、同一地点，测得1.8m高的竹竿影长2.7m，一棵大树影长13.5m，求大树高度。 【答案】9m 【解析】设大树高度为xm，根据“物体高度∶影长=定值”，列比例1.8∶2.7=x∶13.5，解得x=（1.8×13.5）÷2.7=9。 解：设大树高度为xm，则 1.8∶2.7=x∶13.5 2.7x=1.8×13.5 2.7x=24.3 x=9 答：大树高度是9m。 一、单选题 1．在下列比中，最简整数比是的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比的化简，解题的关键是掌握比的化简法则． 需将每个选项化为最简整数比，判断是否等于． 【详解】解：A:，不符合题意； B: ，不符合题意； C: ，不符合题意； D: ，符合题意． 故选：D． 2．一个比的比值是，如果它的前项乘，后项不变，则比值变为（ ）． A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】知识点：比的基本性质（后项不变时，前项的变化会同步影响比值）．方法：设原比的前、后项，通过代数表达式推导新比值．关键：明确“后项不变，前项乘几，比值就乘几”的规律．易错点：混淆比的前项、后项变化对值的影响（如误将后项变化当成前项变化）． 比的前项和后项变化时，比值会相应变化．后项不变，前项乘一个数，比值也乘相同的数． 【详解】设原比的前项为，后项为，则 ． ∵ 前项乘，后项不变， ∴ 新比值为 ． ∴ 比值变为． 故选：A． 3．在校运会的男子长跑1000米项目比赛中，运动员跑步的速度与时间的关系是（    ） A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查的是比例的判定，熟练掌握正比例、反比例的定义是解题的关键．根据正比例（比值一定）、反比例（乘积一定）的判定条件，分析速度与时间的关系，进而得出结论． 【详解】距离速度时间，且距离为固定值米， 速度时间常数， 速度与时间成反比例． 故选： 4．已知，则a与b的大小关系为（    ）． A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了比例的性质，根据比例的性质可得，据此可得答案． 【详解】解：因为， 所以， 所以， 故选：A． 5．A车轮滚动2周的距离，B车轮要滚动3周，A车轮与B车轮半径的比是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查比例的应用、圆的周长，熟记圆的周长公式，正确列出等式是解答的关键．根据圆的周长圆的半径分别表示出A、B车轮滚动距离，再根据题意列等量关系求解即可． 【详解】解：设A车轮与B车轮半径为，， 由题意得：，则， ∴： ， 故选：B． 二、填空题 6．甲乙，丙乙，那么甲乙丙 ． 【答案】 【分析】本题考查了连比，根据比的基本性质把两个比中乙的份数化为相等即可求解． 【详解】解：甲：乙，丙乙， 答：甲乙丙． 故答案为：． 7．( ) ( ) ( ) 【答案】 4 0.6 【分析】本题主要考查可比例的性质，根据比例的基本性质，比的外项之积等于内项之积，据此计算未知数即可． 【详解】解：设未知数为、、， 第一部分：，，， 所以， 第二部分：，，， 所以， 第三部分：，，， 所以， 故答案为：4；；0.6． 8．某一鱼缸内有黑色、黄色、红色三种金鱼一共62条，其中黑色的数量、黄色的数量和红色的数量的比为．则黑色的金鱼有 条． 【答案】18 【分析】本题考查比的应用，根据黑色、黄色和红色金鱼的数量比为，先计算总份数，再求出每份对应的金鱼数，最后乘以黑色金鱼所占的份数即可得到答案． 【详解】解：总份数为份，总金鱼数为62条，因此每份对应条； 所以黑色金鱼占9份，故黑色金鱼有条， 故答案为18． 9．在比例尺为的平面图上，操场长24厘米，宽14厘米，操场的实际面积是 平方米． 【答案】8400 【分析】本题考查了比例尺的应用，根据比例尺定义，图上距离与实际距离的比是，因此实际距离是图上距离的500倍，先求出实际长和宽，并转换为米单位，再计算矩形面积，熟练掌握比例尺的定义是解此题的关键，注意单位的换算． 【详解】解：实际长：（厘米）（米）， 实际宽：（厘米）（米）， 实际面积：（平方米）， 故答案为：8400． 10．下列各对相关联的量中，成反比例关系的是 ．（填序号） ①车间计划加工800个零件，加工时间与每天加工的零件个数； ②社团共有500名学生，按各组人数相等的要求分组，组数与每组的人数； ③用100元购买苹果和香蕉两种水果，购买苹果的金额与购买香蕉的金额 ④圆柱的体积为，圆柱的底面积与高 【答案】①、②、④ 【分析】本题考查了成反比例的两个相关联的量，判断两个量是否成反比例关系，需看它们的乘积是否为定值，若乘积一定，则成反比例；否则不成反比例，据此逐项分析即可． 【详解】解：①加工时间与每天加工的零件个数的乘积为800（总零件数），乘积一定，成反比例关系， ②组数与每组的人数的乘积为500（总人数），乘积一定，成反比例关系， ③购买苹果的金额与购买香蕉的金额的和为100元（总金额），和一定但乘积不一定，不成反比例关系， ④圆柱的底面积与高的乘积为（体积），乘积一定，成反比例关系， 故成反比例关系的是①、②、④． 故答案为：①、②、④． 三、解答题 11．化简比并求比值． (1) (2)500克千克 (3) (4) 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，600 【分析】本题考查了比的基本性质，求比值．根据比的基本性质，即比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数（0除外）比值不变，进而把比化成最简比；用比的前项除以后项，所得的商即为比值． （1）先根据比的基本性质化简比，再求比值即可； （2）先统一单位，再根据比的基本性质化简比，然后求比值即可； （3）先根据比的基本性质化简比，再求比值即可； （4）先统一单位，再根据比的基本性质化简比，然后求比值即可． 【详解】（1） ， ； （2）500克千克克克 ， ； （3）， ； （4） ， ． 12．下面是某学生宿舍的平面图． (1)比例尺是什么意思？ (2)每间学生宿舍的占地面积是多少平方米？ (3)卫生间的长是多少米？宽是多少米？实际占地面积是多少平方米？ (4)在房间内靠西墙的中间有一张长是厘米、宽是厘米的小桌，在图上画出小桌的位置． (5)房间内有3张单人床，每张床的长是米、宽是米．每张床在图中的长和宽各是多少厘米？每张床在图中的面积是多少平方厘米？ (6)请你将房间内的张床放在合适的位置，在图中画出来． 【答案】(1)图上厘米表示实际厘米； (2)平方米； (3)米；米；平方米； (4)见详解； (5)厘米；厘米；平方厘米； (6)见详解． 【分析】本题考查了长方形的面积、应用比例尺画图、图上距离与实际距离的换算、比例尺应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据比例尺的意义，图上距离实际距离比例尺，进行分析； （）用直尺测量出图上学生宿舍的长和宽，根据图上距离比例尺实际距离，换算出实际长和宽，再根据长方形面积长宽，求出每间学生宿舍的占地面积； （）用直尺测量出图上卫生间的长和宽，根据图上距离比例尺实际距离，换算出实际长和宽，再根据长方形面积长宽，求出卫生间的实际占地面积； （）根据图上距离实际距离比例尺，换算出小桌的图上长和宽，地图上按上北下南左西右东确定方向，在左侧边的中间位置画出小桌即可； （）根据图上距离实际距离比例尺，换算出每张床的图上长和宽，根据长方形面积长宽，求出图上面积； （）画法不唯一，观察平面图，可以在靠南墙的位置摆放张床，靠北墙的西侧放张，据此作图． 【详解】（1）解：比例尺表示图上距离与实际距离的比是，即图上厘米表示实际厘米； （2）解：测量可知图上学生宿舍的长厘米，宽厘米， （厘米）（米） （厘米）（米） （平方米）， 答：每间学生宿舍的占地面积是平方米； （3）解：测量可知图上卫生间的长厘米，宽厘米， （厘米）（米） （厘米）（米）， （平方米）， 答：图中卫生间的长是米，宽是米，实际占地面积是平方米； （4）解：（厘米）， （厘米），作图如图； （5）解：米厘米、米厘米 （厘米） （厘米） （平方厘米） 答：每张床在图中的长和宽各是厘米、厘米，每张床在图中的面积是平方厘米； （6）解：如图， 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $