专题1.1 集合与常用逻辑用语（举一反三复习讲义）-【上好课】2026年高考数学二轮复习举一反三系列（全国通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦集合与常用逻辑用语核心考点，按命题规律分析、知识点系统梳理、分层题型突破的架构组织内容，通过考点精析、方法总结、真题演练的教学环节，帮助学生构建知识网络，突破运算与逻辑推理难点，体现复习的系统性与针对性。 讲义以“举一反三”为特色，创新采用题型分类与变式训练结合的教学策略，如通过集合关系类比充分必要条件培养数学思维，利用命题否定强化符号意识，设置基础到综合的分层练习。这能高效提升学生逻辑推理与解题能力，为教师把控复习节奏提供清晰指引，保障有限时间内复习效果最大化。

专题1.1 集合与常用逻辑用语（举一反三复习讲义） 【全国通用】 命题规律分析 1、集合 集合是高考数学中的必考考点，常见以一元一次、一元二次不等式的形式，结合有限集、无限集来考查集合的交、并、补集等运算，偶尔涉及集合的符号辨识，一般出现在高考的单选题的前3题中，以基础题为主。 2、常用逻辑用语 常用逻辑用语是高考数学中的重要内容，常见于考查真、假命题的判断；全称量词命题、存在量词命题以及命题的否定；偶尔涉及充分条件与必要条件以及根据描述进行逻辑推理等，中等偏易难度；但一般很少单独考查，常常与其他知识结合考查。 高考真题统计 考点 2023年 2024年 2025年 集合 I卷：第1题，5分 Ⅱ卷：第2题，5分 新课标I卷：第1题，5分 全国一卷：第2题，5分 全国二卷：第3题，5分 北京卷：第1题，4分 天津卷：第1题，5分 常用逻辑用语 I卷：第7题，5分 新课标Ⅱ卷：第2题，5分 2026年 命题预测 预测在2026年的高考数学中，集合依旧是必考的基础考点，大概率出现在高考的单选题的前3题中，分值为5分，主要考查集合的交、并、补集等运算，是基础题。 预测常用逻辑用语主要考查真、假命题的判断，命题的否定，充分、必要条件的判断，会与其他知识结合考查，大概率在单选题中考查，难度不大。 知识点1 集合 1．集合与元素 (1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 2．集合的基本关系 (1)子集：若对于任意的x∈A都有x∈B，则A⊆B； (2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则A⫋B； (3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B； (4)∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 3．集合的基本运算 表示 运算 文字语言 集合语言 图形语言 记法 交集 属于A且属于B的所有元素组成的集合 {x|x∈A，且x∈B} A∩B 并集 属于A或属于B的元素组成的集合 {x|x∈A，或x∈B} A∪B 补集 全集U中不属于A的元素组成的集合称为集合A相对于集合U的补集 {x|x∈U，x∉A} ∁UA 【常用结论】 (1)若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个． (2)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． (3)． (4),． 知识点2 常用逻辑用语 1．充分条件与必要条件 命题真假 “若p,则q”是真命题 "若p,则q"是假命题 推出关系及符号表示 由p通过推理可得出q，记作：p⇒q 由条件p不能推出结论q，记作： 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件． 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件． 2．充要条件 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 3．全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、 一切、每一个、任给 符号 ∀ 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” 4．存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的 符号表示 ∃ 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 5．全称量词命题与存在量词命题的否定 (1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)的否定：∃x∈M，¬p(x)；全称量词命题的否定是存在量词命题． (2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)的否定：∀x∈M，¬p(x)；存在量词命题的否定是全称量词命题． 【方法技巧与总结】 1．从集合与集合之间的关系上看充分、必要条件 设. (1)若，则是的充分条件()，是的必要条件；若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，即且； (2)若，则是的必要条件，是的充分条件； (3)若，则与互为充要条件. 2．全称量词命题与存在量词命题的真假判断 (1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x证明其成立；要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例. (2)要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合M中能找到一个x0使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题. 【题型1 元素与集合的关系】 【例1】（2025·辽宁·二模）设集合.若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·辽宁·三模）已知集合，则下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·陕西汉中·二模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025·江苏连云港·模拟预测）已知集合的最大元素等于该集合的所有元素之和，则实数（    ） A． B． C． D． 【题型2 集合中元素的个数问题】 【例2】（2024·四川乐山·三模）已知集合，则集合A的元素个数为（    ） A．9 B．8 C．6 D．5 【变式2-1】（2025·宁夏银川·一模）已知集合，则集合中元素的个数是（    ） A．1 B．3 C．6 D．9 【变式2-2】（2025·广东揭阳·二模）已知集合，则A中元素的个数为（   ） A．7 B．9 C．11 D．13 【变式2-3】（2024·四川乐山·三模）已知集合，则集合的元素个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【题型3 集合间的基本关系】 【例3】（2025·广东·模拟预测）已知集合，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式3-1】（2025·河南许昌·模拟预测）已知集合，，若，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2025·陕西榆林·一模）已知集合，若，则实数的值为（   ） A．或3 B．0或 C．3 D． 【变式3-3】（2025·山东青岛·三模）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【题型4 集合的交、并、补运算及其求参问题】 【例4】（2025·吉林松原·模拟预测）若集合，，则（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】（2025·云南·模拟预测）若全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2025·陕西商洛·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2025·浙江丽水·一模）已知集合，且的元素个数是一个，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【题型5 集合的新定义问题】 【例5】（2025·陕西宝鸡·模拟预测）定义集合运算：.若集合， ，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2025·云南玉溪·模拟预测）如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合.若集合，集合，则集合（   ） A． B． C．或 D．或 【变式5-2】（2025·北京·模拟预测）集合的所有三个元素的子集记为记为集合中的最大元素，则（    ） A．10 B．40 C．45 D．50 【变式5-3】（2024·全国·模拟预测）大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积现象，而笛卡尔积会产生大量的数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编程人员需要了解笛卡尔积．两个集合和，用中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作与的笛卡尔积，又称直积，记为．即且．关于任意非空集合，下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型6 充分条件与必要条件】 【例6】（2025·海南三亚·一模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式6-1】（2025·浙江宁波·一模）下面四个条件中，使成立的必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2025·辽宁大连·一模）已知函数，对于，若命题 命题，则p是q的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式6-3】（2025·浙江绍兴·二模）已知集合A，B，C均为非空集合．若是的充分不必要条件，是的充分不必要条件，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【题型7 全称量词与存在量词】 【例7】（2025·甘肃武威·模拟预测）命题“，”的否定为（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式7-1】（2025·陕西榆林·一模）已知命题；命题，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【变式7-2】（2025·陕西安康·模拟预测）已知命题，，则为（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式7-3】（2025·陕西延安·模拟预测）已知命题；命题，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 考点一 集合 一、单选题 1．（2025·北京·高考真题）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·天津·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·全国二卷·高考真题）已知集合则（   ） A． B． C． D． 4．（2025·全国一卷·高考真题）已知集合，，则中元素个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 5．（2024·北京·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024·全国甲卷·高考真题）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024·全国甲卷·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 8．（2024·天津·高考真题）集合，，则（   ） A． B． C． D． 9．（2023·上海·高考真题）已知，，若且，则（    ） A． B． C． D． 二、解答题 10．（2025·北京·高考真题）已知集合，从M中选取n个不同的元素组成一个序列：，其中称为该序列的第i项，若该序列的相邻项满足：或，则称该序列为K列． (1)对于第1项为的K列，写出它的第2项． (2)设为K列，且中的项满足：当i为奇数时，：当i为偶数时，.判断，能否同时为中的项，并说明理由； (3)证明：由M的全部元素组成的序列都不是K列． 考点二 常用逻辑用语 一、单选题 1．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知命题p：，；命题q：，，则（    ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 2．（2023·北京·高考真题）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2023·天津·高考真题）已知，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1 集合与常用逻辑用语（举一反三复习讲义） 【全国通用】 命题规律分析 1、集合 集合是高考数学中的必考考点，常见以一元一次、一元二次不等式的形式，结合有限集、无限集来考查集合的交、并、补集等运算，偶尔涉及集合的符号辨识，一般出现在高考的单选题的前3题中，以基础题为主。 2、常用逻辑用语 常用逻辑用语是高考数学中的重要内容，常见于考查真、假命题的判断；全称量词命题、存在量词命题以及命题的否定；偶尔涉及充分条件与必要条件以及根据描述进行逻辑推理等，中等偏易难度；但一般很少单独考查，常常与其他知识结合考查。 高考真题统计 考点 2023年 2024年 2025年 集合 I卷：第1题，5分 Ⅱ卷：第2题，5分 新课标I卷：第1题，5分 全国一卷：第2题，5分 全国二卷：第3题，5分 北京卷：第1题，4分 天津卷：第1题，5分 常用逻辑用语 I卷：第7题，5分 新课标Ⅱ卷：第2题，5分 2026年 命题预测 预测在2026年的高考数学中，集合依旧是必考的基础考点，大概率出现在高考的单选题的前3题中，分值为5分，主要考查集合的交、并、补集等运算，是基础题。 预测常用逻辑用语主要考查真、假命题的判断，命题的否定，充分、必要条件的判断，会与其他知识结合考查，大概率在单选题中考查，难度不大。 知识点1 集合 1．集合与元素 (1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 2．集合的基本关系 (1)子集：若对于任意的x∈A都有x∈B，则A⊆B； (2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则A⫋B； (3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B； (4)∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 3．集合的基本运算 表示 运算 文字语言 集合语言 图形语言 记法 交集 属于A且属于B的所有元素组成的集合 {x|x∈A，且x∈B} A∩B 并集 属于A或属于B的元素组成的集合 {x|x∈A，或x∈B} A∪B 补集 全集U中不属于A的元素组成的集合称为集合A相对于集合U的补集 {x|x∈U，x∉A} ∁UA 【常用结论】 (1)若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个． (2)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． (3)． (4),． 知识点2 常用逻辑用语 1．充分条件与必要条件 命题真假 “若p,则q”是真命题 "若p,则q"是假命题 推出关系及符号表示 由p通过推理可得出q，记作：p⇒q 由条件p不能推出结论q，记作： 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件． 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件． 2．充要条件 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 3．全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、 一切、每一个、任给 符号 ∀ 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” 4．存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的 符号表示 ∃ 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 5．全称量词命题与存在量词命题的否定 (1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)的否定：∃x∈M，¬p(x)；全称量词命题的否定是存在量词命题． (2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)的否定：∀x∈M，¬p(x)；存在量词命题的否定是全称量词命题． 【方法技巧与总结】 1．从集合与集合之间的关系上看充分、必要条件 设. (1)若，则是的充分条件()，是的必要条件；若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，即且； (2)若，则是的必要条件，是的充分条件； (3)若，则与互为充要条件. 2．全称量词命题与存在量词命题的真假判断 (1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x证明其成立；要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例. (2)要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合M中能找到一个x0使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题. 【题型1 元素与集合的关系】 【例1】（2025·辽宁·二模）设集合.若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据元素与集合的关系，求的取值范围. 【解答过程】因为，所以，所以. 故选：C. 【变式1-1】（2025·辽宁·三模）已知集合，则下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意，求出集合，利用元素与集合的关系判断. 【解答过程】依题意可得，所以. 故选：A. 【变式1-2】（2025·陕西汉中·二模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据有理数和无理数的概念以及无理数数的拆分，对各个选项判断即可. 【解答过程】因为， 设,则：有理数部分：，无理数部分， , ,符合条件，所以，故A错误； 设,则有理数部分，无理数部分:， , ,符合条件，故，故B错误； 设,则：有理数部分，无理数部分： ，故,故C正确； 设,则有理数部分： (非整数，矛盾)，故，故D错误． 故选：C. 【变式1-3】（2025·江苏连云港·模拟预测）已知集合的最大元素等于该集合的所有元素之和，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】分类讨论，根据题意列出关系式求解即可. 【解答过程】根据集合中元素的互异性可得：，且. 当集合时，集合的最大元素为；当集合时，集合的最大元素为； 根据题意可得：集合的所有元素之和为. 且或， 解得：. 故选：B. 【题型2 集合中元素的个数问题】 【例2】（2024·四川乐山·三模）已知集合，则集合A的元素个数为（    ） A．9 B．8 C．6 D．5 【答案】C 【解题思路】利用列举法表示集合A即可得出元素个数. 【解答过程】，共6个元素. 故选：C. 【变式2-1】（2025·宁夏银川·一模）已知集合，则集合中元素的个数是（    ） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】C 【解题思路】根据题意，采用列举法表示集合即可求解. 【解答过程】由题，可得， 所以集合含有6个元素. 故选：C. 【变式2-2】（2025·广东揭阳·二模）已知集合，则A中元素的个数为（   ） A．7 B．9 C．11 D．13 【答案】C 【解题思路】首先求出x的值，然后代入分别求出y的值即可. 【解答过程】因为，所以， 又，所以，可得，所以x可能取值为 当时：代入得，又， 所以，此时得到元素； 当时：代入得，，， 此时得到元素； 当时：代入得，.，， 此时得到元素； 当时：代入得，，， 此时得到元素； 当时：代入得，所以， 此时得到元素； 满足条件的元素分别为： ，，，，共11个， 故选：C. 【变式2-3】（2024·四川乐山·三模）已知集合，则集合的元素个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解题思路】根据集合的定义与运算法则，进行计算即可. 【解答过程】由题意知，，， 当，时，， 当，时，， 所以， 所以集合中的元素个数为4. 故选：C. 【题型3 集合间的基本关系】 【例3】（2025·广东·模拟预测）已知集合，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【解题思路】利用集合之间的关系，得出或，求解后，需要留意元素的互异性即可． 【解答过程】由于，故， 由知或， 即或， 注意到，故由元素互异性知，故， 故选：C． 【变式3-1】（2025·河南许昌·模拟预测）已知集合，，若，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据集合的包含关系直接得到答案. 【解答过程】因为，所以解得， 即a的取值范围是. 故选：D. 【变式3-2】（2025·陕西榆林·一模）已知集合，若，则实数的值为（   ） A．或3 B．0或 C．3 D． 【答案】C 【解题思路】根据题意集合相等，元素相同且同一集合元素互异求解即可. 【解答过程】解：因为集合，， 所以，解得. 故选：C. 【变式3-3】（2025·山东青岛·三模）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】通过分析两个集合的元素形式来判断两个集合的关系. 【解答过程】因为集合,，则 . 故选：A. 【题型4 集合的交、并、补运算及其求参问题】 【例4】（2025·吉林松原·模拟预测）若集合，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据集合交集运算求解即可. 【解答过程】因为集合，， 所以． 故选：B． 【变式4-1】（2025·云南·模拟预测）若全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据集合的交并补运算易得. 【解答过程】由题意，得，所以， 又，则. 故选：B. 【变式4-2】（2025·陕西商洛·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据并集的定义求解． 【解答过程】由已知， 故选：D． 【变式4-3】（2025·浙江丽水·一模）已知集合，且的元素个数是一个，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，利用元素与集合的关系求解即可. 【解答过程】由的元素个数是一个，且，得，则， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 【题型5 集合的新定义问题】 【例5】（2025·陕西宝鸡·模拟预测）定义集合运算：.若集合， ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】求出后可求得，故可得正确的选项 【解答过程】由题设可得，， 因为，，，， 故， 故选：D. 【变式5-1】（2025·云南玉溪·模拟预测）如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合.若集合，集合，则集合（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解题思路】根据给定的韦恩图，结合集合的运算求解. 【解答过程】集合，集合，则， 由韦恩图得 或. 故选：D. 【变式5-2】（2025·北京·模拟预测）集合的所有三个元素的子集记为记为集合中的最大元素，则（    ） A．10 B．40 C．45 D．50 【答案】C 【解题思路】由题列举出所有的集合A的三元素子集，求出最大值，求和即可. 【解答过程】由题知： ，， ，， ，，， 则 故选：C. 【变式5-3】（2024·全国·模拟预测）大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积现象，而笛卡尔积会产生大量的数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编程人员需要了解笛卡尔积．两个集合和，用中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作与的笛卡尔积，又称直积，记为．即且．关于任意非空集合，下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】举例说明判断ABC；利用给定的定义结合集合运算的意义推理判断D. 【解答过程】对于A，若，则，A错误； 对于B，若，则， 而，B错误； 对于C，若，则， ，，，C错误； 对于D，任取元素，则且，则且， 于是且，即， 反之若任取元素，则且， 因此且，即且， 所以，即，D正确. 故选：D. 【题型6 充分条件与必要条件】 【例6】（2025·海南三亚·一模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【解题思路】根据不等式的性质，分析条件间的推出关系判断充分、必要性. 【解答过程】若，，则，所以是的充分条件， 若，满足，而，所以不能推出， 综上，是的充分不必要条件. 故选：A. 【变式6-1】（2025·浙江宁波·一模）下面四个条件中，使成立的必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由充分必要条件的定义逐项判断即可. 【解答过程】对于A，，而不能推出，例如而. 所以是的充分不必要条件，故A不正确 对于B，不能推出，例如，但；而 所以是的必要不充分条件，故B正确. 对于C，不能推出，例如但；不能推出，例如，但.所以是的既不充分也不必要条件，故C错误. 对于D,因为 是增函数，所以，故是的充要条件.所以D不正确. 故选：B. 【变式6-2】（2025·辽宁大连·一模）已知函数，对于，若命题 命题，则p是q的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】由充分条件和必要条件的单调性结合指数函数的单调性即可得出答案. 【解答过程】因为函数，所以在上单调递增， 所以由能推出， 又因为，所以 所以p是q的充要条件. 故选：A. 【变式6-3】（2025·浙江绍兴·二模）已知集合A，B，C均为非空集合．若是的充分不必要条件，是的充分不必要条件，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】根据已知有是的真子集，且是的真子集，即得是的真子集，结合充分、必要性定义即可得. 【解答过程】由是的充分不必要条件，即是的真子集， 由是的充分不必要条件，即是的真子集， 所以是的真子集，即是的充分不必要条件. 故选：A. 【题型7 全称量词与存在量词】 【例7】（2025·甘肃武威·模拟预测）命题“，”的否定为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解题思路】由存在量词命题的否定是全称量词命题，即可求解. 【解答过程】命题“，”的否定为“，”. 故选：C. 【变式7-1】（2025·陕西榆林·一模）已知命题；命题，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【解题思路】结合命题否定的定义，找出对应反例的取值并依次判断命题的真假，即可求解 【解答过程】命题，当时，，故为假命题； 命题，当或时，，故为真命题； 所以，和都是真命题，和是假命题. 故选：B. 【变式7-2】（2025·陕西安康·模拟预测）已知命题，，则为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解题思路】利用全称量词命题的否定可得出结果. 【解答过程】命题，为全称量词命题， 该命题的否定为，， 故选：D. 【变式7-3】（2025·陕西延安·模拟预测）已知命题；命题，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【解题思路】根据题意，利用全称命题与存在性命题的真假判定方法，逐个判定命题的真假，即可得到答案. 【解答过程】由，所以命题为假命题，则命题为真命题； 又由当时，，所以命题为真命题，则为假命题. 故选：B. 考点一 集合 一、单选题 1．（2025·北京·高考真题）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先求出集合，再根据集合的交集运算即可解出. 【解答过程】因为，所以， 故选：D. 2．（2025·天津·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由集合的并集、补集的运算即可求解. 【解答过程】由，则， 集合， 故 故选：D. 3．（2025·全国二卷·高考真题）已知集合则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】求出集合后结合交集的定义可求. 【解答过程】，故， 故选：D. 4．（2025·全国一卷·高考真题）已知集合，，则中元素个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 【答案】C 【解题思路】根据补集的定义即可求出． 【解答过程】因为，所以， 中的元素个数为， 故选：C． 5．（2024·北京·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】直接根据并集含义即可得到答案. 【解答过程】由题意得. 故选：C. 6．（2024·全国甲卷·高考真题）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据集合的定义先算出具体含有的元素，然后根据交集的定义计算. 【解答过程】依题意得，对于集合中的元素，满足， 则可能的取值为，即， 于是. 故选：C. 7．（2024·全国甲卷·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由集合的定义求出，结合交集与补集运算即可求解. 【解答过程】因为，所以， 则， 故选：D. 8．（2024·天津·高考真题）集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据集合交集的概念直接求解即可. 【解答过程】因为集合，， 所以， 故选：B. 9．（2023·上海·高考真题）已知，，若且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据给定条件，直接求出集合中的元素作答. 【解答过程】因为，由，得或， 又，且，即有且，因此， 所以. 故选：A. 二、解答题 10．（2025·北京·高考真题）已知集合，从M中选取n个不同的元素组成一个序列：，其中称为该序列的第i项，若该序列的相邻项满足：或，则称该序列为K列． (1)对于第1项为的K列，写出它的第2项． (2)设为K列，且中的项满足：当i为奇数时，：当i为偶数时，.判断，能否同时为中的项，并说明理由； (3)证明：由M的全部元素组成的序列都不是K列． 【答案】(1)或 (2)不能，理由见解析 (3)证明过程见解析 【解题思路】（1）根据新定义即可得解； （2）假设与能同时在中，导出矛盾，从而得出与不能同时在中的结论； （3）假设全体元素构成一个K列，通过构造导出矛盾，从而得到要证明的结论. 【解答过程】（1）根据题目定义可知，或， 若第一项为，显然或不符合题意（不在集合中），所以下一项是或； （2）假设二者同时出现在中，由于K列取反序后仍是K列，故不妨设在之前. 显然，在K列中，相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性总是相反的，所以从到必定要向下一项走奇数次. 但又根据题目条件，这两个点的横坐标均在中，所以从到必定要向下一项走偶数次. 这导致矛盾，所以二者不能同时出现在中. （3）法1：若中的所有元素构成K列，考虑K列中形如的项， 这样的项共有个，由题知其下一项为，共计16个， 而，因为只能6由2来，3只能由7来， 横、纵坐标不能同时相差4，这样下一项只能有12个点， 即对于16个，有12个与之相对应，矛盾． 综上，由M的全部元素组成的序列都不是K列． 法2：假设全体元素构成一个K列，则. 设，. 则和都包含个元素，且中元素的相邻项必定在中. 如果存在至少两对相邻的项属于，那么属于的项的数目一定多于属于的项的数目， 所以至多存在一对相邻的项属于. 如果存在，则这对相邻的项的序号必定形如和， 否则将导致属于的项的个数比属于的项的个数多2，此时. 从而这个序列的前项中，第奇数项属于，第偶数项属于； 这个序列的后项中，第奇数项属于，第偶数项属于. 如果不存在相邻的属于的项，那么也可以看作上述表示在或的特殊情况. 这意味着必定存在，使得. 由于相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性必定相反，故中横纵坐标之和为奇数的点和横纵坐标之和为偶数的点的数量一定分别是和（不一定对应）. 但容易验证，和都包含个横纵坐标之和为奇数的点和个横纵坐标之和为偶数的点，所以，得. 从而有. 这就得到. 再设，. 则同理有. 这意味着. 从而得到，但显然它们是不同的集合，矛盾. 所以由M的全部元素组成的序列都不是K列． 考点二 常用逻辑用语 一、单选题 1．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知命题p：，；命题q：，，则（    ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【解题思路】对于两个命题而言，可分别取、，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解. 【解答过程】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题， 对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题， 综上，和都是真命题. 故选：B. 2．（2023·北京·高考真题）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解题思路】解法一：由化简得到即可判断；解法二：证明充分性可由得到，代入化简即可，证明必要性可由去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入即可，证明必要性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入，解方程即可. 【解答过程】解法一： 因为，且， 所以，即，即，所以. 所以“”是“”的充要条件. 解法二： 充分性：因为，且，所以， 所以， 所以充分性成立； 必要性：因为，且， 所以，即，即，所以. 所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 解法三： 充分性：因为，且， 所以， 所以充分性成立； 必要性：因为，且， 所以， 所以，所以，所以， 所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 3．（2023·天津·高考真题）已知，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【解题思路】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案. 【解答过程】由，则，当时不成立，充分性不成立； 由，则，即，显然成立，必要性成立； 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $