专题01 相似七大基础模型（高效培优专项训练）数学人教版九年级下册

函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题01 基础相似模型 模型归纳 模型一：平行出相似 模型二：四线三点 模型三：三角形中内接矩形 模型四：八字相似 模型五：子母型相似 模型六：射影定理 模型七：一线三等角 模型专练 模型一：平行出相似 "A"字相似模型 “8”字相似模型 E D 平行出相似 A B D E B C △ABCN△ADE 1.如图AD与CE交于B,且 AB CB BD BE E (1)求证：△ABC∽△DBE. (2)若AC=8,BC=6,CE=9,求DE的长 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2.如图，在ABC中，D,E,F分别是边AB,BC,CA上的点，且AB=3DB,BC=3EC, F=FA,则图中的相似三角形有（● E D B A.3组 B.2组 C.1组 D.0组 3.如图，点O是ABC的边BC上一点，连接AO,点D,E,F分别是OA,OB,OC的中点，连接DE, DF,求证：△ABC∽△DEF EO F 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 模型二：四线三点 A A E E G B B A为 E E A E B B D H B D 四线：AB,AC,DE,BD三点： E E E,F,C M F B4 D B N---A E D 【核心】①过三个交点分别往其他两边作平行②一组平行得两对儿相似 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4.如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点F为边AC上任意一点，BF交AD于点E,且DE=AB, 则Be 的值为() F D 3 A. 5 c D.3 5.如图，己知D是BC的中点，M是AD的中点.求AN:NC的值 A M B D 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 模型三：三角形中的内接矩形 H M G B F DE C y y H M G H G B D C B D 中 D E C △AHG△ABC △BEH△BDA △CEGM△CDA 【核心】其中4” AD = HG ,在平时练习中遇到内接矩形类的图形，就要充分利用这一条件，有助于 解题 6,如图已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上，如果BC=4, △ABC的BC边上的高是3，那么这个正方形的边长是一· 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 7.如图，己知三角形铁皮ABC的边BC=acm,BC边上的高AM=hcm,要剪出一个正方形铁片DEFG, 使D、E在BC上，G、F分别在AB、AC上，则正方形DEFG的边长=一· G 8 D E 8.如图，在Rt△ABC内有边长分别为a、b、c的三个正方形，则a、b、c满足的关系式是() b B 9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，放置边长分别为3,4，x的三个正方形，则x的值为() C 4 B A.5 B.6 C.7 D.8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 10.如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E、H分别 在AB、AC上，已知BC=40cm,AD=30cm. (1)求证：△AEH-△ABC: (2)求这个正方形的边长与面积. F刀 11.如图，在ABC中，BC=12,高AD=6,正方形EFGH一边在BC上，点E,F分别在AB,AC上， AD交EF于点N,求AN的长. B H DG 12.一块材料的形状是锐角三角形ABC,边BC=120mm,高AD=80mm,把它加工成正方形零件如图1， 使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB,AC上. G DH B 图1 图2 (1)求证：△AEFn△ABC; (2)求这个正方形零件的边长； (3)如果把它加工成矩形零件如图2，当EF=60mm时，这个矩形的面积是多少？ 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 模型四：8字相似 △ABO∽△CDO B D C ①△ABO△CD0②△AOC∽BOD(二 次相似 B D F △ABE∽△ACF 0 B ①△ABE∽△ACF②△OFE∽△OBC (二次相似)③△OFB∽△OEC口 0 B 13.如图，AD与BC交于O点，∠A=∠C,B0=4,D0=2,AB=3,求CD的长. 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 14.如图，锐角△ABC中，CD,BE分别是AB,AC边上的高，垂足为D,E. (1)求证：△ACD~△ABE; (2)若将点D,E连接起来，则△AED和△ABC能相似吗？说说你的理由 15.如图，在△ABC中，CD⊥AB于D,BE⊥AC于E,试说明： B (1)△ABE~△ACD (2)AD·BC=DE·AC 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 模型五：子母型相似 A E △ADE∽△ACB D B A D △ABD△ACB B 16.如图，点P是△ABC的边AB上的一点，若添加一个条件，使△ABC与△CBP相似，则下列所添加的条 件错误的是() 力 B A.∠BPC=∠ACBB.∠A=∠BCP C.AB:BC=BC:PB D.AC CP=AB:BC 17.如图， ABC中，点D在边AB上，且LACD=LABC,若AC=√5，AD=I,则DB的长为一 0 B 专题01 基础相似模型 模型归纳 模型一：平行出相似 模型二：四线三点 模型三：三角形中内接矩形 模型四：八字相似 模型五：子母型相似 模型六：射影定理 模型七：一线三等角 模型专练 模型一：平行出相似 平行出相似 "A"字相似模型 “8”字相似模型 1．如图与交于B，且． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据两组边对应成比例，且这两组边的夹角相等的两个三角形相似进行证明即可； （2）先求出，再根据相似三角形对应边成比例进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键． 2．如图，在中，，，分别是边，，上的点，且，，，则图中的相似三角形有（    ） A．3组 B．2组 C．1组 D．0组 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定． 由已知可得，，再由夹角，，即可判定，，再由相似的传递性可得． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴共有3组， 故选：A． 3．如图，点O是的边上一点，连接，点D，E，F分别是，，的中点，连接，．求证： 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，三角形中位线定理，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，三边对应成比例的两个三角形相似． 【详解】证明：∵点D，E，F分别是，，的中点， ∴，，， 即， ∴． 模型二：四线三点 四线：AB,AC,DE,BD 三点：E,F,C               【核心】①过三个交点分别往其他两边作平行  ②一组平行得两对儿相似 4．如图，在中，点D是边的中点，点F为边上任意一点，交于点E，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判断及性质，解题的关键是添加辅助线构造相似三角形，过点作，证明出，找出与的关系即可求解． 【详解】解：过点作，如下图： 点D是边的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 5．如图，已知D是BC的中点，M是AD的中点．求的值． 【答案】 【分析】解法1：过点D作AC的平行线交BN于点H，构造“A”型和“8”型，得出和，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案； 解法2：过点C作AD的平行线交BN的延长线于点H，构造“A”型和“8”型，得出和，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案； 解法3：过点A作BC的平行线交BN的延长线于点H，构造“A”型和“8”型，得出和，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案； 解法4：过点D作BN的平行线交AC于点H，根据三角形中位线定理得出， 即可得出答案； 【详解】解法1：如图2，过点D作AC的平行线交BN于点H． 因为． 所以， 所以． 因为D为BC的中点，所以． 因为，所以， 所以． 因为M为AD的中点，所以． 所以， 所以． 解法2：如图3，过点C作AD的平行线交BN的延长线于点H． 因为，所以， 所以． 因为D为BC的中点，所以． 因为M为AD的中点，所以， 所以． 因为， 所以， 所以． 解法3：如图4，过点A作BC的平行线交BN的延长线于点H． 因为，所以， 所以． 因为M为AD的中点，所以，所以． 因为，所以， 所以． 因为D为BC的中点，且， 所以． 解法4：如图5，过点D作BN的平行线交AC于点H． 在中， 因为M为AD的中点，， 所以N为AH的中点，即． 在中，因为D为BC的中点，，所以H为CN的中点，即， 所以． 所以． 模型三：三角形中的内接矩形 【核心】其中 ,在平时练习中遇到内接矩形类的图形，就要充分利用这一条件，有助于解题 6．如图已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上．如果BC=4，△ABC的BC边上的高是3，那么这个正方形的边长是 ． 【答案】 【分析】过点A作AM⊥BC于M，由△ABC的BC边上的高是3可得AM=3，由正方形的性质和相似三角形的性质可得，即可求正方形的边长． 【详解】如图，过点A作AM⊥BC于M， ∵△ABC的BC边上的高是3， ∴AM=3， ∵四边形DEFG是正方形， ∴GD=FG,GF∥BC,GD∥AM， ∴△AGF∽△ABC，△BGD∽△BAM， ∴，． ∴． ∴GF=． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定为解题关键． 7．如图，已知三角形铁皮的边，边上的高，要剪出一个正方形铁片，使、在上，、分别在、上，则正方形的边长 ． 【答案】 【分析】设AM交GF于H点，然后根据相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：如图，设高AM交GF于H点， ∵四边形DEFG为正方形， ∴GF∥DE，即：GF∥BC， ∴AH⊥GF，△AGF∽△ABC， ∴， 设正方形的边长为， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，理解相似三角形的基本性质是解题关键． 8．如图，在内有边长分别为、、的三个正方形，则、、满足的关系式是 （    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，由正方形的性质可得，，，则，由，，可得，由题意知，，，，，，，即，整理求解即可． 【详解】解：如图，    由正方形的性质可得，，， ∴， ∵，， ∴， 由题意知，，，，， ∴，， ∴，整理得，， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形内角和定理，正切．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，放置边长分别为3，4，x的三个正方形，则x的值为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据已知条件可以推出△CEF∽△OME∽△PFN，可得OE：PN=OM：PF，再利用正方形的性质把它们的直角边用含x的表达式表示出来，列方程，解方程即可得到x的值． 【详解】解：如图，标注字母， ∵在Rt△ABC中（∠C=90°），放置边长分别3，4，x的三个正方形， 由正方形可得： 同理： ∴△CEF∽△OME∽△PFN， ∴OE：PN=OM：PF， ∵EF=x，MO=3，PN=4， 结合正方形的性质可得：OE=x-3，PF=x-4， ∴（x-3）：4=3：（x-4）， ∴（x-3）（x-4）=12， 即， ∴x=0（不符合题意，舍去）或x=7． 故选：C． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质，解题的关键在于找到相似三角形，用x的表达式表示出对应边． 10．如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E、H分别在AB、AC上，已知BC=40cm，AD=30cm． （1）求证：△AEH∽△ABC； （2）求这个正方形的边长与面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）cm， cm2． 【分析】（1）由正方形可得EH∥BC，所以可以得到对应的两组角相等，即可证明相似；（2）设正方形边长为x，再由△AEH∽△ABC得到对应边成比例，列出关于x的方程，解出x即可． 【详解】证明：(1)∵四边形EFGH是正方形， ∴EH∥BC， ∴∠AEH＝∠B，∠AHE＝∠C， ∴△AEH∽△ABC； (2)解：设AD与EH交于点M ∵∠EFD＝∠FEM＝∠FDM＝90°， ∴四边形EFDM是矩形， ∴EF＝DM.设正方形EFGH的边长为xcm， ∵△AEH∽△ABC， ∴， ∴， 解得x＝. ∴正方形EFGH的边长为cm，面积为 cm2. 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，掌握两个三角形的相似比等于对应的高之比,角平分线之比,中线之比是本题的解题关键． 11．如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，求的长． 【答案】 【分析】设正方形的边长，易证四边形是矩形，则，根据正方形的性质得出，推出，根据相似三角形的性质计算即可得解． 【详解】解：设正方形的边长， 四边形是正方形， ， ， 是的高， ， 四边形是矩形， ， ， （相似三角形对应边上的高的比等于相似比）， ， ， ， 解得：， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质的运用，注意：矩形的对边相等且平行，相似三角形的对应高的比等于相似比． 12．一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上．    (1)求证：； (2)求这个正方形零件的边长； (3)如果把它加工成矩形零件如图2，当时，这个矩形的面积是多少? 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】本题考查矩形和正方形的性质、矩形的性质与判定，三角形相似的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据正方形的性质和三角形相似的判定即可证明； （2）利用相似三角形的性质得，代值计算即可； （3）与（1）类似，证明，则，求出，与（2）同理，证明四边形是矩形，即，再求出面积，即可作答． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ∴ ∴； （2）解：设正方形零件的边长为， ∵四边形为正方形，高 ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 由（1）知， ， 同理，由， 得， ∴， ∵，高， 即 解得， ∴这个正方形零件的边长为； （3）解：如图：    与（1）同理得， ， ∵，，高， ， ， 与（2）同理，证明四边形是矩形， ∴， 即． ∴这个矩形的面积是 模型四：8字相似 ① ② (二次相似) ① ② （二次相似） ③  13．如图，AD与BC交于O点，，，，，求CD的长． 【答案】1.5 【分析】由，可得出，利用相似三角形的性质可得出，代入，，，即可求出CD的长． 【详解】解：∵AD与BC交于O点， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵，，， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例列式． 14．如图，锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，垂足为D，E． （1）求证：△ACD∽△ABE； （2）若将点D，E连接起来，则△AED和△ABC能相似吗？说说你的理由． 【答案】（1）见详解；（2）相似，理由见详解； 【分析】（1）根据已知条件，利用相似三角形的判定方法AA进行证明即可得到结论； （2）连接DE，根据（1）中的结论，可得对应边成比例，交换下比例项，即可得到结论． 【详解】证明：（1）∵CD，BE分别是AB，AC边上的高， ∴∠ADC＝∠AEB＝90°． ∵∠A＝∠A， ∴△ACD∽△ABE （2）连接DE， ∵△ACD∽△ABE, ∴AD：AE＝AC：AB． ∴AD：AC＝AE：AB． ∵∠A＝∠A． ∴△AED∽△ABC， 【点睛】本题考查相似三角形的判定方法，正确连接辅助线，熟练运用相似三角形的判定进行证明是解题的关键． 15．如图，在中，于，于，试说明： （1） （2） 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）直接根据相似三角形的判定证明即可； （2）首先根据相似三角形的性质得出，进而证明△ADE∽△ACB，最后根据相似三角形的性质即可证明． 【详解】解：（1）∵CD⊥AB于D，BE⊥AC于E， ∴∠AEB=∠ADC=90°， 在△ABE和△ACD中 ∴△ABE∽△ACD； （2）∵△ABE∽△ACD， ∴． 在△ADE和△ACB中， ∴△ADE∽△ACB ∴ ∴AD·BC=DE·AC． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．  模型五：子母型相似 16．如图，点是的边上的一点，若添加一个条件，使与相似，则下列所添加的条件错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在与中，已知有一对公共角∠B，只需再添加一组对应角相等，或夹已知等角的两组对应边成比例，即可判断正误． 【详解】A．已知∠B=∠B, 若，则可以证明两三角形相似，正确，不符合题意； B．已知∠B=∠B, 若，则可以证明两三角形相似，正确，不符合题意； C．已知∠B=∠B, 若，则可以证明两三角形相似，正确，不符合题意； D．若，但夹的角不是公共等角∠B，则不能证明两三角形相似，错误，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定条件是解答的关键． 17．如图，中，点在边上，且，若，，则的长为 ． 【答案】2 【分析】由∠ACD=∠ABC、∠A=∠A，即可得出△ABC∽△ACD，根据相似三角形的性质可得出，代入AC、AD的值可求出AB的长，再根据BD=AB-AD即可求出结论． 【详解】解：∵∠ACD=∠ABC，∠A=∠A， ∴△ABC∽△ACD， ∴． ∵AC=，AD=1， ∴， ∴AB=3， ∴BD=AB-AD=3-1=2． 故答案为2 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的判定定理是解题的关键． 18．如图，在中，，动点P从点A开始沿边运动，速度为，动点Q从B开始沿边运动，速度为，如果P，Q两动点同时运动，那么何时与相似？ 【答案】经过或秒时，与相似， 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，设经过秒时，与相似，则，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：当时，,即，当时，，即,然后解方程即可求出答案，准确分析题意列出方程求解是解答本题的关键. 【详解】解：设经过秒时，与相似， ， , 当时，, , 解得：, 当时，， , 解得：, 综上所述：经过或秒时，与相似， 模型六：射影定理 ① ② ③ 19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且＝． （1）求证 △ACD∽△ABC； （2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）根据相似三角形的判定两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可得出 （2）由得，，推出，由相似三角形的性质得，即可求出CD的长． 【详解】（1）∵，， ∴； （2）∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质是解题的关键． 20．如图，在中，于，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质：证明，列出比例式即可求证． 【详解】证明：∵于D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 21．如图，在中，是斜边上的高，则图中的相似三角形共有（  ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定定理及已知即可得到存在的相似三角形． 【详解】∵∠ACB＝90°，CD⊥AB ∴△ABC∽△ACD，△ACD∽△CBD，△ABC∽△CBD 所以有三对相似三角形， 故选：C． 【点睛】考查相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；（3）三边对应成比例的两个三角形相似． 22．如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，已知AD＝，那么BC＝ ． 【答案】 【分析】证明△BCD∽△BAC，根据相似三角形的性质列式计算即可． 【详解】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴∠ACB＝∠CDB＝90°， ∵∠B＝∠B， ∴△BCD∽△BAC， ∴＝，即＝， ∴, ∵ ∴BC＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形相似的判定和性质，牢记相关知识点并能结合图形灵活应用是解题关键．  模型七：一线三等角相似 一线三垂直 一线三等角相似  23．如图，在正方形中，是边上的中点，过点作，交的延长线于点，交于点． (1)求证：； (2)求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键点在于利用“同角的余角相等”证明，以及利用正方形用比例关系表示，本题的易错点在于找不到角的关系，比例式列错． （1）在正方形ABCD中，找到得两个余角，利用同角的余角相等，得出一对角相等，再利用已知直角相等，即可证明； （2）设正方形边长为，利用第（1）问的相似和中点，用比例关系表示，从而表示出，再证明，即可得到的值． 【详解】（1）∵边形是正方形， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∴， ∴， ∴． （2）设正方形的边长为， ∵是边上的中点， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 故． 24．如图，在正方形ABCD中，点E在AD上，EF⊥BE交CD于点F． (1)求证：； (2)连接BF，若，试确定点E的位置并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)点为的中点，理由见解析 【分析】（1）利用“两角法”证明即可； （2）根据相似三角形对应边成比例解答即可． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ，， ； （2）点为的中点时，，理由如下： ， ， ， ， ， ， 点为的中点． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）利用同角的余角找出;（2）利用相似三角形的性质得出． 25．如图所示，在中，，，E，D分别是，上的点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形相似的判定，等腰直角三角形的性质，三角形外角的定义及性质，由等腰直角三角形的性质可得，由三角形外角的定义及性质可得，结合即可得证，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】证明：，， ， ， 即， ， ， ． 26．如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，2BP＝3CD，BP＝1． （1）求证△ABP∽△PCD； （2）求△ABC的边长． 【答案】（1）证明见解析；（2）3． 【分析】（1）由△ABC是等边三角形，证明∠B＝∠C＝60°，再利用平角的定义与三角形的内角和定理证明：∠BPA＝∠PDC，从而可得结论； （2）由，先求解，设，再利用相似三角形的性质可得：，列方程，解方程即可得到答案． 【详解】证明：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠C＝60°， ∵∠BPA＋∠APD＋∠DPC＝180°且∠APD＝60°， ∴∠BPA＋∠DPC＝120° ∵∠DPC＋∠C＋∠PDC＝180°， ∴∠DPC＋∠PDC＝120°， ∴∠BPA＝∠PDC， ∴△ABP∽△PCD ； （2）∵2BP＝3CD，且BP＝1， ∴， ∵△ABP∽△PCD ， 设，则， ∴ 经检验：是原方程的解， 所以三角形的边长为：3． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，分式方程的解法，掌握三角形的判定及利用相似三角形的性质解决问题是解题的关键． 27．（1）【感知】如图①，在四边形中，点P在边上（点P不与点A、B合），．证明：． （2）【探究】如图②，在四边形中，点P在边上（点P不与点A、B重合），．若，求的长． （3）【拓展】如图③，在中，，点P在边上（点P不与点A、B重合），连结，作，与边交于点E，当是等腰三角形时，直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2）3；（3）4或 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识点，把握“一线三等角”模型是解题的关键． （1）根据同角的余角相等得到，再由，即可证明相似； （2）证明，得到，代入数据即可求解； （3）同理可证明，然后分三种情况讨论，利用全等三角形和相似三角形的的判定与性质即可求解． 【详解】（1）证明： ∴， ∴ ∴ ∴；            （2）解：∵是的外角， ∴， 即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴，解得： ； （3）解：∵， ∴， ∵是的外角， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， 当时，， ∵， ∴不成立； 当时，， 则， ∴； 当时，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴， 综上所述：是等腰三角形时，的长为4或． 学科网（北京）股份有限公司 $