河南省南阳市部分学校2025～2026学年高三上学期期中联考数学试题

高三数学参考答案与评分标准 题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案C A B D C B D ACD BC ACD 1.【答案】c 【解答】解：23-21=0-20-2-3 2i 2i(-i) ，ae), 复数z=3-2i 2iae)在复平面内对应的点在第三象限. 2.【答案】A 【解答】解：由题意可知，a+2b=(4+2x,6),a-b=(4-x,-3),由（ā+2b)1(a-), 则(a+2b).(a-万=(4+2x)(4--18=0,解得x=1. 3.【答案】B 【解答】解：M={xx2-2x-3≤0}={x-l≤3}，N={xx>0},.M∩N={x0<≤3}. 4.【答案】c 【解答】解：数列{a}是以3为公比的等比数列，且a=1,所以a,=3"，则log,4=log,3o2=2022. 5.【答案】D 【解答】解：由图象可知，f(x)的定义域为{xx≠}且图象关于原点对称， 对于4：定义域为x≠±关于原点对称，但(】/侧，是偶函数，不符合题愈 对于B:定义域为{xx≠1}，不符合题意；对于C:定义域为{xx≠士2}，不符合题意. 对于D:定义域为=+关于原点对称，且心0一侧，是奇函数，符合题它： 6.【答案】c 【解答】解：根据三角函数的定义，设B(2cost,2sim0,则4Acos(号+20，sin(写+21)，即4A(-sim2z,cos2), 可得y+,=cos2t+2cost=2cos2t+2cost-1,令c0st=m,则y+x,=22+2m-1, 二次函数fd=2m+2m-1的图象开口向上，对称轴为m=2, 1 结合m-1,,可知当=号时，函数取得最小值-综上所述，+的最小值为 2 2 7.【答案】B 【解答】解：设F关于∠FPE,平分线的对称点为O, 由椭圆对称性及角平分线性质可知P,乃，Q三点共线且PQHPR1,因为∠刀PR- 所以△PQR是正三角形，设1 PRHOR曰Pg=,易知a=3,所以△PQR的周长为4a=12, 高三数学参考答案第1页（共8页） 所以POH PF,1+QE上12-2m=m,解得m=4,即|PR=4,|PE=2, 在△PRE中，由余弦定理得|EEP-PE+|PE,P-2PE‖PF cos.∠EPE, 即4c2=4+22-2x4×2cos写，解得c=V5,所以b=V9-3=6,则该椭圆的面积为36元. 8.【答案】D 【解答】解：因为e0时，令1=2x+pcm+约， 所以根据题意可知y=sm>片在te(g+网上恒成立，所以9=名2kx，e2, 所以f)）=sin(2x+元+2kx)=sim(2x+),令t=2x+元，则f(x)=g0=sint, 又当e0时，1=2+名=后2+爱， 因为在区间0，经内，仅存在三个数x,,xG<4<),使得)=c,)=)=m, 所以在，2π+7召内，仅存在三个数，5，无，<6<)，使得)=g,)=8)=m, 6 作出g0=m1在云，2+及上的图象，如下图所示： 6 数形结合可得+在=3严，4+5-5π， y=g(t)=sint 2 2 2 2 -、-y=m 所以任：4，所以2中后22+3+2+ 22 5π 330 6 6=4π， 19 2 所以5+2%+%=4灯-=业，所以+%+=+2+= 33 2 2 2 6 9.【答案】ACD 【解答】解：对于选项A:当L=1时，BP=BC+BB, D 所以BP-BB=B,P=BC,即点P在B,C上运动，而B,C,I1平面DBC, 所以三棱锥P-DBC的体积为定值，故选项A正确： 对于选项B:当1}时，取BC的中点B,连接WN, 所以B驴-BC+B丽=死+B丽，即驴=B,所以点P在N上运动， 当P与E重合时，|PD23,|PB√PBP+BBP-25,IDB,FBDP+|BBP=4W2, 所以PDP+|PB=DB,即PD L PB,同理可得，当P与N重合时，也满足PD L PB,,故选项B错误； 对于选项C:当A+H时，取C中点B,取肌中点P,连接BP,则点P在线段EF上运动， 设点C关于直线EF的对称点为C',连接NC',此时点N、E、C三点共线， 所以点P与点E重合时，|PW+PC取得最小值NC'=4+2=6,故选项C正确： 高三数学参考答案第2页（共8页） 对于选项D:当元=0，u=时，P为BB的中点， 过点P作DM的平行线交AB于点E,过点M作DE的平行线交BC于点F,即可得 B 到截面MDEPF,此时E是线段AB的靠近点B的四等分点，F是线段B,C的靠近点 B的三等分点，即1B=1,BFL,由勾股定理知1DM=25,P5,P2 3 在△ADE中，由余弦定理知，|DE卡 AD+EP-21ADI-AF1-cos=13, 3 sπ_2V13 在△MC中，由余弦定理知，MFIMGF+PCP-2 MCC o3 3 所以平面DPM截该直棱柱所得截面周长为5+7 ,故选项D正确 10.【答案】BC 【解答】解：设该5名同学在此次比赛中所得成绩分别为x,x,x,x,x, 由题得x=3+x+x+x,+x)=8,则x+x,+,+x,+出，=40， 且s2=5[-8别2+(，-8+(6，-82+6，-82+(，-8门=4， 则(：-8)2+（化2-8）2+（化-8）2+(x,-8)2+(x-8)2=20,不妨设x,最大， 对于A选项，若x,=13,则(x-8)2+(化，-8)2+(3-8)2+(x,-8)2=-5不成立，故A错误； 对于B选项，若x,=12,则(：-8)2+(x-8)2+(x-8)2+(x4-8)2=4, 则满足题意，例如5位同学的成绩可为7,7,7,7,12，故B正确： 对于C选项，若x=11,则(x-8)2+(化，-8)2+（化-8）2+(x,-8)2=11, 则满足题意，例如5位同学的成绩可为5,7,8,9,11，故C正确： 对于D选项，若x=10,则x+x2+x+x,=30且(5-8)2+（化，-8）2+（化-8）2+（化-8）2=16， 则x+x号+x+x-16(x+x2+x+x,)+4×82=16, →x+x2+x+x=16(x+x2+x+x)-4×82+16=16×30-4×82+16=240, 则可得+++x=30 ++5+=240'该方程组无正整数解，故D错误。 11.【答案】ACD 【解答】解：对于A,sm9定义域为R,smh-y,已一e 2 -=-sinh(x). 2 所以)为奇函数，co:2,定义域为R, 高三数学参考答案第3页（共8页） cosh(C)=e+e三-cosh()所以cosh()为偶函数，故4正确： 对于Badc+r-y+22y -g2xte+2 xetote-2e'xeto 4 2L,故B错误： 对于cy-ge-。11-3 coshx e+ee2+11e+1'teR,:e2>0,e2+l>l,所以1 e2+1e(0,), 2，所以y=1子10，c选项正确： e2x+1 对于D:因为(Smh)。e>0,所以=mhx在R上单调递增 股)=x-,>0,则fg十e1+g二2，因为e+e>2,所以fgC+g一20 2 2 所以f(x)在(0，+)上单调递增，所以f(x)>f(0)=0, 即sinhx>x,所以x>0,sinh(sinh)>sinhx。,故D正确. 题号 12 13 14 答案 -5 3 2 59W2 12.【答案】-5. 【解答】解：(x+)的通项公式为T1=C6x'y,令r=4,则2y的系数为C。=15, 令r=3,则xy的系数为C=20,则展开式中x2y4的系数为15-20=-5. 13.【答案】33」 22 蟹答】解：由题意得5的所有可能值为1,2,3，P5=)-C-PG=2)=C》 CC109 P(ξ=3)= C010’⑤=1x3+2x3+3x」 cg-⊥， .13 5 10 102 1M.【解答】解：点受，&+)在直线：y:x+2425上， 4 4 4,=25-√2sim"匹，sim"的最小正周期为4，取值是1,0，-1,0的循环， 2 2 数列{a,}的前30项和：S。=30×22-√2[71+0-1+0)+1+0]=595. 15.【答案】1)B-胥；(2)5 4 【解答】解：(1)m=b,c0sB),i=(2a-c,cosC)共线.则bcosC=(2a-c)cosB,2分 由正弦定理可知，sin B cosC=(2sinA-sinC)cosB,即2 sin Acos B=sin BcosC+cos Bsin C=sin(B+C)=sinA, 高三数学参考答案第4页（共8页） A为三角形的内角，则sinA>0,故cosB= 1 。。。。。。。。。。。。。 .4分 B为三角形的内角，则五=胥；6分 (2)BD=2DC,且CD=1,AD=√7，则BD=2,BC=3, .8分 在△ABD中，由余弦定理可知，AD2=BD2+AB2-2AB·BD·cOSB, 即7=4+AB2-2AB,解得AB=3,10分 故A1BC的面积为)ABBC-simB=×3×3x5_95 2 24 13分 16.【答案】(1)1；(2)4. 9 【解答】解(1)根据题意，小队猜对3个谜题共有2种情况： ①甲队猜对2个，乙队猜对1个；②甲队猜对1个，乙队猜对2个，.3分 故要求概率P-×3*3x-×2+2x行0-宁兮*号6 1、111 .7分 223 2 (2)根据题意，甲猜对谜题数量大于乙猜对谜题数量的情况有： ①甲猜对1个，乙猜对0个；②甲猜对2个，乙猜对1个；③甲猜对2个，乙猜对0个；13分 放要求概率p2*号*00-日分2兮030号 2 3 15分 17.【答案】(1)证明：EA=EB,M是AB的中点，EM⊥AB,:平面ABE⊥平面ABCD, 平面ABE⌒平面ABCD=AB,EAC平面ABE,.EM⊥平面ABCD,ACC平面ABCD,.EM⊥AC; (2)5 【解答】解：(1)证明：EA=EB,M是AB的中点，EML AB,2分 平面ABE⊥平面ABCD,平面ABE∩平面ABCD=AB,EAC平面ABE, .4分 EML平面ABCD,ACC平面ABCD,6分 .EM⊥AC; .7分 (2):EM⊥平面ABCD,.EM⊥MC, :△ABC是正三角形，.MC1AB, .9分 ·MB,MC,ME两两垂直， 建立如图所示空间直角坐标系M-yz, 则M(0,0,0),A(-1,0,0),B1,0,0),C(0,V3,0),E(0,0,V3), BC=（-1,V3,0),BE=(l,0,V3), 11分 设=(x,y,z)是平面BCE的一个法向量，则 i.BC=-x+3y=0 iBE=-x+3z=0 令Z=1,得i=(V3,1,1）,.13分 易知元=(Q,L0)是平面ABE的一个法向量，则cos<mn>-mi三1-5 |i5x15’ 设二面角A-8-c的平面角为9，结合图形可知8为锐角，故cos0=5 5 高三数学参考答案第5页（共8页） ·二面角A-82-C的余弦值为5 15分 18.【答案】1号+=1： (2)是定值，定值为9. 【解答】解：(1)因为椭圆E的右顶点为0,0)，离心率e=2y5 3 [b=1 a=3 所以e=25,解得b=，则椭圆B的标准方程为上+亡=1： 6分 a 3 a2=b2+c1 c=2W2 (2)直线AD与BC的斜率之积是定值，理由如下： 由()知A03),80,0,所以k起三003， .8分 因为CD11AB,所以kD=kAB=-3, 不妨设直线CD的方程为y=-3x+t,C(,),D(x2,2), y=-3x+t 状业y2，,消去y开整埋得18x一61—90’1 因为△=36t2-72t-9)>0,所以-3√2<t<3√2， … .12分 t 由韦达定理得 x+5=3 55-。”时63之- x2x1-1x2(化-1)xx2-x2 18 =-35+t-3x,+0-3-35+)_9x-3(s+x)+tP+9x-31 xx-x2 x2-x2 24%22- t2-9 -9x2 99 =、2 2 8) -=9. t2-9 16分 -X2 t2-9 185 t2-9、 t-9 185 一X 18 18 故直线AD与BC的斜率之积是定值，定值为9. .17分 19.【答案】(1)奇函数，证明见解析，(-1,1)上单调递减： (2)(2,+0)； (3)答案见解析. 【解答】解：（D函数)=，由0，可得-1<x<1,即)的定义域为， 1+x 又心功=，所以w为奇函数，当0<1时，e(1+显然单调选减， x+11 所以f(x)在(-1,1)上单调递减；… 2分 (2)函数gw)=2-d(a>0,a≠1)，若存在x，x2∈[0,1)，使得f(x)=g(x2)成立， 高三数学参考答案第6页（共8页） 则f(x)和g(x)在x∈[0,1)上的值域的交集不为空集， .4分 由1)可知：0e<1时，=g是=®1+台显然单调递减，所以其值域为，， x+1 若a>1,则g()=2-am在[0,1)上单调递减，所以g(x)的值域为(2-a,1], 此时只需2-a<0,即a>2,所以a>2,… 5分 若0<a<1,则g(x)=2-m在[0,1)递增，可得g(x)的值域为1,2-a四， 此时[1,2-与(0,0]的交集显然为空集，不满足题意，… .6分 综上，实数a的范围是(2，+0)； .7分 (3)由y=h(x)]-2=0,得M(x]=2,令t=h(x),则h()=2, f(x),-1<x<1 画出的日kX十.式∈C.几的图象，一……9分 k(t] -0八1 ①当k≤0，h()=kt|+1≤1，t≤-1或t>),所以只有一个-1<t<0满足h)=2, 即片2，解行4：治山1：器得非 t+1 当x以即k<0时。)=1有3个交点，即=)-2有3个零息 当1xk1即k<-200时，)=1有1个交点，即y=0(》-2有1个零点：l1分 101 ②当k=0时，显然y=h①)=2只有1解，且te(-1,0),此时，h(x)=t只有1解， 即y=hh(x)》-2有1个零点； 13分 ③当k>1时，k|x+1>k+1>2,h0=2只有1解，且-1<t<0, 所以此时h)=t只有1解，即y=h(x》-2只有1个零点；15分 ④当0<时，1<k+12,此时<-L1<4<0号， 由1是5马. 2 得在5<+1片三个分别对应个零点，共3个 2 高三数学参考答案第7页（共8页） 在0<长5，时，k+1<名，三个：分别对应1个，1个，3个零点，共5个 .17分 综上所述：当k>1或k=0或k<-00时，y=M(x]-2只有1个零点， 101 当微<0或5ka时，=12有3个零点，当0<长51时，y=42有5个等点. 2 2 以上各解答题如有其它解法且正确，请按步骤给分。 高三数学参考答案第8页（共8页）高三数学 考生注意： 1.试卷分值：150分，考试时间：120分钟。 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答 案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答案区域内作答，超出答题 区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 3.所有答案均要答在答题卡上，否则无效。考试结束后只交答题卡。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项 符合题目要求。 L,复数：3，a)在复平面内对应的点在(】 A.第一象限B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.己知向量a=(4,0),万=(x,3),若(a+2b)1(a-b),则x=() A.1 B.0 C.-1 D.2 3.已知集合M={x|x2-2x-3≤0)，N={x|y=lr},则M∩N=() A.[-1,3] B.(0,3] C.(0,+) D.[-1,+m) 4.在数列{a,}中a=1,数列{a,}是以3为公比的等比数列，则log,42等于() A.2020 B.2021 C.2022 D.2023 5.函数f(x)的大致图象如图所示，则f(x)可能是( ) A.f(x)=-1 2-1 B.f)= x-1 C. D.f()=-x 2-4 第5题图 6.在平面直角坐标系中，动点A在以原点为圆心，1为半径的圆上，以2ad/s的角速度按逆时针方 向做匀速圆周运动：动点B在以原点为圆心，2为半径的圆上，以1rad/s的角速度按逆时针方向做匀 速圆周运动.A,B分别以A,(0,1),B,(2,0)为起点同时开始运动，经过ts后，动点A,B的坐标分别 为(x1,),(x2,2),则y+x2的最小值为() A.-3 B.-2 C. D.-1 7.阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用逼近法得到椭圆的面积除以圆周率π等于 衡圆的长半轴长与短半轴长的乘积.知椭圆+0<6)的左、右焦点分别为？、，P为桶 圆上一点，且RPR=牙，若R关于∠RPR平分线的对称点在椭圆上，则该椭圆的面积为() A.3W3π B.3W6元 C.3W5π D.6π 8.已知函数f)=(2x+四在x∈(o,)时满足f()>】恒成立，且在区间(o,3弧)内，仅存在三个数x, 2 2 高三数学试题第1页（共4页） ,考<，<)，使得f)=f)=f(s)=m,则+x,+点=() 2 2 A.7π 6 B.3π 2 C.13x 6 D.Ilz 6 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.如图，在直棱柱ABCD-AB,CD,中，底面ABCD为菱形，且AB=AA=4,∠BAD=60°，M为线段D,C 的中点，N为线段BC的中点，点P满足BP=BC+BB(O≤≤L,0≤u≤I),则下列说法正确的是() A.若u=1,则三棱锥P-DBC的体积为定值 D B.若A则有且仅有一个点P,使得PDLPB N B C.若A+H号则PW+PC的最小值为6 D ---- C A D.若2=0，u=;,则平面DPM截该直棱柱所得截面周长为5+7 B 2 3 第9题图 10.北京时间2024年8月12日凌晨，第33届法国巴黎奥运会闭幕式正式举行，中国体育代表团以 出色的表现再次证明了自己的实力，最终取得了40枚金牌、27枚银牌和24枚铜牌的最佳境外参赛 成绩，也向世界展示了中国体育的蓬勃发展和运动员们顽强拼搏的精神.某校社团为发扬奥运体育精 神举办了竞技比赛，此比赛共有5名同学参加，赛后经数据统计得到该5名同学在此次比赛中所得成 绩的平均数为8，方差为4，比赛成绩x∈[0,15]，且x∈W,则该5名同学中比赛成绩的最高分可能 为() A.13 B.12 C.11 D.10 11.双曲函数是一类与三角函数类似的函数.最基本的双曲函数是双曲正弦函数sihx=e-e和双曲 2 余弦函数cox=e+e，则下列说法正确的是( ) 2 A.双曲正弦函数是奇函数，双曲余弦函数是偶函数 B.[cosh(x)2+[sinh(x)]2=1 C.函数y=sihx的值域为(-l,l) coshx D.∀x。>0,sinh(sinhx,)>sinh 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12.1-当)x+)的展开式中x2y的系数为▲_·（数字作答） 1 13.袋中装有3个红球2个白球，从中随机取球，每次一个，直到取得红球为止，则取球次数的数 学期望为▲一· 14.已知点m受，Q+经)在直线：=-x:25上，则数列a的前30项的和为△ 4 高三数学试题第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 在△4BC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且m=(b,cosB),i=(2a-c,cosC)共线. (1)求B的大小. (2)若BD=2DC,且CD=1,AD=√万，求△ABC的面积. 16.(15分) 甲、乙两人组成小队参加数学趣味迷题竞猜活动，每轮活动有甲、乙各猜一个谜题，已知甲每轮猜对 的概率为}，乙每轮猎对的概率为}在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也相互不 影响，该小队共参加了两轮活动. (1)求小队猜对3个谜题的概率； (2)求甲猜对迷题数量大于乙猜对谜题数量的概率. 17.(15分) 如图，四棱锥E-ABCD中，底面ABCD为菱形，侧面ABE为等边三角形，平面ABE⊥平面ABCD,AB=2, ∠ABC=60°，M是AB的中点. (1)求证：EM⊥AC; (2)求二面角A-BE-C的余弦值； E D M B 高三数学试题第3页（共4页) 18.(17分) 如图，椭圆B术+b>0的项点为4，右顶点为0.，0，离心率e2,C、D是桶圆上的 3 两个动点，且满足CD/IAB. (1)求椭圆E的标准方程： (2)试判断直线AD与BC的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由 本y D 19.(17分) 已知函数fw=g1- x+1 (1)判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由；指出单调性，不需证明； (2)函数g(x)=2-d(a>0,a≠1)，若存在x，x,∈[0,1)，使得fx)=g(x,)成立，求实数a的取值范围； G》若西致-en-儿的讨论面数，-e-的零直个就 高三数学试题第4页（共4页)