专题03 等腰三角形（期末真题汇编，黑龙江专用）八年级数学上学期新教材人教版

专题03 等腰三角形 3大高频考点概览 考点01 等腰三角形的性质与判定 考点02 等边三角形的性质与判定 考点03 含30°角的直角三角形的性质 地 城 考点01 等腰三角形的性质与判定 一、单选题 1．(23-24八上·黑龙江牡丹江·期末)如图，在等腰直角三角形中，，外角平分线交延长线于点D，，垂足是E，若周长是8，则线段的长为（　　） A． B．9 C．8 D．7 2．(23-24八上·黑龙江省佳木斯市富锦市·期末)下列说法中，正确的有（   ） A．两个全等的三角形一定关于某直线对称 B．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合 C．等腰三角形是轴对称图形，对称轴为等腰三角形的高 D．若三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，则这个三角形为等腰三角形 3．(23-24八上·黑龙江省绥化市明水县·期末)如图，AB=AC=AD，若∠BAD=80°，则∠BCD=（　　） A．80° B．100° C．140° D．160° 4．(24-25八上·黑龙江省统考·期末)等腰三角形的底角等于，则这个等腰三角形顶角的度数是（    ） A． B． C． D． 5．(23-24八上·黑龙江省哈尔滨市巴彦县·期末)已知等腰三角形的两边长分别是4cm和8cm，这个三角形的周长（    ）． A．16cm B．18cm C．20cm D．16cm或20cm 6．(24-25八上·黑龙江绥化绥棱县·期末)已知等腰三角形的周长是12，且各边长都为整数，则各边的长可能是（    ） A．1，1，10 B．2，2，8 C．3，3，6 D．5，5，2 7．(24-25八上·黑龙江齐齐哈尔昂昂溪区·期末)等腰三角形的一个底角为，这个等腰三角形的顶角为（    ） A． B． C． D． 8．(23-24八上·黑龙江佳木斯抚远抚远·期末)如图，，点在边上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．(24-25八上·黑龙江哈尔滨巴彦县·期末)等腰三角形的一个底角为，这个等腰三角形的顶角为（   ） A． B． C． D． 10．(23-24八上·黑龙江哈尔滨通河县·期末)若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（　　） A．9 B．7 C．12 D．9或12 11．(23-24八上·黑龙江省牡丹江市海林市·期末)如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，AD＜AB，且点E在线段CD上，则下列结论中不一定成立的是（         ） A．△ABD≌△ACE B．BD⊥CD C．∠BAE-∠ABD=45° D．DE=CE 12．(23-24八上·黑龙江省双鸭山市部分学校·期末)已知等腰三角形两边的长x、y满足，则等腰三角形周长为（    ） A．10 B．11 C．12 D．10或11 13．(23-24八上·黑龙江牡丹江林口县·期末)如图，在等腰三角形中，，D为的中点，点E在上，，若点P是等腰三角形的边上的一点，则当为等腰三角形时，的度数是（    ） A． B． C．减 D．或 14．(24-25八上·黑龙江省七台河市·期末)如图为正方形网格，则（　　） A． B． C． D． 15．(23-24八上·黑龙江省哈尔滨市风华中学·期末)等腰三角形的顶角为150°,则它的底角为(    ) A．30° B．15° C．30°或15° D．50° 16．(23-24八上·黑龙江省哈尔滨市松北区·期末) “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的.借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动，若，则的度数是（    ）    A．60° B．65° C．75° D．80° 二、填空题 17．(23-24八上·黑龙江哈尔滨道里区·期末)如图，点D在的边上，，，则为 度． 18．(23-24八上·黑龙江牡丹江第四中学·期末)用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，若设腰长为x，则腰长x的取值范围是 ． 19．(23-24八上·黑龙江牡丹江第四中学·期末)已知等腰，，过点B的一条直线把这个三角形分成两个等腰三角形，则 ． 三、解答题 20．(24-25八上·黑龙江省绥化市海伦市·期末)如图，在中，． (1)求证：； (2)若，判断的形状，并说明理由． 21．(23-24八上·黑龙江省绥化市明水县·期末)如图，等边中，分别延长至点，延长至点，使．    求证： 22．(23-24八上·黑龙江省绥化市第八中学校·期末)如图，在中，，，，垂足为C，交线段于F，D是边上一点，连接，且． (1)求证：； (2)与有怎样的位置关系？证明你的结论； (3)当时，求证：BD平分． 23．(23-24八上·黑龙江哈尔滨松北区·期末)如图，点D、E在的边上，，． (1)求证：． (2)若，直接写出图中除与外所有等腰三角形． 地 城 考点02 等边三角形的性质与判定 一、单选题 1．(23-24八上·黑龙江省哈尔滨市风华中学·期末)如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ＝3，PE＝1．AD的长是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 2．(23-24八上·黑龙江省齐齐哈尔市3校联考·期末)如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C，D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=（　　） A．30° B．25° C．15° D．10° 3．(24-25八上·黑龙江省哈尔滨市南岗区萧红中学·期末)如图所示，已知在等边三角形ABC中，点D，E分别是BC，AC上的点，且AE＝CD，连接AD，BE交于点P，过点B作BQ⊥AD，Q为垂足，PQ＝2，则BP的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题 4．(23-24八上·黑龙江省哈尔滨市通河县·期末)如图，在等边中，，平分，点E在的延长线上，且，则的长 ． 5．(24-25八上·黑龙江省绥化市黑龙江省绥化市·期末)如图，以正方形的边向外作等边三角形，则的度数是 ． 6．(23-24八上·黑龙江省佳木斯市联考·期末)已知为等边三角形，，M在边所在直线上，点N在边所在直线上，且，若，则的长为 ． 三、解答题 7．(23-24八上·黑龙江省佳木斯市富锦市实验中学·期末)如图所示，等边△ABC中，点P在内，点Q在外，且，． (1)求证：； (2)试判断△APQ是什么形状的三角形？并说明你的理由． 8．(23-24八上·黑龙江哈尔滨道里区·期末)点D为的边上一点，连接，点E在外，连接，，，． (1)如图1，若，请你判定的形状并证明； (2)如图2，若，请你判定的形状并证明． 9．(23-24八上·黑龙江省哈尔滨市阿城区·期末)如图1，已知．以为边向形外作等边三角形，连接．    (1)求证：； (2)如图2，若，点H为的中点，连接，请直接写出与全等的所有三角形． 10．(23-24八上·黑龙江省齐齐哈尔市梅里斯达斡尔族区·期末)如图，在中，，，．动点从点出发，沿向点运动，动点从点出发，沿向点运动，如果动点以，以的速度同时出发，一个动点停止后，另一个动点随之停止运动，设运动时间为，解答下列问题： （1）求为何值时，是等边三角形； （2），在运动过程中，的形状不断发生变化，当为何值时，是直角三角形？并说明理由． 地 城 考点03 含30°角的直角三角形的性质 一、单选题 1．(23-24八上·黑龙江省绥化市庆安县·期末)如图，已知，平分，点P在上，于点D，，点E是射线上的动点，则的最小值为（　　） A．4 B．2 C．5 D．3 二、填空题 2．(23-24八上·黑龙江省哈尔滨市南岗区萧红中学·期末)如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN＝1，则BC的长为 ． 3．(24-25八上·黑龙江省哈尔滨市南岗区萧红中学·期末)如图，在中，，，CD是的高，且，则AD的长是 4．(23-24八上·黑龙江省哈尔滨市巴彦县·期末)如图，在等边△ABC中，AD⊥BC交于D，P、Q两点分别是AC、BC边上的两动点，且PQ∥AD，当∠PDQ＝30°时，如果CQ＝0.5，那么AB＝ ． 5．(23-24八上·黑龙江哈尔滨松北区·期末)如图，等边为外一点，，连接，若的面积等于9，则的长为 ． 6．(23-24八上·黑龙江佳木斯抚远抚远·期末)如图，点E在等边三角形的边上，，射线，垂足为C，P是射线上一动点，F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为 ． 三、解答题 7．(24-25八上·黑龙江省绥化市绥棱县·期末)如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝6，在△ABC内取一点O，使得AB＝OB，∠CAO＝15°，AM⊥BO，M为垂足． （1）求AM的长； （2）求证：AO＝CO． 8．(23-24八上·黑龙江哈尔滨通河县·期末)如图，已知，，与相交于点G．求的度数． 9．(23-24八上·黑龙江哈尔滨呼兰区第四中学·期末)如图，四边形中，，E为的中点，连结并延长交的延长线于点F． (1)求证：； (2)连结，若，，，请判断与的数量关系，并说明理由． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 等腰三角形 3大高频考点概览 考点01 等腰三角形的性质与判定 考点02 等边三角形的性质与判定 考点03 含30°角的直角三角形的性质 地 城 考点01 等腰三角形的性质与判定 一、单选题 1．(23-24八上·黑龙江牡丹江·期末)如图，在等腰直角三角形中，，外角平分线交延长线于点D，，垂足是E，若周长是8，则线段的长为（　　） A． B．9 C．8 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，先根据等腰直角三角形的性质得到，再证明，得到，，接着证明是等腰直角三角形，得到，则，由三角形周长公式得到，则． 【详解】解：∵在等腰直角三角形中，， ∴， ∵外角平分线交延长线于点D，， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵周长是8， ∴， ∴， 故选：C． 2．(23-24八上·黑龙江省佳木斯市富锦市·期末)下列说法中，正确的有（   ） A．两个全等的三角形一定关于某直线对称 B．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合 C．等腰三角形是轴对称图形，对称轴为等腰三角形的高 D．若三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，则这个三角形为等腰三角形 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称的性质、等腰三角形的性质与判定．利用轴对称的性质、等腰三角形的性质与判定，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A、两个全等的三角形不一定关于某直线对称，故该选项不正确，不符合题意； B、等腰三角形底边上高线、中线、顶角的角平分线互相重合，故该选项不正确，不符合题意； C、等腰三角形是轴对称图形，对称轴为等腰三角形的顶角的高所在的直线，故该选项不正确，不符合题意； D、若三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，则这个三角形为等腰三角形，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 3．(23-24八上·黑龙江省绥化市明水县·期末)如图，AB=AC=AD，若∠BAD=80°，则∠BCD=（　　） A．80° B．100° C．140° D．160° 【答案】C 【分析】先根据已知和四边形的内角和为360°，可求∠B＋∠BCD＋∠D的度数，再根据等腰三角形的性质可得∠B＝∠ACB，∠ACD＝∠D，从而得到∠BCD的值． 【详解】∵ ∵AB=AC=AD， ∴∠B=∠ACB，∠ACD=∠D， 故选C． 【点睛】考查了四边形的内角和，等腰三角形的两个底角相等的性质． 4．(24-25八上·黑龙江省统考·期末)等腰三角形的底角等于，则这个等腰三角形顶角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等腰三角形的两底角相等，结合三角形的内角和定理可得答案． 【详解】解：等腰三角形的底角等于， 又等腰三角形的底角相等， 顶角等于，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的两底角相等是解题的关键． 5．(23-24八上·黑龙江省哈尔滨市巴彦县·期末)已知等腰三角形的两边长分别是4cm和8cm，这个三角形的周长（    ）． A．16cm B．18cm C．20cm D．16cm或20cm 【答案】C 【分析】题中没有指明哪个是底哪个是腰，所以应该分两种情况进行分析． 【详解】解：当腰长为4cm时，4+4=8cm，不符合三角形三边关系，故舍去； 当腰长为8cm时，符合三边关系，其周长为8+8+4=20cm． 故该三角形的周长为20cm． 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．应向学生特别强调． 6．(24-25八上·黑龙江绥化绥棱县·期末)已知等腰三角形的周长是12，且各边长都为整数，则各边的长可能是（    ） A．1，1，10 B．2，2，8 C．3，3，6 D．5，5，2 【答案】D 【分析】本题主要考查了能够组成三角形三边之间的关系，根据三角形三边之间的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．可得出正确答案． 【详解】解：．，不能构成三角形，故该选项不符合题意； ．，不能构成三角形，故该选项不符合题意； ．，不能构成三角形，故该选项不符合题意； ．，满足三角形三边关系，故该选项符合题意； 故选：D． 7．(24-25八上·黑龙江齐齐哈尔昂昂溪区·期末)等腰三角形的一个底角为，这个等腰三角形的顶角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握等腰三角形的两个底角相等是解题的关键． 由等腰三角形的两个底角相等及三角形的内角和定理即可得解． 【详解】解： ∵等腰三角形的一个底角为， ∴这个等腰三角形的顶角， 故选：C． 8．(23-24八上·黑龙江佳木斯抚远抚远·期末)如图，，点在边上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的性质，等腰三角形的性质，关键是由，得到，．由全等三角形的性质推出，由等腰三角形的性质得到，求出，，即可得到． 【详解】解：， ， ∵， ∴， ， ， ∴． 故选： B ． 9．(24-25八上·黑龙江哈尔滨巴彦县·期末)等腰三角形的一个底角为，这个等腰三角形的顶角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握等腰三角形的两个底角相等是解题的关键．由等腰三角形的两个底角相等及三角形的内角和定理即可得解． 【详解】解： ∵等腰三角形的一个底角为， ∴这个等腰三角形的顶角， 故选：C． 10．(23-24八上·黑龙江哈尔滨通河县·期末)若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（　　） A．9 B．7 C．12 D．9或12 【答案】C 【分析】此题考查了求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为2和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：（1）若2为腰长，5为底边长， 由于，则三角形不存在； （2）若5为腰长，则，符合三角形的两边之和大于第三边． 所以这个三角形的周长为． 故选：C． 11．(23-24八上·黑龙江省牡丹江市海林市·期末)如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，AD＜AB，且点E在线段CD上，则下列结论中不一定成立的是（         ） A．△ABD≌△ACE B．BD⊥CD C．∠BAE-∠ABD=45° D．DE=CE 【答案】D 【分析】根据SAS证明△ABD≌△ACE；由全等得∠AEC=∠ADB，根据等式的性质，得BD⊥CD；由三角形内角和可得，∠DAB+∠ABD=45°，又∠DAE=90°，得∠BAE-∠ABD=45°． 【详解】解：∵∠BAC=∠DAE=90°， ∴∠BAC-∠BAE =∠DAE-∠BAE， 即∠DAB=∠CAE． 又AB=AC，AD=AE， ∴△ABD≌△ACE（SAS），故A成立． ∴∠AEC=∠ADB． ∴∠ADB -45° =∠BDC=90°． ∴BD⊥CD，故B成立． 由三角形内角和可得，∠DAB+∠ABD=45°， ∠ABD=45°-∠DAB， 又∠DAE=90°， ∴∠BAE=90°-∠DAB． ∴∠BAE-∠ABD=45°，故C成立． 现有条件无法证明DE=CE ，故D不成立． 故答案选D． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，等腰直角三角形，解答的关键是相应的知识的掌握与灵活运用． 12．(23-24八上·黑龙江省双鸭山市部分学校·期末)已知等腰三角形两边的长x、y满足，则等腰三角形周长为（    ） A．10 B．11 C．12 D．10或11 【答案】D 【分析】先利用绝对值和平方的非负性可得求出的值，然后分两种情况分别进行计算即可解答． 【详解】∵， ∴，， ∴或（舍去），， 分两种情况： 当等腰三角形的腰长为4，底边长为3时， ∴等腰三角形的周长； 当等腰三角形的腰长为3，底边长为4时， ∴等腰三角形的周长； 综上所述：等腰三角形的周长是10或11， 故选：D． 【点睛】本题考查了绝对值和平方的非负性，等腰三角形的性质，三角形三边关系，分两种情况讨论是解题的关键． 13．(23-24八上·黑龙江牡丹江林口县·期末)如图，在等腰三角形中，，D为的中点，点E在上，，若点P是等腰三角形的边上的一点，则当为等腰三角形时，的度数是（    ） A． B． C．减 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．过D作，，易证，，再根据四边形内角和即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∵点P是等腰的腰上的一点，，D为的中点， ∴， 过D作，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∴， ∴， 故选C 14．(24-25八上·黑龙江省七台河市·期末)如图为正方形网格，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，以及等腰直角三角形的性质，关键是掌握全等三角形对应角相等是解题的关键． 首先证明，然后证明，再根据等腰直角三角形的性质可得，进而可得答案． 【详解】如图所示： ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：D． 15．(23-24八上·黑龙江省哈尔滨市风华中学·期末)等腰三角形的顶角为150°,则它的底角为(    ) A．30° B．15° C．30°或15° D．50° 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理即可解答. 【详解】∵等腰三角形的顶角为150°， ∴等腰三角形底角的度数为：. 故选B. 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理，熟练运用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理是解决问题的关键. 16．(23-24八上·黑龙江省哈尔滨市松北区·期末) “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的.借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动，若，则的度数是（    ）    A．60° B．65° C．75° D．80° 【答案】D 【分析】根据OC=CD=DE，可得∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，根据三角形的外角性质可知∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC据三角形的外角性质即可求出∠ODC数，进而求出∠CDE的度数． 【详解】∵， ∴，， 设， ∴， ∴ ， ∵， ∴， 即， 解得：， . 故答案为D. 【点睛】本题考查等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键． 二、填空题 17．(23-24八上·黑龙江哈尔滨道里区·期末)如图，点D在的边上，，，则为 度． 【答案】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理，设．构建方程求出，可得结论． 【详解】解：设． ， ， ， ， 为外角， ， ∴ 在中， ， ． 故答案为：108 18．(23-24八上·黑龙江牡丹江第四中学·期末)用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，若设腰长为x，则腰长x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．根据等腰三角形的定义可得等腰三角形的底边长为，然后利用三角形的三边关系可得，进行计算即可解答． 【详解】解：等腰三角形的周长为，腰长为， 等腰三角形的底边长为， 由题意得：， 解得：， 故答案为： 19．(23-24八上·黑龙江牡丹江第四中学·期末)已知等腰，，过点B的一条直线把这个三角形分成两个等腰三角形，则 ． 【答案】或 【分析】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用，解决问题的关键是分类思想的运用．先作图以及分类讨论，利用等腰三角形的性质进行求解即可 【详解】解：如图， ∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴， ∴． 如图， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴7∠A=180°， ∴， 故答案为：或． 三、解答题 20．(24-25八上·黑龙江省绥化市海伦市·期末)如图，在中，． (1)求证：； (2)若，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)是等腰三角形，理由见详解 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意可根据“”得到，然后问题可求证； （2）由题意可根据“”得到，则有，然后问题可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴在和中， ， ∴， ∴； （2）解：是等腰三角形，理由如下： ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 21．(23-24八上·黑龙江省绥化市明水县·期末)如图，等边中，分别延长至点，延长至点，使．    求证： 【答案】见解析 【分析】延长至点，使，连接，根据等边三角形的性质可得，，推得，，根据等边三角形的判定可得为等边三角形，推得，，根据全等三角形的判定和性质即可证明． 【详解】证明：延长至点，使，连接，如图：    ∵是等边三角形， ∴，， 又∵，， ∴， 即， ∴为等边三角形， ∴，， 又∵，， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，作出辅助线是解题的关键． 22．(23-24八上·黑龙江省绥化市第八中学校·期末)如图，在中，，，，垂足为C，交线段于F，D是边上一点，连接，且． (1)求证：； (2)与有怎样的位置关系？证明你的结论； (3)当时，求证：BD平分． 【答案】(1)见解析 (2)与互相垂直，理由见解析 (3)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，直角三角形两锐角互余． （1）由题意可知，再利用证明，即可证得结论； （2）设与交于点O，由，可得，再结合，利用互余关系可得，可知，证得； （3）结合（2）知，利用互余关系可证得，由，得，又由，得，可证得，再利用等腰三角形三线合一可得平分． 熟练掌握全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质是解决问题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵，， ∴． ∴． （2）与互相垂直．理由如下： 设与交于点O． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）∵，则， 又∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴平分． 23．(23-24八上·黑龙江哈尔滨松北区·期末)如图，点D、E在的边上，，． (1)求证：． (2)若，直接写出图中除与外所有等腰三角形． 【答案】(1)详见解析 (2)除与外所有的等腰三角形为： 【分析】此题考查了等腰三角形的判定与性质，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用是解题的关键． （1）过点A作于点F，根据等腰三角形的性质得到，再根据线段垂直平分线的性质证明结论即可； （2）由题意求出，再求出其他角的度数，即可得到答案． 【详解】（1）证明：过点A作于点F， ， ， ， ， ； （2）证明：解：， ， ， ， ， ， ， ， 除与外所有的等腰三角形为：． 地 城 考点02 等边三角形的性质与判定 一、单选题 1．(23-24八上·黑龙江省哈尔滨市风华中学·期末)如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ＝3，PE＝1．AD的长是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】由已知条件，先证明△ABE≌△CAD得∠BPQ=60°，可得BP=2PQ=6，AD=BE．则易求AD的长． 【详解】∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝CA，∠BAE＝∠ACD＝60°； 又∵AE＝CD， 在△ABE和△CAD中， ， ∴△ABE≌△CAD（SAS）； ∴BE＝AD，∠CAD＝∠ABE； ∴∠BPQ＝∠ABE+∠BAD＝∠BAD+∠CAD＝∠BAE＝60°； ∵BQ⊥AD， ∴∠AQB＝90°，则∠PBQ＝90°﹣60°＝30°； ∵PQ＝3， ∴在Rt△BPQ中，BP＝2PQ＝6； 又∵PE＝1， ∴AD＝BE＝BP+PE＝7． 故选：C． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质及含30°的角的直角三角形的性质；巧妙借助三角形全等和直角三角形中30°的性质求解是正确解答本题的关键． 2．(23-24八上·黑龙江省齐齐哈尔市3校联考·期末)如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C，D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=（　　） A．30° B．25° C．15° D．10° 【答案】C 【详解】解： ,， ,， ， ， ， ， 故答案为：C 3．(24-25八上·黑龙江省哈尔滨市南岗区萧红中学·期末)如图所示，已知在等边三角形ABC中，点D，E分别是BC，AC上的点，且AE＝CD，连接AD，BE交于点P，过点B作BQ⊥AD，Q为垂足，PQ＝2，则BP的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据全等三角形的判定定理SAS可判断两个三角形全等；根据全等三角形的对应角相等，以及三角形外角的性质，可以得到∠PBQ＝30°，根据直角三角形的性质即可得到． 【详解】解：∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°， 在△BAE和△ACD中， AB＝CA，∠BAE＝∠ACD， AE＝CD， ∴△BAE≌△ACD（SAS）， ∴∠ABE＝∠CAD， ∵∠BPQ为△ABP外角， ∴∠BPQ＝∠ABE+∠BAD＝∠CAD+∠BAD＝∠BAC＝60°， ∵BQ⊥AD， ∴∠PBQ＝30°， ∴BP＝2PQ＝4． 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、等边三角形的性质以及含30度角直角三角形的性质．直角三角形中30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半． 二、填空题 4．(23-24八上·黑龙江省哈尔滨市通河县·期末)如图，在等边中，，平分，点E在的延长线上，且，则的长 ． 【答案】2cm/2厘米 【分析】根据题意易得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵是等边三角形，，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为2cm． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键． 5．(24-25八上·黑龙江省绥化市黑龙江省绥化市·期末)如图，以正方形的边向外作等边三角形，则的度数是 ． 【答案】15 【分析】本题主要考查正方形的性质，等边三角形的性质，三角形的内角和定理，根据正方形的性质及等边三角形的性质可求解，再根据等腰三角形的性质，结合三角形的内角和定理可求解． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：15． 6．(23-24八上·黑龙江省佳木斯市联考·期末)已知为等边三角形，，M在边所在直线上，点N在边所在直线上，且，若，则的长为 ． 【答案】4或36/36或4 【分析】分两种情形：①当点在的延长线上时，作于．②当点在的延长线上时，作于．分别求解即可． 【详解】解：由题意可知，， ①如图，当点在的延长线上时，作于． 在中， ，，， ∴， ， ， ，， ， ． ②如图，当点在的延长线上时，作于， 在中， ，，， ∴， ， ， ，， ， ， 故答案为：4或36． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题． 三、解答题 7．(23-24八上·黑龙江省佳木斯市富锦市实验中学·期末)如图所示，等边△ABC中，点P在内，点Q在外，且，． (1)求证：； (2)试判断△APQ是什么形状的三角形？并说明你的理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)是等边三角形，理由见解析． 【分析】（1）运用的判定方法证明即可证； （2）根据推出，，进一步证明即可证是等边三角形． 【详解】（1）∵是等边三角形 ∴，在和中 ， ∴（SAS） ∴． （2）是等边三角形，理由如下： ∵，∴， ∴，即 ∵是等边三角形，∴ ∴，∵，∴是等边三角形． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，和等边三角形的判定，熟知全等三角形和等边三角形的判定方法是解题的关键． 8．(23-24八上·黑龙江哈尔滨道里区·期末)点D为的边上一点，连接，点E在外，连接，，，． (1)如图1，若，请你判定的形状并证明； (2)如图2，若，请你判定的形状并证明． 【答案】(1)为等腰三角形 (2)为等边三角形 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质以及角平分线的判定等知识 （1）证，得，即可得出结论； （2）过点作于点于点，证是等边三角形，得，再证，得，则平分，然后证，得，即可得出结论． 【详解】（1）解：（1）是等腰三角形，证明如下： ∵， ∴， ∵°， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：是等边三角形，证明如下： 如图2，过点作于点于点， 则， ∵， ∴是等边三角形， ∴ ∴， ∵ ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∵ ∴平分， ∵， ∴， ， ∴ ∵ ∴ 在和中， ， ∴ ∴， ∵， ∴是等边三角形． 9．(23-24八上·黑龙江省哈尔滨市阿城区·期末)如图1，已知．以为边向形外作等边三角形，连接．    (1)求证：； (2)如图2，若，点H为的中点，连接，请直接写出与全等的所有三角形． 【答案】(1)见解析 (2)；；； 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，推出，证明，即可得到； （2）根据直角三角形30度角的性质得到，再根据直角三角形斜边中线得到，进而证明三角形全等． 【详解】（1）证明：和都是等边三角形， ∴， ， ， ， ； （2）证明：∵，， ∴， ∵点H为的中点， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴ ∵， ∴， ∵ ∴， ∴与全等的所有三角形有；；；． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线性质及直角三角形30度角的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键． 10．(23-24八上·黑龙江省齐齐哈尔市梅里斯达斡尔族区·期末)如图，在中，，，．动点从点出发，沿向点运动，动点从点出发，沿向点运动，如果动点以，以的速度同时出发，一个动点停止后，另一个动点随之停止运动，设运动时间为，解答下列问题： （1）求为何值时，是等边三角形； （2），在运动过程中，的形状不断发生变化，当为何值时，是直角三角形？并说明理由． 【答案】（1）t=12；（2）当为9或时，是直角三角形，理由见解析． 【分析】（1）利用含角的直角三角形的性质可求出，根据题意可用t表示出和的长，再根据等边三角形的各边相等可列出关于t的等式，解出t即可． （2）由于，所以可分两种情况讨论①当时；②当时．利用含角的直角三角形的边长的关系列出关于t的等式，再解出t即可． 【详解】（1）在中，，，， ∴， ∴，， ∵， ∴要使是等边三角形，只需，即， 解得：． 故时，是等边三角形． （2）∵是直角三角形，且， ∴分类讨论①当时，， ∴， 即． 解得：． ②当时，， ∴， 即． 解得：． 综上，当为9或时，是直角三角形． 【点睛】本题考查了等边三角形和含角的直角三角形的性质．根据等边三角形和含角的直角三角形的边长关系列出关于t的等式是解答本题的关键． 地 城 考点03 含30°角的直角三角形的性质 一、单选题 1．(23-24八上·黑龙江省绥化市庆安县·期末)如图，已知，平分，点P在上，于点D，，点E是射线上的动点，则的最小值为（　　） A．4 B．2 C．5 D．3 【答案】D 【分析】题考查了垂线段最短以及角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质及垂线段最短的实际应用．过作，根据垂线段最短即可求出最小值． 【详解】解∶∵，平分， ∴， ∵，， ∴， 过作于点，      ∵，平分， ∴， ∵点是射线上的动点， ∴的最小值为3， 故选：C． 二、填空题 2．(23-24八上·黑龙江省哈尔滨市南岗区萧红中学·期末)如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN＝1，则BC的长为 ． 【答案】 【分析】根据题意，可以求得的度数，再利用平行线的性质，角平分线的定义求解，再利用含的直角三角形的性质求解，证明，求解，从而可以求得BC的长． 【详解】解： ∵CM平分∠ACB， ， ∴ ∵ ∴， ， ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查的是直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，含30°角的直角三角形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键． 3．(24-25八上·黑龙江省哈尔滨市南岗区萧红中学·期末)如图，在中，，，CD是的高，且，则AD的长是 【答案】3 【分析】根据直角三角形的两锐角互余可证出∠BCD=∠A=30°，根据直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半的性质，即可求得AB的长，即可解题． 【详解】解：∵∠ACB=90°，∠B=60°，CD是△ABC的高， ∴∠BCD=∠A=30°， ∵BD=1， ∴BC=2， ∴AB=4， ∴AD=AB-BD=3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半的性质，本题中求得AB的长是解题的关键． 4．(23-24八上·黑龙江省哈尔滨市巴彦县·期末)如图，在等边△ABC中，AD⊥BC交于D，P、Q两点分别是AC、BC边上的两动点，且PQ∥AD，当∠PDQ＝30°时，如果CQ＝0.5，那么AB＝ ． 【答案】4 【分析】首先证明∠DPC＝90°，利用直角三角形30度的性质求出PC、CD即可； 【详解】解：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC，∠C＝60°， ∵AD⊥BC， ∴BD＝DC， ∵∠PDQ＝30°， ∴∠PDQ+∠C＝90°， ∴∠DPC＝90°， ∵PQ∥AD，AD⊥BC， ∴PQ⊥CD， ∴∠PQC＝90°， ∴∠CPQ＝30°， ∴PC＝2CQ＝1，CD＝2PC＝2， ∴AB＝BC＝2CD＝4， 故答案为4． 【点睛】本题考查直角三角形30度角的性质，等边三角形的性质等知识，属于中考常考题型，解题的关键是熟练掌握基本知识． 5．(23-24八上·黑龙江哈尔滨松北区·期末)如图，等边为外一点，，连接，若的面积等于9，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，三角形的面积，过点C作于点D，设，先求出，再证，进而得，，再由直角三角形的性质得，然后根据得，由此解出x即可得的长． 【详解】解：过点C作于点D，设，如图所示： ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵于点D， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：，舍去负值， ∴． 故答案为：6． 6．(23-24八上·黑龙江佳木斯抚远抚远·期末)如图，点E在等边三角形的边上，，射线，垂足为C，P是射线上一动点，F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查轴对称一最短路径，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，根据题意，作点E关于的对称点，连接，当点，P，F三点共线，时，的值最小，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，作点E关于的对称点E′，连接， ， ， 当点，P，F三点共线，时，的值最小， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得，， ， 故答案为：8． 三、解答题 7．(24-25八上·黑龙江省绥化市绥棱县·期末)如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝6，在△ABC内取一点O，使得AB＝OB，∠CAO＝15°，AM⊥BO，M为垂足． （1）求AM的长； （2）求证：AO＝CO． 【答案】（1）3；（2）见解析 【分析】（1）首先根据等腰直角三角形的基本性质以及“等边对等角”求出∠BAO和∠OAM，即可得到∠BAM，从而可得到△BAM是含30°角的直角三角形，即可求解； （2）作OD⊥AC于D点，结合（1）的结论分别求出AD和CD的长度，即可证D为AC的中点，进而得到OD垂直平分AC，最终利用垂直平分线的性质即可证明． 【详解】（1）解：∵△ABC为等腰直角三角形， ∴∠BAC=90°， ∵∠CAO=15°， ∴∠BAO=90°-15°=75°， ∵AB=OB， ∴∠BAO=∠BOA=75°， ∴∠ABO=180°-2×75°=30°， ∵AM⊥BO，M为垂足， ∴∠AMO=∠AMB=90°， ∴Rt△ABM中，∠ABM=30°， ∵AB=6， ∴AM=AB=3； （2）证：如图所示，作OD⊥AC于D点，则∠ADO=90°， 由（1）可知，∠DAO=∠MAO， 在△AMO和△ADO中， ∴△AMO≌△ADO(AAS)， ∴AM=AD， 由（1）知，AM=3， ∴AD=3， ∵AC=6， ∴CD=6-3=3， ∴AD=CD， ∵OD⊥AC， ∴OD垂直平分AC， ∴AO=CO． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及中垂线的判定与性质，掌握基础知识，并熟练综合运用是解题关键． 8．(23-24八上·黑龙江哈尔滨通河县·期末)如图，已知，，与相交于点G．求的度数． 【答案】． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理及外角的性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键．过点A作于点M，过点D作于点N，利用等腰三角形的性质和含30度直角三角形的特征，证明，设，则，，进而得出，再由三角形外角的性质，即可求出的度数． 【详解】解：如图，过点A作于点M，过点D作于点N， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 9．(23-24八上·黑龙江哈尔滨呼兰区第四中学·期末)如图，四边形中，，E为的中点，连结并延长交的延长线于点F． (1)求证：； (2)连结，若，，，请判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质和角所对直角边等于斜边的一半： （1）由，得，结合，即可根据“”证明； （2）根据全等三角形的性质及角所对直角边等于斜边的一半的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵E为的中点， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：，理由如下 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $