专题06 典型题专练（期末真题汇编，黑龙江专用）九年级数学上学期人教版

学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题06典型题专练 ☆4大高频考点概览 考点01多结论判断题 考点02几何哆解问题 考点03最值问题 考点04找规律问题 考点01 多结论判断题 一、单选题 1.(23-24九上·黑龙江省大庆市杜尔伯特县期末)下列语句中，①过三点能作一个圆；②平分弦的直径垂直 于弦；③长度相等的弧是等弧；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴；⑤相等的圆心角所对的弧度数 相等.其中正确的个数是() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.(2425九上·黑龙江省绥化市明水县期末)如图，⊙0是等边△ABC的外接圆，点D是弧AC上一动点（不 与A,C重合)，下列结论：①∠ADB=∠BDC;②DA=DC;③当DB最长时，DB=2DC:④ DA十DC=DB,其中一定正确的结论有() A,1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.(24-25九上黑龙江龙东部分学校期末)如图，在Rt△ABC中，AB=AC,D,E是斜边BC上两点， 且∠DAE=45·,将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB,连接EF.下列结论：① BF⊥BC;②△AED兰△AEF;③BE+DC=DE;④BE2+DC2=DE2.其中正确结论的个数是() 1/13 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题 4.(24-25九上黑龙江哈尔滨南岗区·期末)一次折纸实践活动中，小明同学准备了一张边长为4（单位：dm )的正方形纸片ABCD,他在边AB和AD上分别取点E和点M,使AE=BE,AM=1,又在线段MD上 任取一点N(点N可与端点重合)，再将△EAN沿NE所在直线折叠得到△EAN,随后连接DA,小明 同学通过多次实践得到以下结论： ①当点N在线段MD上运动时，点A在以E为圆心的圆弧上运动； ②DA的最大值为4； ③DA的最小值为2V5-2: ④当A到AB的距离达到最大值时，MN=1. M 你认为小明同学得到的结论中正确结论的序号是 目目 考点02 几何多解问题 一、填空题 1.(24-25九上·黑龙江省七台河市期末)⊙0的半径是13，弦ABCD,AB=24,CD=10,则AB与CD 的距离是一 2.(24-25九上黑龙江省绥化市海伦市·期末)如图，AB是⊙O的弦，以AB为边作等腰三角形ABC, ∠C=100°，若⊙0的半径为2cm,弦AB的长为2W3cm,点D在⊙0上，若∠DAC=专∠BAC,则 ∠DBA= B ·0 3.(24-25九上·黑龙江牡丹江第十一中学区·期末)在平面直角坐标系中，A(1,10),B(7,2),线段AB的中 点绕(1,2)旋转90°后对应点的坐标为_ 4.(23-24九上黑龙江省齐齐哈尔市依安县期末)⊙0的半径为2，弦BC=23,点A是⊙0上一点，且 2/13 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AB=AC,直线AO与BC交于点D,则AD的长为· 5.(24-25九上黑龙江省佳木斯市：期末)已知⊙0的半径为10cm,AB,CD是⊙0的两条弦，AB//CD ,AB=16cm,CD=12cm,则弦AB和CD之间的距离是 cm 6.(2425九上·黑龙江哈尔滨呼兰区期末)在半径为7的⊙0中，弦AB的长为7，则弦AB所对的圆周角为 度 7.(24-25九上黑龙江齐齐哈尔三县期末)⊙0的直径AB垂直于弦CD,垂足为E,∠CAE=30°， 0E=2W3,F为CD上一点，0F=4,则CF的长为一 8.(24-25九上黑龙江绥化望奎县期末)如图，⊙O中，点C为弦AB的中点，连接0C,0B, ∠C0B=56°，点D是圆上异于点A、B的一个动点，则∠ADB的度数是」 9.(24-25九上黑龙江省双鸭山市集贤县期末)已知0为△ABC的外心，∠B0C=70°，则∠A= 10.(24-25九上·黑龙江大庆肇源县期末)一个点到圆上的最小距离为4cm,最大距离为9cm,则圆的半径 为cm. 11.(24-25九上·黑龙江牡丹江第十一中学区·期末)已知⊙0的半径为13，弦AB平行于弦 CD,CD=10,AB=24,AB和CD之间的距离是 12.(2425九上·黑龙江牡丹江期末)在⊙0中，点C在弦AB上，AC=6,BC=2,点O到弦AB的距离 为3，则弦AB所对弧的中点到弦AB的距离是。 13.(24-25九上·黑龙江牡丹江·期末)如图，矩形ABCD中，AB=7,AD=10,E是AB上一点，将 △ADE沿DE折叠得到△FDE,FH⊥BC,垂足为H,若FH=1,则AE=一 A D B 目目 考点03 最值问题 一、 单选题 3/13 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1.(24-25九上·黑龙江省大庆市肇源县期末)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，E是直角边AB的中点， F是直角边BC上的一个动点，将△BEF沿EF所在直线折叠，得到△GEF,D是斜边AC的中点，若 AB=8,BC=16,则DG的最小值为() B A.2 B.3 C.4 D.5 二、填空题 2.(24-25九上黑龙江省大庆市肇源县·期末)如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm,BC=8cm ,点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运到（点 Q运动到点B停止)，在运动过程中，四边形PABQ的面积最小值为cm2. D A 3.(23-24九上·黑龙江省佳木斯市富锦市·期末)如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,E是矩形内部的一 个动点，且AE⊥BE,则线段CE的最小值为· D 4.(23-24九上黑龙江省大庆市杜尔伯特县期末)如图，点A是半圆上的一个三等分点，点B是AD的中点， P是直径CD上一动点，⊙O的半径是2，则PA+PB的最小值为_ 5.(23-24九上黑龙江哈尔滨阿城区期末)如图，AB是⊙0的直径，AB=10,C、E为圆上的两点，过C 4/13 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 作CD⊥AB于D,过E作EF⊥AB于F,CD=3,EF=4,点H为AB上一动点，连接HCHE,则 HC+HE的最小值为一· D HO F B 6.(24-25九上黑龙江佳木斯期末)如图，在Rt△ABC中：∠ACB=90°，将△ABC绕点C顺时针旋转 得到△AB'C,M是BC的中点，N是AB的中点，连接MN,若∠A=30°，AC=4V3,则线段MN的 最大值一 B y 7.(24-25九上黑龙江省绥化市明水县·期末)如图，E是正方形ABCD内一点，满足∠AEB=90°，连接 CE,若AB=2,则CE长的最小值为 A D E 8.24-25九上黑龙江省七台河市期末)如图，矩形ABCD中，AB=V3,BC=1,动点E,F分别从点A ,C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB,CD向终点B,D运动，过点E,F作直线1，过点A作 直线1的垂线，垂足为G,则AG的最大值为 5/13 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 9.(24-25九上黑龙江龙东部分学校期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点C顺时 针旋转得到△ABC,M是BC的中点，N是AB的中点，连接MN,若∠A=30°，AC=4V3,则线段 MN长度的最大值是 B A 10.(24-25九上·黑龙江虎林·期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点C顺时针旋转 得到△AB'C,M是BC的中点，N是AB的中点，连接MN,若∠A=30°，AC=4y3,则线段MN长 度的最大值是一· B 11.(2425九上·黑龙江省大庆市让胡路区·期末)如图，四边形ABCD的两条对角线AC,BD互相垂直， AC=4,BD=6,则AD十BC的最小值是 12.(24-25九上黑龙江佳木斯第二十中学期末)如图，矩形ABCD中，AB=4,BC=8.E为矩形内一点， 连接CE,DE,且∠ADE=∠DCB,P为AD边上一动点，连接BP,EP,则BP+EP的最小值为一 6/13 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点04 找规律问题 一、单选题 1.(23-24九上黑龙江省绥化市第八中学校期末)如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形 ABCDEF的中心与原点O重合，AB‖x轴，交y轴于点P.将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转 90°，则第2023次旋转结束时，点A的坐标为() A.(5,-1)B.（-1,-5)C.（-5,1) D.（1,V3 2.(24-25九上黑龙江绥化明水县期末)如图，矩形0ABC的顶点0为坐标原点，AC=4,对角线0B在第 一象限的角平分线上.若矩形从图示位置开始，绕点0以每秒45·的速度按顺时针方向旋转，则当第2025 秒时，矩形对角线的交点G的坐标为() G A.(V2,2)B.（-V2,-V2) c.(2,0) D.(0,2) 3.(2425九上·黑龙江省绥化市海伦市·期末)如图，佳佳利用平面直角坐标系绘制了如图的风车图形，他先 将△AB0固定在坐标系中，其中A(2,4),B(2,0),接着他将△0BA绕原点O逆时针转动90°至 △OB1A1,称为第一次转动，然后将△OB1A1绕原点O逆时针转动90°至△OB2A2,称为第二次转 动，..那么按照这种转动方式，转动2025次后，点A的坐标为（) 7/13 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 B B A A A.(2,4) B.（-4,2) C.(-2,-4) D.（4,-2) 二、填空题 4.(24-25九上·黑龙江双鸭山集贤县·期末)如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=1,AB=2,点A 与数轴上表示-1的点重合，将△ABC沿数轴正方向旋转一次使得点B落在数轴上，第二次旋转使得点C落 在数轴上，依此类推，△ABC第2024次旋转后，落在数轴上的三角形的顶点中，右边的点表示的数是 B C ag -10 5.(24-25九上·黑龙江齐齐哈尔梅里斯区·期末)如图，在平面直角坐标系xOy的第一象限内依次作等边 △AB1A2,△A2B2A3,△AgB3A4,,点A1,A2,A3,,在x轴的正半轴上，点B1,B2,B3,, 在射线0M上，若∠B10A1=30°，0A1=1,则点B2024坐标是_ B.M B B OA A2 A3 A4 x 6.(24-25九上·黑龙江齐齐哈尔龙沙区·期末)如图，在平面直角坐标系中，点A(1,1)在第一三象限角平分 线上，过点A1作y轴的平行线，交第二四象限角平分线于点B1,以线段A1B1为边在右侧作正方形 A1B1C1D1:C1D1所在的直线交第一、三象限角平分线于点A2,交第二、四象限角平分线于点B2,再以线 段A2B2为边在右侧作正方形A2B2C2D2…以此类推，按照图中的规律，则第2025个正方形的边长为 8/13 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A A D C B C2 6 7.(24-25九上黑龙江齐齐哈尔建华区·期末)如图，己知直线y=x+1与x轴交于点B,与y轴交于点A, 过点A作直线AB的垂线，交x轴于点C,以AC为直角边向右作等腰直角三角形ACD1,∠ACD1=90°， 过点D1作AC的平行线，交直线AB于点A1,交x轴于点C1,再以A1C1为直角边向右作等腰直角三角形 A1C1D2,∠A1C1D2=90°按照此方式作下去，点D2025的坐标为 A D A D2 A B不 8.(24-25九上黑龙江牡丹江·期末)如图，在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1(记为第1个正方形)的 顶点A1与原点重合，点D1在x轴上，点C1的坐标为(1,1)，以C1为顶点作等边三角形C1A2B2,点A2落在 x轴上，A2B2⊥x轴，再以A2B2为边向右侧作正方形A2B2C2D2(记为第2个正方形)，若按照上述的规 律继续作正方形，则第2025个正方形的边长为」 YA B3 C3 B2 C2 B CL (Ai)OD:A2 D2 A3 D 9.(24-25九上黑龙江齐齐哈尔拜泉县期末)如图，直线y=x+1交x轴于点A,交y轴于点B,点A1坐标 为(1,0)，过点A1作x轴的垂线交直线y=X十1于点B1,以点A为圆心，AB1长为半径画弧交x轴于点A2 ;过点A2作x轴的垂线交直线y=X十1于点B2,以点A为圆心，AB2长为半径画弧交x轴于点A3;按此做 9/13 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 法进行下去，点B2025的坐标为 B B B B A 0 A,山4在4主 10.(24-25九上黑龙江佳木斯第二十中学期末)如图，等边△A1C1C2的周长为3，作C1D1⊥A1C2于D1, 在C1C2的延长线上取点C3,使D1C3=D1C1,连接D1C3,以C2C3为边作等边△A2C2C3；作 C2D21A2C3于D2,在C2C3的延长线上取点C4,使D2C4=D2C2,连接D2C4,以C3C4为边作等边 △AgC3C4;…且点A1,A2,A3,都在直线C1C2同侧，如此下去，则△A2024C2024C2025的边长为 D D DA4 C3 C Cs 11.(23-24九上黑龙江省齐齐哈尔市依安县期末)如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺指针旋 转到△ABC1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△ABC1绕点B1顺时针旋转 到△ABC2的位置，点C2在x轴上，将△AB1C2绕点C2顺时针旋转到△AB2C2的位置，点A2在x轴上， 依次进行下去..，若点A(传，O),B(0,4),则点B2o19的横坐标为· B C A3 AA B 2 B 4 12.(23-24九上·黑龙江省齐齐哈尔市梅里斯达斡尔族区·期末)如图，在平面直角坐标系x0y中，有一个等 腰直角三角形AOB,∠OAB=90°，直角边A0在x轴上，且A0=1.将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转 90得到等腰直角三角形A10B1,且A10=2A0,再将Rt△A1OB1绕原点0顺时针旋转90·得到等腰直 角三角形A20B2,且A20=2A10..,依此规律，得到等腰直角三角形A20230B2023,则点B2023的坐 10/13 专题06 典型题专练 4大高频考点概览 考点01 多结论判断题 考点02 几何多解问题 考点03 最值问题 考点04 找规律问题 地 城 考点01 多结论判断题 一、单选题 1．(23-24九上·黑龙江省大庆市杜尔伯特县·期末)下列语句中，①过三点能作一个圆；②平分弦的直径垂直于弦；③长度相等的弧是等弧；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴；⑤相等的圆心角所对的弧度数相等.其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据圆的认识、垂径定理以及圆心角、弧、弦的关系对各小题进行逐一判断即可. 【详解】解：①过不共线的三点能作一个圆，所以本小题错误； ②平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以本小题错误； ③长度相等的弧不一定是等弧，所以本小题错误； ④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，符合圆的性质，所以本小题正确； ⑤相等的圆心角所对的弧度数相等，本小题正确. 故选B. 【点睛】本题考查的是圆的认识、垂径定理和圆心角、弧、弦之间的关系，属于基础题型，掌握基本知识是关键. 2．(24-25九上·黑龙江省绥化市明水县·期末)如图，是等边的外接圆，点是弧上一动点（不与，重合），下列结论：①；②；③当最长时，；④，其中一定正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据等边三角形的性质可得，从而得到∠ADB=∠BDC，故①正确；根据点是上一动点，可得不一定等于，故②错误；当最长时，DB为圆O的直径，可得∠BCD=90°，再由是等边的外接圆，可得∠ABD=∠CBD=30°，可得，故③正确；延长DA至点E，使AE=AD，证明△ABE≌△CBD，可得BD=AE，∠ABE=∠DBC，从而得到△BDE是等边三角形，可得到DE=BD，故④正确；即可求解． 【详解】解：∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC，∠ABC=60°， ∴， ∴∠ADB=∠BDC，故①正确； ∵点是上一动点， ∴不一定等于， ∴DA=DC不一定成立，故②错误； 当最长时，DB为圆O的直径， ∴∠BCD=90°， ∵是等边的外接圆，∠ABC=60°， ∴BD⊥AC， ∴∠ABD=∠CBD=30°， ∴，故③正确； 如图，延长DA至点E，使AE=DC， ∵四边形ABCD为圆O的内接四边形， ∴∠BCD+∠BAD=180°， ∵∠BAE+∠BAD=180°， ∴∠BAE=∠BCD， ∵AB=BC，AE=CD， ∴△ABE≌△CBD， ∴BD=BE，∠ABE=∠DBC， ∴∠ABE+∠ABD=∠DBC+∠ABD=∠ABC=60°， ∴△BDE是等边三角形， ∴DE=BD， ∵DE=AD+AE=AD+CD， ∴，故④正确； ∴正确的有3个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，三角形的外接圆，圆内接四边形的性质，垂径定理，等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握圆周角定理，三角形的外接圆，圆内接四边形的性质，垂径定理，等边三角形的判定和性质等知识是解题的关键． 3．(24-25九上·黑龙江龙东部分学校·期末)如图，在中，，，是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转后，得到，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①根据旋转的性质得，，，由知，即可判断①； ②由°、知，继而可得，可判断②； ③由、，根据可判断③； ④根据可判断④． 【详解】解：∵绕点顺时针旋转后，得到， ∴， ∴，，， 又∵在中，， ∴，即， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∴，即， ∵， ，， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴，故③错误； ∵， ∴， ∵，， ∴，④正确； 故选C． 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角．也考查了三角形全等的判定与性质以及勾股定理． 二、填空题 4．(24-25九上·黑龙江哈尔滨南岗区·期末)一次折纸实践活动中，小明同学准备了一张边长为4（单位：）的正方形纸片，他在边和上分别取点和点，使，，又在线段上任取一点（点可与端点重合），再将沿所在直线折叠得到，随后连接，小明同学通过多次实践得到以下结论： ①当点在线段上运动时，点在以为圆心的圆弧上运动； ②的最大值为4； ③的最小值为； ④当到的距离达到最大值时，． 你认为小明同学得到的结论中正确结论的序号是 ． 【答案】①②③④ 【分析】由折叠的性质可知，，那么当点在线段上运动时，点在以为圆心的圆弧上运动．故①正确；连接，在中，由勾股定理得，而，故，那么的最小值为．故③正确；在中，，，那么当点在右侧圆上时，随着的增大而增大，可得，故当最大时，有最大值，有最大值，此时，点N与点D重合，此时，故②正确；当时，到的距离达到最大值， 此时四边形为矩形，则，即可求解． 【详解】解：∵正方形纸片的边长为， ∴， 由折叠的性质可知，， ∴当点在线段上运动时，点在以为圆心的圆弧上运动．故①正确． 连接， ∵在正方形中，，，， ∴在中， ∵， ∴， ∴的最小值为．故③正确； 在中，，， ∴当点在右侧圆上时，随着的增大而增大， ∵， ∴当最大时，有最大值，有最大值，此时，点N与点D重合， ∴此时，故②正确； 当时，到的距离达到最大值，如图： 此时， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴，故④正确， 综上，正确的有①②③④， 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查折叠的性质，正方形的性质，圆的定义，勾股定理等知识点，综合运用相关知识是解题的关键． 地 城 考点02 几何多解问题 一、填空题 1．(24-25九上·黑龙江省七台河市·期末)的半径是13，弦，，则与的距离是 ． 【答案】17或7 【分析】本题主要考查了圆的垂径定理，勾股定理等知识点，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形． 作于E，于F，利用勾股定理求出相关线段的长度，然后分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：如图，作于E，于F，连， 则， ∵， ∴三点共线， 在中，， 在中，， 当圆心O在弦与之间时，与的距离； 当圆心O在弦与的外部时，与的距离． 所以与的距离是17或7． 故答案为：17或7． 2．(24-25九上·黑龙江省绥化市海伦市·期末)如图，是的弦，以为边作等腰三角形，，若的半径为，弦的长为，点在上，若，则 ° 【答案】100或60/60或100 【分析】过点O作于点E，根据垂径定理可得，解直角三角形可得，则，根据等腰三角形的性质可求出，则，再根据题意，进行分类讨论，结合三角形的内角和定理，即可求解． 【详解】解：过点O作于点E， ∵，， ∴， ∵， ∴，则， ∴， ∵为等腰三角形，， ∴， ∴， ①当在下方时，如图： ∵， ∴， ∵， ∴在中，； ②当在内时， ∵， ∴， ∵， ∴在中，； ③当在上方时，如图： 此时， ∵， ∴这种情况不符合题意，舍去。 综上：或， 故答案为：100或60． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握相关内容，并灵活运用． 3．(24-25九上·黑龙江牡丹江第十一中学区·期末)在平面直角坐标系中，，线段的中点绕旋转后对应点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了旋转的性质，以及全等三角形的判定和性质，先求得线段的中点，然后分类讨论，画出图形，结合图形，即可求解． 【详解】解：∵，设为的中点， ∴， 如图所示，当绕点 逆时针旋转得到，过点分别作的垂线，垂足分别为，    ∴， ∴， ∴， ∴即 当绕顺时针旋转时，同理可得 故答案为：或． 4．(23-24九上·黑龙江省齐齐哈尔市依安县·期末)⊙O的半径为2，弦BC＝2，点A是⊙O上一点，且AB＝AC，直线AO与BC交于点D，则AD的长为 ． 【答案】3或1 【分析】根据垂径定理推论，得AO⊥BC，由勾股定理得OD=1，分两种情况分别求出AD的值，即可 【详解】如图所示：∵⊙O的半径为2，弦BC=2，点A是⊙O上一点，且AB=AC， ∴， ∴AO⊥BC， ∴BD=BC=， 在Rt△OBD中， ∵BD2+OD2=OB2，即（）2+OD2=22，解得OD=1， ∴当如图1所示时，AD=OA﹣OD=2﹣1=1； 当如图2所示时，AD=OA+OD=2+1=3． 故答案为1或3．      【点睛】本题主要考查垂径定理和勾股定理，掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 5．(24-25九上·黑龙江省佳木斯市·期末)已知的半径为，，是的两条弦，，，，则弦和之间的距离是 ． 【答案】2或14 【分析】分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可． 【详解】①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图， ∵AB=16cm，CD=12cm， ∴AE=8cm，CF=6cm， ∵OA=OC=10cm， ∴EO=6cm，OF=8cm， ∴EF=OF-OE=2cm； ②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图， ∵AB=16cm，CD=12cm， ∴AF=8cm，CE=6cm， ∵OA=OC=10cm， ∴OF=6cm，OE=8cm， ∴EF=OF+OE=14cm． ∴AB与CD之间的距离为14cm或2cm． 故答案为2或14． 【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用．此题难度适中，解题的关键是注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用，小心别漏解． 6．(24-25九上·黑龙江哈尔滨呼兰区·期末)在半径为7的中，弦的长为7，则弦所对的圆周角为 度． 【答案】30或150 【分析】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，学会分两类情况讨论弦所对的圆周角是解题的关键．首先根据题意画出图形，通过证明是等边三角形，得到，再利用圆周角定理和圆内接四边形的性质分别求出、的度数，即可得出结论． 【详解】解：如图为的示意图，取优弧上任意一点，劣弧上任意一点，连接、、、、、， ， 是等边三角形， ， ， ， 、都是弦所对的圆周角， 弦所对的圆周角为30或150度． 故答案为：30或150． 7．(24-25九上·黑龙江齐齐哈尔三县·期末)的直径垂直于弦，垂足为E，，，F为上一点，，则的长为 ． 【答案】或 【分析】根据题意画出草图，利用垂径定理得到，，结合等腰三角形性质推出，再利用含30度角的直角三角形的性质得到，进而得到，，利用勾股定理求出，再分类讨论求解，即可解题． 【详解】解：根据题意画图如下： 连接， 的直径垂直于弦，垂足为E， ，， ， ，， ， ， ， ， ， F为上一点，， ， 当、在点同侧时，， 当、在点异侧时，， 的长为或； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了垂径定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，等腰三角形性质，勾股定理熟练掌握垂径定理是解题关键． 8．(24-25九上·黑龙江绥化望奎县·期末)如图，⊙O中，点C为弦的中点，连接，，点D是圆上异于点A、B的一个动点，则的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查圆周角定理，等腰三角形的性质，添加辅助线，构造等腰三角形是解题的关键． 连接，可得，分两种情况讨论，结合圆周角定理即可求解． 【详解】解：连接， ∵，点C为弦的中点 ∴， ∴， 当点在优弧上时， ， 当点在劣弧上时， 故答案为：或． 9．(24-25九上·黑龙江省双鸭山市集贤县·期末)已知O为的外心，，则 【答案】或 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，圆内接四边形的性质，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键．分圆心与点在的同侧和圆心与点在的两侧两种情况解答，利用一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半即可求得结论；延长交于点，连接，利用一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半即可求得，再利用圆内接四边形的性质即可求得结论． 【详解】解：当圆心与点在的同侧时，如图， ； 当圆心与点在的两侧时，如图， 延长交于点，连接， ， ． 四边形为圆的内接四边形， ． ． 综上，或． 故答案为：或 10．(24-25九上·黑龙江大庆肇源县·期末)一个点到圆上的最小距离为，最大距离为，则圆的半径为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键．点应分为位于圆的内部和外部两种情况讨论：①当点在圆内时，直径最小距离最大距离；②当点在圆外时，直径最大距离最小距离． 【详解】解：分为两种情况： ①当点在圆内时，如图1， 点到圆上的最小距离，最大距离， 直径， 半径为； ②当点在圆外时，如图2， 点到圆上的最小距离，最大距离， 直径， 半径为， 综上所述，圆的半径为或， 故答案为：或． 11．(24-25九上·黑龙江牡丹江第十一中学区·期末)已知的半径为，弦平行于弦和之间的距离是 ． 【答案】7或17 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，分当的圆心O位于、之间时，当的圆心O不在两平行弦、之间时，两种情况分别利用勾股定理和垂径定理求出点O到和的距离，据此可得答案． 【详解】解：如图，当的圆心O位于、之间时，作于点E，并延长，交于F点．分别连接、． ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴和之间的距离为17； 如图所示，当的圆心O不在两平行弦、之间（即弦、在圆心O的同侧）时， 同理可得：， ∴， ∴和之间的距离为7； 综上所述，和之间的距离为7或17． 故答案为：7或17． 12．(24-25九上·黑龙江牡丹江·期末)在中，点C在弦上，，，点O到弦的距离为3，则弦所对弧的中点到弦的距离是 ． 【答案】2或8 【分析】本题考查了勾股定理、垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题关键．连接，其中，则，的长即为所求，先利用勾股定理可得，再根据线段的和差求解即可得． 【详解】解：如图，连接，其中，则，的长即为所求． ∵，， ∴， 由垂径定理得：， ∴， ∴，， 即弦所对弧的中点到弦的距离是2或8， 故答案为：2或8． 13．(24-25九上·黑龙江牡丹江·期末)如图，矩形中，，，E是上一点，将沿折叠得到，，垂足为H，若，则 ． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论：当点在上方时，过点作，交于点，交于点，由矩形的性质可得，，，由平行公理的推论可得，由两直线平行同旁内角互补可得，，可证得四边形是矩形，于是可得，可证得四边形是矩形，于是可得，由邻补角互补可得，，进而可证得四边形是矩形，于是可得，，由折叠的性质可得，，在中，根据勾股定理可得，则，设，则，，在中，根据勾股定理可得，即，解方程即可求出的长；当点在下方时，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点，推导过程与完全相同，同理可得的长；综上，可得答案． 【详解】解：分两种情况讨论： 当点在上方时， 如图，过点作，交于点，交于点， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，， 由折叠的性质可得： ，， 在中，根据勾股定理可得： ， ， 设，则，， 在中，根据勾股定理可得： ， 即：， 解得：， ； 当点在下方时， 如图，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点， 推导过程与完全相同， 同理可得：； 综上，或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了矩形与折叠问题，轴对称的性质，矩形的判定与性质，平行公理的推论，勾股定理，两直线平行同旁内角互补，利用邻补角互补求角度，解一元一次方程等知识点，熟练掌握相关知识点并运用分类讨论思想是解题的关键． 地 城 考点03 最值问题 一、单选题 1．(24-25九上·黑龙江省大庆市肇源县·期末)如图，在中，，E是直角边的中点，F是直角边上的一个动点，将沿所在直线折叠，得到，D是斜边的中点，若，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短、三角形的中位线定理、圆的定义，确定动点的运动轨迹是解题的关键．根据折叠的性质可得，，结合E是直角边的中点，得到，由此可判断点在以为圆心，为半径的圆上运动，当、、共线时，此时的值最小，根据三角形中位线定理求出，即可求出此时的最小值． 【详解】解： 将沿所在直线折叠，得到， ， ， E是直角边的中点， ， 点在以为圆心，为半径的圆上运动，如图所示， ， 当、、共线时，即与重合时，取得最小值， 又 ， 此时的值最小， D是斜边的中点， 是的中位线， ， 此时，， 的最小值为4． 故选：C． 二、填空题 2．(24-25九上·黑龙江省大庆市肇源县·期末)如图，在中，，，，点P从点A沿向点C以的速度运动，同时点Q从点C沿向点B以的速度运到（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形的面积最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的最值，勾股定理．利用分割图形求面积法找出 是解题的关键．在中，利用勾股定理可得，设运动时间为，则，，利用分割图形求面积法可得 ，利用配方法即可求出四边形的面积最小值． 【详解】解：在中，，，， ， 设运动时间为，则，， 当时，四边形的面积取最小值，最小值为． 故答案为：15． 3．(23-24九上·黑龙江省佳木斯市富锦市·期末)如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE的最小值为 ． 【答案】 【分析】由AE⊥BE知点E在以AB为直径的半⊙O上，连接CO交⊙O于点E′，当点E位于点E′位置时，线段CE取得最小值，利用勾股定理可得答案． 【详解】解：如图， ∵AE⊥BE， ∴点E在以AB为直径的半⊙O上， 连接CO交⊙O于点E′， ∴当点E位于点E′位置时，线段CE取得最小值， ∵AB＝4， ∴OA＝OB＝OE′＝2， ∵BC＝6， ∴OC＝， 则CE′＝OC﹣OE′＝2﹣2， 故答案为2﹣2． 【点睛】本题主要考查圆周角定理、圆的基本性质及矩形的性质、勾股定理，根据AE⊥BE知点E在以AB为直径的半⊙O上是解题的关键． 4．(23-24九上·黑龙江省大庆市杜尔伯特县·期末)如图，点A是半圆上的一个三等分点，点是的中点，是直径上一动点，的半径是2，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆心角的性质，轴对称的性质，勾股定理，解题的关键是作点A关于的对称点，连接交于P，则点P即是所求作的点，根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：如图，作点A关于的对称点，连接交于P，则点P即是所求作的点，    根据轴对称的性质可知，， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴ 此时最小，即最小， ∴的最小值为的长， ∵A是半圆上一个三等分点， ∴， 又∵点B是的中点， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ∴的最小值是． 故答案为：． 5．(23-24九上·黑龙江哈尔滨阿城区·期末)如图，是的直径，，为圆上的两点，过C作 于D，过E作于F，，点H为上一动点，连接，则 的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查圆与几何的综合，掌握轴对称-最短路径，勾股定理，矩形的判定和性质是解题的关键． 根据题意，连接，运用勾股定理可求出的值，根据轴对称最短路径作点的对称点，连接交于点，此时的值最小，过点作，可得矩形，可得的长，运用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，作点关于直径的对称点，根据可得对称点落在上，连接与交于点，根据轴对称的性质可得，此时的值最小， ∵，，，， ∴， 在，中，根据勾股定理得， ，， ∴， ∵点的对称点是， ∴， 如图所示，过点作，延长交于点， ∴四边形时矩形， ∴，，， ∴ 在中，， ∴的最小值为：， 故答案为：． 6．(24-25九上·黑龙江佳木斯·期末)如图，在中：，将绕点顺时针旋转得到，是的中点，是的中点，连接，若，，则线段的最大值 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，含角直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，连接，根据直角三角形斜边中线的性质求出，利用三角形的三边关系即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 在中，，，， ∴，， 由旋转的性质得：，， ∵点是的中点，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴当时， 取得最大值， ∴的最大值为， 故答案为：． 7．(24-25九上·黑龙江省绥化市明水县·期末)如图，是正方形内一点，满足，连接，若，则长的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了正方形的性质，勾股定理和圆周角定理，根据题意得到点的运动轨迹，结合圆的性质得到最小时的情形，再利用正方形的性质和勾股定理求解，解题的关键是熟练掌握正方形的性质，勾股定理和圆周角定理的应用． 【详解】如图， ∵， ∴点在以中点为圆心，为直径的圆上， 则长的最小时，点三点共线， ∵四边形是正方形， ∴，， 在中，， 由勾股定理得：， ∴， 故答案为：． 8．(24-25九上·黑龙江省七台河市·期末)如图，矩形中，，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则的最大值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，圆的有关知识，确定点的运动轨迹是解题的关键．由勾股定理可求的长，由可证，可得，由，可得点在以为直径的圆上运动，则为直径时，有最大值为1，即可求解． 【详解】解：连接，交于， 四边形是矩形， ，， ，， ， 动点，分别从点，同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点，运动， ， ， ， 又， ， ，， ， 点在以为直径的圆上运动， 为直径时，有最大值为1， 故答案为：1 9．(24-25九上·黑龙江龙东部分学校·期末)如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，是的中点，是的中点，连接，若，，则线段长度的最大值是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了圆的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理、旋转的性质等知识，难度中等，正确找出点的运动轨迹是解题关键．连接，先求出，再根据旋转的性质可得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，从而可得在绕点旋转的过程中，点的运动轨迹是在以点为圆心、长为半径的圆上，最后根据圆的性质求解即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 由旋转的性质得：， ∵是的中点， ∴， ∴在绕点旋转的过程中，点的运动轨迹是在以点为圆心、长为半径的圆上， 由圆的性质可知，当点共线，且点在的中间时，线段的长度最大，最大值为， 即线段长度的最大值是6， 故答案为：6． 10．(24-25九上·黑龙江虎林·期末)如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，是的中点，是的中点，连接，若，，则线段长度的最大值是 ． 【答案】6 【分析】连接，先求出，再根据旋转的性质可得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，从而可得在绕点旋转的过程中，点的运动轨迹是在以点为圆心、长为半径的圆上，最后根据圆的性质求解即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵在中，，，， ∴，又， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 由旋转的性质得：， ∵是的中点， ∴， ∴在绕点旋转的过程中，点的运动轨迹是在以点为圆心、长为半径的圆上， 由圆的性质可知，当点共线，且点在的中间时，线段的长度最大，最大值为， 即线段长度的最大值是6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了圆的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理、旋转的性质等知识，难度中等，正确找出点的运动轨迹是解题关键． 11．(24-25九上·黑龙江省大庆市让胡路区·期末)如图，四边形的两条对角线，互相垂直，，，则的最小值是 ．    【答案】 【分析】设的交点为，的中点分别是，连接，先证，由此得当最小时，最小，再根据“两点之间线段最短”得，再证四边形是矩形，且，根据勾股定理的，进而求得的最小值． 【详解】解：设的交点为，的中点分别是，连接， 互相垂直， 和为直角三角形，且分别为斜边， ， ， 当最小时，最小，再根据“两点之间线段最短”得， 当点在线段上时，最小，最小值为线段的长， 分别为的中点， 是的中位线， ， 同理， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形， 在中，， ， 的最小值为， 的最小值为．    故答案为：． 【点睛】此题只要考查了矩形的判定和性质，三角形的性质，三角形的中位线定理，线段的性质，勾股定理等，熟练掌握矩形的判定和性质，三角形的中位线定理，理解直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，两点之间线段最短是解答此题的关键． 12．(24-25九上·黑龙江佳木斯第二十中学·期末)如图，矩形中，，．为矩形内一点，连接，，且，为边上一动点，连接，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，圆的有关性质，勾股定理，轴对称—线段最短，作点关于的对称点，取的中点，连接，，，过点作于点，由四边形是矩形，则，，，又，，故有，通过勾股定理得，证明，所以，从而可得点在上运动，又，得出，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，取的中点，连接，，，过点作于点， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点在上运动， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 地 城 考点04 找规律问题 一、单选题 1．(23-24九上·黑龙江省绥化市第八中学校·期末)如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点O重合，轴，交y轴于点P．将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形的性质、坐标与图形的变化—旋转规律性问题，得出规律是解此题的关键．首先确定点的坐标，得出每4次一个循环，计算出，由此即可得出答案． 【详解】解：正六边形的边长为2，中心与原点重合，轴，交轴于点， ，，， ， 点的坐标为， 第1次旋转结束时，点旋转到第四象限，坐标为， 第2次旋转结束时，点旋转到第三象限，坐标为， 第3次旋转结束时，点旋转到第二象限，坐标为， 第4次旋转结束时，点的坐标为， 每4次一个循环， ， 第2023次旋转结束时，点的坐标为， 故选：C． 2．(24-25九上·黑龙江绥化明水县·期末)如图，矩形的顶点为坐标原点，，对角线在第一象限的角平分线上．若矩形从图示位置开始，绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，则当第秒时，矩形对角线的交点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转变换，矩形的性质，由矩形的性质可得，再由可得秒一个循环，又由可得当第秒时，点与第秒时的点的坐标相同，据此解答即可求解，找到点坐标的变化规律是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∴ ， ∵每秒旋转，， ∴秒一个循环， ∵， ∴当第秒时，点与第秒时的点的坐标相同， ∵旋转第秒时点正好在轴的正半轴上， ∴此时点的坐标为， 故选：． 3．(24-25九上·黑龙江省绥化市海伦市·期末)如图，佳佳利用平面直角坐标系绘制了如图的风车图形，他先将固定在坐标系中，其中，，接着他将绕原点O逆时针转动至，称为第一次转动，然后将绕原点O逆时针转动至，称为第二次转动，……那么按照这种转动方式，转动2025次后，点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形变化—旋转、规律型，依题意不难发现第4次旋转后回到初始位置，而，据此可得当旋转2025次后的位置与旋转第1次后的位置重合，据此即可解答． 【详解】解：∵每次绕点逆时针旋转， 第4次旋转后回到初始位置， 又， 当旋转2025次后的位置与旋转第1次后的位置重合， 即此时点与点重合， 点， 点 转动2025次后，点的坐标为． 故选：B． 二、填空题 4．(24-25九上·黑龙江双鸭山集贤县·期末)如图，中，，，，点与数轴上表示的点重合，将沿数轴正方向旋转一次使得点落在数轴上，第二次旋转使得点落在数轴上，依此类推，第2024次旋转后，落在数轴上的三角形的顶点中，右边的点表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴的对应关系，勾股定理，解决本题的关键是熟练掌握实数与数轴的关系．根据题意的三个顶点按的顺序依次落在数轴上，每三次一个循环，一个循环中在数轴上第一个点到第三个的长为的周长，很容易求出它的周长为．因为，所以2024次旋转共经历674个循环还余2，第2024次旋转后，落在数轴上的三角形的顶点中，右边的是点C，再求解即可． 【详解】解：中，，，， ． 的周长为． 有三个顶点， 次旋转中每三次一个循环． ， 次旋转共经历674个循环还余2． 第2024次旋转后，落在数轴上的三角形的顶点中，右边的是点C， 次旋转后点C共向右移动的总长为． 第一次的起点为， 右边的点表示的数是． 故答案为：． 5．(24-25九上·黑龙江齐齐哈尔梅里斯区·期末)如图，在平面直角坐标系的第一象限内依次作等边，，，…，点，，，…，在轴的正半轴上，点，，，…，在射线上，若，，则点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查图形规律探究，等边三角形的性质，三角函数，总结归纳出规律是解题的关键．利用等边三角形的性质、等腰三角形的判定，三角函数，总结归纳出横坐标，纵坐标即可求解． 【详解】解：根据题意，得等边，，， ， ，， ， ， ， 所以 的横坐标为，纵坐标为； 同理可得： 的横坐标为，纵坐标为； 的横坐标为， 的横坐标为， 的横坐标为， …… 的横坐标为， 纵坐标为， 所以的坐标为， 故答案为：． 6．(24-25九上·黑龙江齐齐哈尔龙沙区·期末)如图，在平面直角坐标系中，点在第一三象限角平分线上，过点作y轴的平行线，交第二四象限角平分线于点，以线段为边在右侧作正方形；所在的直线交第一、三象限角平分线于点，交第二、四象限角平分线于点，再以线段为边在右侧作正方形……以此类推，按照图中的规律，则第2025个正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象上的点的特征，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．根据线段的和即可得出第一个正方形的边长为2，再根据正方形的性质及线段的和即可求出第二个正方形的边长为6，依次得出第三个正方形的边长为18，以此类推，可以得到，的坐标，再将代入，即可求得答案． 【详解】解：∵，轴， ∴的横坐标为1，， ∵第一象限角平分线为，第三象限角平分线为， ∴， ∴， ∴正方形的边长为：2； ∴， ∴， ∴的横坐标为3，则，， ∴，， ∴，， ∴， 即第三个正方形的边长为18， ∴，， 以此类推，，， ∴，， ∴， 故答案为：． 7．(24-25九上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期末)如图，已知直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，过点A作直线的垂线，交x轴于点C，以为直角边向右作等腰直角三角形，，过点作的平行线，交直线于点，交x轴于点，再以为直角边向右作等腰直角三角形，……按照此方式作下去，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，根据题意得出点的坐标为是解决本题的关键．根据等腰直角三角形的性质得到点A、的坐标，通过相应规律得到点的坐标即可． 【详解】解：∵直线的解析式为， ∴，，， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 同理， … 点的坐标为， ∴点的坐标为． 故答案为：． 8．(24-25九上·黑龙江牡丹江·期末)如图，在平面直角坐标系中，正方形（记为第个正方形）的顶点与原点重合，点在轴上，点的坐标为，以为顶点作等边三角形，点落在轴上，轴，再以为边向右侧作正方形（记为第个正方形）…，若按照上述的规律继续作正方形，则第个正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的性质，正方形的性质，图形类规律探索，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据题意得出第二个正方形边长，继而再得到第三个正方形的边长，即可发现规律，继而解答． 【详解】解：正方形（记为第个正方形），点的坐标为，以为顶点作等边三角形， ，， ， ，即第二个正方形边长为， ，即第三个正方形边长为， 由此得到规律：第个正方形的边长为， 第个正方形的边长为， 故答案为：． 9．(24-25九上·黑龙江齐齐哈尔拜泉县·期末)如图，直线交轴于点，交轴于点，点坐标为，过点作轴的垂线交直线于点，以点A为圆心，长为半径画弧交轴于点；过点作轴的垂线交直线于点，以点为圆心，长为半径画弧交轴于点；按此做法进行下去，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题是坐标规律题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，根据坐标规律，找出点的规律是解题关键．根据一次函数的性质，得到，，再由勾股定理得到，同理得到，，，，观察发现点得坐标为（正整数），即可求出点的坐标． 【详解】解：当时，，解得：， ， 点坐标为， , 把代入直线得， ， ， 在中，， 以点A为圆心，长为半径画弧交轴于点； ， ， 把代入直线得， ， ， ， ， ，， …… 观察发现，点得坐标为（正整数）， 点的坐标为，即， 故答案为：． 10．(24-25九上·黑龙江佳木斯第二十中学·期末)如图，等边的周长为3，作于，在的延长线上取点，使，连接，以为边作等边；作于，在的延长线上取点，使，连接，以为边作等边；…且点，，，…都在直线同侧，如此下去，则的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了规律型和等边三角形的性质，通过等边三角形的性质以及所给的线段关系，找出等边三角形边长的规律，进而求出指定等边三角形的边长。涉及到等边三角形三边相等、三个角为以及等腰三角形的性质等知识点． 【详解】解：∵等边的周长为3， 设等边的边长为，则， 所以，； ∵， ∴，， ∵， ∴ ∴，即； 同理可得：，，，⋯⋯， 所以，的边长， 故答案为：． 11．(23-24九上·黑龙江省齐齐哈尔市依安县·期末)如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺指针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去……，若点A(，0)，B(0，4)，则点B2019的横坐标为 ． 【答案】10096． 【分析】由图象可知点在第一象限，求出，，的坐标，探究规律后即可解决问题. 【详解】由图象可知点在轴上， ，，， ， ，，，… ， 点横坐标为. 故答案为：. 【点睛】本题考查坐标与图形的变化—旋转、勾股定理等知识，解题的关键是从特殊到一般探究规律，发现规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型. 12．(23-24九上·黑龙江省齐齐哈尔市梅里斯达斡尔族区·期末)如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形，，直角边在轴上，且．将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且,再将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且……，依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据题意得出点坐标变化规律，进而得出点的坐标位置，进而得出答案． 【详解】解：是等腰直角三角形，， ， ， 将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且， 再将Rt△绕原点顺时针旋转得到等腰三角形，且，依此规律， 每4次循环一周，，，，， ， 点与同在一个象限内， 点． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了点的坐标变化规律及等腰直角三角形的性质，得出点坐标变化规律是解题关键． 13．(24-25九上·黑龙江省齐齐哈尔市讷河市·期末)在平面直角坐标系中，为等边三角形，点的坐标为．把按如图所示的方式放置；并将进行变换：第一次变换将绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩大为边长的2倍，得到；第二次旋转将绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩大为边长的2倍，得到……以此类推，得到，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变换—旋转，规律问题，利用等边三角形的性质，探究边长为，然后得到与都在第三象限，即可求出坐标. 【详解】 解：由题意 , ， ∴的边长， ， 与都在第三象限，坐标为 故答案为： ． 14．(24-25九上·黑龙江省双鸭山市集贤县·期末)如图所示是一个坐标方格盘，你可操纵一只遥控机器蛙在方格盘上进行跳步游戏，机器蛙每次跳步只能按如下两种方式（第一种：向上、下、左、右可任意跳动格或格；第二种跳到关于原点的对称点上）中的一种进行．若机器蛙在点，现欲操纵它跳到点，请问机器蛙至少要跳 次． 【答案】 【分析】本题考查了中心对称，根据题意得到可以先向右跳三步，再向下跳一步，然后跳到关于原点的对称点即可到达，据此即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：若机器蛙在点，根据跳步游戏规则，可以先向右跳三步，再向下跳一步，然后跳到关于原点的对称点即可跳到点，这个路径步数最少，共步， 故答案为：． 15．(24-25九上·黑龙江龙东部分学校·期末)如图所示，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，点．，且．把绕点顺时针旋转，得到；把绕点顺时针旋转，得到⋯⋯依此类推，得到的等腰直角三角形的直角顶点的坐标为 ． 【答案】 【分析】 本题主要考查了坐标与图形变化-旋转、等腰三角形的性质、图形的规律等知识点，发现各点坐标的变化规律是解题的关键．根据题意可以求得的坐标为，的纵坐标为，的纵坐标为，，从而发现其中的变化的规律，然后根据规律即可解答． 【详解】解：如图：作轴于H， ∵点，， ， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴的纵坐标为1，， ∵把绕点顺时针旋转，得到；把绕点顺时针旋转，得到， ∴的坐标为，的纵坐标为，的纵坐标为， ∴， 当时，． 故答案为：． 16．(24-25九上·黑龙江绥化第四中学·期末)如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿x轴正半轴滚动并且按一定规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形．第一次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形②；第二次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形③；第三次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形④；第四次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形⑤；依此规律…，则第2024个等腰直角三角形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查坐标与图形变化以及找规律以及勾股定理理解三角形，熟练掌握方法是关键． 根据确定第1个等腰直角三角形（即等腰直角三角形①）的面积，根据确定第2个等腰直角三角形（即等腰直角三角形②）的面积，同理推断，确定规律可得结论． 【详解】解：∵点， ∴第1个等腰直角三角形的两腰长为2， ∴第1个等腰直角三角形的面积， ∵， ∴第2个等腰直角三角形的腰长为， ∴第2个等腰直角三角形的面积， ∵， ∴第3个等腰直角三角形的边长为， ∴第3个等腰直角三角形的面积， 第n个等腰直角三角形的面积 则第2024个等腰直角三角形的面积是； 故答案为：． 17．(23-24九上·黑龙江省齐齐哈尔市龙沙区·期末)如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，，点A与坐标原点重合，点C在x轴正半轴上，将绕点C顺时针旋转一定的角度后得到，使得点B对应点在x轴上，记为第一次旋转，再将绕点顺时针旋转一定的角度后得到，使得点对应点在x轴上，以此规律旋转，则第2023次旋转后钝角顶点坐标为 ． 【答案】 【分析】过点A作AD⊥BC于点D，根据AB=AC=5，BC=8，得到BD=CD=BC=4，推出，根据，，，，，，,…，得到每3次是一个循环组，根据，得到在竖直方向的位置与的位置相同，纵坐标为3，第2023次旋转后钝角顶点的横坐标为，得到第2023次旋转后钝角顶点坐标为． 【详解】过点A作AD⊥BC于点D， ∵AB=AC=5，BC=8, ∴BD=CD=BC=4， ∴， 由题意，，，，，，,…， 每3次是一个循环组，， ∴在竖直方向的位置与的位置相同，纵坐标为3， ∴第2023次旋转后钝角顶点的横坐标为， ∴第2023次旋转后钝角顶点坐标为． 故答案为（12141，3） 【点睛】本题主要考查了等腰三角形在坐标轴上无滑动的滚动，解决问题的关键是熟练掌握等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，熟练运用旋转性质探究滚动的循环组的规律，运用得到的规律解答． 18．(24-25九上·黑龙江绥化望奎县·期末)如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形．．直角边在x轴上，且．将绕原点O顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，再将，绕原点O顺时针旋转得到等腰直角三角形，且依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标为    【答案】 【分析】此题主要考查了点的坐标变化规律，得出点坐标变化规律是解题关键．根据题意得出点坐标变化规律，进而得出点的坐标位置，进而得出答案． 【详解】：是等腰直角三角形， 将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且， 再将绕原点顺时针旋转得到等腰三角形，且， 依此规律， ∴每4次循环一周， ， ， ∴点与同在一个象限内， ∵， ∴点 故答案为（） 19．(24-25九上·黑龙江省海林市朝鲜族中学·期末)如下图，四边形是边长为1的正方形，曲线…是由多段的 圆心角所对的弧组成的．其中，弧的圆心为A，半径为；弧的圆心为B，半径为；弧的圆心为C，半径为；弧的圆心为D，半径为…．弧、弧、弧、弧…的圆心依次按点循环，则弧的长是 （结果保留）    【答案】 【分析】先分别求出弧、弧、弧的半径，再归纳类推出一般规律，然后利用弧长公式计算即可得． 【详解】解：由题意得：弧的半径， 弧的半径， 弧的半径， 归纳类推得：弧的半径（为正整数）， 则弧的长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了弧长公式，正确规律类推出一般规律是解题关键． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $