精品解析： 黑龙江省七台河市2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷

2024-2025学年黑龙江省七台河市九年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 数学中有许多精美的曲线，以下是“悬链线”、“黄金螺旋线”、“三叶玫瑰线”和“笛卡尔心形线”．其中不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，点B，C，D在上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（ ） A. 14 B. 11 C. 10 D. 9 5. 如图在中，半径垂直于弦，点在圆上且，则度数是（ ） A. B. C. D. 6. 某校课外活动期间开展跳绳、踢毽子、韵律操三项活动，甲、乙两位同学各自任选其中一项参加，则他们选择同一项活动的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知与相交于两点，则的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 8. 一宾馆有二人间，三人间，四人间三种客房供游客租住，某旅行团20人准备同时租用这三种客房共7间，如果每个房间都住满，租房方案有（　　）． A. 4种 B. 3种 C. 2种 D. 1种 9. 如图，在中，，，将绕点B逆时针旋转得到，旋转角为θ（），点C的对应点E落在边上时，则旋转角θ的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数（是常数，）部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论：①；②（m是任意实数）；③；④；⑤若是抛物线上不同的两个点，则；其中正确结论是（ ） A. ②③④ B. ②③⑤ C. ①②③④ D. ①③④⑤ 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 11. 大米是我国居民最重要的主食之一，与此同时，我国也是世界上最大的大米生产国，水稻产量常年稳定在2亿吨以上．将2亿用科学记数法表示为____． 12. 函数中，自变量的取值范围是_____． 13. 小明将图案绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度α，设计出一个外轮廓为正六边形的图案（如图），则旋转角度的最小值为________． 14. 二次函数的图象过点，，，，其中m，n为常数，则的值为______． 15. 若关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是______． 16. 如图，圆锥体的高 h＝cm，底面半径 r＝1cm，则圆锥体的侧面积为_____cm2． 17. 已知的半径为，弦，，，则两弦之间的距离为_______． 18. 已知a是方程的一个根，则______． 19. 如图，矩形中，，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则的最大值为______． 20. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是“冰雹猜想”．在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中，均为正整数．例如，点经过第1次运算得到点，经过第2次运算得到点，以此类推．则点经过2024次运算后得到点________． 三、解答题：本题共8小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 21. 先化简，再求值：．其中． 22. 在边长为1的正方形方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的三个顶点都在格点上，点的坐标为． （1）画出向左平移4个单位后得到的，并写出点的坐标______； （2）画出绕点逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标______； （3）在（2）的条件下，求点在旋转过程中所经过的路径长（结果保留）． 23. 已知抛物线（是常数，）． （1）若此抛物线的图象经过点和，求此抛物线的解析式； （2）若，当时，函数随的增大而增大，求的取值范围． 24. 某校为了解学生阳光体育锻炼情况，就“我最喜欢的球类项目”对A（羽毛球），B（乒乓球），C（篮球），D（排球），E（足球）五个类别在全校进行了抽样调查（每位同学只选一类），并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）求这次被调查的学生共有多少人？ （2）请将条形统计图补充完整，标出数据； （3）在扇形统计图中，计算出“足球类”所对应的圆心角的度数是______； （4）若该校有800名学生，请你估计该校喜欢“乒乓球类”的学生有多少名？ 25. 领航无人机表演团队进行无人机表演训练，甲无人机以a米/秒的速度从地面起飞，乙无人机从距离地面20米高的楼顶起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人机到达训练计划指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲、乙无人机按照训练计划准时到达距离地面的高度为96米时，进行了时长为t秒的联合表演，表演完成后以相同的速度大小同时返回地面．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y(米)与无人机飞行的时间x(秒)之间的函数关系如图所示．请结合图象解答下列问题： （1） ______米/秒， ______秒； （2）求线段所在直线的函数解析式； （3）两架无人机表演训练到多少秒时，它们距离地面的高度差为12米？(直接写出答案即可) 26. 是等边三角形，边在射线上，点D是射线上的动点，当点D在线段上移动且不与点A重合时如图1，点D在线段上移动时如图2，将绕点C逆时针方向旋转得到，连接． （1）任选其中一个图形证明是等边三角形． （2）若的边长为4，且，设，是否存在t值，使是直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由． 27. 春节期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为2000元，该影院每天售出的电影票数量y（单位：张）与售价x（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且x是整数），部分数据如下表所示： 电影票售价x（元/张） 40 50 售出电影票数量y（张） 164 124 （1）请求出y与x之间的函数关系式； （2）设该影院每天的利润（利润票房收入运营成本）为w（单位：元），求w与x之间的函数关系式； （3）该影院将电影票售价x定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？ 28. 矩形在坐标系中的位置如图所示，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的正半轴上，连接，将沿折叠得，交y轴于点D，、的长是关于x的方程的两根（）． （1）求点A、点D的坐标； （2）求出直线的解析式； （3）动点M在x轴上，点N在直线上，坐标平面x轴上方是否存在点Q，使以B、M、N、Q为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年黑龙江省七台河市九年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方运算，同类项的合并，完全平方公式以及平方差公式，根据积的乘方运算法则，同类项的合并法则以及完全平方公式以及平方差公式一一计算判断即可． 【详解】解：A．，原计算错误，故该选项不符合题意； B．和不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； C．，原计算错误，故该选项不符合题意； D．，原计算正确，故该选项符合题意； 故选：D． 2. 数学中有许多精美的曲线，以下是“悬链线”、“黄金螺旋线”、“三叶玫瑰线”和“笛卡尔心形线”．其中不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的定义，掌握轴对称图形的概念是解决的关键．在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；根据定义进行判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，故不符合题意； B、不是轴对称图形，故符合题意； C、是轴对称图形，故不符合题意； D、是轴对称图形，故不符合题意； 故选：B． 3. 如图，点B，C，D在上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先根据圆内接四边形的性质得到，根据，可求得，，再利用圆周角定理求得． 【详解】解：如图，在所对的弧上任取一点，连结，， 则四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴， 故选：D． 4. 有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（ ） A. 14 B. 11 C. 10 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意可得，然后求解即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意可得： ， 解得：（舍去）， 故选B． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 5. 如图在中，半径垂直于弦，点在圆上且，则度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由垂径定理可知：，再根据圆周角定理可得到． 【详解】解：∵半径垂直于弦， ∴由垂径定理可知：， ∵， ∴所对的圆周角等于， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查垂径定理，圆周角定理，解题的关键是掌握垂径定理，圆周角定理． 6. 某校课外活动期间开展跳绳、踢毽子、韵律操三项活动，甲、乙两位同学各自任选其中一项参加，则他们选择同一项活动的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了用列表法或画树状图法求概率．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果以及甲与乙恰好选择同一项活动的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：设跳绳、踢毽子、韵律操分别为A、B、C， 画树状图如下， 共有9种等可能的结果，甲、乙恰好选择同一项活动的有3种情况， 故他们选择同一项活动的概率是， 故选：C． 7. 如图，已知与相交于两点，则的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】只需要根据函数图象找到二次函数图象在一次函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知当或时，， 故选D． 【点睛】本题主要考查了图象法求不等式的解集，利用数形结合的思想求解是解题的关键． 8. 一宾馆有二人间，三人间，四人间三种客房供游客租住，某旅行团20人准备同时租用这三种客房共7间，如果每个房间都住满，租房方案有（　　）． A. 4种 B. 3种 C. 2种 D. 1种 【答案】C 【解析】 【详解】设租二人间x间，租三人间y间，则四人间客房7-x-y． 依题意得：，解得：x＞1． ∵2x+y=8，y＞0，7-x-y＞0， ∴x=2，y=4，7-x-y=1；x=3，y=2，7-x-y=2． 故有2种租房方案． 故选C． 9. 如图，在中，，，将绕点B逆时针旋转得到，旋转角为θ（），点C的对应点E落在边上时，则旋转角θ的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用旋转的性质求角度，三角形内角和定理，等边对等角，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先利用等边对等角和三角形内角和定理求得，再根据旋转的性质得出，然后利用等边对等角和三角形内角和定理求得旋转角θ． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∵将绕点B逆时针旋转得到，旋转角为θ（）， ∴，， ∴， ， 即， 故选：B． 10. 二次函数（是常数，）部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论：①；②（m是任意实数）；③；④；⑤若是抛物线上不同的两个点，则；其中正确结论是（ ） A. ②③④ B. ②③⑤ C. ①②③④ D. ①③④⑤ 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，解题时要熟练掌握二次函数的性质并能数形结合是关键． 根据抛物线的开口方向，对称轴可得，即可判断①，时，函数值最大，即可判断②，根据时，，即可判断③，根据图象当，，代入，即可判断④，根据对称性可得即可判断⑤，即可求解． 【详解】解：∵二次函数图象开口向下 ∴ ∵对称轴为直线， ∴ ∴ ∵抛物线与轴交于正半轴，则 ∴，故①错误， ∵抛物线开口向下，对称轴为直线, ∴当时，取得最大值，最大值为 ∴（m为任意实数） 即，故②正确； ∵时，, 即 ∵ ∴ 即 ∴，故③正确； 当，，，故④正确； ∵、是抛物线上不同的两个点， ∴关于对称， ∴即，故⑤不正确， 正确的有②③④， 故选：A． 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 11. 大米是我国居民最重要的主食之一，与此同时，我国也是世界上最大的大米生产国，水稻产量常年稳定在2亿吨以上．将2亿用科学记数法表示为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同． 【详解】解：2亿， 故答案为：． 12. 函数中，自变量的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据被开方式是非负数列式求解即可. 【详解】解：依题意，得， 解得：， 故答案为． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 13. 小明将图案绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度α，设计出一个外轮廓为正六边形的图案（如图），则旋转角度的最小值为________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题主要考查了利用旋转设计图案的知识．根据旋转的定义确定两个对应点的位置，求得与点连线的夹角即可求得旋转角度． 【详解】解：如下图，当经过一次循环后点旋转至点的位置上， ∴． 故答案为：． 14. 二次函数的图象过点，，，，其中m，n为常数，则的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，把A、B、D的坐标代入，求出a、b、c，然后把C的坐标代入可得出m、n的关系，即可求解． 【详解】解：把，，代入， 得， 解得， ∴， 把代入， 得， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 若关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是______． 【答案】 【解析】 【分析】首先利用方程解得意义得出的值，进而解方程得出即可． 【详解】解：关于的一元二次方程的一个根是， ， 解得：， 则关于的一元二次方程为：， 解得：，， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解，正确得出的值是解题关键． 16. 如图，圆锥体的高 h＝cm，底面半径 r＝1cm，则圆锥体的侧面积为_____cm2． 【答案】2π 【解析】 【详解】试题解析：圆锥的母线长是 底面周长是 则圆锥体的侧面积是： 故答案是： 点睛：根据圆锥的底面半径和高求出圆锥的母线长，再根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开扇形的弧长，最后利用扇形的面积计算方法求得侧面积． 17. 已知的半径为，弦，，，则两弦之间的距离为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、垂径定理，掌握相关知识是解题的关键．需分两弦在圆心同侧和异侧两种情况计算距离，利用垂径定理和勾股定理分别求出弦和弦到圆心的距离，再计算两条弦之间的距离即可． 【详解】解：如图，当弦和在圆心同侧时，作于F，交于E，连接，， ， ， ，， ，， 的半径为， ， ，, ，， ； 如图，当弦和在圆心异侧时，作于F，交于E，连接，， ， ， ，， ，， 的半径为， ， ， ，， ； 综上所述，两弦之间的距离为或， 故答案为：或． 18. 已知a是方程的一个根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据方程根的定义，转化为代数式的求值解答． 【详解】∵a是方程的一个根，且， ∴，即， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了方程根的定义，代数式的整体思想求值，掌握定义，活用整体思想是解题的关键． 19. 如图，矩形中，，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则的最大值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，圆的有关知识，确定点的运动轨迹是解题的关键．由勾股定理可求的长，由可证，可得，由，可得点在以为直径的圆上运动，则为直径时，有最大值为1，即可求解． 【详解】解：连接，交于， 四边形是矩形， ，， ，， ， 动点，分别从点，同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点，运动， ， ， ， 又， ， ，， ， 点在以为直径的圆上运动， 为直径时，有最大值为1， 故答案为：1 20. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是“冰雹猜想”．在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中，均为正整数．例如，点经过第1次运算得到点，经过第2次运算得到点，以此类推．则点经过2024次运算后得到点________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了新定义，点的规律，根据新定义依次计算出各点的坐标，然后找出规律，最后应用规律求解即可． 【详解】解：点经过1次运算后得到点为，即为， 经过2次运算后得到点为，即为， 经过3次运算后得到点为，即为， ……， 发现规律：点经过3次运算后还是， ∵， ∴点经过2024次运算后得到点， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 21. 先化简，再求值：．其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用因式分解和除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 22. 在边长为1的正方形方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的三个顶点都在格点上，点的坐标为． （1）画出向左平移4个单位后得到的，并写出点的坐标______； （2）画出绕点逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标______； （3）在（2）的条件下，求点在旋转过程中所经过的路径长（结果保留）． 【答案】（1）图见解析； （2）图见解析； （3） 【解析】 【分析】本题考查了图形的平移、旋转以及弧长的计算，解题的关键是掌握平移和旋转的性质以及弧长公式． （1）根据平移的性质，将三角形的各顶点向左平移4个单位得到新三角形，进而确定点坐标； （2）依据旋转的性质，将绕点逆时针旋转得到新三角形，从而得到点坐标； （3）利用弧长公式，结合旋转角度和半径计算点旋转经过的路径长． 【小问1详解】 解：如图：即为所画，； 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图：即为所画，； 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵， ∴点在旋转过程中所经过的路径长． 23. 已知抛物线（是常数，）． （1）若此抛物线的图象经过点和，求此抛物线的解析式； （2）若，当时，函数随的增大而增大，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数解析式，二次函数的性质； （1）将和代入函数表达式即可； （2）根据解析式得出抛物线的对称轴为直线，进而根据二次函数性质即可求解． 【小问1详解】 解：将和代入函数中， 得： ， 解得 ， 故函数表达式为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线 ∵当时，函数随x的增大而增大 ∴，且 ∴a的取值范围为 24. 某校为了解学生阳光体育锻炼情况，就“我最喜欢的球类项目”对A（羽毛球），B（乒乓球），C（篮球），D（排球），E（足球）五个类别在全校进行了抽样调查（每位同学只选一类），并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）求这次被调查的学生共有多少人？ （2）请将条形统计图补充完整，标出数据； （3）在扇形统计图中，计算出“足球类”所对应的圆心角的度数是______； （4）若该校有800名学生，请你估计该校喜欢“乒乓球类”的学生有多少名？ 【答案】（1）60 （2）见解析 （3）72 （4）240 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图和条形统计图的信息关联，用样本估计总体等知识点，正确理解统计图是解题的关键． （1）用的人数除以占比即可求解被调查的学生人数； （2）先用总数减去的人数求出的人数，即可补全条形统计图； （3）用乘以的占比即可求解圆心角； （4）用乘以喜欢“乒乓球类”的占比即可． 【小问1详解】 解：， 答：这次被调查的学生共有人； 【小问2详解】 解：人数：， 补全条形统计图： 【小问3详解】 解：， 故答案为：； 【小问4详解】 解：（人）， 答：该校喜欢“乒乓球类”的学生有人． 25. 领航无人机表演团队进行无人机表演训练，甲无人机以a米/秒的速度从地面起飞，乙无人机从距离地面20米高的楼顶起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人机到达训练计划指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲、乙无人机按照训练计划准时到达距离地面的高度为96米时，进行了时长为t秒的联合表演，表演完成后以相同的速度大小同时返回地面．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y(米)与无人机飞行的时间x(秒)之间的函数关系如图所示．请结合图象解答下列问题： （1） ______米/秒， ______秒； （2）求线段所在直线的函数解析式； （3）两架无人机表演训练到多少秒时，它们距离地面的高度差为12米？(直接写出答案即可) 【答案】（1）8，20 （2）； （3）2秒或10秒或16秒． 【解析】 【分析】本题主要考查求一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键． （1）根据图形计算即可求解； （2）先求得甲无人机单独表演所用时间为秒，得到，利用待定系数法即可求解； （3）利用待定系数法分别求得线段、线段、线段所在直线的函数解析式，再分三种情况讨论，列式计算即可求解 【小问1详解】 解：由题意得甲无人机的速度为米/秒， ， 故答案为：8，20； 【小问2详解】 解：由图象知，， ∵甲无人机的速度为8米/秒， 甲无人机匀速从0米到96米所用时间为秒， 甲无人机单独表演所用时间为秒， ∴秒， ∴， 设线段所在直线的函数解析式为， 将，代入得， 解得， ∴线段所在直线的函数解析式为； 【小问3详解】 解：由题意，， 同理线段所在直线的函数解析式为， 线段所在直线的函数解析式为， 线段所在直线的函数解析式为， 当时，由题意得， 解得或（舍去）， 当时，由题意得， 解得或（舍去）， 当时，由题意得， 解得或（舍去）， 综上，两架无人机表演训练到2秒或10秒或16秒时，它们距离地面的高度差为12米． 26. 是等边三角形，边在射线上，点D是射线上的动点，当点D在线段上移动且不与点A重合时如图1，点D在线段上移动时如图2，将绕点C逆时针方向旋转得到，连接． （1）任选其中一个图形证明是等边三角形． （2）若的边长为4，且，设，是否存在t值，使是直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 证明：∵将绕点C逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形； （2）存在，或14 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得，，由等边三角形的判定可得结论； （2）分四种情况，由旋转的性质和直角三角形的性质可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：存在， ①当时， 根据解析（1）可知：是等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， 由旋转可知，，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，此时只能， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即； ②当时，根据旋转可知：， ∴， ∴此时可能是直角三角形； ③时，点D与点B重合， ∴此时D、B、E不能构成三角形； ④ 当时，由旋转的性质可知，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴中只能是， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 综上所述：当或14时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质，旋转的性质，等边三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 27. 春节期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为2000元，该影院每天售出的电影票数量y（单位：张）与售价x（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且x是整数），部分数据如下表所示： 电影票售价x（元/张） 40 50 售出电影票数量y（张） 164 124 （1）请求出y与x之间的函数关系式； （2）设该影院每天的利润（利润票房收入运营成本）为w（单位：元），求w与x之间的函数关系式； （3）该影院将电影票售价x定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2） （3）定价40元/张或41元/张时，每天获利最大，最大利润是4560元 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值． （1）根据题意和表格中的数据，可以计算出与之间的函数关系式； （2）根据利润票房收入运营成本和（1）中的结果，可以写出与之间的函数关系式； （3）将（2）中的函数解析式化为顶点式，再根据二次函数的性质和的取值范围，可以求得该影院将电影票售价定为多少时，每天获利最大，最大利润是多少． 【小问1详解】 解：设与之间的函数关系式是， 由表格可得，， 解得， 即与之间的函数关系式是，且是整数）； 【小问2详解】 由题意可得， ， 即与之间的函数关系式是； 【小问3详解】 由（2）知：， ，且是整数， 当或41时，取得最大值，此时， 答：该影院将电影票售价定为40元或41元时，每天获利最大，最大利润是4560元． 28. 矩形在坐标系中的位置如图所示，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的正半轴上，连接，将沿折叠得，交y轴于点D，、的长是关于x的方程的两根（）． （1）求点A、点D的坐标； （2）求出直线的解析式； （3）动点M在x轴上，点N在直线上，坐标平面x轴上方是否存在点Q，使以B、M、N、Q为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）点，点 （2） （3）存在，或或或 【解析】 【分析】（1）求解方程可解出或，再根据则可求出答案； （2）先由角角边证明和全等，即可得，使用勾股定理可求解的长度，由此可求解点B的坐标，再使用待定系数法可确定直线的解析式； （3）分为边和为对角线两种情况讨论，分别画出图形，利用正方形的性质，勾股定理与全等三角形的判定与性质求解即可． 【小问1详解】 解：， 解得或， ∵， ∴， ∴点，点； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形，沿折叠得， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴. 在中，， ∴， ∴点的坐标是， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴线段所在直线解析式为； 【小问3详解】 解：存在， ①当为边时， 若四边形是正方形，则， 过点作轴于，过点作轴于，过点作轴于点，如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 又∵， 在与中， ， ∴， ∴，， 同理可证， ∴， 设， ∵在直线上， ∴， ∴， ∴，. ∴. ∴点； 若四边形是正方形，如图， 同理可得，； 若四边形是正方形，如图， 同理可求，点； ②当是对角线时， 若四边形是正方形，过点作轴于，如图， ∵点，点， ∴直线解析式为， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 设点， ∴，， ∴点， ∵点在上， ∴， ∴， ∴， 同理可知， ∴，， ∴， ∴． 综上所述，符合条件的点坐标为或或或． 【点睛】本题是一次函数的综合题，考查了正方形的性质，待定系数法求解析式，全等三角形的判定与性质，勾股定理解三角形，折叠的性质，一次函数的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $