专题08 高一上学期期末复习真题精选（常考140题28类题型专练）（举一反三期末专项训练）高一数学上学期人教A版必修第一册

专题08 高一上学期期末复习真题精选（常考140题28类题型专练） 【人教A版】 题型归纳 题型1 集合的概念（共5小题） 1．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）下列关系中正确的个数是（    ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25高一上·广西玉林·期末）若，则a的值为（   ） A． B． C．或 D．0 3．（24-25高一上·山东聊城·期末）已知集合，则集合中所含元素的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（24-25高一上·上海徐汇·期末）设是实数，集合，若，则 . 5．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知集合只有一个元素，则的取值集合为 . 题型2 集合间的基本关系（共5小题） 1．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知集合，，则（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．4 2．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知，若集合，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 3．（24-25高一上·广东梅州·期末）设集合，，则满足的集合有（    ）种情况 A．1 B．2 C．3 D．4 4．（24-25高一上·上海·期末）已知集合，，且，则实数的值为 . 5．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若⫋，求实数的取值范围． 题型3 集合的基本运算（共5小题） 1．（25-26高一上·北京·期末）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·河北·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·山东威海·期末）设全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·上海虹口·期末）已知全集，集合或，且，则实数的取值范围为 . 5．（24-25高一上·四川广元·期末）已知集合，或． (1)当时，求和； (2)若，且，求实数a的取值范围． 题型4 充分、必要与充要条件（共5小题） 1．（24-25高一上·陕西西安·期末）“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高一上·广东深圳·期末）设集合则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高一上·广东肇庆·期末）已知，若是的必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·安徽宣城·期末）已知，若p是q的一个必要不充分条件，则实数m的取值范围是 ． 5．（24-25高一上·甘肃甘南·期末）已知集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 题型5 全称量词与存在量词（共5小题） 1．（24-25高一上·安徽池州·期中）命题：，的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25高一上·江苏盐城·期末）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（24-25高一上·辽宁丹东·期末）已知命题，，命题，，则（   ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 4．（25-26高一上·全国·期末）已知命题“存在实数，使得不等式成立”为真命题，则的取值范围是 ． 5．（24-25高一上·云南玉溪·期末）写出下列命题的否定，并判断其否定的真假： (1)，； (2)存在一个六边形，其内角和不等于． 题型6  由不等式的性质比较数（式）大小（共5小题） 1．（24-25高一上·新疆和田·期末）已知，则与大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·广东梅州·期末）每次去加油站，甲选择加固定金额的油，乙选择加固定体积的油．在油价的波动情况下，哪种方式更经济呢？（    ） A．加固定金额的方式 B．加固定体积的方式 C．两种方案一样 D．要视具体价格而定 3．（24-25高一上·甘肃平凉·期末）若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（24-25高一上·广东广州·期末）两次购买同一种物品可以有两种不同的策略，设两次购物时价格分别为，甲策略是每次购买这种物品的数量一定，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数一定，则 种购物策略比较经济．（填“甲”或“乙”） 5．（24-25高一上·山西晋中·期末）为衡量房屋的采光效果，行业一般采用窗地面积比（房间窗洞口面积与该房间地面面积的比值）作为标准，民用住宅的窗地面积比应不小于10%，且不超过50%，而且这个比值越大，采光效果越好.设某住宅的窗洞口面积与地面面积分别为a，b. (1)若这所住宅的地面面积为100，求这所住宅的窗洞口面积的范围； (2)若窗洞口面积和地面面积在原来的基础上都增加了x，判断这所住宅的采光效果是否变好了，并说明理由. 题型7 基本不等式（共5小题） 1．（24-25高一上·江苏盐城·期末）若实数a，b满足，则ab的最小值为（    ） A． B．3 C． D．6 2．（24-25高一上·山西大同·期末）函数的最小值是（   ） A．7 B．1 C．5 D． 3．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知，且，，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 4．（24-25高一上·四川泸州·期末）若正数a，b满足：，则的最小值为 ． 5．（24-25高一上·江苏苏州·期末）已知、均为正实数，. (1)若，求的最小值： (2)若，求的最小值. 题型8 二次函数与一元二次方程、不等式（共5小题） 1．（24-25高一上·上海金山·期末）当时，关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·陕西·期末）若关于的不等式的解集为，则的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·全国·期末）关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 4．（24-25高一上·内蒙古乌兰察布·期末）若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 . 5．（24-25高一上·安徽亳州·期末）已知函数． (1)若不等式的解集为，求的值； (2)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围． 题型9 函数的概念与表示（共5小题） 1．（24-25高一上·陕西·期末）下列图象中，可以表示函数的为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·甘肃甘南·期末）下列四组函数：① ；② ；③； ④；其中表示同一函数的是（    ） A．②④ B．②③ C．①③ D．③④ 3．（24-25高一上·贵州黔西·期末）已知定义在上的函数满足：，且，则（    ） A．9 B．25 C．15 D．24 4．（25-26高一上·全国·期末）已知函数的定义域为，且，，则 ． 5．（24-25高一上·云南红河·期末）根据下列条件，求的解析式. (1)已知； (2)已知是二次函数，且满足. 题型10 函数的定义域、值域问题（共5小题） 1．（24-25高一上·浙江杭州·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·云南楚雄·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·辽宁朝阳·期末）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知函数的定义域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·北京东城·期末）函数的定义域为 ． 题型11 函数的单调性、最值问题（共5小题） 1．（24-25高一上·江苏苏州·期末）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·湖北·期末）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·江西吉安·期末）设函数，其中表示中的最大者，若在区间上的最大值为7，最小值为4，则区间长度的最大值和最小值分别为（    ） A．3，1 B．4，1 C．5，2 D．7，2 4．（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函数在定义域上单调递增，则的取值范围为 ． 5．（24-25高一上·河南驻马店·期末）已知函数，且的解集为． (1)求的解析式； (2)若在区间上单调，求实数的取值范围； (3)求在区间上的最小值． 题型12 函数的奇偶性问题（共5小题） 1．（24-25高一上·云南大理·期末）下列函数中，是偶函数的是（    ） A．（） B． C． D． 2．（25-26高一上·吉林·期末）已知定义在R上的函数满足：关于中心对称，是偶函数，且在上是增函数，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·湖北·期末）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则 ． 5．（24-25高一上·安徽亳州·期末）已知函数的定义域为，且满足． (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)若，求的值； (3)若时，，解不等式． 题型13 幂函数（共5小题） 1．（24-25高一上·安徽宣城·期末）幂函数在上递减，则实数（   ） A． B． C．2 D．2或 2．（24-25高一上·辽宁·期末）如图，①②③④对应四个幂函数的图象，则①对应的幂函数可以是（    ）    A． B． C． D． 3．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）幂函数过点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·安徽合肥·期末）若幂函数，且在上是增函数，则实数 ． 5．（24-25高一上·河北秦皇岛·期末）已知幂函数为偶函数. (1)求的值； (2)若函数在区间上单调，求实数的取值范围. 题型14 指数与对数运算（共5小题） 1．（24-25高一上·北京西城·期末）已知，，则（    ） A． B． C．1 D． 2．（24-25高一上·重庆黔江·期末）计算（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·江苏苏州·期末）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究发现地震释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2024年11月20日俄罗斯东南部发生的地震的32000倍，则俄罗斯东南部地震震级大约是（参考数据：）（   ） A．5级 B．6级 C．7级 D．8级 4．（24-25高一上·山东潍坊·期末） . 5．（24-25高一上·浙江杭州·期末）求值： (1)； (2)． 题型15 指数（对数）函数的图象问题（共5小题） 1．（24-25高一上·福建泉州·期末）函数且的图象如图所示，则必有（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·云南昆明·期末）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·山西·期末）函数的部分图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   4．（24-25高一上·浙江金华·期末）如图，平行于y轴的直线分别与函数及的图象交于点B，C，点为函数图象上一点.若是以AC为斜边的等腰直角三角形，则 .    5．（24-25高一上·宁夏吴忠·期末）已知函数 (1)在如图所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象； (2)写出函数的单调增区间及零点． 题型16 指数（对数）型函数的值域问题（共5小题） 1．（24-25高一上·广东·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·浙江绍兴·期末）已知函数，则（    ） A．在上单调递增且值域为 B．在上单调递减且值域为 C．在上单调递增且值域为 D．在上单调递减且值域为 3．（24-25高一上·江苏·期末）若函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·重庆沙坪坝·期末）已知函数，，则的值域为 . 5．（24-25高一上·四川内江·期末）已知函数的图象经过点，其中． (1)求实数a，b的值； (2)求函数的定义域和值域． 题型17 指数（对数）型函数的单调性问题（共5小题） 1．（24-25高一上·广东揭阳·期末）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·广东东莞·期末）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．单调递增且是偶函数 B．单调递增且是奇函数 C．单调递减且是偶函数 D．单调递减且是奇函数 3．（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）关于函数的单调性的说法正确的是（    ） A．在上是增函数 B．在上是减函数 C．在区间上是减函数 D．在区间上是增函数 4．（24-25高一上·广东深圳·期末）函数的单调递增区间为 ． 5．（24-25高一上·河南郑州·期末）已知，函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)当时，判断函数的单调性，并用定义给出证明. 题型18 指对幂数比较大小（共5小题） 1．（24-25高一上·云南昆明·期末）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·云南曲靖·期末）下列大小关系，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·河南商丘·期末）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·广东揭阳·期末）若，，，则，，的大小关系为 （用“>”连接）． 5．（24-25高一上·广东广州·期末）已知，则的大小顺序为 . 题型19 函数的零点（方程根）问题（共5小题） 1．（24-25高一上·重庆长寿·期末）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江苏盐城·期末）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知函数，若函数恰有个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·广西柳州·期末）已知函数，若函数有5个不同的零点，则实数m的取值范围为 . 5．（24-25高一上·云南保山·期末）已知函数． (1)在图中画出函数的图象； (2)设，若函数有两个零点，求实数的取值范围． 题型20 二分法（共5小题） 1．（24-25高一上·安徽宣城·期末）已知函数，利用二分法求的零点的近似值，若零点的初值区间为，精确度为，则可以是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）某同学用二分法求函数的零点时，用计算器算得部分函数值如下表所示： 则该函数零点的近似值（精确度为0.1）可以是（    ） A．1.2 B．1.21 C．1.27 D．1.32 3．（24-25高一上·湖南岳阳·期末）下列函数中，不能用二分法求其零点近似值的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·江西吉安·期末）已知函数，用二分法求的零点近似值，零点所在大致区间为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·广东惠州·期末）已知函数在区间上有一个零点，如果用二分法求的近似值（精确度为），则应将区间至少等分的次数为 . 题型21 函数模型的应用（共5小题） 1．（24-25高一上·江苏苏州·期末）按照《中小学校教室换气卫生要求》，教室内空气中二氧化碳浓度不高于，经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内的二氧化碳浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数（）描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间（单位：分钟）的最小整数值为（    ）（参考数据：） A．1 B．3 C．5 D．10 2．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）荷花定律是一个非常著名的定律.据研究者收集的信息，池塘里荷花开放的程度，有如下规律，第一天开放的只是一小部分，第二天，它们会以前一天的两倍速度开放.到第29天时荷花恰好开满了一半，到第30天才会开满整个池塘.下列函数能较好反映池塘里荷花开放的程度y与时间x（1-30天）之间的变化规律的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·云南德宏·期末）北京时间2024年10月30日4时27分，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，约10分钟后，神舟十九号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，发射取得圆满成功.据测算，在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度（单位：）和燃料的质量（单位：），火箭（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是.据悉，此次发射火箭全长，起飞质量（火箭起飞质量燃料质量火箭质量），若火箭的最大速度达到，则燃料质量约为（    ） （参考数据：） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·四川成都·期末）声压级（单位：）与声压（单位：）的关系为，其中为人在空气中能听到的最低声压．已知飞机发动机声音的声压级比人正常说话声音的声压级大，则 ． 5．（24-25高一上·江苏宿迁·期末）为了节能减排，某企业决定安装一个可使用年的太阳能供电设备，并接入本企业的电网.安装这种供电设备的费用（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：平方米）成正比，比例系数为.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式.设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积（单位：平方米）之间的函数关系是（为常数）.已知太阳能电池板面积为平方米时，每年消耗的电费为万元，记（单位：万元）为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业年所消耗的电费之和. (1)求常数的值； (2)写出的解析式； (3)当为多少平方米时，取得最小值?最小值是多少万元? 题型22 任意角与弧度制（共5小题） 1．（24-25高一上·广东清远·期末）已知角，则角的终边在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（24-25高一上·河北张家口·期末）把化成弧度是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）伊丽莎白塔俗称“大本钟”，是英国伦敦的标志性建筑．该钟的时针长约为2.8m，则经过，时针的针尖走过的路程约为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·上海·期末）已知扇形的弧所对的圆心角为，且半径为10cm，则该扇形的面积为 ． 5．（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知一扇形的圆心角为（为正角），周长为，面积为，所在圆的半径为． (1)若，，求扇形的弧长； (2)若，求的最大值及此时扇形的半径和圆心角． 题型23 三角函数的定义（共5小题） 1．（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）已知角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·广东广州·期末）已知角的终边上有一点的坐标是，其中，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·山东滨州·期末）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·山东济南·期末）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，点是终边上一点，则的值为 ． 5．（24-25高一上·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中，已知角的终边经过点，且，则等于 ． 题型24 同角三角函数的基本关系（共5小题） 1．（24-25高一上·广东汕头·期末）已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江苏泰州·期末）已知，角的终边不在轴上，则（   ） A．0 B． C． D． 3．（24-25高一上·山东淄博·期末）已知，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·云南德宏·期末）若，则 . 5．（24-25高一上·内蒙古包头·期末）已知. (1)求的值； (2)求的值. 题型25 诱导公式（共5小题） 1．（24-25高一上·云南昭通·期末），那么（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·湖南岳阳·期末）的值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·河北秦皇岛·期末）已知角的终边上有一点，则（   ） A． B．2 C． D．3 4．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）化简： . 5．（24-25高一上·云南昭通·期末）平面直角坐标系中，若角的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点. (1)求和的值； (2)若，化简并求值. 题型26 三角函数的图象与性质（共5小题） 1．（24-25高一上·贵州黔西·期末）在下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知函数，则的增区间是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·河北秦皇岛·期末）已知直线是函数（其中）的图象的一条对称轴，且函数在区间上单调，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 4．（24-25高一上·宁夏银川·期末）已知函数图象的两条对称轴间距离的最小值为，且为的一个零点，则不等式的解集为 ． 5．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知函数，且，，． (1)求的值； (2)求在区间上的单调递减区间； (3)若关于的方程在区间上有且仅有4个不同的实数解，求实数的取值范围． 题型27 三角函数的图象变换（共5小题） 1．（24-25高一上·江苏宿迁·期末）为了得到函数的图象，只需把函数图象上所有的点（    ） A．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向右平移个单位长度 B．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位长度 C．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位长度 D．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将所得的图象向右平移个单位长度 2．（24-25高一上·陕西西安·期末）将函数图象上的所有点向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度后，所得函数图象的解析式可能为（     ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．的图象关于直线对称 B．将的图象向右平移个单位长度得到的图象关于原点对称 C．方程在区间有5个不等实根 D．在上单调递增 4．（24-25高一上·广东深圳·期末）将函数的图象向右平移个单位后，再将所得图象各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若在区间内没有零点，则的取值范围是 ． 5．（24-25高一上·甘肃平凉·期末）已知函数的部分图像如图所示． (1)求函数的解析式及对称中心； (2)求函数在上的值域； (3)先将的图像纵坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位后得到的图像，求函数的单调减区间． 题型28 三角函数的应用（共5小题） 1．（24-25高一上·江苏连云港·期末）为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针针尖位置为.若初始位置为当秒针从（注此时）开始走时，点的纵坐标与时间的函数关系为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·广东广州·期末）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米由关系式确定，其中，，.小球从最低点出发，经过2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的是（    ） A． B．秒与秒时小球偏离于平衡位置的距离之比为2 C．当时，若小球有且只有三次到达最高点，则 D．当时，若时刻小球偏离于平衡位置的距离相同，则 3．（24-25高一上·山东枣庄·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今仍在农业生产中发挥作用，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．一半径为2m的筒车水轮如图，水轮圆心O距离水面1m，已知水轮每30s逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上的点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列结论错误的是（ ） A．点P再次进入水中用时20s B．当水轮转动25s时，点P处于最低点 C．当水轮转动28.75s时，点P距离水面 D．点P第三次到达距水面时用时42.5s 4．（24-25高一上·陕西榆林·期末）已知某地区某天的温度（单位：）随时间（单位：）的变化近似满足函数关系，且这天的最大温差为，则 ；若温度不低于需要开空调降温，则这天需要降温的时长为 h． 5．（24-25高一上·浙江杭州·期末）某游乐场的摩天轮示意图如图，已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1~12（可视为点），在旋转过程中，座舱与地面的距离h与时间t的函数关系基本符合正弦函数模型即（其中），现从图示位置，即1号座舱（可视为A点）位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为t分钟．    (1)求旋转分钟后号座舱（点）离地面的距离； (2)求1号座舱（点）与地面的距离与时间的函数关系的解析式（写出定义域）； (3)在前24分钟内，求1号座舱（点）与地面的距离为17米时的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 高一上学期期末复习真题精选（常考140题28类题型专练） 【人教A版】 题型归纳 题型1 集合的概念（共5小题） 1．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）下列关系中正确的个数是（    ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解题思路】根据常用集合的符号和含义作出判断，得到答案. 【解答过程】，，，，①②③正确，④错误. 故选：C. 2．（24-25高一上·广西玉林·期末）若，则a的值为（   ） A． B． C．或 D．0 【答案】C 【解题思路】根据元素与集合的关系，即可根据求解. 【解答过程】因为，所以， 故选：C. 3．（24-25高一上·山东聊城·期末）已知集合，则集合中所含元素的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解题思路】根据集合描述法用列举法求出集合中元素得解. 【解答过程】因为集合，， 所以, 故选：D. 4．（24-25高一上·上海徐汇·期末）设是实数，集合，若，则 . 【答案】 【解题思路】根据元素与集合关系及互异性求参数即可. 【解答过程】若，则，不符合集合元素的互异性； 若，则（正值舍），此时，满足； 综上，. 故答案为：. 5．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知集合只有一个元素，则的取值集合为 . 【答案】 【解题思路】分，两种情况讨论可求的取值集合. 【解答过程】①若，则，解得，满足集合 中只有一个元素，所以符合题意； ②若，则为一元二次方程，因为集合有且只有一个元素， 所以，解得. 综上所述：的取值集合为. 故答案为：. 题型2 集合间的基本关系（共5小题） 1．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知集合，，则（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．4 【答案】B 【解题思路】根据包含关系可知，分或两种情况讨论，结合元素互异性可得. 【解答过程】因为，，， 所以，所以或，即或. 当时，，集合中的元素不满足互异性，舍去； 当时，，满足. 综上，. 故选：B. 2．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知，若集合，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】B 【解题思路】由集合相等的定义建立方程求得结果. 【解答过程】∵， ∴，解得， 故选：B. 3．（24-25高一上·广东梅州·期末）设集合，，则满足的集合有（    ）种情况 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解题思路】列举集合含有两个元素的子集，可得结果. 【解答过程】因为集合含有两个元素的子集有：，，共3个， 所以集合有3中情况. 故选：C. 4．（24-25高一上·上海·期末）已知集合，，且，则实数的值为 . 【答案】 【解题思路】由集合包含关系得到即可求解； 【解答过程】由题意可知， 解得：， 故答案为：. 5．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若⫋，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【解题思路】（1）由为非空数集，得，即，结合子集的概念，得到不等式，算出实数的取值范围； （2）由为非空数集，得，即，结合真子集的概念，得到不等式，算出实数的取值范围； 【解答过程】（1）因为为非空数集，得，解得， 若，则，解得，即实数的取值范围是； （2）因为为非空数集，得，解得， 若⫋，则或， 解得，即实数的取值范围是． 题型3 集合的基本运算（共5小题） 1．（25-26高一上·北京·期末）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，利用交集的定义直接求解作答. 【解答过程】因为，， 所以. 故选：. 2．（25-26高一上·河北·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意，结合并集的定义与运算，直接求解，即可得到答案. 【解答过程】由集合，，可得. 故选：B. 3．（24-25高一上·山东威海·期末）设全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由集合交并补运算的定义直接运算即可. 【解答过程】因为 ，所以. 又，所以 . 故选：D. 4．（24-25高一上·上海虹口·期末）已知全集，集合或，且，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解题思路】利用并集的定义得，从而得，根据集合包含关系列不等式求解. 【解答过程】全集，集合，， 所以或， 所以． 集合或，且， 所以或， 解得或， 即的范围为． 故答案为：. 5．（24-25高一上·四川广元·期末）已知集合，或． (1)当时，求和； (2)若，且，求实数a的取值范围． 【答案】(1) ， 或； (2) 【解题思路】（1）利用交集和并集概念求出答案； （2）先得到，，分和两种情况，得到不等式，求出答案. 【解答过程】（1）时，，又或， 故 或 ， 或 或； （2），故， ， 当时，，解得，与矛盾，舍去， 当时，，解得， 综上，实数a的取值范围为. 题型4 充分、必要与充要条件（共5小题） 1．（24-25高一上·陕西西安·期末）“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解题思路】由充分条件、必要条件的定义即可判断. 【解答过程】由，得，反之不成立，则“”是“”的必要不充分条件． 故选：C. 2．（24-25高一上·广东深圳·期末）设集合则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解题思路】根据集合交集运算及元素与集合的关系，结合充要条件的判定即可判断. 【解答过程】若，则， 所以，解得， 当时，，此时，不合题意舍去， 当 时，，此时，满足题意， 则，则充分性成立， 反之，亦得必要性成立， 则“”是“”的充要条件. 故选：C. 3．（24-25高一上·广东肇庆·期末）已知，若是的必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据充分必要条件的定义以及集合的包含关系求出的范围即可. 【解答过程】是的必要条件，，. 故选：B. 4．（24-25高一上·安徽宣城·期末）已知，若p是q的一个必要不充分条件，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【解题思路】化简命题，再利用必要不充分条件的定义列式求解. 【解答过程】命题，而命题，由p是q的一个必要不充分条件， 得，解得，所以实数m的取值范围是. 故答案为：. 5．（24-25高一上·甘肃甘南·期末）已知集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）当时，求出集合，利用补集和交集的定义可求得集合； （2）分析可知是的真子集，分、两种情况讨论，结合集合的包含关系可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围. 【解答过程】（1）当时，集合，可得或， 因为，所以. （2）若“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集， 当时，即时，此时，满足是的真子集； 当时，则满足，解得， 当时，，此时是的真子集，合乎题意； 当时，，此时是的真子集，合乎题意. 综上，实数的取值范围为. 题型5 全称量词与存在量词（共5小题） 1．（24-25高一上·安徽池州·期中）命题：，的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解题思路】根据存在量词命题的否定是全称量词命题求解即可. 【解答过程】命题：，的否定是，. 故选：C. 2．（24-25高一上·江苏盐城·期末）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解题思路】根据存在量词的命题的否定的规定，改变量词并否定结论即可. 【解答过程】命题“，”的否定是“，”. 故选：D. 3．（24-25高一上·辽宁丹东·期末）已知命题，，命题，，则（   ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【解题思路】举出反例，得到为假命题，举出实例，得到为真命题. 【解答过程】命题，当得，，故为假命题，为真命题， 命题，时，，故满足，为真命题. 故选：B. 4．（25-26高一上·全国·期末）已知命题“存在实数，使得不等式成立”为真命题，则的取值范围是 ． 【答案】 【解题思路】由于命题是真命题，即不等式有解，则可通过求解，即可得结果. 【解答过程】由题意得，解得， 所以的取值范围是． 故答案为：． 5．（24-25高一上·云南玉溪·期末）写出下列命题的否定，并判断其否定的真假： (1)，； (2)存在一个六边形，其内角和不等于． 【答案】(1)，，真命题； (2)任意六边形，其内角和等于，真命题． 【解题思路】（1）由全称命题的否定是把存在改为存在，并否定原结论，进而判断真假； （2）由特称命题的否定是把存在改为任意，并否定原结论，进而判断真假. 【解答过程】（1）由全称命题的否定为特称命题，则原命题的否定为，， 因为时，，故为真命题； （2）由特称命题的否定为全称命题，则原命题的否定为任意六边形，其内角和等于，易知其为真命题． 题型6  由不等式的性质比较数（式）大小（共5小题） 1．（24-25高一上·新疆和田·期末）已知，则与大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用作差比较法求解. 【解答过程】因为， 所以. 故选：C. 2．（24-25高一上·广东梅州·期末）每次去加油站，甲选择加固定金额的油，乙选择加固定体积的油．在油价的波动情况下，哪种方式更经济呢？（    ） A．加固定金额的方式 B．加固定体积的方式 C．两种方案一样 D．要视具体价格而定 【答案】A 【解题思路】设两次加油的油价分别为，（，且），分别计算两种方案的平均油价，然后比较即得. 【解答过程】设两次加油的油价分别为，（，且），乙方案每次加油的量为；甲方案每次加油的钱数为， 则乙方案的平均油价为：，甲方案的平均油价为：， 因为， 所以，即甲方案更经济． 故选：A. 3．（24-25高一上·甘肃平凉·期末）若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【解题思路】举反例令可得A错误；由不等式的性质可得B错误；作差法可得C正确；举反例可得D错误. 【解答过程】对于A选项，当时不满足，故A错误； 对于B选项，由不等式性质知，两边同时乘以，可得，故B错误； 对于C选项，若，则，，，， 故，即，故C正确； 对于D选项，取，，可得，故D错误． 故选：C. 4．（24-25高一上·广东广州·期末）两次购买同一种物品可以有两种不同的策略，设两次购物时价格分别为，甲策略是每次购买这种物品的数量一定，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数一定，则 种购物策略比较经济．（填“甲”或“乙”） 【答案】乙 【解题思路】由题意依次将两种策略两次购买物品的平均价格表示出来，用作差法比较大小即可. 【解答过程】设甲策略每次买件物品，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数为元， 则甲策略两次购买物品的平均价格为，乙策略两次购买物品的平均价格为， 所以，即， 所以乙种购物策略比较经济. 故答案为：乙. 5．（24-25高一上·山西晋中·期末）为衡量房屋的采光效果，行业一般采用窗地面积比（房间窗洞口面积与该房间地面面积的比值）作为标准，民用住宅的窗地面积比应不小于10%，且不超过50%，而且这个比值越大，采光效果越好.设某住宅的窗洞口面积与地面面积分别为a，b. (1)若这所住宅的地面面积为100，求这所住宅的窗洞口面积的范围； (2)若窗洞口面积和地面面积在原来的基础上都增加了x，判断这所住宅的采光效果是否变好了，并说明理由. 【答案】(1) (2)变好，理由见解析 【解题思路】（1）依题意得出不等关系，解不等式即可得出结果； （2）利用作差法计算比较出大小，可得结论. 【解答过程】（1）因为，所以， 解得， 所以这所住宅的窗洞口面积的范围为. （2）由题意得，， 原来的窗地面积比为，现在的窗地面积比为 则 . 因为，，所以.， 所以，即. 所以窗洞口和地面同时增加了相等的面积，住宅的采光效果变好了. 题型7 基本不等式（共5小题） 1．（24-25高一上·江苏盐城·期末）若实数a，b满足，则ab的最小值为（    ） A． B．3 C． D．6 【答案】C 【解题思路】根据基本不等式的性质进行求解即可. 【解答过程】因为，所以，所以. 所以， 解得，当且仅当时，即时等号成立， 此时取最小值为. 故选：C. 2．（24-25高一上·山西大同·期末）函数的最小值是（   ） A．7 B．1 C．5 D． 【答案】A 【解题思路】先将变为，然后利用基本不等式求解最小值即可. 【解答过程】因为，所以， 所以． 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是7． 故选：A. 3．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知，且，，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【解题思路】由，可得，利用的代换结合基本不等式求出最小值． 【解答过程】，， 当且仅当，即时取等号. 故选：A. 4．（24-25高一上·四川泸州·期末）若正数a，b满足：，则的最小值为 ． 【答案】 【解题思路】根据基本不等式求最值的条件，结合“1”的妙用，即可求解. 【解答过程】因为正数a，b满足：，即， 所以， 当，且，得时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 5．（24-25高一上·江苏苏州·期末）已知、均为正实数，. (1)若，求的最小值： (2)若，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）当时，由已知等式变形得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值； （2）当时，由已知等式变形得出，再利用基本不等式的最小值. 【解答过程】（1）当时，，则. 因为、均为正实数， 所以， 当且仅当时，即当，时取等号， 所以的最小值为. （2）当时，，可得，则， 所以，因为，，所以，进而得， 所以，. 所以， 当且仅当时，即当，时取等号， 所以的最小值为. 题型8 二次函数与一元二次方程、不等式（共5小题） 1．（24-25高一上·上海金山·期末）当时，关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】将原不等式转换为，在的前提下，比较的大小即可得解. 【解答过程】当时，，不等式可化为， 因为，且， 所以，， 所以的解集为， 所以原不等式的解集为，即 故选：C. 2．（24-25高一上·陕西·期末）若关于的不等式的解集为，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用韦达定理用表示，代入所求不等式得到关于的不等式，求出不等式的解集即可． 【解答过程】由不等式的解集为， 则，即， 所以不等式，即为，又， 所以，解得或. 所以不等式的解集为. 故选：B. 3．（25-26高一上·全国·期末）关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解题思路】由题意得，根据的范围，分类讨论，求出不等式的解集，再结合已知列出不等式求解得答案. 【解答过程】不等式， 当时，原不等式的解集为， 由解集中恰有4个整数，得，解得； 当时，原不等式的解集为， 由解集中恰有4个整数，得，解得， 所以实数m的取值范围是或. 故选：D. 4．（24-25高一上·内蒙古乌兰察布·期末）若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解题思路】讨论、，结合二次函数性质列不等式求参数范围. 【解答过程】当，则，显然对于都成立，满足； 当，要使对恒成立，则，所以； 综上，. 故答案为：. 5．（24-25高一上·安徽亳州·期末）已知函数． (1)若不等式的解集为，求的值； (2)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据不等式的解集，利用韦达定理即可解； （2）讨论和时，恒成立的条件，然后求解即可. 【解答过程】（1）因为不等式的解集为， 所以方程的两根为， 则，解得． （2）当时，， 若，不等式转化为对一切实数恒成立，显然满足题意； 若，不等式转化为对一切实数恒成立，易知不满足题意； 当时，由题意可知， 解得或． 综上，实数的取值范围为． 题型9 函数的概念与表示（共5小题） 1．（24-25高一上·陕西·期末）下列图象中，可以表示函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据函数的定义判断. 【解答过程】选项A，C，D的函数图象中存在，对应多个不同的函数值，故不可以表示函数，故B正确. 故选：B. 2．（24-25高一上·甘肃甘南·期末）下列四组函数：① ；② ；③； ④；其中表示同一函数的是（    ） A．②④ B．②③ C．①③ D．③④ 【答案】B 【解题思路】根据函数的定义域和对应法则进行判断即可. 【解答过程】对于①，函数的定义域为，函数的定义域为， 其定义域不同，所以不是同一函数，故错误； 对于②，函数，两个函数定义域都是， 对应法则也一样，是同一函数，故正确； 对于③，函数， 两个函数定义域和对应法则一样，是同一函数，故正确； 对于④，函数的定义域为，函数定义域为， 两个函数定义域不一样，不是同一函数，故错误. 故选：B. 3．（24-25高一上·贵州黔西·期末）已知定义在上的函数满足：，且，则（    ） A．9 B．25 C．15 D．24 【答案】D 【解题思路】由函数性质通过赋值得到和，即可求解； 【解答过程】由可得： ， ， ， ， ， 累加可得：， 又， 得：， 相加可得：， 所以， 故选：D. 4．（25-26高一上·全国·期末）已知函数的定义域为，且，，则 ． 【答案】2 【解题思路】取特殊值，取，代入题干关系式即可得结果. 【解答过程】由，取可得，又，所以． 故答案为：. 5．（24-25高一上·云南红河·期末）根据下列条件，求的解析式. (1)已知； (2)已知是二次函数，且满足. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用换元法，可求得函数解析式； （2）利用待定系数法，即可求得答案. 【解答过程】（1）令，则， 所以由， 得， 所以； （2）由题意设， 因为，所以， 因为， 所以， 所以， 所以，得， 所以. 题型10 函数的定义域、值域问题（共5小题） 1．（24-25高一上·浙江杭州·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据函数的解析式有意义，可得不等式组，解之即得函数定义域. 【解答过程】由函数有意义，等价于， 解得且， 故函数的定义域为. 故选：A. 2．（24-25高一上·云南楚雄·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由抽象函数定义域及具体函数定义域的概念构造不等式求解即可； 【解答过程】由题意：要使有意义，则 解得，所以的定义域为． 故选：C. 3．（24-25高一上·辽宁朝阳·期末）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】换元法，令，得到，从而得到函数值域. 【解答过程】令，则， 则， 故当时，取得最大值，最大值为， 所以的值域为. 故选：D. 4．（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知函数的定义域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】将定义域是的问题转化为不等式恒成立，对是否为零进行分类讨论即可求得结果. 【解答过程】根据题意对于恒成立； 当时，显然成立，可得符合题意； 当时，若满足题意可得，解得； 当时，若满足题意可得，此时无解； 综上可得，的取值范围是. 故选：C. 5．（24-25高一上·北京东城·期末）函数的定义域为 ． 【答案】 【解题思路】根据题意得解出即可. 【解答过程】要使函数有意义， 则，即， 所以函数的定义域为：， 故答案为：. 题型11 函数的单调性、最值问题（共5小题） 1．（24-25高一上·江苏苏州·期末）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用复合函数的单调性可求得函数的减区间. 【解答过程】对于函数，由可得或 所以，函数的定义域为， 因为内层函数在区间上为减函数，在上为增函数， 外层函数在上为增函数， 由复合函数的单调性可知，函数的减区间为. 故选：A. 2．（24-25高一上·湖北·期末）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】令，则，，利用单调递增则单调性相同的性质，得出在上单调递增，且，分情况讨论得出的取值范围. 【解答过程】令，则，. 已知在上单调递增，则在上单调递增，且. 若，则，此时在单调递增， 且，符合题意. 若，则须满足： 即. 综上，. 故选：C. 3．（24-25高一上·江西吉安·期末）设函数，其中表示中的最大者，若在区间上的最大值为7，最小值为4，则区间长度的最大值和最小值分别为（    ） A．3，1 B．4，1 C．5，2 D．7，2 【答案】B 【解题思路】根据函数定义求得其解析式，画出函数图象根据最值即可得出区间长度的取值范围. 【解答过程】由题意得其图象如下图所示： 令得； 令得或1. 当，时，取得最大值4； 当，时，取得最小值1. 所以的最大值和最小值分别为4，1. 故选：B. 4．（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函数在定义域上单调递增，则的取值范围为 ． 【答案】 【解题思路】由单调递增得出所满足的不等式组，求解即可. 【解答过程】分段函数要是单调递增函数，必须每一段都是单调递增函数， 且左边一段的最大值小于等于右边一段的最小值. 所以，解得. 所以的取值范围为. 故答案为：. 5．（24-25高一上·河南驻马店·期末）已知函数，且的解集为． (1)求的解析式； (2)若在区间上单调，求实数的取值范围； (3)求在区间上的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）由题意可得1，3为方程的两根，再利用根与系数的关系可求出的值，从而可求得的解析式； （2）求出的图象的对称轴，然后由题意可得或，从而可求出实数的取值范围； （3）分，和三种情况结合二次函数的性质求解即可. 【解答过程】（1）根据条件的解集为，则1，3为方程的两根， 所以，得， 所以； （2）由于的对称轴为， 因此若在区间上单调，则或， 解得，或， 即； （3）因为在区间上单调递减，在上单调递增， 所以当时，在区间上递增， 此时； 当，即时，； 当，即时，在区间上递减， 此时； 综上所述：． 题型12 函数的奇偶性问题（共5小题） 1．（24-25高一上·云南大理·期末）下列函数中，是偶函数的是（    ） A．（） B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据偶函数的定义，逐项分析即可得解. 【解答过程】对于A选项，()定义域不关于原点对称，故A错误； 对于B选项，，所以不是偶函数，故B错误； 对于C选项，函数定义域为R，且，所以是偶函数，故C正确； 对于D选项，，所以不是偶函数，故D错误. 故选：C. 2．（25-26高一上·吉林·期末）已知定义在R上的函数满足：关于中心对称，是偶函数，且在上是增函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据函数对称性和奇偶性得到的周期为8，化简得到，，，结合函数在上的单调性和奇偶性得到在上递增，从而比较出大小. 【解答过程】因为关于中心对称， 所以对称中心是，故， 因为是偶函数，所以的对称轴是，即， 所以中，将替换为，得到， 故，将替换为，得到， 所以，因此的周期为8. 所以，，， 因为在上递增且是奇函数，所以在上递增， 所以， ∴. 故选：D. 3．（24-25高一上·湖北·期末）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用函数的奇偶性和函数值的分布情况即可判断. 【解答过程】函数的定义域为， 则函数为偶函数，函数图象关于轴对称，排除BD； 又当时，，而，，则，排除C， 选项A符合要求. 故选：A. 4．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则 ． 【答案】 【解题思路】由条件证明函数为周期函数，周期为，再结合周期性性质求. 【解答过程】因为是奇函数，则， 又，所以， 即．所以， 所以函数的周期为． 又，所以． 当时，，则． 故答案为：. 5．（24-25高一上·安徽亳州·期末）已知函数的定义域为，且满足． (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)若，求的值； (3)若时，，解不等式． 【答案】(1)偶函数，证明见解析 (2) (3) 【解题思路】（1）利用“赋值法”，可求，，再令，可得与的关系，判断函数的奇偶性. （2）利用，结合，可求的值. （3）先用定义证明函数在上的单调性，结合函数的奇偶性，把函数不等式转化为代数不等式，再结合函数的定义域可解不等式. 【解答过程】（1）令，，则； 令，，则 令，得，又， 故（）为偶函数. （2）因为， 所以 . （3）任取，，则，则，则， 故（）在上为减函数 由（1）知（）为偶函数，且 所以，等价于，故， 解得， 又的定义域为，故，所以 原不等式的解集为. 题型13 幂函数（共5小题） 1．（24-25高一上·安徽宣城·期末）幂函数在上递减，则实数（   ） A． B． C．2 D．2或 【答案】C 【解题思路】根据条件，利用幂函数的定义及性质，即可求解. 【解答过程】因为为幂函数，则， 即，解得或， 当时，在上递减，所以满足题意， 当时，在上递增，所以不满足题意， 综上，实数， 故选：C. 2．（24-25高一上·辽宁·期末）如图，①②③④对应四个幂函数的图象，则①对应的幂函数可以是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据①对应的函数图象特点分析. 【解答过程】由图可知，①对应的幂函数：函数的定义域为，在第一象限内单调递增， 且图象呈现上凸趋势，则指数的值满足，排除选项AD； 又的定义域为R，的定义域为， 故符合题意. 故选：C. 3．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）幂函数过点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设，代入点解出，再由单调性和偶函数的性质解不等式即可. 【解答过程】设， 由题意可得，解得， 所以在上单调递增，且，为偶函数， 所以， 解得，所以不等式的解集为. 故选：C. 4．（24-25高一上·安徽合肥·期末）若幂函数，且在上是增函数，则实数 ． 【答案】2 【解题思路】根据幂函数的定义求出m的值，判断在上是增函数即可． 【解答过程】若幂函数在区间上是增函数， 则由解得：或， 时，，是增函数， 时，，在上是减函数（不合题意，舍去）， 故答案为：2． 5．（24-25高一上·河北秦皇岛·期末）已知幂函数为偶函数. (1)求的值； (2)若函数在区间上单调，求实数的取值范围. 【答案】(1)2； (2) 【解题思路】（1）根据幂函数的定义可得或，再根据奇偶性可得； （2）利用二次函数单调性列不等式，可得解. 【解答过程】（1）由幂函数的定义，有，解得或， ①当时，，函数为奇函数，不合题意； ②当时，，函数为偶函数，满足题意； 由上知，实数的值为2. （2）由（1）知，，有， 又由函数的对称轴方程为. 若函数在区间上单调，有或. 可得或. 故实数的取值范围为. 题型14 指数与对数运算（共5小题） 1．（24-25高一上·北京西城·期末）已知，，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，利用指数运算法则求得答案. 【解答过程】由，得，而，则， 所以. 故选：D. 2．（24-25高一上·重庆黔江·期末）计算（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用对数的定义及对数的运算性质，求解即可. 【解答过程】因为， 故选：B. 3．（24-25高一上·江苏苏州·期末）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究发现地震释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2024年11月20日俄罗斯东南部发生的地震的32000倍，则俄罗斯东南部地震震级大约是（参考数据：）（   ） A．5级 B．6级 C．7级 D．8级 【答案】B 【解题思路】先根据所给关系式分别表示出日本东北部海域地震和俄罗斯东南部地震释放的能量，再结合两者能量的倍数关系列出等式，最后通过对数运算求出俄罗斯东南部地震的震级. 【解答过程】设日本东北部海域发生的里氏9级地震释放的能量为， 俄罗斯东南部发生的地震震级为，释放的能量为. 对于日本东北部海域的9级地震有； 对于俄罗斯东南部的地震有. 因为日本东北部海域地震释放的能量是俄罗斯东南部地震的32000倍，即. 两边同时取对数可得，根据对数运算法则，. 又因为， 已知，所以. 将，，代入可得： ， 解得. 俄罗斯东南部地震震级大约是级. 故选：B. 4．（24-25高一上·山东潍坊·期末） . 【答案】 【解题思路】根据给定条件，利用指数、对数运算胶对数换底公式计算得解. 【解答过程】. 故答案为：. 5．（24-25高一上·浙江杭州·期末）求值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用分数指数幂的运算性质计算即得； （2）利用对数的运算性质和换底公式计算即得. 【解答过程】（1）； （2） . 题型15 指数（对数）函数的图象问题（共5小题） 1．（24-25高一上·福建泉州·期末）函数且的图象如图所示，则必有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据对数函数的知识以及图象来确定正确答案. 【解答过程】由图象可知，在定义域上单调递增，而是增函数， 根据复合函数单调性同增异减可知，， ，所以，， 由图可知当时，， 所以A选项正确. 故选：A. 2．（24-25高一上·云南昆明·期末）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】求出函数的定义域，分析函数的奇偶性，结合排除法可得出合适的选项. 【解答过程】对于函数，有，解得， 所以，函数的定义域为，排除BC选项， 又因为，故函数为偶函数，排除A选项， 故选：D. 3．（24-25高一上·山西·期末）函数的部分图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【解题思路】利用函数奇偶性、函数值的正负，并结合排除法即可. 【解答过程】函数的定义域为， 因为， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故排除BD. 又当时，，故排除A. 故选：C. 4．（24-25高一上·浙江金华·期末）如图，平行于y轴的直线分别与函数及的图象交于点B，C，点为函数图象上一点.若是以AC为斜边的等腰直角三角形，则 .    【答案】 【解题思路】根据已知得，且A在函数图象上，而B在函数图象上，将点坐标代入列方程求参数值. 【解答过程】由轴，易得，又是以AC为斜边的等腰直角三角形， 所以，，得， 显然A在函数图象上，而B在函数图象上， 则，得，解得 故答案为：. 5．（24-25高一上·宁夏吴忠·期末）已知函数 (1)在如图所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象； (2)写出函数的单调增区间及零点． 【答案】(1)作图见解析 (2)单调增区间是；零点是，1． 【解题思路】（1）根据二次函数以及对数函数的图象性质，结合分段函数的性质即可求解, （2）结合函数图象即可求解. 【解答过程】（1）该函数的图象如图： （2）由函数的图象可知：单调增区间是； 函数的零点是． 题型16 指数（对数）型函数的值域问题（共5小题） 1．（24-25高一上·广东·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用换元法令，把函数变形为，结合基本不等式求解即可； 【解答过程】令，则，则原函数可化为， 因为，所以，当且仅当即时取等号， 所以当时，；当时，， 所以函数的值域为； 故选：C. 2．（24-25高一上·浙江绍兴·期末）已知函数，则（    ） A．在上单调递增且值域为 B．在上单调递减且值域为 C．在上单调递增且值域为 D．在上单调递减且值域为 【答案】B 【解题思路】利用指数函数，二次函数，复合函数的性质求解单调性和值域即可. 【解答过程】令， 则视为由和构成的复合函数， 由二次函数性质得在上单调递减，在上单调递增， 由指数函数性质得在上单调递增， 由复合函数性质得在上单调递减， 而，故，故B正确. 故选：B. 3．（24-25高一上·江苏·期末）若函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据分段函数的单调性，分和时，结合对数函数的性质讨论即可. 【解答过程】因为函数的值域为， 可知在内单调递减，则，解得， 可得当时，，即在内值域为，符合题意； 且在内不单调递减， 若在内单调递增，则，解得， 此时，符合题意； 若在内为常函数，则，解得， 此时，符合题意； 综上所述：实数的取值范围是． 故选：A． 4．（24-25高一上·重庆沙坪坝·期末）已知函数，，则的值域为 . 【答案】 【解题思路】由题意，利用换元法（令）可将原函数变形为关于的二次函数，结合二次函数的图象与性质即可求解. 【解答过程】令，则， 原函数可变形为， 其图象为开口向上的抛物线，对称轴为， 所以该二次函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数取到最小值，为； 当时，得， 所以在的值域为. 故答案为：. 5．（24-25高一上·四川内江·期末）已知函数的图象经过点，其中． (1)求实数a，b的值； (2)求函数的定义域和值域． 【答案】(1)， (2)定义域：；值域： 【解题思路】（1）把点代入函数的解析式，列方程组求解可得a，b的值. （2）根据对数的意义求函数的定义域，结合对数函数的性质结合二次函数在给定区间上的值域可求函数的值域. 【解答过程】（1）由题意： ， 又，所以. （2）因为， 由 ，所以函数的定义域为：. 因为 ，. 当时，，当时，取得最大值. 所以， 所以函数的值域为. 题型17 指数（对数）型函数的单调性问题（共5小题） 1．（24-25高一上·广东揭阳·期末）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先求出函数的定义域，再根据复合函数“同增异减”可得到结果. 【解答过程】因为函数，则， 解得或，所以函数的定义域为， 令，则函数在定义域上为单调递减函数， 而在上单调递减，在单调递增， 根据复合函数“同增异减”原则可得的单调递减区间为. 故选：A. 2．（24-25高一上·广东东莞·期末）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．单调递增且是偶函数 B．单调递增且是奇函数 C．单调递减且是偶函数 D．单调递减且是奇函数 【答案】B 【解题思路】根据奇函数定义结合指数运算判断奇偶性，应用指数函数及复合函数的单调性判断单调性即可判断. 【解答过程】由，其定义域为R，关于原点对称， ，所以是奇函数. 又， 因为指数函数在R上单调递增，且，那么在R上单调递增，且， 所以在R上单调递减，则在R上单调递增， 那么在R上单调递增. 故单调递增且是奇函数. 故选： 3．（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）关于函数的单调性的说法正确的是（    ） A．在上是增函数 B．在上是减函数 C．在区间上是减函数 D．在区间上是增函数 【答案】D 【解题思路】利用复合函数的单调性可得出结论. 【解答过程】对于函数，有，可得，即函数的定义域为， 因为内层函数在上为增函数，外层函数在上为增函数， 由复合函数的单调性可知，函数在区间上是增函数. 故选：D. 4．（24-25高一上·广东深圳·期末）函数的单调递增区间为 ． 【答案】（说明写成也给分） 【解题思路】应用复合函数单调性结合指数函数单调性求解. 【解答过程】因为单调递减，单调递减，单调递增， 所以函数的单调递增区间是. 故答案为：. 5．（24-25高一上·河南郑州·期末）已知，函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)当时，判断函数的单调性，并用定义给出证明. 【答案】(1) (2)为上的减函数，证明见解析. 【解题思路】（1）根据定义域的对称性可求； （2）根据单调性的定义可证明为上的减函数. 【解答过程】（1） 函数的定义域即为的解集，而奇函数的定义域关于原点对称， 故的根为，故. 当时，，定义域为， 定义域关于原点对称，而， 故为奇函数，故. （2）函数为上的减函数， 设，则， ， 因为，故， 故，故， 故即即函数为上的减函数. 题型18 指对幂数比较大小（共5小题） 1．（24-25高一上·云南昆明·期末）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据指对数的运算及其性质判断大小关系. 【解答过程】由，即. 故选：D. 2．（24-25高一上·云南曲靖·期末）下列大小关系，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】应用幂函数，指数函数及对数函数单调性判断各个选项即可. 【解答过程】因为是增函数，，所以，A错误； 因为是增函数，，所以，B错误； 因为，C选项正确； 因为，D选项错误； 故选：C. 3．（24-25高一上·河南商丘·期末）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由对数函数，指数函数单调性和中间值比较大小. 【解答过程】由于在R上单调递减，， 由于，故， 由于在上单调递增，故， 故. 故选：D. 4．（24-25高一上·广东揭阳·期末）若，，，则，，的大小关系为 （用“>”连接）． 【答案】 【解题思路】根据指对数的单调性即可求解. 【解答过程】,,又， 故，故， 故答案为：. 5．（24-25高一上·广东广州·期末）已知，则的大小顺序为 . 【答案】 【解题思路】根据指数函数以及对数函数的单调性，分别判断出三个数的范围，在由指数化成根式比较的大小，可得答案. 【解答过程】因为， 又， 而，则，则， 所以，. 故答案为：. 题型19 函数的零点（方程根）问题（共5小题） 1．（24-25高一上·重庆长寿·期末）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将函数的零点问题转化成两个函数图象的交点问题，三个函数的零点均可看成对应函数与图象交点的横坐标，根据函数图象可以得到的大小关系. 【解答过程】 的零点可以看成函数与图象交点的横坐标，根据函数图象可知， 同理的零点可以看成函数与图象交点的横坐标，根据函数图象可知， 的零点可以看成函数与图象交点的横坐标，可得， 因此， 故选：D. 2．（24-25高一上·江苏盐城·期末）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据函数的单调性和零点存在定理即可判断. 【解答过程】因为函数为上的增函数，又， 所以，故函数仅有一个零点，其所在的区间是. 故选：A. 3．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知函数，若函数恰有个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】作函数的图象，令，条件可转化为有两个根，，，结合二次函数性质列不等式就可得结论. 【解答过程】当时，；当时，． 作函数的图象可得， 令，则． 当时，方程没有解， 当时，方程有一个解， 当时，方程有两个解， 当时，方程有三个解， 因为恰有个零点， 所以有两个根（不妨设）． 所以， 由韦达定理可得． 要使有个零点，则需满足． 设，则． 解得， 所以实数的取值范围是． 故选：C. 4．（24-25高一下·广西柳州·期末）已知函数，若函数有5个不同的零点，则实数m的取值范围为 . 【答案】或 【解题思路】首先由方程，求得或，再画出函数的图象，再利用数形结合求实数的取值范围，即可求解. 【解答过程】令 ， 所以或，如图，画出函数的大致图象，    时，与的图象有3个交点， 所以与的图象只能有2个交点，则或， 所以或. 故答案为：或. 5．（24-25高一上·云南保山·期末）已知函数． (1)在图中画出函数的图象； (2)设，若函数有两个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1)作图见解析； (2)或. 【解题思路】（1）借助指数函数图象，利用变换法作出函数图象. （2）由零点的意义，结合（1）的图象，求出直线与的图象有两个交点的范围. 【解答过程】（1）作出函数的图象，并沿轴负方向平移2个单位得的图象， 再将所得的图象在轴下方部分沿轴翻折到轴上方与在轴上方的图象 合在一起得的图象，如图中实线： （2）由，得，由函数有两个零点， 得直线与的图象有两个交点， 由（1）知，，解得或， 所以实数的取值范围是或. 题型20 二分法（共5小题） 1．（24-25高一上·安徽宣城·期末）已知函数，利用二分法求的零点的近似值，若零点的初值区间为，精确度为，则可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据条件，计算出，再由零点存在定理和二分法求近似值的方法，即可求解. 【解答过程】因为，则，， 又，， 由零点存在定理知零点属于区间，且，满足精确度，所以可以是， 故选：C. 2．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）某同学用二分法求函数的零点时，用计算器算得部分函数值如下表所示： 则该函数零点的近似值（精确度为0.1）可以是（    ） A．1.2 B．1.21 C．1.27 D．1.32 【答案】C 【解题思路】观察数据，由零点存在性定理得到区间内存在零点，得到答案. 【解答过程】，， 由零点存在性定理得，区间内存在零点， 由于，， 故该函数零点的近似值（精确度为0.1）可以是1.27，其他选项不正确. 故选：C. 3．（24-25高一上·湖南岳阳·期末）下列函数中，不能用二分法求其零点近似值的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用二分法的概念，在零点两侧函数值异号进行逐一判定. 【解答过程】对于A，函数在上单调递增，有唯一零点， 所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点； 对于B，函数， 故函数有唯一零点，且函数值在零点两侧同号，故不能用二分法求零点； 对于C，当时，， 当且仅当时，等号成立，无零点； 当时，，当且仅当时，等号成立， 函数在上单调递减，在上单调递增， 此时有两个零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点； 对于D，函数在上单调递增，有唯一零点， 所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点. 故选：B. 4．（24-25高一上·江西吉安·期末）已知函数，用二分法求的零点近似值，零点所在大致区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据二分法的定义和计算方法求解即可. 【解答过程】由函数的解析式可得函数的定义域为，且函数单调递增， 因为， ， ，， 结合函数零点存在定理可知函数的零点位于的区间为， 故选：B. 5．（24-25高一上·广东惠州·期末）已知函数在区间上有一个零点，如果用二分法求的近似值（精确度为），则应将区间至少等分的次数为 . 【答案】 【解题思路】利用二分法的定义可得出，求出正整数的最小值，即可得解. 【解答过程】由于每等分一次，零点所在区间的长度变为原来的， 则等分次后的区间长度变为原来的， 由题意可得，可得，且， 所以，正整数的最小值为，即至少等分的次数为. 故答案为：. 题型21 函数模型的应用（共5小题） 1．（24-25高一上·江苏苏州·期末）按照《中小学校教室换气卫生要求》，教室内空气中二氧化碳浓度不高于，经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内的二氧化碳浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数（）描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间（单位：分钟）的最小整数值为（    ）（参考数据：） A．1 B．3 C．5 D．10 【答案】B 【解题思路】由，，可得，再由，求解即可. 【解答过程】当时，，解得， 所以. 令，即， 即， 所以，故所需时间(单位：分钟)的最小整数值为. 故选：B. 2．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）荷花定律是一个非常著名的定律.据研究者收集的信息，池塘里荷花开放的程度，有如下规律，第一天开放的只是一小部分，第二天，它们会以前一天的两倍速度开放.到第29天时荷花恰好开满了一半，到第30天才会开满整个池塘.下列函数能较好反映池塘里荷花开放的程度y与时间x（1-30天）之间的变化规律的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由指数函数的运算可得. 【解答过程】由题意“到第29天时荷花恰好开满了一半， 到第30天才会开满整个池塘”可得当时的值是时的值的二倍， 所以只有指数函数符合. 故选：B. 3．（24-25高一上·云南德宏·期末）北京时间2024年10月30日4时27分，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，约10分钟后，神舟十九号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，发射取得圆满成功.据测算，在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度（单位：）和燃料的质量（单位：），火箭（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是.据悉，此次发射火箭全长，起飞质量（火箭起飞质量燃料质量火箭质量），若火箭的最大速度达到，则燃料质量约为（    ） （参考数据：） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意得，即，再分析求解即可. 【解答过程】由题意知，所以， 即，计算得，即， 解得，所以燃料质量约为. 故选：C． 4．（24-25高一上·四川成都·期末）声压级（单位：）与声压（单位：）的关系为，其中为人在空气中能听到的最低声压．已知飞机发动机声音的声压级比人正常说话声音的声压级大，则 ． 【答案】 【解题思路】利用对数的运算性质结合关系求即可. 【解答过程】由题设， 所以， 所以. 故答案为：. 5．（24-25高一上·江苏宿迁·期末）为了节能减排，某企业决定安装一个可使用年的太阳能供电设备，并接入本企业的电网.安装这种供电设备的费用（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：平方米）成正比，比例系数为.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式.设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积（单位：平方米）之间的函数关系是（为常数）.已知太阳能电池板面积为平方米时，每年消耗的电费为万元，记（单位：万元）为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业年所消耗的电费之和. (1)求常数的值； (2)写出的解析式； (3)当为多少平方米时，取得最小值?最小值是多少万元? 【答案】(1) (2) (3)当为平方米时，取得最小值，最小值是万元 【解题思路】（1）由可得出关于的等式，即可解得的值； （2）分、两种情况讨论，根据可得出函数的解析式； （3）求出函数在、时的最小值，比较大小后可得出结论. 【解答过程】（1）依题意得，，所以，解得，故的值为. （2）依题意可知，又由（1）得，， 当时， ， 当时，， 所以. （3）当时，， 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以； 当时， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以； 又，故. 答：当为平方米时，取得最小值，最小值是万元. 题型22 任意角与弧度制（共5小题） 1．（24-25高一上·广东清远·期末）已知角，则角的终边在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解题思路】根据终边相同的角的性质即可求. 【解答过程】，故与的角终边相同，其中在第三象限，故角的终边在第三象限． 故选:C． 2．（24-25高一上·河北张家口·期末）把化成弧度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据角度与弧度换算关系即可得答案. 【解答过程】由角度与弧度换算公式有. 故选：B. 3．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）伊丽莎白塔俗称“大本钟”，是英国伦敦的标志性建筑．该钟的时针长约为2.8m，则经过，时针的针尖走过的路程约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由弧长公式即可求解； 【解答过程】因为时针每转一周， 故经过，时针的针尖转过的弧度数为， 走过的路程约为． 故选：C. 4．（24-25高一上·上海·期末）已知扇形的弧所对的圆心角为，且半径为10cm，则该扇形的面积为 ． 【答案】 【解题思路】先求得弧长，利用扇形面公式积可求解. 【解答过程】因为扇形的弧所对的圆心角为，半径r=10cm， 则扇形的弧长， 扇形的面积为． 故答案为：. 5．（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知一扇形的圆心角为（为正角），周长为，面积为，所在圆的半径为． (1)若，，求扇形的弧长； (2)若，求的最大值及此时扇形的半径和圆心角． 【答案】(1) (2)的最大值为，此时扇形的半径是，圆心角． 【解题思路】（1）根据弧度与角度的关系，用弧度表示圆心角，结合弧长公式求弧长； （2）由条件确定弧长与半径的关系，再由扇形面积公式用表示，并求其最小值即可. 【解答过程】（1）， 扇形的弧长； （2）设扇形的弧长为，半径为， 则，， 则， 当时，，此时，， 的最大值是，此时扇形的半径是，圆心角． 题型23 三角函数的定义（共5小题） 1．（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）已知角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用三角函数的定义可求得的值. 【解答过程】因为角的终边经过点，所以. 故选：B. 2．（24-25高一上·广东广州·期末）已知角的终边上有一点的坐标是，其中，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用三角函数的定义求得即可判断. 【解答过程】由题意得， 由三角函数的定义可得，. 若，则，，； 若，则，，； 故选：D. 3．（24-25高一上·山东滨州·期末）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用三角函数的定义可求代数式的值. 【解答过程】因为终边过点，故，所以， 故选：B. 4．（24-25高一上·山东济南·期末）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，点是终边上一点，则的值为 ． 【答案】 【解题思路】应用任意角的三角函数定义计算即可. 【解答过程】因为点是终边上一点，则. 故答案为：. 5．（24-25高一上·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中，已知角的终边经过点，且，则等于 ． 【答案】 【解题思路】利用三角函数的定义可得出关于实数的等式，解之即可. 【解答过程】在平面直角坐标系中，角的终边经过点，且， 由三角函数的定义可得，则， 整理可得，解得或（舍）. 故答案为：. 题型24 同角三角函数的基本关系（共5小题） 1．（24-25高一上·广东汕头·期末）已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】将已知条件两边平方，求得的值以及判断和的符号，将由，求得的值，再等价变形，代入即可得解. 【解答过程】由 两边平方得 ， 即，而，故. 所以，而 解得， 所以， 故选：A. 2．（24-25高一上·江苏泰州·期末）已知，角的终边不在轴上，则（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题目条件结合同角三角函数关系即可得到答案. 【解答过程】因为，且角的终边不在轴上， 联立解得，则. 故选：B. 3．（24-25高一上·山东淄博·期末）已知，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用与之间的关系式，再由平方关系计算可得A错误，B错误，联立方程组并由商数关系可得C错误，代入计算可得D正确. 【解答过程】由可得，即； 所以，即，即A错误； 又，所以，因此 所以，即B错误； 联立，可得， 所以，即C错误； 代入计算可得，即D正确. 故选：D. 4．（24-25高一上·云南德宏·期末）若，则 . 【答案】 【解题思路】根据题意结合齐次式问题分析求解即可. 【解答过程】因为， 所以. 故答案为：. 5．（24-25高一上·内蒙古包头·期末）已知. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）将条件平方后求得，又由得，从而得解； （2）由与可求得与，利用商数关系求得，从而得解. 【解答过程】（1）将两边平方得：， ， 又， ， ， . （2）由（1）可知， 又， ， ， . 题型25 诱导公式（共5小题） 1．（24-25高一上·云南昭通·期末），那么（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】用诱导公式（一）和诱导公式（六）即可化简求解. 【解答过程】因为，所以， 故选：D． 2．（24-25高一上·湖南岳阳·期末）的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用诱导公式化简，再代入特殊角的三角函数值即得. 【解答过程】. 故选：C. 3．（24-25高一上·河北秦皇岛·期末）已知角的终边上有一点，则（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【解题思路】由三角函数定义及诱导公式可得答案. 【解答过程】由三角函数的定义，有. 由诱导公式，. 故选：B. 4．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）化简： . 【答案】 【解题思路】应用诱导公式计算化简. 【解答过程】 . 故答案为：. 5．（24-25高一上·云南昭通·期末）平面直角坐标系中，若角的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点. (1)求和的值； (2)若，化简并求值. 【答案】(1)， (2)， 【解题思路】（1）根据任意角三角函数值的定义分析求解即可； （2）利用诱导公式化简，并结合齐次式问题分析求解. 【解答过程】（1）因为角的终边经过点，则， 由三角函数的定义得，，. （2）由题意可知： ， 由（1）可知：， 所以. 题型26 三角函数的图象与性质（共5小题） 1．（24-25高一上·贵州黔西·期末）在下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据三角函数的性质及函数图象的变换一一判断即可. 【解答过程】对A：对A：的图象是由的图象将轴下方的图象关于轴对称上去， 轴及轴上方部分不变所得，其函数图象如下所示：    则的最小正周期为，且在上单调递减，故A正确； 对B：的最小正周期为，故B错误； 对C：的最小正周期为，但是在上单调递增，故C错误； 对D：的最小正周期为，故D错误. 故选：A. 2．（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知函数，则的增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用整体代换法求正弦型函数的增区间. 【解答过程】令， 解得， 所以函数的增区间是. 故选：C. 3．（24-25高一上·河北秦皇岛·期末）已知直线是函数（其中）的图象的一条对称轴，且函数在区间上单调，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解题思路】由是函数的一条对称轴，可得，再根据在区间上单调，则，可得，运算可求得的值. 【解答过程】由直线是函数的图象的一条对称轴，有，可得， 又由函数在区间上单调，则，可得， 有，有，可得，. 故选：A. 4．（24-25高一上·宁夏银川·期末）已知函数图象的两条对称轴间距离的最小值为，且为的一个零点，则不等式的解集为 ． 【答案】 【解题思路】由图像的两条对称轴距离的最小值得周期，根据周期公式求得，再由的零点求得，进而得到的解析式，结合正弦函数的图像即可得求得不等式的解集. 【解答过程】因为函数图象的两条对称轴间距离的最小值为， 所以,. 所以. 因为为的一个零点，所以， 即，所以 因为，所以，所以 由，得 所以 所以 不等式的解集为. 故答案为：. 5．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知函数，且，，． (1)求的值； (2)求在区间上的单调递减区间； (3)若关于的方程在区间上有且仅有4个不同的实数解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）由已知条件确定对称中心与对称轴，再结合正弦函数的对称性求得； （2）由正弦函数的单调性求解； （3）先解方程得出，或，然后由函数的图象与直线和的交点个数得出参数范围． 【解答过程】（1）因为，所以的图象关于直线对称． 又，所以的图象关于点对称， 则有，即， 又因为，所以． （2）因为，即在处取得最大值2，所以， 则，即，又，所以， 所以．令，可得， 由，可得，则， 所以在区间上的单调递减区间为． （3）方程可化为， 则，或． 由（2）可知，在区间上的图象如图所示， 因为方程在区间上有且仅有4个不同的实数解， 所以或 解得或． 所以实数的取值范围是． 题型27 三角函数的图象变换（共5小题） 1．（24-25高一上·江苏宿迁·期末）为了得到函数的图象，只需把函数图象上所有的点（    ） A．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向右平移个单位长度 B．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位长度 C．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位长度 D．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将所得的图象向右平移个单位长度 【答案】B 【解题思路】根据三角函数图象变换规律结合题意分析判断即可. 【解答过程】把函数图象上所有的点横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得， 再将图象向左平移个单位长度，得. 故选：B. 2．（24-25高一上·陕西西安·期末）将函数图象上的所有点向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度后，所得函数图象的解析式可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据三角函数图象变换的知识来确定正确答案. 【解答过程】将函数图象上的所有点向右平移个单位长度， 得到函数图象解析式：， 再向下平移1个单位长度后， 得到函数图象解析式：. 故选：D. 3．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．的图象关于直线对称 B．将的图象向右平移个单位长度得到的图象关于原点对称 C．方程在区间有5个不等实根 D．在上单调递增 【答案】C 【解题思路】根据函数图象对称轴间的距离得出周期，再代入点得出，代入验证对称轴判断A，根据平移后的解析式得出函数不关于原点对称判断B，解方程求出根判断C，应用周期得出单调区间长度为周期一半判断D. 【解答过程】由题意相邻对称轴间的距离为，可得， 因此，当时，，故． 由可得，由函数最大值为2可得，因此． A选项，，非最值，故不是的对称轴，A错误． B选项，图象向右平移个单位长度后的解析式为，不关于原点对称，B错误． C选项，令，可得或，解得或， 在上，实根为，共5个，C正确． D选项，的单调区间长度为，不可能在长为的区间上单调递增，D错误． 故选：C． 4．（24-25高一上·广东深圳·期末）将函数的图象向右平移个单位后，再将所得图象各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若在区间内没有零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【解题思路】根据三角函数图象的平移伸缩变换可得，进而，结合正弦函数的图象与性质建立关于的不等式组，解之即可求解. 【解答过程】由题意知，， 由，得， 若在区间内没有零点， 则，解得， 由，当时，，当时，，当时，不符合， 所以的取值范围为. 故答案为：. 5．（24-25高一上·甘肃平凉·期末）已知函数的部分图像如图所示． (1)求函数的解析式及对称中心； (2)求函数在上的值域； (3)先将的图像纵坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位后得到的图像，求函数的单调减区间． 【答案】(1)，， (2) (3)， 【解题思路】（1）根据题意，结合函数的图像分别求得，再由正弦型函数的对称中心公式代入计算，即可得到结果； （2）由正弦型函数的值域，代入计算，即可得到结果； （3）先由三角函数的图像变换得到的解析式，再由正弦型函数的单调区间代入计算，即可得到结果. 【解答过程】（1）根据函数的部分图像， 可得，，所以， 再根据五点法作图，可得，， 又因为，可得，所以， 令，，解得，， 故函数对称中心为，． （2）因为，可得， 当时，即，； 当时，即，， 所以函数的值域为． （3）先将的图像纵坐标缩短到原来的，可得的图像， 再向左平移个单位，得到的图像， 即． 令，，解得，， 可得的减区间为，． 题型28 三角函数的应用（共5小题） 1．（24-25高一上·江苏连云港·期末）为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针针尖位置为.若初始位置为当秒针从（注此时）开始走时，点的纵坐标与时间的函数关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设，分别求出、、的值，即可得出函数解析式. 【解答过程】根据题意，设， 由题意可知，为第一象限角，且， 又因为，则，， 函数的最小正周期为， 所以， 所以点的纵坐标与时间的函数关系为. 故选：C. 2．（24-25高一上·广东广州·期末）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米由关系式确定，其中，，.小球从最低点出发，经过2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的是（    ） A． B．秒与秒时小球偏离于平衡位置的距离之比为2 C．当时，若小球有且只有三次到达最高点，则 D．当时，若时刻小球偏离于平衡位置的距离相同，则 【答案】B 【解题思路】根据周期求出，代入得到，从而得到函数解析式，即可判断A，代入求值判断B，根据正弦函数的性质判断C，利用特殊值判断D. 【解答过程】由题可知小球运动的周期，又，所以，解得， 当时，，即，，所以， 则，故A错误； 因为，， 所以秒与秒时小球偏离于平衡位置的距离之比为，故B正确； 若，则，又当时，小球有且只有三次到达最高点， 所以，解得，即，故C错误； 因为，令，， 则，， 满足且时刻小球偏离于平衡位置的距离相同， 此时，故D错误. 故选：B. 3．（24-25高一上·山东枣庄·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今仍在农业生产中发挥作用，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．一半径为2m的筒车水轮如图，水轮圆心O距离水面1m，已知水轮每30s逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上的点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列结论错误的是（ ） A．点P再次进入水中用时20s B．当水轮转动25s时，点P处于最低点 C．当水轮转动28.75s时，点P距离水面 D．点P第三次到达距水面时用时42.5s 【答案】D 【解题思路】由题意，利用角度除以角速度等于时间，再结合特殊角三角函数值逐项判断可得. 【解答过程】由题意，角速度弧度/秒， 又由水轮的半径为2米，且圆心O距离水面1米，可知半径与水面所成角为，点P再次进入水中用时为秒，故A正确； 当水轮转动25秒时，半径转动了弧度，而，点P正好处于最低点，故B正确； 当水轮转动28.75秒时，由于，又，所以距水面高度为米，故C正确； 逆时针转动一周时，两次到达离水面高度为用时30秒， 所以第三次到达距水面高度为时需要转动一周后再逆时针转动弧度，此时用时为秒， 所以点P第三次到达距水面米时用时37.5秒，故D错误． 故选：D． 4．（24-25高一上·陕西榆林·期末）已知某地区某天的温度（单位：）随时间（单位：）的变化近似满足函数关系，且这天的最大温差为，则 ；若温度不低于需要开空调降温，则这天需要降温的时长为 h． 【答案】4；6 【解题思路】根据题意结合正弦函数的图象和性质求解即可. 【解答过程】对于，其最小正周期， 故这天的最大温差即为的最大值与最小值的差， 又，故，解得， 令，即，， 由，得， 所以或，解得， 则一天中需要降温的时长为， 故答案为：4；6. 5．（24-25高一上·浙江杭州·期末）某游乐场的摩天轮示意图如图，已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1~12（可视为点），在旋转过程中，座舱与地面的距离h与时间t的函数关系基本符合正弦函数模型即（其中），现从图示位置，即1号座舱（可视为A点）位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为t分钟．    (1)求旋转分钟后号座舱（点）离地面的距离； (2)求1号座舱（点）与地面的距离与时间的函数关系的解析式（写出定义域）； (3)在前24分钟内，求1号座舱（点）与地面的距离为17米时的值． 【答案】(1)米 (2) (3)或 【解题思路】（1）首先求出旋转的角度，再求出初始高度及旋转上升的高度，即可得解； （2）依题意设，即可得到，，再由周期求出，最后求出即可； （3）令，结合正弦函数的性质计算可得. 【解答过程】（1）因为旋转一周所需时间分钟，所以旋转分钟转过的角度为， 号座舱（点）离地面的初始高度为米， 又摩天轮的半径为30米，所以逆时针旋转时上升的高度为米， 所以旋转分钟后号座舱（点）离地面的距离米； （2）依题意1号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式为（其中）， 依题意可得，，则． 又，， 当时，，又，所以， 所以． （3）令，即，， ，， 或，解得或， 故或时，1号座舱与地面的距离为17米． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $