精品解析：浙江省宁波市奉化实验中学2025-2026学年上学期八年级期中数学试卷

2025-2026学年浙江省宁波市奉化实验中学八年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列学习用具所抽象出的几何图形中，不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 若点在第二象限，则n的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 平面直角坐标系中，点A(3，2)与点B关于y轴对称，则点B的坐标为（　　） A. (3，－2) B. (－3，－2) C. (－3，2) D. (－2，3) 4. 一个三角形的两边长分别是3与5，第三边的长不可能为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 若，则下列结论中正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 对于命题“如果与互余，那么”，能说明这个命题是假命题的反例是（ ） A. ， B. C. D. 7. 根据下列已知条件，能画出唯一的的是（ ） A. ， B. ，， C. ，， D. ，， 8. 如图，在中，，垂直平分交于D，交于E，，则∠B等于（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在为上的一点，，在的右侧作，使得，连接交于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在等腰中，是边上的中点，点分别在边上运动，且保持，连接．在此运动变化的过程中，下列结论：①是等腰直角三角形；②四边形的面积是定值9；③的面积最小值为4.5；④长度的最小值为3．其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. “的一半小于”用不等式表示为__________． 12. 命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是______命题．（填“真”或“假”） 13. 如图，已知，如果要用“”证明，则应添加的条件是___________． 14. 课间操时，小华、小军、小明的位置如图，小华对小明说，如我的位置用表示，小军的位置用表示，则小明的位置可以表示成______． 15. 如图，在Rt中，，，，是的角平分线，点E，F分别是AC，AD上的动点，则的最小值是________ ． 16. 如图，在中，，点D，E，F分别在边上，连接，已知点B和点F关于直线对称．若D为中点，求_________，_________． 三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解不等式： （1），并写出非负整数解； （2）． 18. 在中，，求： （1）边上的中线的长； （2）的面积． 19. 如图，，． 求证：平分． 20. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，线段的两个端点均在格点上． （1）请在图1中找一个格点C，使得是以为腰的等腰三角形； （2）请在图2中找一个格点D，使得是以为底的等腰三角形，这个三角形的面积为 ； （3）在图2中仅用无刻度的直尺画出线段的垂直平分线． 21. 变换：在平面直角坐标系中，先将点向左平移5个单位，再将所得的点作关于轴的对称点．若点经过变换后得到的点与点重合，我们称点为不动点． （1）判断点是否为不动点． （2）已知点为不动点，求的值． 22. 某货运电梯限重标志显示，载重总质量禁止超过．现要用此货运电梯装运一批设备，每套设备由1个甲部件和2个乙部件组成．现已知2个甲部件和1个乙部件总质量为，3个甲部件和4个乙部件质量相同． （1）求1个甲部件和1个乙部件的质量各是多少； （2）每次装运都需要两名工人装卸，设备需要成套装运，现已知两名装卸工人质量分别为和，则货运电梯一次最多可装运多少套设备？ 23. 如图，在中，，点，，分别在，，边上，且，． （1）求证：； （2）当时，求的度数． 24. 如图1，点、是线段同侧两点，且，，连接，交于点． （1）求证：； （2）如图2，与关于直线对称，连接． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②若，，，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年浙江省宁波市奉化实验中学八年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列学习用具所抽象出的几何图形中，不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的判断，解题的关键在于掌握轴对称图形的定义，根据选项一一排除． 【详解】选项A、是轴对称图形，故A不符合题意； 选项B、是轴对称图形，故B不符合题意； 选项C、不是轴对称图形，故C符合题意； 选项D、是轴对称图形，故D不符合题意； 故选C． 2. 若点在第二象限，则n的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点所在象限得出不等式组，然后求解即可． 【详解】解：∵点P(2n−1,1−n)在第二象限， ∴， 解得：， 故选：C． 【点睛】题目主要考查点所在象限的特点及不等式组的应用求解，理解点所在象限的特点是解题关键． 3. 平面直角坐标系中，点A(3，2)与点B关于y轴对称，则点B的坐标为（　　） A. (3，－2) B. (－3，－2) C. (－3，2) D. (－2，3) 【答案】C 【解析】 【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答即可． 【详解】解：点A（3，2）关于y轴对称点的坐标为B（−3，2）． 故选：C． 【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 4. 一个三角形的两边长分别是3与5，第三边的长不可能为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查三角形三边关系的知识点，此题比较简单，注意三角形的三边关系．根据三角形的三边关系求得第三边的取值范围解答即可． 【详解】解：设第三边长． 根据三角形的三边关系，得， ∴， 第三边的长不可能为2． 故选：． 5. 若，则下列结论中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．利用不等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：若， 两边同时乘以得，则不符合题意，不符合题意， 两边同时减去1得，则符合题意， 两边同时加上得，则不符合题意， 故选：． 6. 对于命题“如果与互余，那么”，能说明这个命题是假命题的反例是（ ） A. ， B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子，由此逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A、满足条件，也满足结论，故A选项错误，不符合题意； B、不满足条件，故B选项错误，不符合题意； C、不满足条件，故C选项错误，不符合题意； D、满足条件，不满足结论，故D选择正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，理解能说明它是假命题的反例的含义是解决本题的关键． 7. 根据下列已知条件，能画出唯一的的是（ ） A. ， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【详解】解：A．∵仅给出一个角和一条边，符合条件的三角形有无数个，∴不能画出唯一，不符合要求． B．∵，，，属于的情况，可以画出两个不同的三角形，∴不能画出唯一，不符合要求． C．∵，，，符合全等三角形的判定定理，∴能画出唯一，符合要求． D．∵ ，不满足三角形两边之和大于第三边，∴不能构成三角形，不符合要求． 8. 如图，在中，，垂直平分交于D，交于E，，则∠B等于（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质，等边对等角，先由三角形内角和定理求出的度数，再由线段垂直平分线的性质和等边对等角得到，据此根据三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故选：C． 9. 如图，在为上的一点，，在的右侧作，使得，连接交于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件证明，可得，再根据，可得，然后证明是等边三角形，是等边三角形，进而根据三角形内角和定理即可解决问题． 【详解】解：， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， ， ． ． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到． 10. 如图，在等腰中，是边上的中点，点分别在边上运动，且保持，连接．在此运动变化的过程中，下列结论：①是等腰直角三角形；②四边形的面积是定值9；③的面积最小值为4.5；④长度的最小值为3．其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】①连接，构造全等三角形，证明即可；②通过证明，进行等面积代换即可得出；③由得到当时，长度最小，的面积最小，进而求解即可；④通过①可得是等腰直角三角形，则斜边，求得的最小值即可得到的最小值． 【详解】解：①连接． ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，故本选项正确； ②∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积保持不变，故本选项正确； ③∵是等腰直角三角形 ∴ ∴当长度最小时，的面积最小， ∵当时，长度最小，此时， ∴的面积最小值，故本选项正确； ④∵是等腰直角三角形， ∴当最小时，也最小， 即当时，最小，此时， ∴，故本选项错误； 综上所述正确的有①②③． 故选：A． 【点睛】本题旨在考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的构造与应用，并结合动图和最值问题，熟练掌握等腰三角形的性质和全等三角形，应用数形结合的数学思维是解答关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. “的一半小于”用不等式表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，正确理解题意是解题关键． 【详解】根据题意可得， “的一半小于”用不等式表示为． 故答案为：． 12. 命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是______命题．（填“真”或“假”） 【答案】真 【解析】 【分析】先写出原命题的逆命题，然后判断真假即可． 【详解】解：命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是：“两个锐角互余的三角形是直角三角形”，这是真命题， 故答案为：真． 【点睛】本题主要考查了判断命题真假，写出一个命题的逆命题，三角形内角和定理，正确写出原命题的逆命题是解题的关键． 13. 如图，已知，如果要用“”证明，则应添加的条件是___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．由图形可知为公共边，则可再加一组边相等可求得答案． 【详解】解：∵，， ∴可补充， 在和中， ， ∴， 故答案为：． 14. 课间操时，小华、小军、小明的位置如图，小华对小明说，如我的位置用表示，小军的位置用表示，则小明的位置可以表示成______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标位置的确定，根据表格找出小明的位置是从小华向右一个单位，向上4个单位，写出坐标即可． 【详解】解：如图， 小明是从小华向右1个单位，向上4个单位， ∴小明的坐标是． 故答案为：． 15. 如图，在Rt中，，，，是的角平分线，点E，F分别是AC，AD上的动点，则的最小值是________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，线段和最值问题和勾股定理，利用角平分线构造全等三角形是解题关键． 线段和最值问题一般借助对称或者旋转构造全等，将两条线段放置在直线的两边，当两条线段在同一直线上时，达成最小值．本题中可以在上取点G，使得，通过全等可以证出，故最小为．而的长不固定，其最小值等同于点C到的距离，用面积公式即可求出答案． 【详解】解：如图，在上取点G，使得， ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， 当C、F、G三点共线时，取到最小值， ∵直线外一点与直线上各点的连接的所有线段中，垂线段最短． ∴当时，最小，此时为Rt斜边上的高， 在Rt中，，因此， ， 故答案为：． 16. 如图，在中，，点D，E，F分别在边上，连接，已知点B和点F关于直线对称．若D为中点，求_________，_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】连接，首先根据轴对称的性质和三角形内角和定理得到，然后利用等角对等边得到，进而得到；然后利用勾股定理即可求出的长度． 【详解】如图，连接， ∵点B和点F关于直线对称， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， 设， 则， 由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了轴对称的性质，等边等对角，三角形内角和定理，勾股定理等知识，解题的关键是掌握轴对称的性质． 三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解不等式： （1），并写出非负整数解； （2）． 【答案】（1），不等式的非负整数解为， （2） 【解析】 【分析】本题考查了解不等式的知识点，解题的关键在于熟知解不等式的步骤，其中系数化1，移项变号都是易错点． （1）移项，合并同类项可解，系数化，再根据要求写成非负整数解； （2）去分母，移项，合并同类项，系数化即可解． 【小问1详解】 解：， 移项得， 合并同类项得， 系数化得， 不等式的非负整数解为，； 【小问2详解】 解：， 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化得． 18. 在中，，求： （1）边上的中线的长； （2）的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形、勾股定理的性质和三角形的面积，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （1）先根据“三线合一”得到，然后利用勾股定理计算即可解题； （2）利用三角形的面积公式计算解题． 【小问1详解】 解：∵在中，，是的中线， ∴是的高线， ∵， ∴． 【小问2详解】 由面积计算公式得 ∴． 19. 如图，，． 求证：平分． 【答案】 解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 即平分． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质和等角对等边等知识，证明是解题的关键．由可得，结合，，即可由“”证得，从而可得，由此即可得到平分． 【详解】略 20. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，线段的两个端点均在格点上． （1）请在图1中找一个格点C，使得是以为腰的等腰三角形； （2）请在图2中找一个格点D，使得是以为底的等腰三角形，这个三角形的面积为 ； （3）在图2中仅用无刻度的直尺画出线段的垂直平分线． 【答案】（1） 如图1中，△即为所求； （2） 如图2中，△即为所求，△是等腰直角三角形，，， △的面积． （3） 如图2中，直线即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图应用与设计作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）根据等腰三角形的定义画出图形； （2）构造等腰直角三角形即可，利用等腰直角三角形的性质求出三角形面积； （3）取格点，作直线即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 21. 变换：在平面直角坐标系中，先将点向左平移5个单位，再将所得的点作关于轴的对称点．若点经过变换后得到的点与点重合，我们称点为不动点． （1）判断点是否为不动点． （2）已知点为不动点，求的值． 【答案】（1）不是不动点，是不动点 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是坐标与图形，新定义的理解； （1）根据新定义的含义得到变换后的点的坐标为，结合新定义可得答案，同理可判断是不是不动点； （2）根据新定义的含义得到变换后的点的坐标为，结合新定义建立方程可得答案； 【小问1详解】 解：把向左平移5个单位，可得对应点坐标为，即； ∵关于轴的对称点的坐标为：， ∴与不重合，不是不动点， 把向左平移5个单位，可得对应点坐标为，即； ∵关于轴的对称点的坐标为：， ∴与重合，是不动点， 【小问2详解】 解：点向左平移5个单位，可得对应点坐标为， ∵关于轴的对称点的坐标为：， 而点为不动点， ∴， 解得：． 22. 某货运电梯限重标志显示，载重总质量禁止超过．现要用此货运电梯装运一批设备，每套设备由1个甲部件和2个乙部件组成．现已知2个甲部件和1个乙部件总质量为，3个甲部件和4个乙部件质量相同． （1）求1个甲部件和1个乙部件的质量各是多少； （2）每次装运都需要两名工人装卸，设备需要成套装运，现已知两名装卸工人质量分别为和，则货运电梯一次最多可装运多少套设备？ 【答案】（1）1个甲部件，1个乙部件； （2）货运电梯一次最多装运7套设备． 【解析】 【分析】（1）本题考查二元一次方程解决实际应用问题，根据题意找到等量关系式列方程组求解即可得到答案； （2）本题考查不等式的应用，根据载重总质量禁止超过列不等式求解即可得到答案； 【小问1详解】 解：设1个甲部件质量为，1个乙部件质量为，则 ， 解得， 答：1个甲部件，1个乙部件； 【小问2详解】 解：设电梯一次装运套设备，由题意得， ， 解得， ∵为正整数，所以取最大整数为7， ∴货运电梯一次最多装运7套设备． 23. 如图，在中，，点，，分别在，，边上，且，． （1）求证：； （2）当时，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形的性质可知，即可直接利用“”证明，从而可得到证明； （2）先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得，再利用是的外角，可得，即，从而可求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，，， ∴， ∵是的外角， ∴， 即， 由（1）知， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，外角的定义，利用数形结合的思想是解题的关键． 24. 如图1，点、是线段同侧两点，且，，连接，交于点． （1）求证：； （2）如图2，与关于直线对称，连接． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②若，，，求线段的长． 【答案】（1） 证明：（1）与中， ∴（）， ∴， ∴ （2）①，理由如下： 由对称得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②7 【解析】 【分析】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质和判定，勾股定理，恰当地作辅助线是解题的关键． （1）利用证可得，再根据角边关系证得； （2）①根据全等三角形的性质得到，，进而得到，即可证明出； ②如图2，过作于，连接，证明是等边三角形，得，根据等腰三角形三线合一得，最后利用勾股定理可得和的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②如图2，过作于，连接， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $