专题01 集合、常用逻辑用语、复数（题型专练）（全国通用）2026年高考数学二轮复习讲练测

专题01 集合、常用逻辑用语、复数目录 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 【选填题破译】 题型01 元素与集合的关系 题型02 集合的包含关系求参数 题型03集合的混合运算 题型04 集合中的创新问题 题型05 充分条件、必要条件 题型06 全称量词命题、存在量词命题 题型07 复数 【解答题破译】 题型01集合的新定义 第二部分 综合巩固 整合应用，模拟实战 题型01 元素与集合的关系 【例1-1】设，A是M的子集，且满足条件：当时，，则A中元素个数的最大值为（   ） A．1862 B．1866 C．1868 D．1870 【例1-2】定义，已知，则集合中所有元素乘积为 ． 求集合交、并、补集的2种方法： （1）定义法：若是用列举法表示的数集，可以根据交、并、补集的定义直接观察或用图表示出集合运算的结果． （2）数形结合法：若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示． 【变式1-1】（2026高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，集合，集合，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高三上·江苏常州·期中）已知集合是质数，，则（    ） A． B．{2} C．{3} D． 【变式1-3】（2025·全国·模拟预测）已知集合满足，且当时，，则中元素的个数至多为 . 题型02 集合的包含关系求参数 【例2-1】（2026高三·全国·专题练习）已知集合，若，则实数的取值集合为（　　） A． B． C． D． 【例2-2】（25-26高三上·上海·期中）已知集合，，若，则满足条件的集合个数为（    ） A．408 B．409 C．410 D．411 根据两集合的关系求参数的方法 已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对含参数的集合是否为空集进行分类讨论，做到不漏解. ①若集合中的元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为方程（组）求解，此时注意集合中元素的互异性. ②若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为方程（组）或不等式（组）求解，此时注意检验端点值能否取到 【变式2-1】已知集合，，若, 则a的值是 （   ） A．1 B． C．1或 D．或 【变式2-2】（2025高三上·湖北·专题练习）已知集合 ，.若 则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 【变式2-3】（25-26高三上·湖南邵阳·期中）已知函数（），若非空集合，且，则下列说法中正确的是（   ） A．n的取值与m有关 B．n为定值 C． D． 题型03集合的混合运算 【例3-1】（25-26高三上·河北衡水·月考）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【例3-2】（25-26高三上·上海徐汇·期中）已知集合，，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 集合的运算求参数的方法 （1）与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值的取舍. （2）若集合中的元素能一一列举，则一般先用观察法得到集合中元素之间的关系，再列方程（组）求解. ［注意］ 在求出参数后，注意结果的验证（满足集合中元素的互异性）. 【变式3-1】（25-26高三上·北京·月考）已知集合．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高三上·河北·期中）（多选）已知全集，集合，若，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】设全集，，，若，则实数a的所有取值构成的集合为 ； 题型04 集合中的创新问题 【例4-1】设集合，那么集合中满足条件“”的元素个数为（    ） A．15 B．35 C．40 D．45 【例4-2】不等式的解集为N，不等式的解集为M，则解集M与N的关系是(　　) A． B． C． D． 解决以集合为背景的新定义问题的关键点 （1）准确转化：解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目的要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆. （2）方法选取：对于新定义问题，可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法，并结合集合的相关性质求解. 【变式4-1】（25-26高三上·山东临沂·期中）置换是抽象代数的一种基本变换，对于有序数组，有序数组，定义“间距置换”：，，.已知有序数组，经过一次“间距置换”后得到新的有序数组，且中所有数之和为2026，则（    ） A．1004 B．1007 C．1010 D．1013 【变式4-2】（25-26高三上·上海·期中）已知集合，非空集合，且满足: 对任意，均存在 ，使. 记符合要求的的个数为. 则对于正整数， . 【变式4-3】若集合满足 ，则称为集合的一个分拆，并规定：当且仅当时，与为同一种分拆，则集合的不同分拆种数为（    ） A． B． C． D． 题型05 充分条件、必要条件 【例5-1】（2025·辽宁丹东·模拟预测）已知向量，，则（   ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 【例5-2】（2026高三·全国·专题练习）已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 ． 充分条件、必要条件的应用一般表现在参数问题的求解上 （1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（组）求解. （2）要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易漏解或增解. 【变式5-1】（25-26高三上·河北沧州·期中）已知为虚数单位，则“”是“”为纯虚数的（    ） A．必要不充分条件 B．充要条件 C．充分不必要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式5-2】（25-26高三上·江苏南通·期中）设函数的定义域为R，对于任意的，，且，则“”是“是增函数”的（ ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式5-3】（2026高三·全国·专题练习）已知为两个随机事件，，则“相互独立”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 题型06 全称量词命题、存在量词命题 【例6-1】若“”是假命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例6-2】（2025高三上·湖北黄冈·专题练习）若“，”为假命题，则的取值范围为 . 根据命题的真假求参数的值（范围）的思路 与全称量词命题或存在量词命题真假有关的参数的取值范围问题，本质是恒成立问题或有解问题.解决此类问题时，可以直接求解，也可以利用等价命题将条件合理转化，得到关于参数的方程（组）或不等式（组），再通过解方程（组）或不等式（组）求出参数的值或范围. 【变式6-1】（2025·安徽·模拟预测）若“恒成立”为真命题，则实数的取值范围是 . 【变式6-2】若命题“，使”为真命题，实数的取值范围为 . 【变式6-3】命题，命题若命题､一真一假，则实数的取值范围为 . 题型07 复数 【例7-1】（25-26高三上·江苏南通·期中）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【例7-2】（2026高三·全国·专题练习）已知为虚数单位，且，则的最大值是 ． 复数代数形式运算的策略 【变式7-1】（2025·甘肃武威·模拟预测）（多选）已知复数，，其中，则（   ） A．存在，使得 B．存在，使得 C．存在，使得 D．存在，使得 【变式7-2】（25-26高三上·安徽·期中）（多选）设，均为非零复数，下列命题中正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【变式7-3】（2025·河南·模拟预测）（多选）在复平面内，复数对应的点为，向量绕原点逆时针旋转至处，若旋转角为，则（    ） A．的坐标为 B．当时， C．当时，以为圆心，为半径的圆中劣弧的长为 D．的坐标为 题型01集合的新定义问题 【例1-1】（25-26高三上·山东淄博·期中）已知一元二次不等式对一切实数x都成立，设满足条件的的取值集合为. (1)求集合； (2)对于两非空集合，定义：，若，求. 【例1-2】（25-26高三上·山东·月考）已知有限实数集，定义集合. (1)若集合，求集合； (2)是否存在有限实数集，使得，说明理由； (3)若集合中有个元素，求集合中元素个数的最大值. 【变式1-1】（25-26高一上·湖北武汉·月考）已知实数集，定义. (1)若，求； (2)若均为正数，，求的元素个数的取值范围； (3)若，求集合. 【变式1-2】（25-26高三上·北京通州·期中）设有序数阵，集合，（其中）．若满足：① ；②，则称 为集合的覆盖数阵． (1)若为的覆盖数阵，求的值； (2)当时，写出所有的的取值，使得为的覆盖数阵． (3)设有序数阵的个数为，若为的覆盖数阵，求证：． 【变式1-3】对于实数集中的两个非空有限子集和，定义和集．记符号表示集合中的元素个数．当时，设是集合中按从小到大排列的所有元素，记集合. (1)已知集合，若，求集合，并求出的值 (2)已知，记集合或． （i）当时，证明的充要条件是； （ii）若，求的所有可能取值． 一、单选题 1．（25-26高三上·江苏盐城·月考）已知命题，，则（    ） A．，，且是真命题 B．，，且是真命题 C．，，且是假命题 D．，，且是假命题 2．（25-26高三上·广西南宁·月考）若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为，值域为的“同族函数”包含的函数个数为（    ） A．3 B．6 C．9 D．27 3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）函数在上单调递增的必要不充分条件为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·河北·期中）已知，均为整数，且，，则集合的真子集的个数为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·上海·期中）有下面三个命题： 命题1：若是周期函数，则是周期函数； 命题2：已知定义在上的函数，若对任意的，均有，则函数为偶函数； 命题3：已知定义在上的偶函数在上严格增，则存在函数在上严格减. 则真命题有（   ）个. A．0 B．1 C．2 D．3 二、多选题 6．（25-26高三上·河南·期中）设为任意的两个非空数集，定义集合且为的笛卡尔积，记为的任何子集都称为到的关系，特别地，当时，称为上的关系．在平面上用实心圆点分别标出中元素的点（称为结点），如果，那么用实心圆点标出中元素的点即可．若，则自结点至结点作一条有向边，箭头指向，若，则结点到没有有向边连接，采用这种方法连接起来的图称为的关系图．若均为到的关系，则定义存在满足，且．设集合，现给出如下5个上的关系，的关系图，其中，则（    ）      A． B．共有512个子集 C． D． 三、填空题 7．对于，命题“”为真命题的充要条件是 . 8．定义，已知，则集合中所有元素乘积为 ． 9．（2026高三·全国·专题练习）1＝12 1＋3＝22 1＋3＋5＝32 1＋3＋5＋7＝42 1＋3＋5＋7＋9＝52 …… 根据以上事实写出含有量词的全称量词命题为 10．已知为个互不相等的正整数，满足，，若集合有个元素，则的最大值为 .. 四、解答题 11．（25-26高一上·北京·月考）已知集合为非空数集，定义：（实数可以相同）. (1)若集合，直接写出集合； (2)若集合，且，求证：； (3)若集合，记为集合中的元素个数，求的最大值. 12．已知区间和区间，我们把含有的代数式记作“”.现有如下定义： 定义1：若，使得，则称“”是“任意存在型”代数式； 定义2：若，使得，则称“”是“存在任意型”代数式. (1)写出命题“，使得”的否定形式，并判断命题的真假；（直接写出结果即可，不用说明理由） (2)若，使得，求实数的最小值； (3)已知区间，代数式，请判断“”是“任意存在型”代数式？还是“存在任意型”代数式，并说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合、常用逻辑用语、复数目录 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 【选填题破译】 题型01 元素与集合的关系 题型02 集合的包含关系求参数 题型03集合的混合运算 题型04 集合中的创新问题 题型05 充分条件、必要条件 题型06 全称量词命题、存在量词命题 题型07 复数 【解答题破译】 题型01集合的新定义 第二部分 综合巩固 整合应用，模拟实战 题型01 元素与集合的关系 【例1-1】设，A是M的子集，且满足条件：当时，，则A中元素个数的最大值为（   ） A．1862 B．1866 C．1868 D．1870 【答案】D 【分析】易知与只能有一个是集合的元素，根据、可得集合中的元素最多时有个. 【详解】由题意知，， 由，知当集合中的元素最多时， ，共个； 又，所以当集合中的元素最多时， ，共8个， 综上，集合中的元素最多为个. 故选：D 【例1-2】定义，已知，则集合中所有元素乘积为 ． 【答案】 【分析】根据定义得到，所以所有元素乘积为. 【详解】因为，所以， 又，所以， 所以集合中所有元素乘积为， 故答案为： 求集合交、并、补集的2种方法： （1）定义法：若是用列举法表示的数集，可以根据交、并、补集的定义直接观察或用图表示出集合运算的结果． （2）数形结合法：若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示． 【变式1-1】（2026高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，集合，集合，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出集合中方程组的解集，然后根据集合之间的关系进行判断即可. 【详解】因为集合，集合， 因为是元素与集合之间的关系，而均为点集，所以A错误； 因为集合包含，所以B正确，C,D错误. 故选：B. 【变式1-2】（25-26高三上·江苏常州·期中）已知集合是质数，，则（    ） A． B．{2} C．{3} D． 【答案】C 【分析】通过解不等式先求出集合，变形，分析出要使是质数，而必须是2的正因数，将和分别代入验证，即可求出集合，再求即可得解. 【详解】由，解得，故. 因为， 要使是质数，必须是整数，而必须是2的正因数. 因为2的正因数有1和2， 所以当时，，此时，4不是质数，不符合要求，舍去； 所以当时，，此时，3是质数，符合要求，故. 所以. 故选：C 【变式1-3】（2025·全国·模拟预测）已知集合满足，且当时，，则中元素的个数至多为 . 【答案】1947 【分析】根据集合中元素的关系，得出所有元素的取值可能，得出相应的元素个数. 【详解】易知，与不能同在中，其中，，，， 又，所以中元素的个数不大于； 另一方面，设，， 取，此时中恰有1947个元素，满足要求. 故答案为：1947 题型02 集合的包含关系求参数 【例2-1】（2026高三·全国·专题练习）已知集合，若，则实数的取值集合为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，可得，再分和两种情况讨论即可. 【详解】因为，所以， 当时，则，所以，得， 此时； 当时，则，所以，所以，所以，则， 此时， 综上所述，实数的取值集合为. 故选：B. 【例2-2】（25-26高三上·上海·期中）已知集合，，若，则满足条件的集合个数为（    ） A．408 B．409 C．410 D．411 【答案】C 【分析】由题意得除以3的余数相同，按照除以3所得余数进行分类讨论，结合组合数求解即可. 【详解】，且 能被3整除，    ∴除以3的余数相同， 集合的元素中， 能被3整除的整数有， 被3除余1的整数有， 被3除余2的整数有， 当都被3整除时，则从被3整除的5个数中选取3个， 或可从被3整除的5个数中选取2个，从其余11个数中选择， ∴的个数为， 当被3除余1时，则从被3除余1的6个数中选取3个， 或可从被3除余1的6个数中选取2个，从其余10个数中选择， ∴的个数为， 当被3除余2时，则从被3除余2的5个数中选取3个，或可从被3除余2的5个数中选取2个，从其余11个数中选择， ∴的个数为， ∴满足条件的集合共有个． 故选：C. 根据两集合的关系求参数的方法 已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对含参数的集合是否为空集进行分类讨论，做到不漏解. ①若集合中的元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为方程（组）求解，此时注意集合中元素的互异性. ②若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为方程（组）或不等式（组）求解，此时注意检验端点值能否取到 【变式2-1】已知集合，，若, 则a的值是 （   ） A．1 B． C．1或 D．或 【答案】D 【分析】由和分类讨论即可求解. 【详解】由得, 又， 当时，，符合题意， 当时，， 则或，解得或， 所以a的值是或， 故选：D 【变式2-2】（2025高三上·湖北·专题练习）已知集合 ，.若 则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】首先确定集合的补集，然后根据求出的范围. 【详解】因为集合， 所以. 因为集合，， 当不为空集时， 所以，解得. 当为空集时，，解得. 综上，的取值范围为. 故选：A 【变式2-3】（25-26高三上·湖南邵阳·期中）已知函数（），若非空集合，且，则下列说法中正确的是（   ） A．n的取值与m有关 B．n为定值 C． D． 【答案】B 【分析】先通过换元将集合转化为关于的不等式，再利用建立方程和不等式，解得的值和的范围，最后判断各项正误. 【详解】令 则不等式化为， 设的解集为， 即，， 即， 所以， 又，且， 所以，且， 故，且， 则， 解得， 故错误，正确； 故， 因为集合非空， 则有解， 则， 解得或； 因为是方程的两个根， 即是方程的两根， 则， 故, 解得， 故， 故错误，错误. 故选： 题型03集合的混合运算 【例3-1】（25-26高三上·河北衡水·月考）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指数、对数不等式求解出集合，，再利用交集的定义求解即可. 【详解】，所以， 故选：C. 【例3-2】（25-26高三上·上海徐汇·期中）已知集合，，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解分式不等式得到集合，从而得到.讨论集合是否为空集，得到不等式（组）解得的取值范围. 【详解】令，则，所以或， 即或，可得， 而，分如下情况讨论， ①，即，则， ②，则，则， ∴，即. 故选：A. 集合的运算求参数的方法 （1）与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值的取舍. （2）若集合中的元素能一一列举，则一般先用观察法得到集合中元素之间的关系，再列方程（组）求解. ［注意］ 在求出参数后，注意结果的验证（满足集合中元素的互异性）. 【变式3-1】（25-26高三上·北京·月考）已知集合．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据得到，再根据得到的取值范围. 【详解】由可得，，则， 故选：A. 【变式3-2】（25-26高三上·河北·期中）（多选）已知全集，集合，若，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用集合的运算法则求得集合，再验证各个选项. 【详解】利用集合的运算法则得： ， . 对于 A： ，故正确； 对于 B： ，故错误； 对于 C： ，故正确； 对于 D： ，故错误. 故选：AC 【变式3-3】设全集，，，若，则实数a的所有取值构成的集合为 ； 【答案】 【分析】先求出，分和两种情况，得到相应的方程，求出答案. 【详解】由题意得，解得，又，故， ，若，满足，此时，即； 若，也满足，此时，解得； 故实数a的所有取值构成的集合为. 故答案为： 题型04 集合中的创新问题 【例4-1】设集合，那么集合中满足条件“”的元素个数为（    ） A．15 B．35 C．40 D．45 【答案】D 【分析】设中，有个，个，则可得，再分、及进行讨论即可得. 【详解】设中，有个，个，则有个， 则需，解得， 则当时，，共有种情况； 则当时，，共有种情况； 则当时，，共有种情况； 故共有种情况， 即集合中满足条件“”的元素个数为. 故选：D. 【例4-2】不等式的解集为N，不等式的解集为M，则解集M与N的关系是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意及绝对值的三角不等式知，即可得间的关系． 【详解】由于不等式的解集为N，不等式的解集为M， 由绝对值三角不等式知：， 所以. 故选：B 解决以集合为背景的新定义问题的关键点 （1）准确转化：解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目的要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆. （2）方法选取：对于新定义问题，可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法，并结合集合的相关性质求解. 【变式4-1】（25-26高三上·山东临沂·期中）置换是抽象代数的一种基本变换，对于有序数组，有序数组，定义“间距置换”：，，.已知有序数组，经过一次“间距置换”后得到新的有序数组，且中所有数之和为2026，则（    ） A．1004 B．1007 C．1010 D．1013 【答案】C 【分析】本题通过分析数组元素的大小关系，结合绝对值的运算求解参数. 【详解】由“间距置换”定义，得，，. 由，得. 因且，故或. 若，则，，， 于是， 得，即，故. 若，同理可得. 综上所述，的值为. 故选：C. 【变式4-2】（25-26高三上·上海·期中）已知集合，非空集合，且满足: 对任意，均存在 ，使. 记符合要求的的个数为. 则对于正整数， . 【答案】 【分析】根据条件，分析可得当时，满足要求的元素个数，可得的个数，根据组合数的性质，即可求得答案. 【详解】因为，所以P中元素是中满足且的元素， 对于，则， 所以满足要求的元素有，共有个元素， 所以在不考虑顺序的情况下，共有对， 故. 故答案为： 【变式4-3】若集合满足 ，则称为集合的一个分拆，并规定：当且仅当时，与为同一种分拆，则集合的不同分拆种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按照分类列举出所有的分拆，即得答案. 【详解】若，则 ； 若 则 或 ； 若，则或 ； 若，则或 ； 若，则 或 或 或 ； 若，则 或 或 或 ； 若，则 或 或 或 ； 若则 或 或 或 或 ，或或 或 ； 所以集合的不同分拆种数为27. 故选：D 题型05 充分条件、必要条件 【例5-1】（2025·辽宁丹东·模拟预测）已知向量，，则（   ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 【答案】C 【分析】结合向量垂直和平行的条件，对各选项中的命题进行充分性或必要性判断． 【详解】若，则，解得或， 但由推不出，是的充分条件，故A错误； 同理但由推不出，是的充分条件，故C正确； 若，则，解得或， 即等价于或，与无关， “”不是“”的必要条件，故B错误； 当时，，由，故得不出， “”不是“”的充分条件，故D错误． 故选：C． 【例5-2】（2026高三·全国·专题练习）已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先求出，，由题设可得，，进而得到是的真子集，根据包含关系求解即可. 【详解】由，则， 由，则，即， 因为是的必要不充分条件，所以，， 则是的真子集， 则，等号不能同时成立，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 充分条件、必要条件的应用一般表现在参数问题的求解上 （1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（组）求解. （2）要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易漏解或增解. 【变式5-1】（25-26高三上·河北沧州·期中）已知为虚数单位，则“”是“”为纯虚数的（    ） A．必要不充分条件 B．充要条件 C．充分不必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】利用复数的除法运算先求，利用纯虚数得，进而求解. 【详解】由为纯虚数， 得，即， 所以“”是“”为纯虚数的必要不充分条件， 故选：A. 【变式5-2】（25-26高三上·江苏南通·期中）设函数的定义域为R，对于任意的，，且，则“”是“是增函数”的（ ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件，必要条件的定义，结合函数单调性的定义，即可判断选项. 【详解】若，则，则当时，，所以单调递增， 反过来，若函数单调递增，则当时，，即，但不能推出， 所以“”是“是增函数”的充分不必要条件. 故选：B 【变式5-3】（2026高三·全国·专题练习）已知为两个随机事件，，则“相互独立”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】要判断“相互独立”与“”的条件关系，需从充分性和必要性两方面，利用条件概率公式及事件独立性定义进行推导即可. 【详解】由题意，，， 若相互独立，则相互独立，相互独立， 所以，， 所以，故充分性成立； 若，即， 则， 即，故， 即相互独立，故、相互独立，故必要性成立， 故“相互独立”是“”的充分必要条件． 故选：C 题型06 全称量词命题、存在量词命题 【例6-1】若“”是假命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先把命题进行否定，根据题意命题的否定为真命题，再分两种情况讨论即可. 【详解】是假命题，那么它的否定是真命题， 当时，恒成立； 当时，对任意，恒成立，则开口向上且判别式，即，解得， 综上所述，的取值范围为. 故选：. 【例6-2】（2025高三上·湖北黄冈·专题练习）若“，”为假命题，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】先求出原命题为真命题的时候的范围，再取其补集即可. 【详解】假设若“，”为真命题，则， 令，不等式即为，当时，， 由对勾函数单调性可知，函数在上单调递减，在上单调递增， 故其最大值在端点处取得，比较与， 可知，则， 所以若“，”为假命题，则的取值范围为. 故答案为： 根据命题的真假求参数的值（范围）的思路 与全称量词命题或存在量词命题真假有关的参数的取值范围问题，本质是恒成立问题或有解问题.解决此类问题时，可以直接求解，也可以利用等价命题将条件合理转化，得到关于参数的方程（组）或不等式（组），再通过解方程（组）或不等式（组）求出参数的值或范围. 【变式6-1】（2025·安徽·模拟预测）若“恒成立”为真命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】转化为最值问题，利用“1”的代换求最值求解. 【详解】因为，令， 则， ， 当且仅当，即时取等号， 所以，解得， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式6-2】若命题“，使”为真命题，实数的取值范围为 . 【答案】或 【分析】把看作是的函数，讨论该函数的单调性，求得该函数的最小值.令最小值大于零，即可得到实数的取值范围. 【详解】若命题“，使”为真命题， 则命题：“，使”为真命题， 即命题：“，使的最小值大于零”为真命题. 令，. 当，即，即，或时，是增函数， 所以当时，取得最小值，最小值为. 由，得或.所以或. 当，得或， 若，则，不满足题意；若，则满足题意，所以. 当，即，是减函数， 所以当时，取得最小值，最小值为. 由，得或.所以. 综上所述：实数的取值范围为或. 故答案为：或. 方法二：命题“，使”为真命题. 令，则方程的实数根为. 因为，所以函数的图象开口向上. 所以当时，，或. 因为此时的最小值为-2，所以，或. 当时，，或. 因为此时的最大值为，所以，或. 综上所述：实数的取值范围为或. 故答案为：或. 【变式6-3】命题，命题若命题､一真一假，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据题意，分别求得命题和为真命题时，实数的取值范围，分类讨论，即可求解. 【详解】若命题为真命题， 即方程在上有解，则满足，解得， 若命题为真命题， 即不等式在上恒成立，则满足，解得， 当命题为真命题且为假命题时，则满足； 当命题为假命题且为真命题时，则满足； 所以命题､一真一假时，可得或 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 题型07 复数 【例7-1】（25-26高三上·江苏南通·期中）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用复数的除法及乘法运算，再结合复数的模长公式计算求解. 【详解】因为复数满足，所以， 则. 故选：A. 【例7-2】（2026高三·全国·专题练习）已知为虚数单位，且，则的最大值是 ． 【答案】3 【分析】设，利用模的几何意义求解即可. 【详解】设，由的几何意义知， z对应的点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，即， 因为的几何意义为点到坐标原点的距离， 所以. 故答案为：3. 复数代数形式运算的策略 【变式7-1】（2025·甘肃武威·模拟预测）（多选）已知复数，，其中，则（   ） A．存在，使得 B．存在，使得 C．存在，使得 D．存在，使得 【答案】AB 【分析】对于选项：先利用复数的模长公式，分别求出和，令模长相等，解方程即可；对于选项：先利用复数的除法公式求得，即虚部为零，最后解方程即可；对于选项：先利用复数的乘法公式求得，即虚部为零，最后判断出方程无解；对于选项：由得，再计算，最后解方程即可. 【详解】对于选项：由题意得，， 由，得，解得，故存在，使得，故A正确； 对于选项：， 令，解得，故存在，使得，故B正确； 对于选项：，恒成立，故不存在，使得，故C错误； 对于选项：， 化简得，，方程无解，故不存在，使得，故D错误. 故选：AB. 【变式7-2】（25-26高三上·安徽·期中）（多选）设，均为非零复数，下列命题中正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】根据复数的加法、减法、除法运算及复数的共轭复数的模对选项逐一分析即可. 【详解】对于A：设，，，，，， 则，，， 所以，故A正确； 对于B：，故B正确； 对于C：若，则，，故C正确； 对于D：若，取，，满足条件，但，故D错误. 故选：ABC. 【变式7-3】（2025·河南·模拟预测）（多选）在复平面内，复数对应的点为，向量绕原点逆时针旋转至处，若旋转角为，则（    ） A．的坐标为 B．当时， C．当时，以为圆心，为半径的圆中劣弧的长为 D．的坐标为 【答案】BCD 【分析】求出点坐标判断A；利用勾股定理求出长度判断B；利用弧长公式计算判断C；利用三角函数定义求出点的坐标判断D. 【详解】对于A，的坐标为，A错误； 对于B，，而，则，B正确； 对于C，当时，劣弧的长为，C正确； 对于D，，则，点的坐标为， 即，D正确. 故选：BCD 题型01集合的新定义问题 【例1-1】（25-26高三上·山东淄博·期中）已知一元二次不等式对一切实数x都成立，设满足条件的的取值集合为. (1)求集合； (2)对于两非空集合，定义：，若，求. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由题意，解不等式组即可求解； （2）先根据定义域的求法得或，然后利用补集运算求得，进而利用集合新定义求解即可. 【详解】（1）由题意 因为时，不等式对一切实数x都成立， 则，解得． 所以． （2）对于，因为，所以或， 即或，所以， 又，由集合新定义知：或. 【例1-2】（25-26高三上·山东·月考）已知有限实数集，定义集合. (1)若集合，求集合； (2)是否存在有限实数集，使得，说明理由； (3)若集合中有个元素，求集合中元素个数的最大值. 【答案】(1) (2)不存在；理由见解析 (3) 【分析】（1）根据新定义求解即可； （2）利用反证法讨论即可； （3）通过分析集合元素的排列情况，找到中元素个数的最大值的规律即可求解. 【详解】（1）由题意可知， （2）不存在； 假设存在，设， 由题意，中的元素均为正数，故若，则， 因为集合中的最大数为，而集合中的最大数为，矛盾. （3）一方面，集合中元素是由集合中个元素两两作差得到的， 故； 另一方面，构造集合； 任取两组不全相同的自然数数对与； 若，不妨设，则. 因为， 又， 所以； 若，则，则； 故无论如何，集合中的元素，两两作差均不相同， 故中的元素个数为； 综上，集合中元素个数的最大值. 【变式1-1】（25-26高一上·湖北武汉·月考）已知实数集，定义. (1)若，求； (2)若均为正数，，求的元素个数的取值范围； (3)若，求集合. 【答案】(1) (2) (3)或者 【分析】（1）根据集合的新定义直接求解即可； （2）根据集合中的元素具有互异性，分类讨论互不相等且不成比例和中存在比例关系，求的元素个数的取值范围. （3）根据可得，然后分中个非零元素，符号为一负三正或者一正三负进行讨论即可； 【详解】（1）根据题意可得. （2）若均为正数，，集合中的元素具有互异性， 不妨设，则，故中至少有5个元素， 而中共有对不同的元素，因此最多有6个不同的乘积. 取,此时，此时的元素个数， 取，则，此时的元素个数， 故的元素个数的取值范围为， （3）若，可得， 其次中有个非零元素，符号为一负三正或者一正三负. 记，不妨设或者 ①当时， 则，， 相乘可知，从而， 从而，所以； ②当时，与上面类似的方法可以得到， 进而，从而. 所以或者. 【变式1-2】（25-26高三上·北京通州·期中）设有序数阵，集合，（其中）．若满足：① ；②，则称 为集合的覆盖数阵． (1)若为的覆盖数阵，求的值； (2)当时，写出所有的的取值，使得为的覆盖数阵． (3)设有序数阵的个数为，若为的覆盖数阵，求证：． 【答案】(1)、、、、 (2)可为与 (3)证明见解析 【分析】（1）结合所给定义计算即可得； （2）结合所给定义可得，则可得符合要求的值，即可得解； （3）构造有序数阵，计算可得该有序数阵也是的覆盖数阵，且，则可得的覆盖数阵成对出现，即可得证. 【详解】（1）由题意可得，解得， 则且，故，， 综上，有、、、、； （2）由，则，， 故， 又， 故， 则有， 即， 由，则， 当时，，不符； 当时，，不符； 当时，，符合， 实际上，符合要求； 当时，，符合， 由（1）知，符合要求； 综上所述：时，可为与； （3）若为的覆盖数阵， 则有，， 则存在有序数阵， 有，满足条件②， ，满足条件①， 故也为的覆盖数阵， 假设，则有，又， 则有，， 由，则与需恒为偶数，显然不可能， 故，故覆盖数阵成对出现，即为偶数，即有. 【变式1-3】对于实数集中的两个非空有限子集和，定义和集．记符号表示集合中的元素个数．当时，设是集合中按从小到大排列的所有元素，记集合. (1)已知集合，若，求集合，并求出的值 (2)已知，记集合或． （i）当时，证明的充要条件是； （ii）若，求的所有可能取值． 【答案】(1)，； (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）先根据求出的值，可确定集合，进而求. （2）（i）先证充分性，再证必要性. （ii）根据和，分析中元素的特征，求出，进而确定的值. 【详解】（1）因为，由， 所以， 所以且， 所以必有，所以，所以，所以. （2）（i）因为，可设，. 先证充分性：因为，所以且， 从而可以设，其中， 此时中的元素为，故， 再证必要性，设，，其中， 注意到和集中的最小元素为，最大元素为， 因为，所以中间三个元素可以是， 也可以是，它们是对应相等的， 所以有，， 即，故，得证， （ii）①若，由第（i）小问的分析知， 可以设，，其中， 此时中的元素为， 这与条件矛盾， ②取，其中， 容易验证此时中的元素为，符合条件， 所以可以取2， ③若，设， 其中， 结合知至少存在两个不同的正整数，使得， 不妨设是符合这一条件最小的正整数，是符合这一条件最大的正整数， 注意到， 这是中的个不同的元素， 根据的定义我们有，即， 当时，由的最小性知，即， 此时我们有， 当时，也有， 因此是中的元素，但与(*)式中的个元素均不相等， 同理，根据的定义有是中的元素，但与(*)式中的个元素均不相等， 因为，所以，此时，矛盾， 综上，的取值只能为2； 一、单选题 1．（25-26高三上·江苏盐城·月考）已知命题，，则（    ） A．，，且是真命题 B．，，且是真命题 C．，，且是假命题 D．，，且是假命题 【答案】D 【分析】先判断命题的真假，再由全称量词命题的否定是存在量词命题求解． 【详解】设， 则， 得函数在上单调递增， 则， 得，则命题是真命题，得是假命题， 且，， 故选：D 2．（25-26高三上·广西南宁·月考）若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为，值域为的“同族函数”包含的函数个数为（    ） A．3 B．6 C．9 D．27 【答案】D 【分析】已知函数的值域取值情况结合题目条件求出函数定义域取值的集合，再由集合非空子集个数及分步计数求“同族函数”个数即可得． 【详解】由题可知 的值域为 ，则 或 或 ， 结合“同族函数“的定义， 则函数定义域分别从 中各取至少一个数， 所以共有 种． 故选：D 3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）函数在上单调递增的必要不充分条件为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数在上单调递增，则在上恒成立，再根据二次函数恒成立的等价条件求解即可. 【详解】由函数在上单调递增，得在上恒成立， 则，解得， 因此A是充分条件，B是充要条件，C是既不充分也不必要条件，D是必要不充分条件. 故选：D 4．（25-26高三上·河北·期中）已知，均为整数，且，，则集合的真子集的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解方程得或，然后分别求出各个线段上的整数点，最后利用真子集个数结论求解即可. 【详解】要求集合的真子集个数，只需求集合的元素个数， 即，则或. 对于，由整数知且为偶数， 则有个满足条件的； 对于，由整数知且为3的倍数， 则有个满足条件的， 又因为被重复统计，故集合的元素个数是， 故集合的真子集的个数是. 故选：C. 5．（25-26高三上·上海·期中）有下面三个命题： 命题1：若是周期函数，则是周期函数； 命题2：已知定义在上的函数，若对任意的，均有，则函数为偶函数； 命题3：已知定义在上的偶函数在上严格增，则存在函数在上严格减. 则真命题有（   ）个. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】可举反例，令，显然函数不是周期函数,可判断了A选项；由，可知，可判断B；函数在单调递减，进而可得在上严格减，从而判断得出结论. 【详解】对于命题1，可举反例，，显然函数不是周期函数，但是周期函数，故命题1是假命题； 对于命题2，由，可知，故，即函数为偶函数，故命题2是真命题； 对于命题3，例如，则为偶函数且在上严格增， 则，则为上的奇函数， 先考虑时，， 由于函数为上的单调递减函数， 所以函数在单调递减，进而可得在上严格减，故命题3真命题， 综上，命题1为假命题，命题2和命题3为真命题， 故选：C. 二、多选题 6．（25-26高三上·河南·期中）设为任意的两个非空数集，定义集合且为的笛卡尔积，记为的任何子集都称为到的关系，特别地，当时，称为上的关系．在平面上用实心圆点分别标出中元素的点（称为结点），如果，那么用实心圆点标出中元素的点即可．若，则自结点至结点作一条有向边，箭头指向，若，则结点到没有有向边连接，采用这种方法连接起来的图称为的关系图．若均为到的关系，则定义存在满足，且．设集合，现给出如下5个上的关系，的关系图，其中，则（    ）      A． B．共有512个子集 C． D． 【答案】ABD 【分析】根据给定的定义及关系图，求出，再逐项求解判断. 【详解】对于B，， 共9个元素，因此共有个子集，B正确； ， ，， ，, 对于C，，，C错误； 对于A，，A正确； 对于D，，D正确. 故选：ABD 三、填空题 7．对于，命题“”为真命题的充要条件是 . 【答案】 【分析】根据充要条件的概念，利用余弦函数的奇偶性判断即可. 【详解】因为在上单调递增，在上单调递减， 若，则. 故答案为：. 8．定义，已知，则集合中所有元素乘积为 ． 【答案】 【分析】根据定义得到，所以所有元素乘积为. 【详解】因为，所以， 又，所以， 所以集合中所有元素乘积为， 故答案为： 9．（2026高三·全国·专题练习）1＝12 1＋3＝22 1＋3＋5＝32 1＋3＋5＋7＝42 1＋3＋5＋7＋9＝52 …… 根据以上事实写出含有量词的全称量词命题为 【答案】 【分析】将前五个等式进行变形，归纳出一般结论，即可得出结论. 【详解】∵ 由此可归纳得出： 故答案为： 10．已知为个互不相等的正整数，满足，，若集合有个元素，则的最大值为 .. 【答案】 【分析】利用等差数列求和公式结合，可得，再利用时，集合中所有元素的平均数与所得矛盾，则可得，举出时符合要求的例子即可得的最大值为. 【详解】由题意可得对任意的，，且， 又互不相等，由， 则， 由，则，故，故； 若，则， 不妨设， 且， 则，，，，， 此时， 与矛盾，故； 当时，有，，，，，，，， 使得，，，， 即，共个元素， 故的最大值为. 故答案为：. 四、解答题 11．（25-26高一上·北京·月考）已知集合为非空数集，定义：（实数可以相同）. (1)若集合，直接写出集合； (2)若集合，且，求证：； (3)若集合，记为集合中的元素个数，求的最大值. 【答案】(1) (2)证明过程见解析 (3)1350 【分析】（1）根据题中定义直接进行求解即可； （2）根据集合相等的定义，结合题中定义进行证明即可； （3）根据交集的运算性质，结合题中定义进行求解即可. 【详解】（1）因为，， 所以； （2）由于集合，， 则T集合的元素在0，，，，，，中， 且，， 而，故中最大元素必在中，而为7个元素中的最大者， 故即，故， 故中的4个元素为0，，，， 且，，与，，重复， 而，故即， 而，故，故或， 若，则，，与题设矛盾； 故即. （3）设满足题意，其中， 则， ∴，，∴， ∵，由容斥原理， 中最小的元素为0，最大的元素为，， ∴，即，∴． 实际上当时满足题意， 证明如下：设，， 则，， 依题意有，即， 故m的最小值为676，于是当时，A中元素最多， 即时满足题意， 综上所述，集合A中元素的个数的最大值是1350． 12．已知区间和区间，我们把含有的代数式记作“”.现有如下定义： 定义1：若，使得，则称“”是“任意存在型”代数式； 定义2：若，使得，则称“”是“存在任意型”代数式. (1)写出命题“，使得”的否定形式，并判断命题的真假；（直接写出结果即可，不用说明理由） (2)若，使得，求实数的最小值； (3)已知区间，代数式，请判断“”是“任意存在型”代数式？还是“存在任意型”代数式，并说明理由. 【答案】(1)，使得.命题为假命题 (2) (3)（i）“”是“任意存在型”代数式；（ii）“”不是“存在任意型”代数式，理由见解析 【分析】（1）根据全称量词命题与存在量词命题的关系，可直接写出命题，再判断命题的真假. （2）问题转化为三角函数的值域问题求解. （3）结合导数，分析函数的最值，利用 “任意存在型”代数式”和“存在任意型”代数式的定义进行判断. 【详解】（1），使得.命题为假命题. （2）由，即， 而，所以 从而，所以，而， 故，即实数的最小值为4. （3）“”是“任意存在型”代数式，不是“存在任意型”代数式 理由如下： （i）“”是“任意存在型”代数式，即，使得. 证明：令，则，因此只需即可. 而，由得，所以在单调递减. 而，所以当均有，故“”是“任意存在型”代数式. （ii）“”不是“存在任意型”代数式. 证明：令，则，只需. 而，故在单调递增，而， 所以只需，使得即可 令.而在恒成立， 故在单调递增，从而恒成立， 这与“，使得”矛盾，故“”不是“存在任意型”代数式. 综上，“”是“任意存在型”代数式，不是“存在任意型”代数式. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $