精品解析：云南省曲靖一中麒麟学校2026届高三第四次月考数学试题

曲靖一中麒麟学校高三年级第四次月考 数学试卷 注意事项： 1.考生务必用黑色笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答在试卷上无效. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案. 4.本试卷共4页，共19小题，满分150分.考试用时120分钟. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，，与垂直，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 3. 记为等差数列的前项和.若，则（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 4. 若双曲线的一条渐近线方程为，则（ ） A. B. -2 C. D. -4 5. 已知平面，和直线a，b，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 6. 的展开式中，的奇数次幂项的系数之和为32，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 7. 已知内角，，满足，，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 8. 已知函数，满足，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 若复数，，则复数的值可能是（ ） A. 1 B. C. D. 10. 函数的部分图象如图，下列说法正确的是（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. 在上为增函数 D. 若方程在上有且仅有一个实数根，则 11. 已知为奇函数，且时，取得极小值，过点至少能作出曲线的两条切线，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在正三棱柱中，，，M为上的一个动点，则的最小值为_____. 13. 若实数x，y满足，则的取值范围是_____. 14. 已知，且，则的最小值为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，分别为三个内角，，的对边， ，，且的面积为． （1）求； （2）若在边上，且线段平分，求线段的长度． 16. 已知正项数列满足 （1）若是等比数列，求的通项公式； （2）若，求数列的前2n项的和. 17. 如图1，在边长为4的等边中，点分别在边上，且，连，沿将折起得到四棱锥（图2），使. （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知函数. （1）证明：曲线是轴对称图形； （2）若，求的值； （3）若恰有4个极值点，求的取值范围. 19. 已知离心率为的椭圆过点. （1）求椭圆的方程； （2）不过点的直线与椭圆交于A，B两点，且，求证：直线过定点，并求出定点坐标； （3）在（2）的条件下，是否存在直线，使得是等腰直角三角形？若存在，请问这样的直线有几条？若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 曲靖一中麒麟学校高三年级第四次月考 数学试卷 注意事项： 1.考生务必用黑色笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答在试卷上无效. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案. 4.本试卷共4页，共19小题，满分150分.考试用时120分钟. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由和化简集合，再由交集运算即可求解. 【详解】由得到或，即， 由得到，即， 所以， 故选：C 2. 已知，，，与垂直，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由结合数量积的定义即可求解. 【详解】因为与垂直， 所以， 解得， 故选：A 3. 记为等差数列的前项和.若，则（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的性质及前项和公式即可求解. 【详解】，，， . 故选：C. 4. 若双曲线的一条渐近线方程为，则（ ） A. B. -2 C. D. -4 【答案】D 【解析】 【分析】利用双曲线的渐近线公式计算即可. 【详解】令，所以. 故选：D 5. 已知平面，和直线a，b，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】对于A选项，根据线面平行的判定定理判断选项的正误即可；对于B选项，根据面面垂直的性质定理判断选项的正误即可；对于C选项，通过举出反例即可判断选项正误；对于D选项，利用线面平行的性质定理结合线面垂直的性质定理即可判断选项正误. 【详解】对于A选项，已知，时，存在与两种情况，故A选项错误； 对于B选项，已知，时，根据面面垂直的性质定理可得：只有当垂直于与的交线，才能推出；若与交线不垂直，则不垂直于，故B选项错误； 对于C选项，已知，时，存在与两种情况，故C选项错误； 对于D选项，过作平面与交于直线，由于，则；又因为，，则，因此可得：.故D选项正确. 故选：D 6. 的展开式中，的奇数次幂项的系数之和为32，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】设，分别代入和，两式作差即可构造方程求得的值. 【详解】设， 令得：； 令得：； 两式作差得：，即，解得：. 故选：A. 7. 已知内角，，满足，，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形内角和为，把转化为，利用两角和的余弦公式展开整理，再代入已知条件即可求得 【详解】在中，， 故有 由已知，， 代入可得：，即，解得：. 故选：B 8. 已知函数，满足，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意推出，利用导数判断函数的单调性，由此将化为，利用函数单调性即可求解. 【详解】由题意知函数的定义域为R， 则，则， 又， 故在R上单调递增， 故，即，即， 则，解得， 即实数的取值范围是. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 若复数，，则复数的值可能是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用等比数列求和公式化简复数，结合的特值和复数相等的概念判断各选项. 【详解】 对于A：当时，，A正确； 对于B：当时，，B正确； 对于C：若，则， 即.由于的整数次幂不可能为，故该等式不成立，C错误； 对于D：当时，，D正确； 故选：ABD. 10. 函数的部分图象如图，下列说法正确的是（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. 在上为增函数 D. 若方程在上有且仅有一个实数根，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据图象可确定最小正周期和最值，进而得到，知A错误；由，结合的范围可求得的解析式，利用代入检验法，结合的对称中心和单调性可确定BC正误；利用整体代换法，结合的单调性和最值可求得D错误. 【详解】由图象知：的最小正周期，； ，，； ，，解得：， ，，. 对于A，由题意得， 故A错误； 对于B，当时，，且， 图象关于点对称， 故B正确； 对于C，当时，， 在上单调递增，在上为增函数， 故C正确； 对于D，当时，， 由余弦函数性质得在上单调递增，在上单调递减， 且，，， 若在上有且仅有一个实数根，则，故D错误. 故选：BC. 11. 已知为奇函数，且时，取得极小值，过点至少能作出曲线的两条切线，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据奇函数定义可得；根据极值点和极值可构造方程组求得，验证后可得解析式，知A正确；将问题转化为直线与至少有两个不同的交点，利用导数可求得单调性，进而作出函数图象，结合图象可分析得到BCD正误. 【详解】对于A，为奇函数，则， ，则，， 时，取得极小值， ，解得， 当，时，，， 当时，；当时，； 在，上单调递增，在上单调递减， 满足在处取得极小值； 综上：，A正确； 对于BCD，设切点坐标为， ， ， 在处的切线方程为， 切线过点， ； 当，即时，方程不成立，即， ， 令，则， 当时，；当时，； 在，上单调递增，在，，上单调递减； 又，，可作出大致图象如下， 过点至少能作出曲线的两条切线， 等价于直线与至少有两个不同的交点，则，BD错误，C正确. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在正三棱柱中，，，M为上的一个动点，则的最小值为_____. 【答案】5 【解析】 【分析】将平面绕旋转至处，如图所示，分析可得当共线时，有最小值，代入计算，即可得答案. 【详解】将平面绕旋转至处，使平面与平面共面，如图所示， 则， 因为M为上的一个动点， 所以， 当共线时取等号，即的最小值为5. 故答案为：5 13. 若实数x，y满足，则的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，求出x的范围，设，则与图象有交点，作出图象，分析即可得答案. 【详解】由题意，解得， 设，则与图象有交点， 当时，，当时，， 作出的图象，如图所示 由图象可得. 故答案为： 14. 已知，且，则的最小值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】先将两边取对数， 运用对数运算法则，将式子化简为，将运用对数运算法则及换底公式化简为，运用“1”的代换和基本不等式求出最小值即可. 【详解】由，等式两边取对数可得 化简可得： 即， ， 当且仅当“”，即时最值成立； 故的最小值为 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，分别为三个内角，，的对边， ，，且的面积为． （1）求； （2）若在边上，且线段平分，求线段的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积的计算公式及面积公式化简可得解； （2）结合三角恒等变换及三角形面积可得边长，再根据等面积法可得角分线长度. 【小问1详解】 由已知，且三角形面积， 可知， 又， 则； 【小问2详解】 由已知， 结合诱导公式及二倍角公式可得， 又，，即， 所以，即， 所以， 则由正弦定理， 可得，， 所以， 即，，， 又线段平分， 所以, 又， 即， 则， 解得. 16. 已知正项数列满足 （1）若是等比数列，求的通项公式； （2）若，求数列的前2n项的和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 设等比数列的公比为，则，，得， 因为，则，，两式相乘得，， 则，因，则得，，， 故. 【小问2详解】 因为，，则， 且，两式相除，得，即， 所以数列的奇数项和偶数项均是以4为公比的等比数列， 奇数项：首项为，公比为，则其前项奇数项的和为， 偶数项：首项为，公比为，则其前项偶数项的和为， 故数列的前2n项的和为. 17. 如图1，在边长为4的等边中，点分别在边上，且，连，沿将折起得到四棱锥（图2），使. （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明： 在中，由余弦定理得， ， 所以，得， 如图1，在中，由余弦定理得， ， 所以在图2中，，得， 由平面平面， 得平面，又平面， 所以平面平面． （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理及勾股定理求出，，再由线面垂直及面面垂直的判定定理进行求解； （2）以点为原点，分别以所在的直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量进行求解． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 由图1，可知, 所以，以点为原点，分别以所在的直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 则． 得， 设平面的法向量为， 则，取平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，而， 则，取平面的一个法向量为， 所以， 因为平面与平面夹角不超过， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 18. 已知函数. （1）证明：曲线是轴对称图形； （2）若，求的值； （3）若恰有4个极值点，求的取值范围. 【答案】（1） 的定义域， 对任意，都有，且， 所以为偶函数，曲线是轴对称图形，对称轴为轴； （2）1； （3）. 【解析】 【分析】（1）由奇偶性的定义证明是轴对称图形即可； （2）由时，法一：讨论、、研究求参数范围，即可得；法二：问题化为与的零点相同，即可得； （3）由（1）在上恰有2个极值点，对函数求导，法一：设与的零点相同，利用导数研究的零点求参数范围，并验证；法二：设与的零点相同，利用导数研究的零点求参数范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，只需考虑时，， 法一：当时，，故，所以， 当时，，此时恒成立，所以， 当时，，故，所以， 综上，； 法二：因为与在上都单调递增， 所以等价于与的零点相同. 所以，即，解得； 【小问3详解】 由（1）知，恰有4个极值点等价于在上恰有2个极值点. 下面只考虑的情形. ，则， 法一：设与的零点相同， 当时，是增函数，至多有一个零点，则至多1个极值点，不合题意； 当时，， 当时，单调递减； 当时，单调递增， 所以， 因为有两个极值点，所以有两个零点， 则，即，解得， 下面证明：当时，有两个极值点， 因为，即， 令，则， 当时，单调递减； 当时，单调递增， 所以，即， 所以，又， 结合零点存在性定理知， 当时，在上各有一个零点，记为， 当时，； 当时，； 当时，， 故为的极大值点，为的极小值点，满足题意. 综上，的取值范围为. 法二：设与的零点相同， ， 令得，， 当时，单调递减； 当时，单调递增， 故， 因为当且时，；当时，， 当时，只有一个零点，不符合题意； 所以. 因为恰有两个极值点，所以恰有两个零点， 则，解得. 综上，的取值范围为. 19. 已知离心率为的椭圆过点. （1）求椭圆的方程； （2）不过点的直线与椭圆交于A，B两点，且，求证：直线过定点，并求出定点坐标； （3）在（2）的条件下，是否存在直线，使得是等腰直角三角形？若存在，请问这样的直线有几条？若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）证明: 当直线的斜率存在时，设直线，由题意，， 由，消去得， 则，即， ，而， 由，则，得， 即， 整理得， 则， 化简整理得，所以， 因为，所以，即， 所以直线过定点； 当直线的斜率不存在时，设直线，于是， 由，则，得，即， 结合得，，解得或（舍去）， 此时直线的方程为，也过定点； 综上，直线恒过定点. （3）条，理由如下： 假设存在直线满足条件，因为，所以， 当直线的斜率不存在时，显然不符合； 当直线的斜率存在时，由（2）可知，， 又，代入展开整理得， 又，所以，所以， 又，所以， 构造函数，则， 令得，， 于是当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以， 又， 根据零点存在定理可知函数在内有唯一零点， 于是函数在R上只有一个零点，即方程有唯一的实数根， 所以存在直线，使得是等腰直角三角形，这样的直线只有条. 【解析】 【分析】(1)根据题中条件，列出方程组，求出，即可得出椭圆方程. （2）当直线的斜率存在时，设直线，与椭圆方程联立，利用向量垂直的坐标表示，结合韦达定理计算推理直线过定点； 当直线的斜率不存在时，设直线，与椭圆方程联立，利用向量垂直的坐标表示，求得，可知直线的方程为，也过定点，即可得解； （3）由题意，且直线的斜率存在，由距离公式和韦达定理可得，结合化简得，构造函数，利用导数法结合零点存在性定理得方程有唯一的实数根，即可得解. 【小问1详解】 依题意，，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 证明略，定点为. 【小问3详解】 条，理由略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $