精品解析：甘肃省甘南藏族自治州临潭县第一中学2025-2026学年高三上学期数学学业学情调研卷（12.10）

临潭一中2025-2026学年第一学期 2026届高三数学学业学情调研卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．考试范围：集合与常用逻辑用语+复数+一元二次函数、方程和不等式+函数及其性质+幂函数、指数函数和对数函数+三角函数、解三角形+平面向量 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知复数满足（其中i为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 4. 若，，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，是边上的点，其中，，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知点是函数在第一象限内的图象上的一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 在菱形中，分别是边的中点，则（　　） A. B. C. D. 8. 在中，已知，P在线段（不包含端点）上，若，则的最小值为（ ） A. B. C. 4 D. 3 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（　　） A. 的最小正周期是 B. 的图象关于点中心对称 C. 的图象关于直线对称 D. 将的图象向左平移个单位长度后得到的函数为偶函数 10. 下列命题中正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的定义域为R B. 函数的值域为 C. D. 函数为减函数 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数，当时，则的值为______. 13. 已知函数的极值点为，则___________． 14. 已知满足，则的值为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数 （1）当时，求曲线在点处曲线的切线方程； （2）求函数的单调区间. 16. 已知函数的最大值为1． （1）求使成立的的集合； （2）记的内角的对边分别为，已知，的面积为，求的周长． 17. 已知，其中向量, （1）求的最小正周期和最小值； （2）在△中，角A、B、C的对边分别为、、，若，，，求边长的值. 18. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求的大小. （2）如图所示，为△ABC外一点，，，，求角D. 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若存在极值，求实数的取值范围； （3）求证：对任意，都存在，使得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临潭一中2025-2026学年第一学期 2026届高三数学学业学情调研卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．考试范围：集合与常用逻辑用语+复数+一元二次函数、方程和不等式+函数及其性质+幂函数、指数函数和对数函数+三角函数、解三角形+平面向量 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式求得，进而求得，根据集合的并集运算，即可求得答案. 【详解】依题意，，，故. 故选：A. 2. 已知向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据共线向量的坐标表示，以及充分、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】若，则，此时，所以； 若，则由向量共线定理可得，解得或. 因此，“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3. 已知复数满足（其中i为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由复数的四则运算法则和模的计算公式求解. 【详解】由得， 所以， 所以， 故选：C. 4. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式将已知条件化简，再结合同角三角函数的基本关系式求解即可. 【详解】由，可得，所以，所以， 又因为，所以，所以， 又因为，所以，所以， 所以. 故选：B. 5. 如图，在中，是边上的点，其中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先在中，由正弦定理求出，再在中，由正弦定理求出. 【详解】在中，，， 由正弦定理得， 所以， 在中，，， 由正弦定理得， 所以， 故选：D． 6. 已知点是函数在第一象限内的图象上的一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得出，且，利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】由题意可知，，且有，所以， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为. 故选：A. 7. 在菱形中，分别是边的中点，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将用表示，利用平面向量的数量积求出，计算即可得解. 【详解】由题意，得， 在菱形中，， 所以， 所以． 故选:D. 8. 在中，已知，P在线段（不包含端点）上，若，则的最小值为（ ） A. B. C. 4 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】设，通过向量的线性运算结合题目中的条件把用表示，最后利用基本不等式即可求解. 【详解】设， 则， 又因为，所以，， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值为. 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（　　） A. 的最小正周期是 B. 的图象关于点中心对称 C. 的图象关于直线对称 D. 将的图象向左平移个单位长度后得到的函数为偶函数 【答案】AC 【解析】 【分析】选项A，利用周期公式直接计算判断；选项B，根据中心对称的定义，计算对称中心处的函数值判断；选项C，根据轴对称的定义，验证判断；选项D，先进行图象平移得到新函数，再根据奇偶性定义判断. 【详解】选项A，对于函数，最小正周期，题中，所以，所以A正确； 选项B，若函数图象关于点中心对称，则有，但，所以B错误； 选项C，若的图象关于直线对称，则，又， ，所以，所以C正确； 选项D，将的图象向左平移个单位长度后得到的函数为，则， 所以，即不是偶函数，所以D错误. 故选：AC. 10. 下列命题中正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据不等式的性质，作差比较法等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A、，则或， 当时，，故A错误； 对于B，，，则，故B正确； 对于C，， ，， 则，即，故C正确； 对于D，， 又，所以， 则， 即，故D错误． 故选：BC． 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的定义域为R B. 函数的值域为 C. D. 函数为减函数 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据指数幂运算性质，结合指数函数的单调性逐一判断即可. 【详解】A：因为，所以，因此函数的定义域为R，所以本选项说法正确； B：， 因为，所以， 因此函数的值域为，所以本选项说法正确； C：因为， 所以本选项说法正确； D：因为， 所以不满足减函数的定义，因此本选项说法不正确， 故选：ABC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数，当时，则的值为______. 【答案】或0 【解析】 【分析】根据题设可得，进而分，两种情况讨论求解即可. 【详解】由，则， 当时，，即； 当时，，即或（舍去）. 综上所述，或. 故答案为：或0. 13. 已知函数的极值点为，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】求导，判断函数的单调性并结合极值点的定义判断. 【详解】由，， 令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的极小值点为，即. 故答案为：. 14. 已知满足，则的值为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】根据切弦互化得，进而整理得，再根据展开整理得，最后利用展开求解即可. 【详解】解：由得，即， 所以， 因为，所以， 因为， 所以， 所以 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数 （1）当时，求曲线在点处曲线的切线方程； （2）求函数的单调区间. 【答案】（1） （2） 当时，在上单调递增， 当时，在单调递增，单调递减. 【解析】 【分析】(1)利用导数的几何意义求解;(2)利用导函数研究函数的单调性. 【小问1详解】 当时，，定义域为， ，所以切点为， 又因为，所以，即切线的斜率等于2， 根据点斜式得，整理得. 【小问2详解】 , 当时，恒成立，所以在上单调递增， 当时，令即解得， 令即解得， 所以在单调递增，单调递减. 综上， 当时，在上单调递增， 当时，在单调递增，单调递减. 16. 已知函数的最大值为1． （1）求使成立的的集合； （2）记的内角的对边分别为，已知，的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由辅助角公式得到，结合最大值求解，再由即可求解； （2）由（1）求得，再结合三角形面积公式及余弦定理即可求解. 【小问1详解】 ， 最大值为， 所以， 即， 则，即， 即， 即， 所以的解集为： 【小问2详解】 因为， 即，即， 因为为三角形内角，所以，得， 又的面积为，即， 得， 又 则即， 所以周长为. 17. 已知，其中向量, （1）求的最小正周期和最小值； （2）在△中，角A、B、C的对边分别为、、，若，，，求边长的值. 【答案】（1）最小正周期为π，最小值为. （2）2或6． 【解析】 【分析】（1）利用向量的数量积化简的解析式，进而可得的最小正周期和最小值； （2）先由求得，再利用余弦定理列方程，即可求得边长的值. 【详解】（1） 则的最小正周期，最小值为. （2），则， 又 ，则，故，解之得 又，，由余弦定理得， 即，解之得或.经检验，均符合题意. 18. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求的大小. （2）如图所示，为△ABC外一点，，，，求角D. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）首先由正弦定理边化角，再根据三角恒等变换化简等式，即可求解； （2）根据几何关系，在和中，根据正弦定理表示，利用等量关系，即可求解. 【小问1详解】 ， 在△ABC中，由正弦定理得， ， 由三角形内角和为可得， ，即， ，，，即， 又，，即,. 【小问2详解】 设，令，， 在中，由正弦定理得，，，. 在中，由正弦定理得，，，，， ，解得. 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若存在极值，求实数的取值范围； （3）求证：对任意，都存在，使得． 【答案】（1） （2）． （3）证明：①当时，由（2）知，在上单调递减， 令 ，则 ，； ②当时，为极大值，为极小值， ， 令，则； ③当时，在上单调递增，令 ， ，； 综上，对任意，都存在，使． 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义进行求解即可； （2）利用导数分情况讨论函数的单调性，判断极值即可求解 （3）利用（2）中的函数的单调性，将进行赋值即可证明. 【小问1详解】 当时，，， ，又， 曲线在点处的切线方程为：； 【小问2详解】 ，， 当时，，在上单调递减，无极值； 当时，令，即， 解得， 当时，， 0 0 极大值 极小值 的单调递增区间为，单调递减区间为，为函数的两个极值点， 故符合题意； 当时，， 在上单调递增，无极值. 综上，实数的取值范围为； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $