1.2 一定是直角三角形吗 随堂同步练习 2025--2026学年北师大版八年级数学上册

1.2一定是直角三角形吗 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知，，，，则这个三角形是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 2．由下列各组线段组成的三角形是直角三角形的是（   ） A．3，4，4 B．3，4，5 C．3，4，6 D．2，3，5 3．如图，是放置在正方形网格中的一个角，、、都是格点，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．三角形的三边长为、、，且满足等式，则此三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 5．五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（    ） A． B． C． D． 6．下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（   ） A．2，3，4 B．5，12，13 C．6，8，10 D．9，12，15 7．若的三边a，b，c 满足  ，则是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 8．依据所标数据，下列三角形中，是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 9．勾股数，又名毕达哥拉斯三元数，是指能够成为直角三角形三条边长的三个正整数．下列各组数中是勾股数的是（   ） A．0.3，0.4，0.5 B．2，3，5 C． D．5，12，13 10．已知a，b，c为的三边长，在下列条件中，不能判定是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 11．下列各组数中，是勾股数的是（    ） A． B．，， C． D． 12．下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（   ） A．7，12，13 B．3，4，5 C．1，2，3 D．5，12，14 二、填空题 13．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足 ，那么这个三角形是直角三角形．（直角三角形的判定） 14．如图，以的两边、分别向外作正方形，它们的面积分别是，，若，，，则的形状是 三角形． 15．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，，，三点均在正方形格点上． （1）的大小为 ； （2）若，则的长为 ． 16．如图是某超市购物车的侧面简化示意图．测得支架，两轮中心的距离，则点C到的距离是 ．    17．若a，b，c是的三边长，且满足，则是 三角形． 三、解答题 18．如图，四边形 中， 平分 为 上一点， ． (1)判断 的形状，并说明理由； (2)求 的长． 19．如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，且． (1)求证：是直角三角形； (2)若，，求的长． 20．如图，哪些三角形是直角三角形，哪些不是？说说你的理由． 21．如图，在四边形中，，，，，连接．求四边形的面积． 22．如图四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，是和边长，易知，这时我们把关于的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题： （1）写出一个“勾系一元二次方程”； （2）求证：关于的“勾系一元二次方程”必有实数根； （3）若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求面积． 23．如图，在中的垂直平分线分别交于点D，E，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 24．将一些“勾股数”整理并填入下表，观察表格并回答问题： 3 8 15 24 35 48 … 4 6 8 10 12 14 … 5 10 17 26 37 50 … (1)当时，直接写出的值； (2)是否存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71？若存在，请写出这组数；若不存在，请说明理由； (3)以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，是否一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数？若可以，请说明理由；若不可以，请举出反例． 《1.2一定是直角三角形吗》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C B B A B A D B 题号 11 12 答案 D B 1．C 【分析】本题考查了等腰三角形的定义、勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．求出，，再根据等腰三角形的定义、勾股定理的逆定理即可得． 【详解】解：∵在中，，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， 故选：C． 2．B 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可． 【详解】解：A、∵， ∴长为3，4，4的三条线段不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； B、∵， ∴长为3，4，5的三条线段可以组成直角三角形，故此选项符合题意； C、∵， ∴长为3，4，6的三条线段不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； D、∵， ∴长为2，3，5的三条线段不可以组成三角形，故此选项不符合题意； 故选：B． 3．C 【分析】本题考查勾股定理，锐角三角函数等知识，解题的关键是根据网格的性质，求出，，的长，根据勾股定理的逆定理，可得是直角三角形，且，根据余弦定义进行解答，即可． 【详解】解：连接， 由网格可得，，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 故选：C． 4．B 【分析】此题主要考查了勾股定理的逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长满足，那么这个三角形就是直角三角形． 先由完全平方公式展开，再由勾股定理的逆定理求解． 【详解】解：， ， ． 此三角形为直角三角形． 故选：B． 5．B 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、，，故A不正确； B、，，故B正确； C、，，故C不正确； D、，，故D不正确． 故选：B． 6．A 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握若一个三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、因为 ，所以不能作为直角三角形的三边长，故本选项符合题意； B、因为 ，所以能够作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意； C、因为 ，所以能够作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意； D、因为 ，所以能够作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意； 故选：A 7．B 【分析】本题主要考查了连比，勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理判定直角三角形． 假设，再根据勾股定理的逆定理判定直角三角形即可． 【详解】解：根据，假设， ∴， ∵， ∴是直角三角形， 故选：B． 8．A 【分析】此题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键； 根据勾股定理的逆定理对所给的数据看是否符合两个较小数的平方和等于最大数的平方即可． 【详解】解：A.∵，∴是直角三角形，故本选项符合题意； B.∵，∴不是直角三角形，故本选项不符合题意； C.∵，∴不是直角三角形，故本选项不符合题意； D.∵，∴不是直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：A． 9．D 【分析】本题考查了勾股数，掌握勾股数的定义是解题关键．根据勾股数的定义：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数．再逐项判断即可． 【详解】解：A．，，，三个数均为小数，不是正整数，不符合勾股数定义． B．，不满足勾股定理． C．，不满足勾股定理． D．，满足勾股定理且均为正整数． 故选：D． 10．B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的知识点，掌握勾股定理的逆定理最关键． 通过计算三角形三边的平方关系，即可逐项判断三角形是否为直角三角形的问题． 【详解】解：A、由可得是直角三角形，不符合题意； B、由可得，此时，无法构成三角形，符合题意； C、假设，由可得是直角三角形，不符合题意； D、由可得，是直角三角形，不符合题意． 故选：B ． 11．D 【分析】本题考查了勾股数的定义，勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，据此即可求解． 【详解】解：根据勾股数的定义，首先排除A、B选项； ∵， ∴C不符合题意；D符合题意； 故选：D 12．B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键． 根据勾股定理逆定理，先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可． 【详解】解：A．最长边为13，，，，故不能构成直角三角形，不符合题意； B．最长边为5，，，，故能构成直角三角形，符合题意； C．最长边为3，，，，故不能构成直角三角形，不符合题意； D．最长边为14，，，，故不能构成直角三角形，不符合题意； 故选：B． 13．a2+b2=c2 【解析】略 14．直角 【分析】根据正方形的面积公式结合勾股定理的逆定理即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴是直角三角形， 故答案为：直角． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和正方形面积的应用，理解勾股定理的逆定理的内容是解题的关键． 15． /90度 2 【分析】本题主要考查了利用网格求三角形面积，勾股定理与勾股定理逆定理的应用． （1）先利用勾股定理求出，，，再利用勾股定理的逆定理即可得出答案． （2）利用等面积法求解即可． 【详解】解：（1）由勾股定理可得： ，，， ∵ ∴， ∴是直角三角形，且， 故答案为： （2）∵， ∴， ∴ 故答案为：2 16．48 【分析】本题考查了点到直线的距离和勾股定理的逆定理，解题的关键是连接，过作于，求出，根据勾股定理的逆定理求出是直角三角形，根据三角形的面积公式得出，再求出即可． 【详解】解：连接，过作于，   ，，， ， 是直角三角形， 的面积， ， 解得：， 即点到的距离为， 故答案为：48． 17．直角 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，非负数的性质，熟练掌握勾股定理的逆定理及非负数的性质是解题的关键．根据非负数的性质可得，，，所以，根据勾股定理的逆定理即可得到答案． 【详解】解：， ，，， ， 是直角三角形． 故答案为：直角． 18．(1)直角三角形，理由见解析 (2) 【分析】本题主要应用勾股定理的逆定理判断三角形形状，以及利用角平分线的性质求解线段长度． ()根据勾股定理的逆定理：如果一个三角形的三边长满足(为最长边)，那么这个三角形是直角三角形，且最长边所对的角是直角；得出是直角三角形即可； ()根据角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等；得出即可． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： ∵，，， ∴ 即：， ∴是直角三角形； （2）∵是直角三角形， ∴ ， ∵，平分，， ∴． 19．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理、线段垂直平分线的性质定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理、线段垂直平分线的性质定理是解题的关键． （1）利用线段垂直平分线的性质可得，然后利用勾股定理逆定理可得结论； （2）设，，则，，首先确定的长，在中，，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）证明：连接， 的垂直平分线分别交、于点、， ， ， ， ， 是直角三角形，且； 是直角三角形； （2）解：∵， 设，，则，， 在中，， 在中，， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴． 20．④⑤是直角三角形，①②③⑥不是直角三角形．理由见解析 【分析】先根据勾股定理求出各三角形的三边长的平方，再由勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】解：①由勾股定理可知，三角形的三边长的平方分别为22+22=8，12+22=5，9， ∵8+5≠9，故不是直角三角形； ②由勾股定理可知，三角形的三边长的平方分别为12+32=10，32+42=25，9， ∵10+9≠25，故不是直角三角形； ③由勾股定理可知，三角形的三边长的平方分别为12+22=5，12+32=10，12+42=17， ∵5+10≠17，故不是直角三角形； ④由勾股定理可知，三角形的三边长的平方分别为12+32=10，12+32=10，22+42=20， ∵10+10=20，故是直角三角形； ⑤由勾股定理可知，三角形的三边长的平方分别为32+22=13，12+52=26，22+32=13， ∵13+13=26，故是直角三角形； ⑥由勾股定理可知，三角形的三边长的平方分别为32+22=13，12+32=10，12+42=17， ∵13+10≠17，故不是直角三角形． 故④⑤是直角三角形，①②③⑥不是直角三角形． 【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键． 21． 【分析】本题考查的是勾股定理，四边形的面积以及勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．直接根据勾股定理求出的长，在中，由勾股定理的逆定理即可判断三角形的形状，再根据三角形面积公式计算即可求解． 【详解】解：，，， ， （负值已舍）； 在中，，，， ，， ， 是直角三角形，且， 四边形的面积． 22．（1）；（2）见解析；（3）4 【分析】（1）直接找一组勾股数代入方程即可； （2）通过判断根的判别式△的正负来证明结论； （3）利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得的值，根据完全平方公式求得的值，从而可求得面积． 【详解】解：（1）当，，时 勾系一元二次方程为； （2）证明：根据题意，得 △ 即△， 勾系一元二次方程必有实数根； （3）当时，有，即， ，即， ， ， ，， ， ， ． 【点睛】此类题目要读懂题意，根据题目中所给的材料结合勾股定理和根的判别式解题． 23．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质和勾股定理（及逆定理）的应用，解题的关键是利用垂直平分线的性质得到，进而通过边的关系转化证明直角或列方程求解． （1）连接，由垂直平分线性质得，结合已知等式转化为，利用勾股定理逆定理证； （2）设，用表示的长度，在中通过勾股定理列方程求解x． 【详解】（1）证明：连接 ∵是的垂直平分线 ∴（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等） ∵，且 ∴ 即 ∴是直角三角形，且（勾股定理的逆定理） 即 （2）解：设的长为x ∵ ∴ ∵ ∴ 在中，由勾股定理得： 即 展开得： 化简得：,即 ∴ ∴的长为． 24．(1) (2)不存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71，理由见解析 (3)以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数．理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股数问题，勾股定理的逆定理，正确理解题意是解题的关键。 （1）观察表格可知，（，且为整数），据此根据b的值求出m的值，进而求出a的值即可； （2）分别令的值等于71，看m是否有大于等于2的正整数解即可； （3）根据可知若一个三角形三边长分别为，，（，且为整数），则该三角形为直角三角形，据此可得结论． 【详解】（1）解：观察表格可知，（，且为整数）， ∴当时，则， ∴， ∴； （2）解：不存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71，理由如下： 当时，此时，不符合题意； 当时，此时，不符合题意； 当时，此时，不符合题意； 综上所述，不存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71； （3）解：以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数．理由如下： 对于一组数：，，（，且为整数）．       ∵ ∴若一个三角形三边长分别为，，（，且为整数），则该三角形为直角三角形． ∵当，且为整数时，表示任意一个大于2的偶数，，均为正整数， ∴以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数． 学科网（北京）股份有限公司 $