第一章 勾股定理 随堂反馈-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年新教材八年级上册数学（北师大版2024 宁夏专版）

(1)A(-4,5),B(-2,1),C(-1,3):(2)如图，△ABC,线段AA和BB即为所求； y (3):△ABC和△ABC关于y轴对称，.AA∥BB,四边形 ABBA是梯形，∴四边形ABB,A,的面积为(8十X4X合=24。 专练（四）一次函数 1.A2.C3.-64.解：(1)设直线l4的函数表达式为y=kx十b。把点A(3,0), B0,-2)代入，得3k十6=0,6=一2。解得=号，b6=-2。∴直线4的函数表达式为 y=号-2：(2)y=号十3：(3)易得四边形ABCD为平行四边形，且C-5,0A=3, 2 .四边形ABCD的面积为5×3=15.5.解：(1)，点C的纵坐标为-1，点C在直线 l1上，∴.一2x十1=一1，解得x=1。∴.点C的坐标为(1，-1)。设直线l2的函数表达 式为y=kx十b。:直线l2与y轴交于点B(0,-2),交直线4于点C,.b=-2,k十b =一1，解得k=1,b=一2。.直线2的函数表达式为y=x一2；(2)由题意，得A(0, 1),则AB=3。设D(m,n-2),则E(,-2十1)。DE=2AB,∴.m-2+2n-1 =6,解得m=-1或3。当m=-1时，m-2=-3。当m=3时，m-2=1。∴.点D的 坐标为(-1，-3)或(3,1)。 专练（五）解二（三）元一次方程组 1.解：(1)①十②，得3x=15,x=5。将x=5代入①，得5十y=6,y=1。.原方程组的 解是2=5，(2)将②代人0，得3x+2(x-1D=8,3x+2x-2=8,5x=10,x=2。将x y=1: =2代入②，得y=1。“原方程组的解是=2(3)原方程组整理，得 y=1: 3x-y=1,③ ③+④，得3y=6,y=2。将y=2代入③，得3x-2=1,x=1。原 -3x十4y=5。④ 方程组的解是(4)0十@，得3-=9。④③-0.得x一=5。同④-⑥，得 y=2; 2x=4,x=2。将x=2代入④，得6一x=9,x=一3。将x=2,x=一3代入①，得2十y十 x=2, 6=5,y=一3。∴原方程组的解是 3”2解：将二”代入方程②，得4× 之=一3。 （-3)-bX(-1)=-2,解得b=10。将=5，代入方程①，得5a十5X4=15,解得a y=4 2025 2025 =-1。d+(一)-(-10m+(0×10)-1-1=0 专练（六）二元一次方程组的应用与求参数值 1.02.子3.解：1)设1辆A型车载满荔枚一次可运走xt,1辆B型车载满荔枝一 次可运走y。由题意，得2十)=10，。 2y二11，解得’答：1辆A型车载满荔枝一次 y=4。 走3t,1辆B型车载满荔枝一次可运走4t,(2)由题意，得3a十4b=31,a=31地。 3 又“a,b均为非负整数，1a=9, 6=1,或公4或{名：六该物流公司共有3种用车 案：方案一：租用9辆A型车，1辆B型车；方案二：租用5辆A型车，4辆B型车；方案 三：租用1辆A型车，7辆B型车。4.解：(1)设轿车出发后xh追上大巴，此时大巴 行驶的时间为(x十1)h。由题意，得60x=40(x十1)，解得x=2,则60x=60×2=120。 答：轿车出发后2h追上大巴，此时两车与学校相距120km;(2)由(1)知轿车追上大巴 时，大巴行驶了3h,且此时与学校相距120km,∴.点B的坐标是(3,120)。由图象，得 第40页（共48页） 13k+b=120, 点A的坐标为(1,0)。设直线AB的函数表达式为s=kt十b,则 解得 k十b=0, k=60,÷直线AB的函数表达式为s=601-60:(3)由题意，得40(a十1.5)=60X b=-60。 15,解得a=亭 专练（七）平均数、中位数与方差的应用 1.D2.A3.D4.13.85.解：(1)甲的测试结果从小到大排列为160,165,165， 175,180,185,185,185,甲的中位数a=175+180=17.5。:185出现了3次，出现 2 的次数最多，∴.众数b=185。故a=177.5,b=185:(2)应选乙参赛。理由如下：乙的方 差c=8×[2×(175-175)2+2X180-175)y°+2×(170-175)+(185-175)2+ (165一175)]=37.5。.37.5<93.75，.乙的成绩比甲的成绩稳定，∴.应选乙参赛； (3)(答案不唯一)从平均数和方差相结合看，乙的成绩好些。 专练（八）平行线的性质与判定 1.GDHE2.68°3.解：(1)构造3个命题如下：条件：①AB∥CD:②∠B=∠C;结 论：③∠E=∠F;条件：①AB∥CD:③∠E=∠F;结论：②∠B=∠C;条件：②∠B= ∠C;③∠E=∠F;结论：①AB∥CD:(2)(答案不唯一)选择条件：①AB∥CD:②∠B= ∠C;结论：③∠E=∠F。此命题是真命题。证明如下：：AB∥CD,∴∠C=∠BAE。 又：∠B=∠C,∠B=∠BAE,.EC∥BF,.∠E=∠F。4.解：(1)115°(2)EF 平分∠DFP,理由如下：：DE平分∠MDF,∠EDF=30°，∴.∠MDF=2∠EDF=60°。 MN∥PQ,.∠MDF=∠DFQ=60°。∠EFD=60°，∠EFP=180°-60°-60°= 60°，∠EFP=∠EFD,即EF平分∠DFP;(3)延长EB交MN于点G。由题意，得 ∠DBE=60°，∠ABC=45°，∠DEG=90°，∴.∠CBE=∠ABC+∠DBE=105°， .∠CBG=180°-∠CBE=75°。.MN∥PQ,.∠MGE+∠DEG=180°，.∠MGE= 180°-∠DEG=90°，∴.∠BCG=180°-∠CBG-∠MGE=180°-75°-90°=15°，即 ∠BCN=15°。 期未复习综合测试（一） 1.D2.B3.A4.B5.C6.A7.D8.B9.(-2,3)10.>11.412.√/74 1B.解：1原式=45÷5-√合×12+26=4-5+26=4计6，(2)原式=5+9 -6√5+3=12-5√3.14.解：设AB的长为xm,则BC的长为(x-2)m。:AC= 14m,△ABC是直角三角形，∠C=90°，∴.由勾股定理，得AC十BC=AB,.142+(x -2)2=x2,解得x=50。答：滑雪台的长度AB为50m。15.解：设租住了三人间客 房a间，双人间客房6间。根据愿直，得0十306630·解得区，答：程往了 3a十2b=50, b=13。 三人间客房8间，双人间客房13间。 期未复习综合测试（二） 1.C2.B3.B4.D5.D6.A7.D8.C9.510.1411.112.913.解： 2a-3的平方根为士3，.2a-3=9,∴a=6。a十b-2的算术平方根为4，…a十b -2=16。:a=66+6-2=16,6=12,a+名6=6+号X12=8.8的立方根 是2，a十合b的立方根是2.14.证明：CE∥AD,∴∠E=∠BAD。:AD平分 ∠BAC,.∠BAD=∠CAD,.∠E=∠CAD。.∠E=∠F,.∠CAD=∠F,.AD∥ BF。15.解：(1)300600(2)设直线OD的函数关系式为y=kx。将点(17,340) 代入y=kx,得340=17k,解得k=20。∴.直线OD的函数关系式为y=20x。设直线 DE的函数关系式为y=mx十n。将点(22,340)，(30,300)分别代入y=mx十n,得 22m十n-340解得m=5·:直线DE的函数关系式为y=-5x+50。由 30m十n=300, n=450。 1y=20x, 解得(-18，点D的坐标为18,360)。y与r之间的函数关系 y=-5x+450, 1y=360。 120x(0≤x≤18)， 式为y= -5x十450(18x30)。 第41页（共48页） 随堂反馈答案 第一章勾股定理 1探索勾股定理 第1课时认识勾股定理 知识梳理 ①勾股弦②平方和平方a2+b=c2 当堂练习 1,D2.D3.B4.解：(1)在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC=AB-AC=52-32 =I6BC=4cm:2)Sa=号AC·BC=号×3X4=6(cm). 第2课时勾股定理的验证及其简单应用 1.B2.D3③4解：由题意，得∠BAC=90,在R△ABC中，AC=之×16= 8(n mile),BC=17 n mile,由勾股定理，得AB2=BC-AC=17-82=225,.AB= 15nmic。÷乙船的航速为15÷号-30(n mile/h). 2一定是直角三角形吗 知识梳理 ①a2十b2=c2②正整数 当堂练习 1.B2.A3.直角4.45°5.解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AC2=AB2十 BC=42+32=25,.AC=5cm。:AC2+CD=52+122=25+144=169,AD=132 =169,即AC+CD=AD,∴.△ACD是直角三角形，∠ACD=90°。 3勾股定理的应用 1.C2.1.73.解：由题意，得AB=10m,AC=20m。设BD=xm,则树高AD=(10 十x)m。由题意，得BD十CD=AB十AC,.x十CD=10十20，∴.CD=(30-x)m。在 Rt△ACD中，∠A=90°，由勾股定理，得AC+AD=CD,即202+(10十x)2=(30- x)2,解得x=5。.AD=10十5=15(m)。答：这棵树有15m高。 第二章实数 1认识实数 第1课时无理数的产生 知识梳理 ①整数分数 ②无限不循环小数 当堂练习 1.D2.B3.B4.22.22.35.10 第2课时实数 知识梳理 ①无限不循环②有理数无理数有理数无理数目-a 1 它本身它的相 反数0④一一对应 当堂练习 1.C2.D3.ππ-3.14 日4245解：1)如图， AC,AD的 长是无理数。理由如下：：AB=3+42=25=52,AC2=32十12=10，AD=32十22= 13,没有任何一个有理数的平方为10或13，∴.AC,AD的长是无理数：(2)如图，△BCD 是等腰三角形。理由如下：BC=1+22=5,CD=12十2=5，BD=2,∴.BC=CD, .△BCD是等腰三角形；(3)AC=10,32<10<4,∴.线段AC的长介于3和4之间。 2平方根与立方根 第1课时算术平方根 知识梳理 0正正√a②03aa-a 第42页（共48页）第一章勾股定理 1探索勾股定理 第1课时认识勾股定理 知识梳理 ①我国古代把直角三角形中较短的直角边称为 ,较长的直角边称为 ,斜边 称为 ②勾股定理：直角三角形两直角边的 等于斜边的 。如果用a,b和c分别表 示直角三角形的两直角边和斜边，那么 当堂练习 1.在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2,AC=3,则AB等于 A.1 B.3 C.4 D.5 2.如图，两个较大正方形的面积分别为225,289，则字母A所代表的正方形的面积 为 ( A.4 B.8 C.16 D.64 225 289 A (第2题图) (第3题图) 3.如图，点E在正方形ABCD的边AB上。若EB=1,EC=2,则正方形ABCD的面 积为 A.5 B.3 C.4 D.2 4.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5cm,AC=3cm。 (1)求BC的长： (2)求△ABC的面积。 ·1· 第2课时 勾股定理的验证及其简单应用 知识梳理 ①勾股定理的验证方法较多，但最简单、最直接的方法是通过拼图，利用面积不变构造等 量关系进行验证。 ②应用勾股定理解决实际问题的关键是把实际问题转化为“直角三角形”这个数学模型来 求解。 当堂练习 1.勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”。我国对勾股定理的证明是由汉代的赵 爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”。2002 年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽。下列图案是“赵爽弦图”的是() B 2.如图为某楼梯，测得楼梯的长为5m,高为3，计划在楼梯表面铺地毯，则地毯的长度 至少为 ( A.4m B.8 m C.9m D.7 m 2m 25n 3m 1.5m (第2题图) (第3题图) 3.如图是一扇高为2m,宽为1.5m的长方形门框，李师傅有3块薄木板，尺寸如下：①号 木板长3m,宽2.7m;②号木板长2.8m,宽2.8m;③号木板长4m,宽2.4m.可以从 这扇门通过的木板是 号。（填序号） 4.如图，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以16 n mile/h的速度向北偏东40°航行，乙船 向南偏东50°航行，2h后，甲船到达C岛，乙船到达B岛。若B,C两岛相距17 mile,. 问乙船的航速是多少？ ·2· 2一定是直角三角形吗 知识梳理 ①如果三角形的三边长a,b,c满足 ,那么这个三角形是直角三角形。 ②满足a2十b=c2的三个 ,称为勾股数。 当堂练习 1.以下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是() A.4,5,6 B.1.5,2,2.5 C.6,7,8 D.2,3,4 2.下列各组数是勾股数的是 A.3,4,5 B.1.5,2,2.5 C.32,42,52 n 3.如图，以△ABC的三边为边长分别向外作正方形，它们的面积分别是S1,S2,S3。如果 S1+S2=S3,那么△ABC的形状是 三角形。 (第3题图) (第4题图) 4.如图，每个小正方形的边长为1，则∠ABC的度数为 5.如图是一个零件的示意图，测得AB=4cm,BC=3cm,CD=12cm,AD=13cm,∠B 90°，根据这些条件，求出∠ACD的度数。 ·3· 3勾股定理的应用 1.如图，湖的两端有A,B两点，从与BA方向成直角的BC方向上的点C测得CA=130m, CB=120m,则AB的长为 () A.30m B.40m C.50m D.60m (第1题图) (第2题图) 2.如图，AB⊥BC,AB=1.2m,BC=0.5m,AD=CE=0.2m,则加固小树的木棒DE的 长是 m。 3.如图，在一棵树(AD)的10m高处(B)有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20m的池 塘(C),而另一只则爬到树顶(D)后直扑池塘。如果两只猴子经过的路程相等，那么这棵 树有多高？ AD B 10m C220m A ·4·