1.2一定是直角三角形吗同步训练2025-2026学年北师大版数学八年级上册

1.2 一定是直角三角形吗 同步训练 一、单选题 1．下列各组数不是勾股数的是（    ） A．3，4，5 B．5，12，13 C．9，40，41 D．8，12，18 2．若的三边长为，，，满足，则的形状是（    ）． A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 3．如图，在四边形中，，，，，，那么四边形的面积是（   ） A．10 B． C． D． 4．如图，小明家铺的正方形地砖，连接其中的三个顶点，，构成一个三角形，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对 5．如图，五根小棒的长度分别是，，，，．现要将它们摆成两个直角三角形，下列摆法中符合要求的是（   ） A． B． C． D． 6．在如图的网格中，以为一边画，则满足条件的格点C共有（    ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 二、填空题 7．请写出一组包含12的勾股数： ． 8．三角形花坛的三边长分别为，，，则这个花坛的面积是 ． 9．如图，中，，为的角平分线，则 ． 10．图中，是直角三角形的序号是 ． 三、解答题 11．用一条长为的细绳围成三角形． (1)若围成三角形的其中两边长为、，请判断该三角形的形状，并说明理由． (2)若围成有一边长为的等腰三角形，求该三角形的底边长． 12．如图，在中，，D为上一点，连接，若，，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的面积 13．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C，D是网格线的交点． (1)求出的度数； (2)求出四边形的面积． 14．已知：满足的三个正整数a，b，c称为一组勾股数，很多勾股数组具有规律： (1)设，观察提供的4组勾股数的规律，完成第⑤组勾股数； 当a为奇数时，如①3，4，5；②5，，；③7，，；④9，______，______；⑤11，60，61； 当a为偶数时，如①6，8，；②8，，；③，，；④，，，；⑤，______，______； (2)若，，，n为正整数，且，求证：不论n为何值，a，b，c都是勾股数组． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】本题考查了勾股数．根据勾股数的定义，判断各组数同时满足都是正整数和最大数的平方等于较小的两个数的平方和，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：A、，，∴，是勾股数； B、，，∴，是勾股数； C、，，∴，是勾股数； D、，，∴，不是勾股数； 故选：D 2．D 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，解答本题的关键是掌握两个数的积为0，则至少有一个数是0．因为a，b，c为三边，根据，可找到这三边的数量关系，判断形状． 【详解】解： ， 或， 当成立时，是等腰三角形， 当时，是直角三角形， 故选：D． 3．B 【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理． 根据勾股定理求出的长，再利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，然后利用进行计算即可解答． 【详解】解：如图： ∵，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴ ． 故选：B． 4．A 【分析】考查了勾股定理的逆定理，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形的三边满足，则三角形是直角三角形．根据勾股定理求得各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状． 【详解】解：设正方形地砖边长为1， ， ， ， 在中， ，， ， 是直角三角形． 故选：A 5．B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解． 【详解】解： ，， 为两个直角三角形的斜边， 故选：B． 6．B 【分析】此题考查了勾股定理以及逆定理，解题的关键是掌握以上知识点． 根据勾股定理以及逆定理和网格的特点求解即可． 【详解】如图所示， 当是斜边时，由网格可得，， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H四个； 当是直角边，A是直角顶点时， ∵ ∴； ∴第三个顶点可以是F点； 当是直角边，B是直角顶点时， ∵ ∴； ∴第三个顶点可以是G． ∴共有6个满足条件的顶点． 故选：B． 7．（答案不唯一） 【分析】本题主要考查勾股数；根据勾股数的定义即可求出． 【详解】解：∵， ∴是一组包含12的勾股数； 故答案为：． 8． 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形．理解和掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理判定三角形的形状，然后再计算其面积即可． 【详解】解：∵三角形花坛的三边长分别是，，，且，， ∴， ∴该三角形为直角三角形，直角边分别为，， ∴该花坛的面积是：． 故答案为：． 9．4.5 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，角平分线的性质，三角形的面积，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点D作，垂足为E，先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，然后根据角平分线的性质可得，最后根据的面积的面积的面积，进行计算即可解答． 【详解】解：过点D作，垂足为E， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∵的面积的面积的面积， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10． 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理求边长及逆定理证明直角三角形；先分别求出每个三角形的边长，再根据勾股定理逆定理判断即可． 【详解】解：三角形的三边长分别为，，3，因为，所以不是直角三角形，故不符合题意； 三角形的三边长分别为，，3，因为，所以不是直角三角形，故不符合题意； 三角形的三边长分别为，，，因为，所以不是直角三角形，故不符合题意； 三角形的三边长分别为，，，因为，所以是直角三角形，故符合题意； 三角形的三边长分别为，，，因为，所以是直角三角形，故符合题意； 三角形的三边长分别为，，，因为，所以不是直角三角形，故不符合题意； 故答案为： ． 11．(1)直角三角形，理由见解析 (2)底边长为 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，等腰三角形的定义，判断三边能否构成直角三角形等知识，解题关键是熟练掌握勾股定理的逆定理和等腰三角形的性质． （1）求出第三边长为，再由勾股定理的逆定理即可得出结论； （2）分两种情况：①当等腰三角形的腰长为时；②当等腰三角形的底边长为时；分别进行计算即可解答． 【详解】（1）解：围成的三角形是直角三角形，理由如下： 围成三角形的其中两边长为、， 第三边长为， ， 围成的三角形是直角三角形； （2）解：分两种情况： ①当等腰三角形的腰长为时， 底边长为， ， 不能构成三角形，不符合题意舍去； ②当等腰三角形的底边长为时， 腰长为，符合题意； 综上所述，若围成有一边长为的等腰三角形，该三角形的底边长为． 12．(1)直角三角形；理由见解析 (2) 【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理进行判断即可； （2）由（1）可证得是直角三角形，根据勾股定理，求出的长度，再根据三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： 在中，，， 则，即 因此是直角三角形； （2）解：由（1）可知 在中，， 根据勾股定理得， 即 解得 因此 答：的面积为． 13．(1)； (2) 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）连接，根据勾股定理的逆定理，可以判断是等腰直角三角形，即可求得； （2）同理，可判断是等腰直角三角形，根据四边形的面积，代入数据求解即可． 【详解】（1）解：连接， ，，， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴四边形的面积 ． 14．(1)，，， (2)见解析 【分析】本题考查勾股数，完全平方公式，数字的规律探索，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据所提供的几组勾股数的规律发现，当a为奇数时，勾股数组中较大两数是相邻的两个连续整数；当a为偶数时，勾股数组中较大两数是相邻的两个连续偶数或奇数，据此列方程求解即可； （2）根据勾股数的定义，证明即可． 【详解】（1）解：根据所提供的几组勾股数的规律发现， 当a为奇数时，勾股数组中较大两数是相邻的两个连续整数， 设两个连续整数中较小数为x， 则， ， ， ∴两数为； 当a为偶数时，勾股数组中较大两数是相邻的两个连续偶数或奇数， 设两个连续偶数或奇数中较小数为x， 则， ， ， ∴两数为； 故答案为：和； （2）证明：， ， ， ， ， ∴不论n为何值，a，b，c都是勾股数组． 学科网（北京）股份有限公司 $