精品解析：山东省济南市济阳区2025-2026学年八年级上学期11月期中考试数学试题

2025-2026学年山东省济南市济阳区八年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10个小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下列方程中，解为的二元一次方程是（ ） A. B. C. D. 2. 在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（ ） A. B. C. D. 3. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）． A. B. C. D. 4. 直线与x轴的交点是，则k的值是（ ） A. 3 B. 2 C. D. 5. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列各图能表示y是x的函数的是( ) A. B. C. D. 7. 某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘B处离桌面的高度为，此时底部边缘A处与C处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（D是B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离为，则底部边缘A处与E之间的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 用5张大小、形状完全相同的长方形纸片在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知点B的坐标为，若每个长方形的长为x，宽为y，则可列出方程组（ ） A. B. C. D. 9. 如图，数轴上点A、B分别对应数1、2，过点B作，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点C，以原点O为圆心，长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应数是（ ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是，另一点A的坐标为，则以下结论： ①点P在直线上； ②若设的面积为S，当时，； ③的最小值为； ④的周长最小值为； ⑤若点P在第四象限，过P作轴于点E，轴于点F，长方形的周长始终为8． 其中正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题：本题共5个小题，每小题4分，共20分．直接填写答案． 11. 若二次根式有意义，则的值可以是______．（写出一个即可） 12. 一个正数的平方根是和，则这个数是__________． 13. 已知关于的方程组，则的值为___________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，…依次进行下去，则点的坐标为 _____________ ． 15. 如图，在长方形中，点E，点F分别为边，上的点，将长方形纸片沿折叠，使点B与点D重合，若，，则折痕的长是________． 三、解答题：本题共10个小题，共90分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1） （2） 17. 解二元一次方程组： （1） （2） 18. 如图，在的正方形网格中，点A的坐标为，点B的坐标为． （1）请在图中将平面直角坐标系画出来； （2）若将点B向左平移6个单位后，再作关于x轴对称点，得到点C，则点C的坐标为 ； （3）画出三角形，并求其面积． 19. 如图，在中，，，D为边上的一点，，． （1）求证：； （2）求的面积． 20. 国庆节放假期间，小亮一家到某度假村度假．返回时，他们先乘车到服务区休息了一会儿，然后又乘车以速度返回家中．返回途中，小亮与自己家的距离和时间之间的关系大致如图所示． （1）小亮从度假村到服务区的过程中，求与之间的函数关系式； （2）小亮从度假村回到自己家共用了多长时间？ 21. 一辆完整的自行车由二百多种、一千多个零件组成，其中链条是自行车传动系统上的重要组成部分．已知链条总长度是链条节数的一次函数，如图所示，周亮对某型号自行车链条的长度进行了测量，测得1节链条的长度为，4节这样的链条连在一起的总长度为． （1）设自行车链条总长度为，链条节数x节，请根据图中的信息求出y与x的关系式； （2）求节同样的链条按图中方式连在一起的总长； （3）李师傅要给一辆自行车换同款链条，新链条拉直总长为，这段链条共有多少节？ 22. 随着“低碳生活，绿色出行”理念普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计万元． （1）求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）若该汽车销售公司正好用万元资金，购进A型汽车、B型汽车两种型号汽车（两种型号汽车均购买）国庆节期间销售，请问怎样购进才能使购进的车辆最多，最多可以购进几辆？ 23. 如图，已知直线与轴交于点、与轴交于点，经过原点直线与直线相交于点． （1）求点坐标； （2）求的面积； （3）在直线上是否存在点，使的面积是的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 24 阅读下列材料，然后回答问题： 材料一：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 材料二：学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想．它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，求．我们可以把和分别看作是一个整体，令，则．这样，我们不用求出a，b就可以得到最后的结果． （1）计算：； （2）若m是正整数，，，则： ① ， （用含m的代数式表示）； ②若，求m的值： （3）若，则的值是 ． 25. 【模型构建】 （1）如图1，将含有的三角板的直角顶点C放在直线l上，过点A作于点D，过点B作于点E，请写出图1中（除外）相等的线段，并证明； 【初步感知】 （2）如图2，直角三角板放置在平面直角坐标系中，点C的坐标为，点B坐标为，请求出点A的坐标和直线的表达式； 【深入探究】 （3）如图3，点A坐标为，点B坐标为，过点B作x轴的平行线l，点P是直线l上的一个动点，点D是一次函数图象上的一个动点，当是一个以为直角边的等腰直角三角形时，请直接写出点D的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年山东省济南市济阳区八年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10个小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下列方程中，解为的二元一次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程的解．将代入方程，判断两边是否相等，相等则为方程的解． 【详解】解：A：∵， ∴不是方程的解； B：∵， ∴是该方程的解； C：∵， ∴不是方程的解； D：∵， ∴不是方程的解； 故选：B． 2. 在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】判断小手盖住的象限，再根据各象限内点的坐标特征进行选择．本题主要考查了平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征，熟练掌握各象限内点的横、纵坐标的符号特点是解题的关键． 【详解】解：小手盖住的是第二象限，第二象限内点的横坐标为负，纵坐标为正． 选项A，在第一象限； 选项B，在第二象限； 选项C，在第三象限； 选项D，在第四象限． 故选：B． 3. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义判断． 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式． 4. 直线与x轴的交点是，则k的值是（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把代入函数解析式即可求出k的值． 【详解】解：把代入得，， 解得，， 故选：D． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，解题关键是熟练运用待定系数法进行计算求解． 5. 下列计算错误的是（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算．根据二次根式的加减和乘除运算法则进行计算，逐项判断即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故本选项符合题意； B、，计算正确，故本选项不符合题意； C、，计算正确，故本选项不符合题意； D、，计算正确，故本选项不符合题意； 故选：A． 6. 下列各图能表示y是x的函数的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的概念可直接进行排除选项． 【详解】解：A、B、D都不是函数，因为一个x的值对应有多个y的值，C选项符合函数的概念， 故选：C． 【点睛】本题主要考查函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键． 7. 某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘B处离桌面的高度为，此时底部边缘A处与C处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（D是B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离为，则底部边缘A处与E之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】勾股定理解得出，勾股定理解即可求解． 【详解】解：依题意，， 在中，， ∵，, 在中，， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． 8. 用5张大小、形状完全相同的长方形纸片在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知点B的坐标为，若每个长方形的长为x，宽为y，则可列出方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及坐标与图形性质，每个长方形的长为x，宽为y，根据点B的坐标，列出关于x、y的二元一次方程组即可． 【详解】解：根据题意得：， 故选：C． 9. 如图，数轴上点A、B分别对应数1、2，过点B作，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点C，以原点O为圆心，长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 由作法得：，再由勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：∵数轴上点A、B分别对应数1、2， ∴， 由作法得：， ∵， ∴， ∴， ∴点M对应数是． 故选：B 10. 在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是，另一点A的坐标为，则以下结论： ①点P在直线上； ②若设的面积为S，当时，； ③的最小值为； ④的周长最小值为； ⑤若点P在第四象限，过P作轴于点E，轴于点F，长方形的周长始终为8． 其中正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征、三角形面积与周长的计算、点到直线的距离及对称变换的应用的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据点P的坐标满足直线方程判断①；代入值计算三角形面积验证②；利用配方法求的最小值判断③；通过找点关于直线的对称点，利用两点之间线段最短求周长最小值判断④；根据矩形周长公式计算判断⑤，然后即可求解； 【详解】解：∵点的坐标为， ∴当时，，满足，故①正确； 当时，； ∵，， ∴，到轴距离为， ∴，故②正确； ， ∴，故③正确； 将关于直线对称得， 则的最小值为， ∴周长最小值为，故④正确； 当在第四象限时，且， ，， 矩形周长，故⑤正确； 综上，所有结论均正确， 故选：D； 二、填空题：本题共5个小题，每小题4分，共20分．直接填写答案． 11. 若二次根式有意义，则的值可以是______．（写出一个即可） 【答案】2（答案不唯一，即可） 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键；由题意易得，然后进行求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴m的值可以是2； 故答案为2． 12. 一个正数的平方根是和，则这个数是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平方根定义与求法，熟记平方根定义与求法是解决问题的关键．先由题意，结合平方根定义得到，解一元一次方程即可得到，求出这个正数的两个平方根即可得到答案． 【详解】解：一个正数的平方根是和， ， 解得， ， ， 则这个数是， 故答案为：． 13. 已知关于的方程组，则的值为___________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是掌握加减消元法．把方程组中的两个方程相加，即可得出，即可求出的值． 【详解】解： 由①+②可得出：， 整理得：， ∴， 故答案为：1． 14. 如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，…依次进行下去，则点的坐标为 _____________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数与坐标变换的规律，通过推导点坐标总结出横纵坐标的符号、绝对值变化规律是解题关键．根据直线和的解析式，依次确定各点坐标，发现每次变换后横、纵坐标的绝对值会乘以，同时符号按周期循环变化，进而推出的坐标． 【详解】根据一次函数图象上点的坐标特征可得出点、、、、、、、、、等的坐标． 解：当时，， 点的坐标为； 当时，， ∴点的坐标为； 同理可得：，，，，，，，． 故答案为：． 15. 如图，在长方形中，点E，点F分别为边，上的点，将长方形纸片沿折叠，使点B与点D重合，若，，则折痕的长是________． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，，设与相交于点O，先求出，设，则，由折叠性质得，，，，证明四边形是菱形，在中，由勾股定理求出得，由菱形的面积公式得菱形的面积，即，据此可得折痕的长． 【详解】解：连接，，设与相交于点O，如图所示： ∵四边形是长方形，且，， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得：， 设，则， 由折叠性质得：，，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 由菱形的面积公式得：菱形的面积， ∴， 解得：， 即折痕的长是． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了图形的折叠变换及其性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，理解图形的折叠变换及其性质，矩形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键． 三、解答题：本题共10个小题，共90分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算及求立方根，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先化简二次根式和求立方根，再合并即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 解二元一次方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解题关键是要掌握加减消元法、代入消元法解二元一次方程组． （1）利用代入消元法解方程即可； （2）整理方程①得方程，然后利用加减消元后解方程组即可． 【小问1详解】 解：， 将①代入②可得，解得：， 将代入①可得， 故方程组的解为：． 【小问2详解】 解：， 整理①得：③， 得：，解得：， 把代入②得，， ∴方程组的解为． 18. 如图，在的正方形网格中，点A的坐标为，点B的坐标为． （1）请在图中将平面直角坐标系画出来； （2）若将点B向左平移6个单位后，再作关于x轴对称点，得到点C，则点C的坐标为 ； （3）画出三角形，并求其面积． 【答案】（1）作图见解析 （2） （3）作图见解析； 【解析】 【分析】本题考查作图﹣平移变换、三角形的面积、作图﹣轴对称变换，熟练掌握平移的性质、轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据点A，B的坐标建立平面直角坐标系即可． （2）结合平移的性质和轴对称的性质可得答案． （3）直接描点连线可得三角形，再利用割补法求三角形的面积即可． 【小问1详解】 解：建立平面直角坐标系xOy如图所示： ； 【小问2详解】 解：将点B向左平移6个单位所得的点的坐标为， ∵再作点关于x轴对称得到点C， ∴点C的坐标为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：三角形即为所求，如图： ， 三角形的面积为； 19. 如图，在中，，，D为边上的一点，，． （1）求证：； （2）求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）84 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据，，，得，证明； （2）根据勾股定理，得，求得，计算的面积即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∴. 小问2详解】 解：∵， ，， ∴， ∴， ∴的面积为：． 20. 国庆节放假期间，小亮一家到某度假村度假．返回时，他们先乘车到服务区休息了一会儿，然后又乘车以的速度返回家中．返回途中，小亮与自己家的距离和时间之间的关系大致如图所示． （1）小亮从度假村到服务区的过程中，求与之间的函数关系式； （2）小亮从度假村回到自己家共用了多长时间？ 【答案】（1） （2）小时 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用．用待定系数法求出小亮从度假村到服务区的过程中，与的函数关系式是解决本题的关键． （1）设出一次函数解析式，把点，代入求得和的值，即可求得小亮从度假村到服务区的过程中，与之间的函数关系式； （2）取，代入（1）中得到的函数解析式，求得的值，除以小亮爸爸的车速，即为小亮从服务区回到家的时间，再加上前面用的小时，即为小亮从度假村回到自己家共用的时间． 【小问1详解】 解：由题意，设小亮从度假村到服务区的过程中，与的函数关系式是：， 经过点，， ， ， 小亮从度假村到服务区的过程中，与的函数关系式是：； 【小问2详解】 当时，， 小亮从度假村回到自己家所用的时间为：． 答：小亮从度假村回到自己家共用了小时． 21. 一辆完整的自行车由二百多种、一千多个零件组成，其中链条是自行车传动系统上的重要组成部分．已知链条总长度是链条节数的一次函数，如图所示，周亮对某型号自行车链条的长度进行了测量，测得1节链条的长度为，4节这样的链条连在一起的总长度为． （1）设自行车链条总长度为，链条节数x节，请根据图中的信息求出y与x的关系式； （2）求节同样的链条按图中方式连在一起的总长； （3）李师傅要给一辆自行车换同款链条，新链条拉直总长为，这段链条共有多少节？ 【答案】（1） （2） （3）节 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是把握自行车链条总长度随链条节数的变化规律． （1）由自行车链条总长度随链条节数的变化规律，即可解答； （2）当时，代入函数关系式求出y的值即可； （3）当时，代入函数关系式求出x的值即可． 【小问1详解】 解：链条总长度随链条节数x变化规律是（x是正整数）； ∴y与x的关系式为． 【小问2详解】 解：当时， ， 答：节同样的链条按图中方式连在一起的总长是； 【小问3详解】 解：当时，， 解得：， 答：这段链条共有节． 22. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计万元． （1）求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）若该汽车销售公司正好用万元资金，购进A型汽车、B型汽车两种型号汽车（两种型号汽车均购买）国庆节期间销售，请问怎样购进才能使购进车辆最多，最多可以购进几辆？ 【答案】（1）每辆A型汽车的进价为万元，每辆B型汽车的进价为万元 （2）当购进7辆A型汽车，1辆B型汽车时，才能使购进的车辆最多，最多可以购进8辆 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键． （1）设每辆A型汽车的进价为x万元，每辆B型汽车的进价为y万元，根据“2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进m辆A型汽车，n辆B型汽车，利用总价单价数量，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，可得出各购买方案，再求出各购买方案购进汽车的总辆数，比较后，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设每辆A型汽车的进价为x万元，每辆B型汽车的进价为y万元， 根据题意得：， 解得：， 答：每辆A型汽车的进价为万元，每辆B型汽车的进价为万元； 【小问2详解】 解：设购进m辆A型汽车，n辆B型汽车， 根据题意得：， ∴， 又∵m，n均为正整数， ∴或， ∴共有2种购进方案， 方案1：购进3辆A型汽车，4辆B型汽车，共购进（辆）； 方案2：购进7辆A型汽车，1辆B型汽车，共购进（辆）， ∵， ∴当购进7辆A型汽车，1辆B型汽车时，才能使购进的车辆最多，最多可以购进8辆． 23. 如图，已知直线与轴交于点、与轴交于点，经过原点的直线与直线相交于点． （1）求点坐标； （2）求的面积； （3）在直线上是否存在点，使的面积是的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）12 （3）的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）根据直线的解析式即可求得的坐标； （2）根据题意得出的横坐标，从而求得三角形的面积． （3）根据已知求得的横坐标为为或，通过直线的解析式即可求得的坐标． 【小问1详解】 解：由直线可知：令，则， ∴； 【小问2详解】 解：， ∴点与轴的距离是4， ∵， 的面积； 【小问3详解】 解：存在； ∵直线， ∴，， ， ， ， 当点在延长线上时设， ， ， ， 的横坐标为或10(舍去）， 代入直线得，， 的坐标为， 当点在线段延长线上时，设， ， ， ， 的横坐标为（舍去）或2， 代入直线得，， 的坐标为． 综上所述：的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，直线与坐标轴的交点以及三角形的面积等，关键是熟练地运用性质进行推理和计算，通过做此题培养了学生的综合分析能力，用了分类讨论思想和方程思想． 24. 阅读下列材料，然后回答问题： 材料一：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 材料二：学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想．它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，求．我们可以把和分别看作是一个整体，令，则．这样，我们不用求出a，b就可以得到最后的结果． （1）计算：； （2）若m是正整数，，，则： ① ， （用含m的代数式表示）； ②若，求m的值： （3）若，则的值是 ． 【答案】（1） （2）①1，；② （3）8 【解析】 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的混合运算，熟练掌握分母有理化和整体思想是解题的关键： （1）利用分母有理化进行计算即可； （2）①根据二次根式的运算法则进行计算即可；②整体代入法，列出方程进行求解即可； （3）用换元法进行求解即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：①， ； ②∵， ∴， 解得； 【小问3详解】 设，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， 故答案为：8． 25. 【模型构建】 （1）如图1，将含有的三角板的直角顶点C放在直线l上，过点A作于点D，过点B作于点E，请写出图1中（除外）相等的线段，并证明； 【初步感知】 （2）如图2，直角三角板放置在平面直角坐标系中，点C的坐标为，点B坐标为，请求出点A的坐标和直线的表达式； 【深入探究】 （3）如图3，点A坐标为，点B坐标为，过点B作x轴的平行线l，点P是直线l上的一个动点，点D是一次函数图象上的一个动点，当是一个以为直角边的等腰直角三角形时，请直接写出点D的坐标． 【答案】（1），；证明见解析；（2）；（3）点D坐标为或或 【解析】 【分析】（1）证，即可得解； （2）易证，从而得到，，再利用待定系数法求出直线表达式即可； （3）分类讨论，画出图形，建立方程求解即可． 【详解】解：（1），； 证明：由题可知， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，； （2）如图，过C作轴，再分别过A、B作的垂线段，垂足分别为点D、E， ∵点C的坐标为，点B坐标为， ∴，， 由题可知， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 设直线表达式为，将点A和点B坐标代入得， ， 解得， ∴直线的表达式； （3）设点D坐标为， 当时，且点D在x轴上方时，如图， 此时，，， 同（1）法可得， ∴， ∴， 解得， ∴； 当时，且点D在x轴下方时，如图， 此时， 同理可得， ∴， 又∵， ∴，此时方程无解， 即不存在此种情况； 当，点在轴上方时，如图， 此时， 同理可得， ∴，即， 解得， ∴； 当，点在轴下方时，作轴，如图， 同理：， ∴， ∴， 当时，， ∴； 如图，，点P左侧，如图， 此时，， 同理可得， ∴， ∴，方程无解， 即不存在此种情况； 综上，点D坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、待定系数法求一次函数解析式、一次函数点的坐标特征等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $