精品解析：江西省九江市武宁县武宁尚美中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

江西省武宁县尚美中学2025-2026学年度上学期12月月考 高二数学试题 一、单选题 1. 已知点，，则直线的斜率为（ ） A B. C. D. 2. 已知直线：与：垂直，则（ ） A. B. C. D. 3. 双曲线的离心率为（　　） A. B. C. D. 4. 点与圆的位置关系为（ ） A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆外 D. 与的值有关 5. 已知椭圆的一个焦点坐标是，则实数k的值是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 6. 过点作圆的切线，切点为，则的最小值为（ ） A. B. 5 C. D. 7. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 8. 已知某抛物线的顶点为坐标原点，焦点在直线上，则该抛物线的标准方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 二、多选题 9. 平面内过点且在两坐标轴上的截距相等的直线有（ ） A. B. C. D. 10. 在空间直角坐标系中，已知点，则下列说法正确的是（ ） A. 点到平面的距离为2 B. 点关于轴的对称点为 C. 点到轴的距离为 D. 点关于平面的对称点为 11. 设O为坐标原点，直线过抛物线C：的焦点，且与抛物线C交于M，N两点，l为抛物线C的准线，则（   ） A B. C. 为等腰三角形 D. 以MN为直径的圆与l相切 三、填空题 12. 已知直线l的斜率，则该直线的倾斜角α的取值范围为_________ ． 13. 圆与圆外切，则______． 14. 已知直线与椭圆交于两点，若线段的中点坐标为，则直线的斜率为__________. 四、解答题 15. 如图E，F分别是长方体的棱AB，CD的中点，化简下列表达式： （1）； （2）； （3）； （4）. 16. 已知的三个顶点分别为，求： （1）边所在直线的方程； （2）边上垂直平分线所在直线的方程； （3）面积. 17. 求满足下列条件的椭圆的标准方程. （1），焦点轴上； （2）椭圆上一点到其两焦点的距离之和为10 18. 已知直线，圆． （1）若直线是圆的一条对称轴，求的值； （2）从①若直线被圆截得的弦长为4，②若直线被圆截得的弦长最短这两个条件中选择一个作为已知，求直线的方程． 注：若选择两个条件分别解答，按第一个解答计分． 19. 已知双曲线的实轴长为，离心率为.直线与双曲线相交于两点． （1）求双曲线的方程； （2）若的中点为，求直线的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省武宁县尚美中学2025-2026学年度上学期12月月考 高二数学试题 一、单选题 1. 已知点，，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据经过两点的直线斜率公式即可得到答案. 【详解】由题意可得直线的斜率为. 故选：D. 2. 已知直线：与：垂直，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线垂直的判断方法，列出方程求解即得. 【详解】由直线：与：垂直，故 得 故选：C. 3. 双曲线的离心率为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定的方程，利用双曲线离心率的意义直接求解. 【详解】双曲线的实半轴长，虚半轴长，则半焦距， 所以所求离心率. 故选：D 4. 点与圆的位置关系为（ ） A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆外 D. 与的值有关 【答案】C 【解析】 【分析】将点的坐标代入圆的方程即可判断得到结果. 【详解】， 在圆外， 故选：C. 5. 已知椭圆的一个焦点坐标是，则实数k的值是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定的椭圆方程及焦点坐标，列式求出值. 【详解】由椭圆的一个焦点坐标是， 得椭圆的长轴在轴上，,,,. 又因为在椭圆中，， 所以. 故选：D 6. 过点作圆的切线，切点为，则的最小值为（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆的标准方程得出圆心坐标与半径，再利用切线的性质得到与的关系，最后根据的最小值求出的最小值. 【详解】已知圆的方程为，可得圆心，半径.  因为PQ为圆的切线，所以， 在中，根据勾股定理可得. 已知，则.  点，根据两点间距离公式，可得. 因为，当且仅当时，，此时取得最小值，.  因为，当取最小值时，， 则.  的最小值为. 故选：A. 7. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量在向量上投影向量的定义求解. 【详解】因为空间向量，， 所以，， 所以向量在向量上的投影向量是， 故选：A 8. 已知某抛物线的顶点为坐标原点，焦点在直线上，则该抛物线的标准方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】先求得焦点坐标，再根据焦点坐标求解抛物线方程即可. 【详解】直线与轴的交点为，与轴的交点为， 当抛物线的焦点在轴上时，可得焦点坐标为，此时抛物线的标准方程为； 当抛物线的焦点在轴上时，可得焦点坐标为，此时抛物线的标准方程为. 故选：D 二、多选题 9. 平面内过点且在两坐标轴上的截距相等的直线有（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】分截距均为和截距均不为两种情况讨论，利用待定系数法求出直线方程. 【详解】当截距均为时，设直线方程为，则，解得， 所以所求直线方程为，即； 当截距均不为时，设直线方程为，则，解得， 所以所求直线方程，即； 综上可得所求直线方程为或. 故选：BC 10. 在空间直角坐标系中，已知点，则下列说法正确的是（ ） A. 点到平面的距离为2 B. 点关于轴的对称点为 C. 点到轴的距离为 D. 点关于平面的对称点为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用空间点的坐标特征，空间点关于坐标轴、平面对称的点的坐标特征，逐一对各个选项分析判断即可求出结果. 【详解】对于选项A，因为点，所以到平面的距离为2，故选项A正确； 对于选项B，点关于轴的对称点为，故选项B错误； 对于选项C，因为，到轴的距离为，故选项C正确； 对于选项D，因为，所以点关于平面的对称点为，故选项D正确. 故选：ACD. 11. 设O为坐标原点，直线过抛物线C：的焦点，且与抛物线C交于M，N两点，l为抛物线C的准线，则（   ） A. B. C. 为等腰三角形 D. 以MN为直径的圆与l相切 【答案】AD 【解析】 【分析】由题意作图，根据抛物线焦点的概念，结合直线方程，求得参数；联立方程，求得直线与抛物线交点坐标，从而求得弦长；根据两点距离公式，求得三角形三边；由中点坐标公式，结合圆切线的判定，可得答案. 【详解】由题意，取的中点，作图如下： 由直线，令，则可得，即抛物线的焦点， 所以，解得，故A正确； 联立可得，消去可得，解得或， 当时，由，可得，当时，由，可得， 即，，所以，故B错误； 由，，则C错误； 由图可得，易知点到准线的距离，圆的半径，故D正确. 故选：AD. 三、填空题 12. 已知直线l的斜率，则该直线的倾斜角α的取值范围为_________ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据斜率与倾斜角的关系及倾斜角的范围求倾斜角的范围. 【详解】由，得， 又，所以. 故答案为： 13. 圆与圆外切，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据圆与圆的外切关系，让圆心距等于两圆半径之和即可求解. 【详解】圆，圆心，半径， 圆化为标准方程， 圆心，半径，易知两圆圆心距为5, 根据两圆外切可得， ∴，∴，∴． 故答案为：1 14. 已知直线与椭圆交于两点，若线段的中点坐标为，则直线的斜率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用点差法列方程，整理求得直线的斜率. 【详解】依题意可知，直线的斜率存在. 设直线的斜率为， 则两式相减得，整理得. 因为线段的中点坐标为，所以. 故答案为： 四、解答题 15. 如图E，F分别是长方体的棱AB，CD的中点，化简下列表达式： （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）. 【解析】 【分析】（1）（2）（3）（4）根据空间向量的线性运算，结合长方体性质可得. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 ； 小问4详解】 因为E，F分别是棱AB，CD的中点， 所以. 16. 已知的三个顶点分别为，求： （1）边所在直线的方程； （2）边上的垂直平分线所在直线的方程； （3）的面积. 【答案】（1） （2） （3）3 【解析】 【分析】（1）因为，结合直线的两点式方程，即可求解； （2）由，求得，得到边上的垂直平分线的斜率为，结合直线的点斜式方程，即可求解； （3）先求得点到的距离为和，结合三角形的面积公式，即可求解. 【小问1详解】 解：因为，则的方程为，即. 【小问2详解】 解：因为，可得，且的中点为， 则边上的垂直平分线所在直线的斜率为， 所以边上的垂直平分线所在直线方程为，即． 【小问3详解】 解：由且的方程，可得点到的距离为， 又由，可得， 所以的面积为. 17. 求满足下列条件的椭圆的标准方程. （1），焦点在轴上； （2）椭圆上一点到其两焦点的距离之和为10 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设椭圆的标准方程为，结合求解即可； （2）设椭圆的标准方程为，结合椭圆的定义利用求解即可. 【小问1详解】 设焦点在轴上的椭圆标准方程为， 由,,得. 因此标准方程为，即. 【小问2详解】 由焦点、，可知焦点在轴上，且； 设椭圆的标准方程为， 由“点到两焦点的距离之和为10”，可知，即. 由，得， 因此标准方程为. 18. 已知直线，圆． （1）若直线是圆的一条对称轴，求的值； （2）从①若直线被圆截得的弦长为4，②若直线被圆截得的弦长最短这两个条件中选择一个作为已知，求直线的方程． 注：若选择两个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意直线过圆的圆心，将代入直线的方程，计算得． （2）根据题意直线恒过定点．代入圆的方程判断在圆内部，可得直线与圆恒相交．①三角形中勾股定理计算得到点到直线AB的距离，再根据点到直线距离公式计算的结果；②设定点为点，依题意当直线与垂直时，直线被圆截得的弦长最短，利用两直线斜率之积为，计算可得直线的结果； 【小问1详解】 因为直线是圆的一条对称轴， 所以直线过圆圆心（圆是轴对称图形，直径所在直线都是对称轴）， 将代入直线的方程，得，解得． 【小问2详解】 直线，即，则直线恒过定点． 因为，所以定点在圆内部，所以直线与圆恒相交． 若选①． 如图1，设直线与圆交于两点，连接，则． 过点作于点，则， 所以，即点到直线AB的距离． 由，得， 所以直线的方程为． 若选②． 设定点为点，则直线与垂直时，直线被圆截得的弦长最短（如图2）， 此时，故， 直线的方程为． 19. 已知双曲线的实轴长为，离心率为.直线与双曲线相交于两点． （1）求双曲线的方程； （2）若的中点为，求直线的方程． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据条件，结合双曲线性质列方程组，联立求解，即可得双曲线的方程； （2）联立直线方程与双曲线方程，利用韦达定理结合中点坐标公式，即可求解. 【小问1详解】 根据题意，双曲线的实轴长为，离心率为，则 ，解得， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 由（1）知，双曲线的方程为， 设，， 联立，化简得， 则，且，， 由为的中点，得，解得，，且满足， 所以直线的方程为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $