精品解析：吉林省吉林市蛟河市2025-2026学年八年级上学期期中数学试题

八年级数学试题 数学试卷共6页，包括3道大题，共22道小题．试卷满分120分（试题118分，卷面书写2分）．考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. 以下是四款国内常用的人工智能大模型图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，关键是熟练应用定义进行判断；在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形，据此即可判断． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，故本选项符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C． 2. 如图，借助直角三角板作的边上的高，下列直角三角板的位置摆放正确（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的高，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键． 根据高线的定义即可得出答案． 【详解】解：从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高， 借助直角三角板作的边上的高，直角三角板的位置摆放正确的是， 故选：A． 3. 如图，用尺规作图“过点C作”的实质就是作，其作图依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了作图—基本作图，全等三角形的判定和性质，平行线的判定，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．直接利用基本作图方法结合全等三角形的判定方法即可得出答案． 【详解】解：由作法可知，，， ， ， ， 故选：B． 4. 如图，是某品牌椅子的侧面图，与地面平行．若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理，先由平角的定义得到的度数，再由平行线的性质得到的度数，据此根据三角形内角和定理即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 5. 如图，在中，，点D为上一点，连接，过点D作于点E；若，则（ ） A. 12 B. 10 C. 9 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的判定及含角的直角三角形的性质，解题的关键是由判定BD为角平分线，结合角的性质计算边长． 由及垂直条件得平分；结合、得，在中求；再由得，进而求． 【详解】解：∵ ，，， ∴平分， ∵ 在中，，， ∴ ，则， 在中，， ∴ ， ∵ ，，， ∴ ， ∴ ， 故选：C． 6. 在中国古代建筑中，有一种常见的装饰元素叫做“斗拱”．斗拱由多个小木块组成，它们之间通过榫卯结构相互连接，形成了一种独特的美感．如图1，从正面观察斗拱可发现其外轮廓形状类似于一个等腰三角形．如图2，若的周长为，一边长为，则此等腰三角形的底边长是( ) A. B. C. 6或9 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，等腰三角形的性质，关键是要分两种情况讨论．分两种情况：等腰三角形的腰长或底边是6，由三角形三边关系定理进行判断，即可得答案． 【详解】解：如果等腰三角形的腰长是， 等腰三角形的底边长， ，不满足三角形三边关系定理， 等腰三角形的腰长不能是； 如果等腰三角形的底边长是， 等腰三角形的腰长， ，满足三角形三边关系， 等腰三角形的底边长是． 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 如图，当时，则________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等，得到，进而求出的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：9． 8. 点关于x轴的对称点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于x轴对称的点的坐标．根据两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数即可得出结果． 【详解】解：∵两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数， ∴点关于x轴的对称点的坐标是， 故答案为：． 9. 如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）．在图中，测量的长度为，则测量工件内槽宽的长度为______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，中点的性质，对顶角相等，解题的关键是掌握利用证明三角形全等． 利用证明三角形全等即可． 【详解】解：根据中点的性质得，， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：12． 10. 如图，已知AC=DB，要使△ABC≌△DCB，则需要补充的条件为_____． 【答案】AB=DC(答案不唯一) 【解析】 【分析】本题中有公共边BC=CB，利用SSS来判定全等则只需要添加条件AB=DC即可． 【详解】解：由题意可知：AC=DB，BC=CB， ∴利用SSS来判定全等则只需要添加条件AB=DC， 故答案为：AB=DC(答案不唯一)． 【点睛】本题考查三角形全等的判定，掌握判定定理是本题的解题关键． 11. 如图，是等边三角形，，于点，于点，，有下列四个结论：①点P在的平分线上； ②；③ ；④．其中，正确的是 _________ ．（填序号） 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质与全等三角形的判定与性质，根据题意先判定是的角平分线；进而证明，得出②④正确，根据三角形的外角的性质得出可得是等边三角形进而判断③． 【详解】解：是等边三角形，，，且， 在的平分线上，故①正确； 由①可知，， ， ，故④正确， ， ，故②正确； ， ，， ，故③正确； 故答案为：①②③④． 三、解答题（12-14每小题6分，15-17每小题7分，18-20每小题8分，21题10分，22题12分，共85分） 12. 如图，，分别是的高和中线． （1）若的面积为，，则 ； （2）若，求与的周长差． 【答案】（1） （2）与的周长差为 【解析】 【分析】本题考查了三角形的面积公式及中线的性质，解题的关键是利用三角形面积公式求高，结合中线定义分析周长差． （1）根据三角形面积公式，代入面积与底边长计算高； （2）由中线定义得，将两个三角形的周长相减，化简后计算边长差． 【小问1详解】 解：由，代入，，得， 解得， 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵ 是的中线， ∴ ，与的周长差为 ， 代入，，得， 答：与的周长差为． 13. 如图，已知D是上一点，；求证：． 【答案】 证明：，， ， 又， ， 在与中， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定． 先根据角的和差得到，再根据证明即可． 【详解】略． 14. 如图，在中，点D在BC上，的垂直平分线分别与相交于点E，F，若的三个内角都不相等，求证：． 【答案】 证明：的垂直平分线分别与相交于点E，F， ， ，， 在中，， ， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．根据线段垂直平分线的性质可得，从而得到，，再结合三角形内角和定理，即可求证． 【详解】略 15. 已知：如图，P、Q是边BC上两点，且，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质，得，再根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质求得，从而求解． 【详解】解：， ． 又， ， ． 答：的度数是120°． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质．熟记相关性质是解题关键． 16. 2025年第十二届世界运动会在成都圆满闭幕．成都射击馆的外墙采用三角形结构支撑，如图所示的是其结构示意图，设计师在中设置了一块玻璃幕墙，平分，，与交于点O，根据测算，为符合结构强度，设计为．求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，角平分线的定义，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形的内角和为．先根据三角形内角和求出，再根据角平分线定义求出，最后根据三角形外角的性质，求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 17. 如图，中，，E是边上的一点，且满足． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：， ． ， ． ． 在和中， ． （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，解题的关键是通过角的数量关系推导全等三角形的对应角相等，结合边长与角度条件判定等边三角形． （1）由推出，结合得，再利用，通过证明； （2）由及判定为等边三角形，结合全等结论得，进而判定为等边三角形，得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知， ． ， ． 为等边三角形． ． ， ． 18. 如图是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．如图，A，B，C均为格点，用无刻度直尺在给定网格中完成画图．画图过程用虚线，画图结果用实线． （1）在图1中，作出关于直线m对称（点A、B、C分别对应P、Q、C）； （2）在图2中，过点C画直线n，使得直线n平分的面积； （3）直接写出的面积． 【答案】（1） 如图所示： （2） 如图所示： （3） 【解析】 【分析】本题考查作轴对称图形，三角形的中线，三角形的面积，掌握知识点是解题的关键． （1）根据作轴对称图形的作法解答即可； （2）确定的中点D，再连接，则直线即为直线n； （3）利用直角梯形的面积减去旁边两个三角形的面积，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：． 19. 已知三角形的三边为，，； （1）化简：. （2）若，，为最长边且为整数，求三角形的周长． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边去掉绝对值符号，再合并同类项即可得到答案． （2）根据三角形三边关系及题意得出或7，然后求周长即可． 【小问1详解】 解：三角形的三边长分别为，，， ，， ． 【小问2详解】 解：，， ，即． 为最长边且为整数， ， 或， 三角形的周长为或． 答：三角形的周长为或． 20. 如图1，与相交于点． （1）求证：； （2）如图2，过点作交于，交于，求证：． （3）如图3，若，点从点A出发，沿方向以的速度运动，点从点出发，沿方向以的速度运动，两点同时出发．当点到达点A时，两点同时停止运动．设点的运动时间为．连接，当线段经过点时，求的值． 【答案】（1） 证明：在与中， ， ， ， ∴． （2） 证明：∵， ， 在和中， ， ， ． （3）当或时，线段经过点 【解析】 【分析】（1）根据题意可证，可得，根据平行线的判定方法即可求解； （2）根据题意可证，根据全等三角形的性质即可求解； （3）由（2）可知，当线段经过点时，，可得，由此可用含的式子列方程表示数量关系，由此即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（2）可知，当线段经过点时，，可得， 或， 或， 当或时，线段经过点． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，动点与几何图形的综合，掌握三角形的判定和性质是解题的关键． 21. （8分小明在学习等腰三角形的相关知识时，发现其性质定理“等边对等角”与判定定理“等角对等边”存在互逆关系． 由此，爱动脑筋的小明进行了如下思考： “等腰三角形三线合一”的性质可以分解为多个不同的真命题，即： ①等腰三角形顶角的平分线也是底边上的高线； ②等腰三角形顶角的平分线也是底边上的中线； ③由这些真命题，小明得到“互逆”之后的新命题，即： 命题1：如果一个三角形一个角的平分线也是这个角对边上的高线，那么这个三角形是等腰三角形： 命题2：…… （1）请你根据前面的②写出小明猜想的命题2：； （2）小明认为如果这些命题是真命题，那么就可以作为等腰三角形的判定方法，于是小明对命题进行证明，他把第一个命题根据图1写出了如下数学语言： 已知：在中，，AD平分； 求证：是等腰三角形． 请你写出命题2的几何语言． 已知： 求证： （3）命题1、命题2是否都是真命题？如果不是，请说明理由．如果是，请帮助小明进行证明． 【答案】（1）如果一个三角形一个角的平分线也是这个角对边上的中线，那么这个三角形是等腰三角形 （2）在中，AD平分，AD为BC边上的中线；是等腰三角形 （3） 都是真命题，证明命题1：平分， 在和中 是等腰三角形，即命题1是真命题． 证明命题2：过点D作垂足分别为E，F； 又平分， 为边上的中线 ， 在和中 ∴ 是等腰三角形，即命题2是真命题． 【解析】 【分析】本题考查了逆命题，真命题，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，角平分线等知识．熟练掌握逆命题，真命题，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，角平分线是解题的关键． （1）根据原命题写出逆命题即可； （2）用几何语言写出命题即可； （3）命题1：根据证明得出即可证明命题1是真命题； 命题2：过点D作垂足分别为E，F；根据证明得，进而得出即可证明命题2是真命题． 【小问1详解】 如果一个三角形一个角的平分线也是这个角对边上的中线，那么这个三角形是等腰三角形； 【小问2详解】 在中，AD平分，AD为BC边上的中线； 是等腰三角形． 【小问3详解】 略 22. 如图，中，，D为直线上一动点，连接在直线的右侧作，且，过点E作，垂足为N． 【观察发现】 （1）如图1，当点D在线段上时，直接写出与之间的关系，不用证明； 【探究迁移】 （2）如图2，当点D在线段的延长线上时，连接交直线于点M；求证：； （3）如图3，当点D在线段的延长线上时，连接交直线于点M；判断与的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】 （4）当点D在直线上时，连接交直线于点M；当的面积为8，的面积为时，则的面积为 ． 【答案】（1）； （2）证明：∵，，， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ （3），理由：∵，，， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又， ∴ （4）8或16 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，解题的关键是通过证明三角形全等实现线段与角的转化，进而推导各结论． （1）通过证明，结合得EN与BC的关系； （2）先证得，再证得； （3）同理证全等得，再证推导BD与MN的关系； （4）分的位置，结合面积与全等关系计算的面积． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， 又， ∴． ∵ ， ∴． ∴与的数量关系是，位置关系是． （2）略 （3）略 （4）解：设，分两种情况讨论： 情况一：当在边上时， ，即, , ∴. ∴． 情况二：当在延长线上时， , ∴. ∴． 故答案为：8或16． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学试题 数学试卷共6页，包括3道大题，共22道小题．试卷满分120分（试题118分，卷面书写2分）．考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. 以下是四款国内常用的人工智能大模型图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，借助直角三角板作的边上的高，下列直角三角板的位置摆放正确（ ） A. B. C. D. 3. 如图，用尺规作图“过点C作”的实质就是作，其作图依据是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是某品牌椅子的侧面图，与地面平行．若，，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，点D为上一点，连接，过点D作于点E；若，则（ ） A. 12 B. 10 C. 9 D. 6 6. 在中国古代建筑中，有一种常见的装饰元素叫做“斗拱”．斗拱由多个小木块组成，它们之间通过榫卯结构相互连接，形成了一种独特的美感．如图1，从正面观察斗拱可发现其外轮廓形状类似于一个等腰三角形．如图2，若的周长为，一边长为，则此等腰三角形的底边长是( ) A. B. C. 6或9 D. 或 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 如图，当时，则________． 8. 点关于x轴的对称点的坐标为___________． 9. 如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）．在图中，测量的长度为，则测量工件内槽宽的长度为______． 10. 如图，已知AC=DB，要使△ABC≌△DCB，则需要补充的条件为_____． 11. 如图，是等边三角形，，于点，于点，，有下列四个结论：①点P在的平分线上； ②；③ ；④．其中，正确的是 _________ ．（填序号） 三、解答题（12-14每小题6分，15-17每小题7分，18-20每小题8分，21题10分，22题12分，共85分） 12. 如图，，分别是的高和中线． （1）若的面积为，，则 ； （2）若，求与的周长差． 13. 如图，已知D是上一点，；求证：． 14. 如图，在中，点D在BC上，的垂直平分线分别与相交于点E，F，若的三个内角都不相等，求证：． 15. 已知：如图，P、Q是边BC上两点，且，求的度数． 16. 2025年第十二届世界运动会在成都圆满闭幕．成都射击馆的外墙采用三角形结构支撑，如图所示的是其结构示意图，设计师在中设置了一块玻璃幕墙，平分，，与交于点O，根据测算，为符合结构强度，设计为．求的度数． 17. 如图，中，，E是边上的一点，且满足． （1）求证：； （2）若，求的长． 18. 如图是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．如图，A，B，C均为格点，用无刻度直尺在给定网格中完成画图．画图过程用虚线，画图结果用实线． （1）在图1中，作出关于直线m对称（点A、B、C分别对应P、Q、C）； （2）在图2中，过点C画直线n，使得直线n平分的面积； （3）直接写出的面积． 19. 已知三角形的三边为，，； （1）化简：. （2）若，，为最长边且为整数，求三角形的周长． 20. 如图1，与相交于点． （1）求证：； （2）如图2，过点作交于，交于，求证：． （3）如图3，若，点从点A出发，沿方向以的速度运动，点从点出发，沿方向以的速度运动，两点同时出发．当点到达点A时，两点同时停止运动．设点的运动时间为．连接，当线段经过点时，求的值． 21. （8分小明在学习等腰三角形的相关知识时，发现其性质定理“等边对等角”与判定定理“等角对等边”存在互逆关系． 由此，爱动脑筋的小明进行了如下思考： “等腰三角形三线合一”的性质可以分解为多个不同的真命题，即： ①等腰三角形顶角的平分线也是底边上的高线； ②等腰三角形顶角的平分线也是底边上的中线； ③由这些真命题，小明得到“互逆”之后的新命题，即： 命题1：如果一个三角形一个角的平分线也是这个角对边上的高线，那么这个三角形是等腰三角形： 命题2：…… （1）请你根据前面的②写出小明猜想的命题2：； （2）小明认为如果这些命题是真命题，那么就可以作为等腰三角形的判定方法，于是小明对命题进行证明，他把第一个命题根据图1写出了如下数学语言： 已知：在中，，AD平分； 求证：是等腰三角形． 请你写出命题2的几何语言． 已知： 求证： （3）命题1、命题2是否都是真命题？如果不是，请说明理由．如果是，请帮助小明进行证明． 22. 如图，中，，D为直线上一动点，连接在直线的右侧作，且，过点E作，垂足为N． 【观察发现】 （1）如图1，当点D在线段上时，直接写出与之间的关系，不用证明； 【探究迁移】 （2）如图2，当点D在线段的延长线上时，连接交直线于点M；求证：； （3）如图3，当点D在线段的延长线上时，连接交直线于点M；判断与的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】 （4）当点D在直线上时，连接交直线于点M；当的面积为8，的面积为时，则的面积为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $