方法11 倒置变换&方法12 两边取对数-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习学生用书Word

方法11　倒置变换 【例1】　C　因为an＋1＝，所以＝4＋，所以－＝4，又＝1，所以数列是以1为首项，4为公差的等差数列.所以＝1＋4（n－1）＝4n－3，所以an＝，由an＞，即＞，即0＜4n－3＜37，解得＜n＜10，因为n∈N*，所以n的最大值为9.故选C. 训练1　解：由题意知an≠0，等式两边取倒数， 得＝＝＋1，即＋1＝2（＋1）， 所以数列{＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列， 即＋1＝2n，所以an＝. 【例2】　解：由题意知x－1≠0. 将y＝两边取倒数，得＝， 令t＝x－1，t＞0，则＝＝t＋＋4≥8，当且仅当t＝2时，等号成立， 得0＜y≤. 所以函数的值域为（0，］. 训练2　[－1，0]　解析：由题f（x）＝＝＝ ＝，当x＝时sin x＝1，即f（x）＝0；当x≠时sin x≠1，即－1≤sin x＜1，上式两边取倒数得到 ＝ ＝－ ＝－ ＝－. 令则m2＋n2＝1（m≠1），因为表示圆m2＋n2＝1上（除点（1，0）外）的动点P（m，n）与定点Q（1，1）连线的斜率，所以≥0，即≥1，故≤－1，即－1≤f（x）＜0，综上f（x）的值域为[－1，0]. 【例3】　解：显然x＝0为方程的一个根. 当x≠0时，由kx2（x＋2）＝｜x｜约去｜x｜后，分离变量得k＝， 两边取倒数得＝（x＋2）｜x｜，根据函数y＝与y＝（x＋2）｜x｜（x≠0）的图象有三个交点， 可得0＜＜1，则k＞1. 故实数k的取值范围为（1，＋∞）. 训练3　－　解析：显然x＝0为方程的一个根.当x≠0时，分离参数，约去｜x｜后取倒数，转化为函数y＝与y＝－（x＋4）｜x｜（x≠0）的图象有两个交点.数形结合可得＝－4，故k＝－. 方法12　两边取对数 【例1】　解：两边取自然对数得ln 2·（ln 2＋ln a）＝ln 3·（ln 3＋ln b），ln a·ln 3＝ln b·ln 2，解得ln a＝－ln 2，ln b＝－ln 3，即a＝，b＝. 训练1　1　解析：设M＝（lg 3）lg 3·，两边取对数得lg M＝lg（lg 3）lg 3＋lg ＝lg 3·lg（lg 3）＋lg 3·lg（log310）＝lg 3·[lg（lg 3）＋lg（lg 3）－1]＝lg 3·[lg（lg 3）－lg（lg 3）]＝0，所以M＝1，即（lg 3）lg 3·＝1. 【例2】　D　ae5＝5ea两边取对数，可得ln a＋5＝ln 5＋a，即ln a－a＝ln 5－5.同理得ln b－b＝ln 4－4，ln c－c＝ln 3－3.设f（x）＝ln x－x，则f'（x）＝，易知f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，因为f（a）＝f（5），f（b）＝f（4），f（c）＝f（3），且a＜5，b＜4，c＜3，所以a，b，c∈（0，1），又因为f（3）＞f（4）＞f（5），所以f（c）＞f（b）＞f（a），得c＞b＞a，故选D. 训练2　（1）C　∵2a＝5b＝10，∴a＝log210，b＝log510，∴＋＝＋＝lg 2＋lg 5＝1，故选 C. （2）解：y＝ax（a＞1）和y＝x2的图象在y轴左侧一定有一个交点，问题转化为ax＝x2（a＞1）在（0，＋∞）上有两个根，即xln a＝2ln x（a＞1），即＝（a＞1）在（0，＋∞）上有两个根. 设f（x）＝，则f'（x）＝， f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，＋∞）上单调递减，且当x∈（e，＋∞）时，f（x）＞0. 由图可知，当0＜＜，即1＜a＜时，直线y＝与曲线f（x）＝在（0，＋∞）上有两个交点，所以a的取值范围是（1，）. 学科网（北京）股份有限公司 $ 方法11　倒置变换 　　所谓倒置变换，就是通过取倒数来改变代数式的结构，从而降低问题难度，简化解题过程，使较复杂的问题迎刃而解. 　　倒置变换的目的一般有三类：（1）将代数式转化为熟悉的式子，在解不等式时经常碰到；（2）均衡式子结构，在数列求通项时应用较多；（3）简化式子结构，经常应用于研究函数的性质. 　　在使用此方法时需注意以下两点：（1）考虑取倒数后分母是否可能为零，对于这种情况，先讨论取倒数前分子为零是否符合题意，当分子不为零时再取倒数；（2）考虑取倒数前后的式子是否等价，特别是不等式取倒数后，不等号是否要改变方向. 【例1】　（转为熟知）已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝（n∈N*），则满足an＞的n的最大值为（　　） A.7 B.8 C.9 D.10 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 训练1　已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝，n∈N*，求数列{an}的通项公式. 【例2】　（转化结构）求函数y＝（x＞1）的值域. 训练2　函数f（x）＝，x∈[0，2π]的值域为　　　　. 【例3】　（简化结构）若关于x的方程kx2（x＋2）－｜x｜＝0有四个不同的实数根，求实数k的取值范围. 训练3　若关于x的方程kx2（x＋4）＋｜x｜＝0有三个不同的实数根，则实数k＝　　　　. 方法12　两边取对数 　　所谓“两边取对数”，就是把不含对数符号的等式转化为含有对数符号的等式，即设x，y，a均为正数，且a≠1，若x＝y，则logax＝logay. 　　一些与指数有关的问题，通过对式子两边取对数，可以把指数部分的参数“请下来”，运用对数的运算法则进行计算.两边取对数常常能有效解决由指数带来的麻烦，从而达到化繁为简的目的.因此，当函数、方程、不等式中指数关系比较复杂或运用指数运算处理比较困难时，常常用到此法. 【例1】　（对数转化，幂指化积）已知实数a，b满足（2a）ln 2＝（3b）ln 3，3ln a＝2ln b，求a，b的值. 训练1　（lg 3）lg 3·＝　　　　. 【例2】　（关注结构，巧取对数）已知a＜5且ae5＝5ea，b＜4且be4＝4eb，c＜3且ce3＝3ec，则（　　） A.c＜b＜a B.b＜c＜a C.a＜c＜b D.a＜b＜c 训练2　（1）若2a＝5b＝10，则＋＝（　　） A.－1 B.lg 7 C.1 D.log710 （2）已知方程ax－x2＝0（a＞1）有三个实数根，求实数a的取值范围. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $