专题2 第2讲 小题研透——三角恒等变换与解三角形-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习学生用书Word

第2讲　小题研透——三角恒等变换与解三角形 备｜考｜领｜航 一、考情分析 高频考点 高考预测 三角函数的化简与求值（正确应用和、差、倍、半角公式先化简再求值） 继续以选择、填空题的形式考查三角恒等变换求值，正、余弦定理的基本应用，注意与三角函数性质的交汇问题，难度中等偏下 利用正、余弦定理解三角形（求边、角、面积、周长） 解三角形的实际应用（计算距离、高度、角度） 二、真题感悟 1.（2024·新高考Ⅰ卷4题）（两角和与差的余弦公式）已知cos（α＋β）＝m，tan αtan β＝2，则cos（α－β）＝（　　） A.－3m B.－ C. D.3m 2.（2024·全国甲卷理11题）（正、余弦定理的应用）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知B＝60°，b2＝ac，则sin A＋sin C＝（　　） A. B. C. D. 3.（2024·新高考Ⅱ卷13题）（两角和的正切公式及同角三角函数的基本关系）已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α＋tan β＝4，tan αtan β＝＋1，则sin（α＋β）＝　　　　. 4.（2021·全国乙卷理9题）（数学文化）魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高.如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”，则海岛的高AB＝（　　） A.＋表高 B.－表高 C.＋表距 D.－表距 重｜难｜排｜查 1.三角恒等变换常用结论 （1）sin2α＝，cos2α＝； （2）1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α； （3）tan α±tan β＝tan（α±β）（1∓tan αtan β）. 2.常用拆角、拼角技巧 2α＝（α＋β）＋（α－β）；α＝（α＋β）－β＝（α－β）＋β；β＝－＝（α＋2β）－（α＋β）；α－β＝（α－γ）＋（γ－β）；＋α＝－等. 3.解三角形中常用的结论 （1）在△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan B·tan C； （2）在△ABC中，内角A，B，C成等差数列的充要条件是B＝60°； （3）△ABC为正三角形的充要条件是A，B，C成等差数列，且a，b，c成等比数列； （4）S△ABC＝（R为△ABC外接圆的半径）； （5）S△ABC＝（a＋b＋c）r（r为△ABC内切圆的半径）. 三角恒等变换 【例1】　（1）（2024·九省联考）已知θ∈（，π），tan 2θ＝－4tan（θ＋），则＝（　　） A. B. C.1 D. （2）（2024·沈阳教学质量监测）已知sin（－θ）＋cos（－θ）＝1，则cos（2θ－）＝（　　） A. B.－ C. D.－ 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 感悟提升 三角恒等变换的“四大策略” （1）常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等； （2）项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝（sin2α＋cos2α）＋cos2α，α＝（α－β）＋β等； （3）降幂与升幂：正用二倍角公式升幂，逆用二倍角公式降幂； （4）弦、切互化：一般是切化弦. 1.已知α为锐角，且cos α（1＋tan 10°）＝1，则α的值为（　　） A.20°　　　B.40° C.50°　　　D.70° 2.已知a＝（sin 14°＋sin 76°），b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为（　　） A.a＜c＜b B.c＜a＜b C.a＜b＜c D.b＜a＜c 正、余弦定理解三角形 【例2】　（1）（2024·济南高三模拟考试）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acos C＋asin C＝b，则A＝（　　） A.　　　B. C.　　　D. （2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知A＝60°，b＋c＝6，且△ABC的面积为2，则△ABC内切圆的半径为　　　　. 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 感悟提升 利用正、余弦定理解三角形的解题策略 （1）涉及边与角的余弦的积时，常用正弦定理将边化为角，涉及边的平方时，一般用余弦定理； （2）涉及边a，b，c的齐次式时，常用正弦定理转化为角的正弦值，再利用三角公式进行变形； （3）涉及正、余弦定理与三角形面积的综合问题，求三角形面积时用S＝absin C形式的面积公式. 提醒　利用正弦定理求角时，易忽视条件出现增根致误. 1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，a2＋bc＝b2＋c2，asin B＝2csin A，则B＝（　　） A. B. C. D. 2.（2024·嘉定第一中学期中）在钝角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，b＝2，则最大边c的取值范围是（　　） A.（，＋∞） B.（2，） C.（，2） D.（，3） 解三角形的实际应用 【例3】　（2024·济南调研）山东省科技馆新馆（如图1）目前成为济南科教新地标，其主体建筑采用与地形吻合的矩形设计，将数学符合“∞”完美嵌入其中，寓意无限未知、无限发展、无限可能和科技无限.如图2，为了测量科技馆最高点A与其附近一建筑物楼顶B之间的距离，无人机在点C测得点A和点B的俯角分别为75°，30°，随后无人机沿水平方向飞行600米到点D，此时测得点A和点B的俯角分别为45°和60°（A，B，C，D在同一铅垂面内），则A，B两点之间的距离为　　　　米. 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 感悟提升 解三角形实际应用问题的步骤 （1）分析：理解题意，明确已知与所求，画出示意图； （2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立解三角形问题的数学模型； （3）求解：解三角形，求得数学模型的解； （4）检验：检验所求出的解是否具有实际意义，从而得出实际问题的解. 　我国油纸伞的制作工艺巧妙.如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，且AB＝AC，从而保证伞圈D能够沿着伞柄滑动.如图2，伞完全收拢时，伞圈D已滑到D'的位置，且A，B，D'三点共线，AD'＝40 cm，B为AD'的中点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离为24 cm，则当伞完全张开时，∠BAC的余弦值是（　　） A.－ 　B.－ 　C.－ 　D.－ 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2讲　小题研透——三角恒等变换与解三角形 【锁定高考·明方向】 真题感悟 1.A　因为cos（α＋β）＝m，所以cos αcos β－sin αsin β＝m，而tan αtan β＝2，即＝2，所以sin αsin β＝2cos αcos β，故cos αcos β－2cos αcos β＝m，即cos αcos β＝－m，从而cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β＝3cos αcos β＝－3m.故选A. 2.C　由正弦定理得sin Asin C＝sin2B，因为B＝60°，所以sin Asin C＝sin2B＝.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cos B＝a2＋c2－ac＝ac，所以a2＋c2＝ac，所以sin2A＋sin2C＝sin Asin C，所以（sin A＋sin C）2＝sin2A＋sin2C＋2sin Asin C＝sin A·sin C＝，又sin A＞0，sin C＞0，所以sin A＋sin C＝. 3.－　解析：法一　由题意得tan（α＋β）＝＝＝－2，因为α∈（2kπ，2kπ＋），β∈（2mπ＋π，2mπ＋），k，m∈Z，则α＋β∈（（2m＋2k）π＋π，（2m＋2k）π＋2π），k，m∈Z，又因为tan（α＋β）＝－2＜0，则α＋β∈（（2m＋2k）π＋，（2m＋2k）π＋2π），k，m∈Z，则sin（α＋β）＜0，又＝－2，联立sin2（α＋β）＋cos2（α＋β）＝1，解得sin（α＋β）＝－. 法二　由法一得tan（α＋β）＜0，sin（α＋β）＜0，故α＋β为第四象限角.不妨在角α＋β的终边上选取一点P（1，－2），则r＝｜OP｜＝＝3，所以sin（α＋β）＝－. 法三　易得tan（α＋β）＝＝＝－2.又tan α＋tan β＝＋＝＝4，所以sin（α＋β）＝4cos αcos β.由α为第一象限角，β为第三象限角，得cos α＞0，cos β＜0，所以sin（α＋β）＝4cos αcos β＜0.由tan（α＋β）＝－2，结合sin2（α＋β）＋cos2（α＋β）＝1，得sin（α＋β）＝－. 4.A　因为FG∥AB，所以＝，所以GC＝·CA.因为DE∥AB，所以＝，所以EH＝·AH.又DE＝FG，所以GC－EH＝（CA－AH）＝×HC＝×（HG＋GC）＝×（EG－EH＋GC）.由题设中信息可得，表目距的差为GC－EH，表高为DE，表距为EG，则上式可化为，表目距的差＝×（表距＋表目距的差），所以AB＝×（表距＋表目距的差）＝＋表高，故选A. 【研透高考·攻重点】 【例1】　（1）A　（2）B　解析：（1）因为θ∈（，π），所以tan θ∈（－1，0）.由tan 2θ＝－4tan（θ＋）得＝－4×，化简整理得2tan2θ＋5tan θ＋2＝0，解得tan θ＝－2（舍去）或tan θ＝－，所以＝＝＝＝.故选A. （2）由sin（－θ）＋cos（－θ）＝1，得cos θ＋coscos θ＋sinsin θ＝1，即cos θ＋sin θ＝1，结合辅助角公式得×（cos θ＋sin θ）＝1. 即coscos θ＋sinsin θ＝，即cos（－θ）＝，又cos（2θ－）＝cos［2（θ－）］＝2cos2（θ－）－1，cos（θ－）＝cos（－θ）＝，所以cos（2θ－）＝2×（）2－1＝－.故选B. 跟踪训练 1.B　由cos α（1＋tan 10°）＝1可得cos α×＝1，所以cos α×＝1，所以cos α＝＝＝＝cos 40°，又α为锐角，所以α＝40°，选B. 2.A　a＝（sin 14°＋cos 14°）＝sin（14°＋45°）＝sin 59°，b＝＝＝sin 61°，c＝＝ ＝＝sin 60°，由正弦函数y＝sin x在（0°，90°）上单调递增知a＜c＜b，故选A. 【例2】　（1）A　（2）－1　解析：（1）由acos C＋asin C＝b，得sin Acos C＋sin Asin C＝sin B＝sin（A＋C）＝sin Acos C＋cos Asin C，即sin Asin C＝cos Asin C，又知sin C≠0，所以sin A＝cos A，即tan A＝，又A∈（0，π），所以A＝，故选A. （2）因为△ABC的面积为2，A＝60°，所以bcsin A＝2，解得bc＝8.又b＋c＝6，由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A＝（b＋c）2－3bc＝12，所以a＝2，所以△ABC的周长为a＋b＋c＝2＋6.设△ABC内切圆的半径为r，则S△ABC＝（a＋b＋c）r＝×（2＋6）r＝2，解得r＝－1. 跟踪训练 1.D　由asin B＝2csin A及正弦定理，得ab＝2ca，∴b＝2c.又a2＋bc＝b2＋c2，∴a2＋2c2＝4c2＋c2，即a2＝3c2，∴a＝c.∴cos B＝＝＝0.又B∈（0，π），∴B＝. 2.D　∵△ABC是钝角三角形，a＝1，b＝2，且c是最大边，∴由余弦定理得cos C＝＜0，即5－c2＜0，解得c＞.又c＜a＋b＝3，∴边c的取值范围是（，3）.故选D. 【例3】　100　解析：由题意，∠DCB＝30°，∠CDB＝60°，所以∠CBD＝90°，则在Rt△CBD中，BD＝CD＝300，BC＝CD＝300.因为∠DCA＝75°，∠CDA＝45°，所以∠CAD＝60°. 法一　在△ACD中，由正弦定理＝得，＝，所以AC＝×＝200.在△ABC中，∠ACB＝∠ACD－∠DCB＝75°－30°＝45°，由余弦定理得，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝（200）2＋（300）2－2×200×300×＝150 000，所以AB＝100，故A，B两点之间的距离为100米. 法二　cos 15°＝sin 75°＝sin（45°＋30°）＝.在△ACD中，由正弦定理＝得，＝，所以AD＝×＝100（3＋）.在△ABD中，∠ADB＝∠CDB－∠CDA＝60°－45°＝15°，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB＝[100（3＋）]2＋3002－2×100（3＋）×300×＝150 000，所以AB＝100，故A，B两点之间的距离为100米. 跟踪训练 　A　依题意分析可知，当伞完全张开时，AD＝40－24＝16（cm），因为B为AD'的中点，所以AB＝AC＝AD'＝20（cm），当伞完全收拢时，AB＋BD＝AD'＝40（cm），所以BD＝20（cm），在△ABD中，cos∠BAD＝＝＝，所以cos∠BAC＝cos 2∠BAD＝2cos2∠BAD－1＝2×－1＝－. 学科网（北京）股份有限公司 $