方法7 局部处理&方法8 均值代换-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习学生用书Word

方法7　局部处理 【例1】　C　a＞0，b＞0，3＝2ab＋a＋2b≤（ ）2＋（a＋2b），当且仅当a＝2b时取等号，因此（a＋2b）2＋4（a＋2b）－12≥0，即（a＋2b＋6）·（a＋2b－2）≥0，解得a＋2b≥2，所以当a＝2b＝1时，a＋2b取得最小值2.故选C. 训练1　－3　解析：令g（x）＝a（2x－2－x）＋bx，∀x∈R，g（－x）＝a（2－x－2x）－bx＝－[a（2x－2－x）＋bx]＝－g（x），所以g（x）为奇函数，则有g（－2）＝－g（2），因为f（2）＝g（2）＋1＝5，所以g（2）＝4，则g（－2）＝－g（2）＝－4，所以f（－2）＝g（－2）＋1＝－3. 【例2】　证明：作DH⊥AC于点H，连接BH（图略）. 因为平面ADFC⊥平面ABC，而平面ADFC∩平面ABC＝AC，所以DH⊥平面ABC，从而DH⊥BC. 因为∠ACB＝∠ACD＝45°，所以CD＝CH＝2BC，则CH＝BC. 取三棱锥D-HBC，如图，在△CBH中， BH2＝CH2＋BC2－2CH·BCcos 45°＝BC2，即BH2＋BC2＝CH2，所以BH⊥BC. 由棱台的定义可知，EF∥BC，所以DH⊥EF，BH⊥EF， 又BH∩DH＝H，所以EF⊥平面BHD，而DB⊂平面BHD，所以EF⊥DB. 训练2　（1）B　由题意知，双曲线x2－＝1的一条渐近线是y＝x，记它与椭圆M在第一象限的交点为A，椭圆M的左、右焦点记为F1，F2，则根据正六边形的性质知△AF1F2是直角三角形，且∠F1AF2＝90°，∠AF2F1＝60°，｜F1F2｜＝2c，所以｜AF1｜＝c，｜AF2｜＝c.由椭圆的定义｜AF1｜＋｜AF2｜＝2a，得出c＋c＝2a，所以椭圆M的离心率e＝＝＝－1.故选B. （2）证明：先证明局部问题：xln x≥－，记f（x）＝xln x，f'（x）＝ln x＋1＝0，即x＝， 故f（x）在（ 0，）单调递减，（ ，＋∞）单调递增，则f（x）min＝f（ ）＝－，xln x≥－， 同理记g（x）＝－，则g（x）≤－，原不等式即证. 方法8　均值代换 【例1】　D　因为a＋b＝4.令a＝2＋t，b＝2－t，则＋＝＋＝＋＝，令u＝5＋t2，则u≥5，上式可化为g（u）＝＝≤＝，当且仅当u＝，即u＝4时取等号. 训练1　（1）－1　（2）　解析：（1）令a＝1＋t，b＝1－t，则原式可化为＋＝t2·＝－4，可得t2＝2，所以ab＝1－t2＝－1. （2）令x＝2－t，2y＝2＋t，t∈（－2，2），则＝＝2（ 1－），t2－4∈[－4，0），故≥2×（ 1－）＝，当且仅当t＝0，即x＝2，y＝1时取等号. 【例2】　解：由x＋y＝1－z， 设x＝＋t，y＝－t， 则xy＝（ ）2－t2＝z2－7z＋14， 整理得3z2－26z＋55＝－4t2≤0， 即（3z－11）（z－5）≤0， 解得≤z≤5， 且x2＋y2＝（x＋y）2－2xy ＝（z－1）2－2（z2－7z＋14） ＝－（z－6）2＋9， 当z＝5时，（x2＋y2）max＝8. 训练2　　解析：由题意知b＋c＝－a，令b＝－＋t，c＝－－t，则a2＋（ －＋t）2＋（ －－t）2＝1，即＋2t2＝1，＝1－2t2≤1，故a2≤，－≤a≤. 学科网（北京）股份有限公司 $ 方法7　局部处理 　　整体和局部是同一事物的两个方面.有些数学问题从整体上处理难以解决，就必须先分析研究问题的某一部分，得出初步结论后，再进一步研究，从而使数学问题获得解决.这种分析问题和解决问题的思维方法称为局部处理法. 【例1】　（局部固定法）若a＞0，b＞0，2ab＋a＋2b＝3，则a＋2b的最小值是（　　） A. B.1 C.2 D. 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 训练1　已知函数f（x）＝a（2x－2－x）＋bx＋1，若f（2）＝5，则f（－2）＝　　　　. 【例2】　（局部突破法）如图，在三棱台DEF-ABC中，平面ADFC⊥平面ABC，∠ACB＝∠ACD＝45°，CD＝2BC. 证明：EF⊥DB. 训练2　（1）若双曲线x2－＝1的两条渐近线与椭圆M：＋＝1（a＞b＞0）的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为（　　） A.－1 B.－1 C. D. （2）求证：对于一切x＞0，都有xln x≥－. 方法8　均值代换 　　所谓均值代换，是指利用若干个变量的平均值和一个字母重新定义原来变量之间的关系，从而便于计算.当n个变量xi（i＝1，2，…，n）的和为定值a时，可设xi＝＋ti，其中t1＋t2＋…＋tn＝0，这种代换叫作均值代换.均值代换以问题中某些变量的平均值为基点，对这些变量进行线性变换，从而引入新的变量，以达到简化问题与解决问题的目的，是换元法的一种特殊形式. 【例1】　（两个变量和为定值的均值代换设法）已知a，b∈R，a＋b＝4，则＋的最大值为（　　） A. B. C. D. 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 训练1　（1）已知a＋b＝2，＋＝－4，则ab＝　　　　； （2）设x＞0，y＞0，x＋2y＝4，则的最小值为　　　　. 【例2】　（三个变量和为定值的均值代换设法）设实数x，y，z满足则当z为何值时，x2＋y2取最大值？最大值为多少？ 训练2　已知实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝1，则a的最大值为　　　　. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $