方法3 正难则反&方法4 估算法-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习学生用书Word

方法3　正难则反 【例1】　B　6位同学站成一排，3位女生中有且只有2位女生相邻的排法有＝432种，其中男生甲站两端的有＝144种，符合条件的排法共有432－144＝288种，故选B. 训练1　B　－17－－＝346.故选B. 【例2】　　解析：如果在区间[－1，1]内没有值满足f（c）＞0，则⇒ ⇒⇒⇒p≤－3或p≥，取补集为－3＜p＜，即为满足条件的p的取值范围，故实数p的取值范围为. 训练2　A　依题意知，命题“∃x∈（0，π），sin 2x－ksin x＜0”为假命题，则“∀x∈（0，π），sin 2x－ksin x≥0”为真命题，所以2sin xcos x≥ksin x，则k≤2cos x，解得k≤－2，所以k的取值范围为（－∞，－2]. 【例3】　证明：假设存在x0∈{101，102，…，200}，且x0∈A.记x0＝100＋s（1≤s≤100），因为100＋s∈A，所以a100＋as∈A，这与a100是最大值矛盾，所以假设不成立，因此任意x∈{101，102，…，200}，x∉A. 训练3　证明：假设H是△SBC的垂心.如图，连接BH并延长，交SC于点D，则BD⊥SC， 由于点A在平面SBC内的射影为H，所以AH⊥SC，又BD∩AH＝H，BD，AH⊂平面ABH，所以SC⊥平面ABH， 又AB⊂平面ABH，所以AB⊥SC，而AB⊥SA，SA∩SC＝S，SA，SC⊂平面SAC，所以AB⊥平面SAC， 又AC⊂平面SAC，所以AB⊥AC，这与△ABC为锐角三角形相矛盾，所以H不是△SBC的垂心. 方法4　估算法 【例1】　B　将头顶至脖子下端的长度26 cm近似看成头顶至咽喉的长度，可得咽喉至肚脐的长度小于≈42 cm；再由头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比约是0.618，得肚脐至足底的长度小于≈110 cm，从而该人的身高小于110＋42＋26＝178 cm.由于肚脐至足底的长度大于105 cm，可得头顶至肚脐的长度大于105×0.618≈65 cm，从而该人的身高大于105＋65＝170 cm.故选B. 训练1　D　因为球的体积V＝×（）3，所以d3＝V＝V.因为π＝3.141 59…，所以＝1.570 79….记d1＝，所以＝V；记d2＝，所以＝2V＝V；记d3＝，所以＝V；记d4＝，所以＝V.因为≈1.688，≈1.571，所以，1.5，1.57，中，最接近，所以d4更精确. 【例2】　证明：f'（x）＝2x－ln x－2，f″（x）＝2－，易知f″（x）单调递增，f″（）＝0，f'（）＜0. 如图，当0＜x＜x0时，f'（x）＞0；当x0＜x＜1时，f'（x）＜0；当x＞1时，f'（x）＞0，故f（x）有唯一的极大值点x0. 又f'（）＝－2－ln＞0，f'（）＝－ln－2＜0，故＜x0＜. 训练2　D　如图，当点A（a，b）在x轴上方、曲线f（x）＝ex的右下方时，可以画出两条切线，则b＜ea.将A（a，b）同侧的点（1，1）代入曲线f（x）＝ex，有1＜e1，估计0＜b＜ea.故选D. 【例3】　B　当点P位于短轴端点P0处时，∠F1P0F2最大，得离心率的边界值e＝，排除C、D；椭圆越扁，∠F1P0F2越大，离心率越大，故选B. 训练3　D　D（X）反映离散程度，随机变量X的概率分布均匀，若a也取平均值，则D（X）最小，当a越靠近0或1时，估算可知离散程度越大，D（X）越大.故选D. 学科网（北京）股份有限公司 $ 方法3　正难则反 　　正难则反是数学解题的重要方法及技巧.当一些问题正面解决比较繁杂，或需要考虑的因素多，或解题思路不明朗时，可以考虑其对立面，即从问题的反面出发破解问题. 【例1】　（正难则反）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有2位女生相邻，则不同排法的种数是（　　） A.360 B.288 C.216 D.96 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 训练1　有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是（　　） A.234 B.346 C.350 D.363 【例2】　（补集思想）若二次函数f（x）＝4x2－2（p－2）x－2p2－p＋1在区间[－1，1]内至少存在一个值c，使得f（c）＞0，则实数p的取值范围为　　　　. 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 训练2　若“∃x∈（0，π），sin 2x－ksin x＜0”为假命题，则k的取值范围为（　　） A.（－∞，－2] B.（－∞，2] C.（－∞，－2） D.（－∞，2） 【例3】　（反证法）设整数集合A＝{a1，a2，…，a100}，其中1≤a1＜a2＜…＜a100≤205.已知对于任意i，j（1≤i≤j≤100），若i＋j∈A，则ai＋aj∈A.证明：任意x∈{101，102，…，200}，x∉A. 训练3　已知△ABC为锐角三角形，SA⊥平面ABC，点A在平面SBC内的射影为H.求证：H不是△SBC的垂心. 方法4　估算法 　　估算法一般包括范围估计、极端值估计和推理估计，对部分选择题和填空题十分有效，处理含参数的问题时，用估算法也可以适当减少讨论. 　　一般地，当选项差距较大且没有合适的解题思路时，可以通过适当放大和缩小部分数据，或通过极端值（或位置）进行一定的推理，估算出答案的大概范围或者近似值，从而减少计算量，方便检验答案的正确性，提高解题效率. 【例1】　（数值估算）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此（如图）.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是（　　） A.165 cm B.175 cm C.185 cm D.190 cm 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 训练1　我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d≈.人们还用过一些近似公式.根据π＝3.141 59…判断，下列近似公式中最精确的一个是（　　） A.d≈ B.d≈ C.d≈ D.d≈ 【例2】　（以逼近思想估算）已知函数f（x）＝x2－x－xln x，证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且＜x0＜. 训练2　若过点（a，b）可以作曲线f（x）＝ex的两条切线，则（　　） A.eb＜a B.ea＜b C.0＜a＜eb D.0＜b＜ea 【例3】　（临界状态估算）已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，若椭圆上存在一点P使得∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率的取值范围是（　　） A.（0，］ B.［，1） C.（0，］ D.［，1） 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 训练3　设0＜a＜1，随机变量X的分布列如表所示，则当a从0到1逐渐增大时（　　） X 0 a 1 P A.D（X）增大 B.D（X）减小 C.D（X）先增大后减小 D.D（X）先减小后增大 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $