专题7 培优点3 函数与导数中的新定义问题(专题检测)-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习学生用书Word

培优点3　函数与导数中的新定义问题 1.（2024·新乡二模）函数f（x）＝[x]被称为取整函数，也称高斯函数，其中[x]表示不大于实数x的最大整数.若∀m∈（0，＋∞），满足[x]2＋[x]≤，则x的取值范围是（　　） A.[－1，2] B.（－1，2） C.[－2，2） D.（－2，2] 2.拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，定理内容如下：如果函数f（x）在闭区间[a，b]上的图象连续不间断，在开区间（a，b）内的导数为f'（x），那么在区间（a，b）内至少存在一点c，使得f（b）－f（a）＝f'（c）（b－a）成立，其中c叫作f（x）在[a，b]上的“拉格朗日中值点”.根据这个定理，可得函数f（x）＝（x－1）ln x在[1，2]上的“拉格朗日中值点”的个数为（　　） A.0　　　　B.1 C.2　　　　D.3 3.（多选）如图所示的太极图是由黑、白两个鱼纹组成的图案.定义：能够将圆O的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆O的一个“太极函数”，则下列说法中正确的是（　　） A.对于任意一个圆O，其“太极函数”有无数个 B.函数f（x）＝x3－3x可以是某个圆的“太极函数” C.正弦函数y＝sin x可以同时是无数个圆的“太极函数” D.y＝f（x）是“太极函数”的充要条件为“y＝f（x）的图象是中心对称图形” 4.（多选）若函数f（x）的定义域为D，如果对D中的任意一个x，都有f（x）＞0，－x∈D，且f（－x）f（x）＝1，则称函数f（x）为“类奇函数”.若某函数g（x）是“类奇函数”，则下列命题中正确的是（　　） A.若0在g（x）定义域中，则g（0）＝1 B.若g（x）max＝g（4）＝4，则g（x）min＝g（－4）＝ C.若g（x）在（0，＋∞）上单调递增，则g（x）在（－∞，0）上单调递减 D.若g（x）的定义域为R，且函数h（x）也是定义域为R的“类奇函数”，则函数G（x）＝g（x）h（x）也是“类奇函数” 5.2023年11月19日，以“激发创新活力，提升发展质量”为主题的第二十五届中国国际高新技术成果交易会（简称“高交会”）在深圳闭幕.作为“中国科技第一展”的“高交会”今年已有25年历史，“高交会”是展现高新技术发展新趋势、洞察市场新需求的重要“风向标”，一批新技术、新产品集中亮相，彰显中国科创硬核实力.会展展出了国产全球首架电动垂直起降载人飞碟（如图）.观察它的外观造型，我们会被其优美的曲线折服.现代产品外观特别讲究线条感，曲线更是让人称奇，衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，而曲线的曲率定义如下： 若f'（x）是f（x）的导数，f″（x）是f'（x）的导数，则曲线y＝f（x）在点（x，f（x））处的曲率K＝. （1）若碟身是由曲线f（x）＝ln x＋x与g（x）＝旋转一周形成的，试比较二者在点（1，1）处的曲率K1，K2的大小； （2）求正弦曲线h（x）＝sin x（x∈R）曲率的最大值. 6.已知y＝f（x）与y＝g（x）都是定义在（0，＋∞）上的函数，若对任意x1，x2∈（0，＋∞），x1＜x2，都有g（x1）≤≤g（x2），则称y＝g（x）是y＝f（x）的一个“控制函数”. （1）判断函数y＝4x是否为函数y＝2x2（x＞0）的一个控制函数，说明理由； （2）设f（x）＝ln x的导数为f'（x），0＜a＜b，求证：关于x的方程＝f'（x）在区间（a，b）上有实数解； （3）设f（x）＝xln x，函数y＝f（x）是否存在控制函数？若存在，求出y＝f（x）的一个控制函数；若不存在，说明理由. 7.已知非空集合A是由一些函数组成的，且满足如下性质：①对任意f（x）∈A，f（x）均存在反函数f－1（x），且f－1（x）∈A；②对任意f（x）∈A，方程f（x）＝x均有解；③对任意f（x）∈A，g（x）∈A，若函数g（x）为定义在R上的一次函数，则f（g（x））∈A. （1）若f（x）＝（）x，g（x）＝2x－3，且f（x）∈A，g（x）∈A，证明：函数h（x）＝lo（2x－3）∈A； （2）若函数f（x）＝（x≥1）在集合A内，求实数a的取值范围； （3）若集合A中的函数均为定义在R上的一次函数，证明：存在一个实数x0，使得对任意f（x）∈A，均有f（x0）＝x0. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优点3　函数与导数中的新定义问题 1.C　∀m∈（0，＋∞），＝m＋≥2，当且仅当m＝1时取等号，由[x]2＋[x]≤可得[x]2＋[x]≤2⇒（[x]＋2）（[x]－1）≤0，所以－2≤[x]≤1，故－2≤x＜2，故选C. 2.B　f'（x）＝1＋ln x－，设x0为函数f（x）在[1，2]上的“拉格朗日中值点”，则1＋ln x0－＝＝ln 2.令g（x）＝1＋ln x－－ln 2，则g'（x）＝＋＞0在[1，2]上恒成立，故g（x）＝1＋ln x－－ln 2在[1，2]上单调递增，又g（1）＝－ln 2＜0，g（2）＝1－＝＞0，由函数零点存在定理可知，存在唯一的x0∈[1，2]，使得g（x0）＝0.故选B. 3.ABC　对于A，因为任意一个圆O都是关于圆心的中心对称图形，故其“太极函数”有无数个，故A正确；对于B，函数f（x）＝x3－3x是奇函数，其图象过原点且关于原点对称，将圆的圆心放在坐标原点上，则函数f（x）＝x3－3x可以是某个圆的“太极函数”，故B正确；对于C，将圆的圆心放在正弦函数y＝sin x图象的对称中心上，则y＝sin x是该圆的“太极函数”，故y＝sin x可以是无数个圆的“太极函数”，故C正确；对于D，函数y＝f（x）的图象是中心对称图形时，y＝f（x）不一定是“太极函数”，例如f（x）＝就不是太极函数；函数y＝f（x）是“太极函数”时，图象也不一定是中心对称图形（如图），故D错误.故选A、B、C. 4.ABD　对于A，由函数g（x）是“类奇函数”，所以g（x）g（－x）＝1，且g（x）＞0，所以当x＝0时，g（0）g（－0）＝1，即g（0）＝1，故A正确；对于B，由g（x）·g（－x）＝1，即g（－x）＝，g（－x）随g（x）的增大而减小，若g（x）max＝g（4）＝4，则g（x）min＝g（－4）＝成立，故B正确；对于C，由g（x）在（0，＋∞）上单调递增，所以g（－x）＝在x∈（0，＋∞）上单调递减，设t＝－x∈（－∞，0），所以g（t）在t∈（－∞，0）上单调递增，即g（x）在x∈（－∞，0）上单调递增，故C错误；对于D，由g（x）·g（－x）＝1，h（x）h（－x）＝1，所以G（x）G（－x）＝g（x）g（－x）h（x）h（－x）＝1，所以函数G（x）＝g（x）h（x）也是“类奇函数”，所以D正确.故选A、B、D. 5.解：（1）f'（x）＝＋1，f″（x）＝－， 所以K1＝＝＝， g'（x）＝，g″（x）＝－， 所以K2＝＝＝， 所以K1＜K2. （2）h'（x）＝cos x，h″（x）＝－sin x， 所以K＝，K2＝＝， 令t＝2－sin2x，则t∈[1，2]， K2＝. 设p（t）＝，则p'（t）＝＝. 显然当t∈[1，2]时，p'（t）＜0，p（t）单调递减， 所以p（t）max＝p（1）＝1，K2的最大值为1， 所以正弦曲线h（x）＝sin x（x∈R）曲率的最大值为1. 6.解：（1）对任意0＜x1＜x2，有＝＝2（x1＋x2），且4x1＜2（x1＋x2）＜4x2， ∴函数y＝4x是函数y＝2x2（x＞0）的一个控制函数. （2）证明：∵0＜a＜b，∴＝＝， ∴－＝－，－＝－. 设y＝ln x－x＋1，x＞0，当x＞1时，y'＝－1＜0，当0＜x＜1时，y'＝－1＞0， 则y＝ln x－x＋1在（1，＋∞）上单调递减，在（0，1）上单调递增，ymax＝ln 1－1＋1＝0. ∵0＜a＜b，∴＞1，0＜＜1， ∴ln－＋1＜0，ln－＋1＜0， 则ln－＜0，∵b－a＞0， ∴－＜0，即＜. 同理，ln－＜0，∵a－b＜0， ∴－＞0，即＞. 综上，＜＜，f'（x）＝在区间（a，b）上的值域为（，）， 则＝f'（x）在区间（a，b）上有实数解. （3）f（x）＝xln x时，类比（2）可证明对任意x1，x2∈（0，＋∞），存在c∈（x1，x2）使得f'（c）＝， 又f'（x）＝1＋ln x单调递增，所以f'（x1）＜f'（c）＜f'（x2），即对任意x1，x2∈（0，＋∞）， f'（x1）＜＜f'（x2）. 故f'（x）＝1＋ln x是y＝f（x）的一个控制函数. 7.解：（1）证明：由f（x）＝（）x∈A，根据性质①可得f－1（x）＝lox∈A， 又g（x）＝2x－3∈A，且g（x）为定义在R上的一次函数，根据性质③可得h（x）＝lo（2x－3）＝f－1（g（x））∈A，问题得证. （2）由性质②可知，令＝x（x≥1），化简整理得a＝x，则a＝x在x∈[1，＋∞）上有解，所以a≥1. f（x）＝＝＝x＋1＋－2（x∈[1，＋∞））. 当＞2，即a＞3时，f（x）在[1，＋∞）上先单调递减，再单调递增， 此时f（x）没有反函数，不满足性质①. 当≤2，即1≤a≤3时，f（x）在[1，＋∞）上单调递增，此时f（x）有反函数，满足性质①. 显然f（x）满足性质②. 综上，a∈[1，3]. （3）证明：任取f1（x）＝ax＋b，f2（x）＝cx＋d∈A，ac≠0，不妨设a，c≠1， 由性质③得函数p（x）＝f1（f2（x））＝acx＋（ad＋b）∈A，q（x）＝f2（f1（x））＝acx＋（bc＋d）∈A， 由性质①得q－1（x）＝∈A， 由性质③得q－1（p（x））＝ ＝x＋∈A， 由性质②得方程x＋＝x有解，所以ad＋b＝bc＋d，即＝. 由f1（x）＝x，可得ax＋b＝x，则x＝， 由f2（x）＝x，可得cx＋d＝x， 则x＝. 当f（x）＝x时，对任意的x∈R， 均有f（x）＝x. 由此可知，对于任意两个函数f1（x），f2（x）∈A，存在相同的x0满足f1（x0）＝x0＝f2（x0）， 所以存在一个实数x0，使得对任意f（x）∈A，均有f（x0）＝x0. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $