专题7 第6讲 大题专攻——利用导数研究函数零点(专题检测)-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习学生用书Word

。学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.2Zxxk.com○ 您身边的互联网+款辅专家 第6讲大题专攻 一利用导数研究函数零点 l.已知函数f(x)=2ex+lnx十安(e为自然对数的底数)，证明：函数f(x)在区间（告，e)内 有唯一零点. 2.已知f(x)=lnx+(k∈R). (1)求f(x)的最值； (2)若f(x)有两个零点，求实数k的取值范围. 1/2 ·独家授权侵权必究· 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.2Zxxk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 3.己知函数f(x)=(x-1)e-ax2,a∈R (1)当a=号时，求f(x)的单调区间： (2)若方程f(x)十a=0有三个不同的实根，求a的取值范围. 4.(2024·湖南九校联盟第二次联考)已知函数f(x)=x3+ax2+bx十c(a,b,c∈R),其图象 的对称中心为（1，一2). (1)求a-b-c的值； (2)判断函数f(x)的零点个数， 2/2 ·独家授权侵权必究·色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 第6讲大题专攻—利用导数研究函数零点 1.证明：f(x)=2ex+nx+安 =ex(2elnx+是)， .e->0恒成立， ∴f(x)在区间（告，e)内零点的个数等价于g(x)=2enx十袁在区间（合，e)内零 点的个数， “g(佳)=2ehn哈+言 =-2e+e=-e<0, g(e)=2elne+音=2e+音>0. ∴g(x)在（告，e)内有零点. 又“g)=爱-克=2袋， 当言<x<e时，g'(x)>0,g(x)单调递增， g(x)在（告，e)内有唯一零点，即函数f(x)在区间（合，e)内有唯一零点. 2.解：(1)f(x)=lnx+c的定义域为(0，十∞)， f(x)=是+k(x>0). 当k≥0时，f(x)>0恒成立，f(x)在(0，+∞)上是增函数，此时函数无最值； 当k<0时，在(0，一是)上，P(x)>0,f(x)单调递增； 在(-走，十∞)上，(x)<0,f(x)单调递减. 所以f(x)在x=一亲处取得极大值，即最大值， f(x)mx=f(-卡)=ln(-素)一1. 综上可知，当k≥0时，f(x)在(0，十∞)上无最值； 当k<0时，f(x)的最大值为n(-)-l,无最小值. (2)f(x)=nx十有两个零点，可得一k=要有两个实根. 设h(x)=罗(x>0),()=要 令h'(x)>0,得0<x<e;令h'(x)<0,得x>e, 所以h(x)在(0，e)上单调递增，在(e,十∞)上单调递减. 所以h(x)mx=h(e)=吉， 当x∈(e,+)时，x>0,lnx>0,所以h(x)=袋>0，又h(1)=0,所以当x ∈(0,1)时，h(x)<0;当x∈(1，+∞)时，h(x)>0. h(x)=要的大致图象如图所示， ·独家授权侵权必究· 色学科网书城回 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 若直线y=一k与y=h(x)的图象有两个交点， 则0<一k<合，所以实数k的取值范围是（一言，0）· 3.解：(1)当a=号时，函数f(x)=(x-1)e-号x2, 则f(x)=xex-ex=x(e-e),令P(x)=0得x=0或x=l, 当x∈(-∞，0)或x∈(1，+∞)时，P(x)>0,当x∈(0,1)时，f(x)< 0, 所以f(x)在(-∞，0)上单调递增，在(0,1)上单调递减，在(1，十∞)上单调 递增， 即当a=号时，f(x)单调递增区间为(-∞，0)和(1，十∞)，单调递减区间为(0， 1). (2)因为f(x)十a=(x-1)[ex-a(x十1)]，所以x=1为f(x)十a=0的-个根， 故ex一a(x十1)=0有两个不同于1的实根， 令g(x)=ex-a(x十1)，则g'(x)=ex-a, ①当a≤0时，g'(x)>0,故g(x)在R上单调递增，不符合题意； ②当a>0时，令g'(x)=0,得x=lna, 当x>na时，g'(x)>0,故g(x)在区间(lna,+∞)上单调递增， 当x<lna时，g'(x)<0,故g(x)在区间(-o,lna)上单调递减， 并且当x一-∞时，g(x)→十∞；当x一+∞时，g(x)一+∞； 所以若要满足题意，只需g(1na)<0且g(1)≠0， 因为g(na)=elna-a(na十l)=-ana<0,所以a>1, 又g(1)=e-2a≠0，所以a≠号， 所以实数a的取值范围为(1，)U(号，+∞)· 4.解：(1)，函数f(x)的图象关于点(1，一2)中心对称，故y=f(x十1)+2为奇 函数， 从而有f(x+1)+2+f(-x+1)+2=0,即f(x+1)+f(一x+1)=-4, f(x+1)=(x+1)3+a(x+1)2+b(x+1)+c=x3+(a+3)x2+(2a+b+3)x +a+b+c+1, f(1-x)=(1-x)3+a(1-x)2+b(1-x)+c=-x3+(a+3)x2-(2a+b+3) x+a+b+c+1, ·独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 2a+6=0, …2a+2b+2c+2=-4, a=-3, 解得{b+c=0,a-b-c=-3. (2)由(1)可知，f(x)=x3-3x2-cx+c,(x)=3x2-6x-c,4=36+12c, ①当c≤-3时，4=36+12c≤0，f(x)≥0，所以f(x)在R上单调递增， .f(1)=-2<0,f(3)=27-3×9-3c+c=-2c>0, ∴.函数f(x)有且仅有一个零点； ②当-3<c<0时，>0， f(x)=0有两个正根1,2，不妨设<x2,十x2=2>0,灯·灼=-号>0，则3x好 -6x1一c=0,x2<2, .函数f(x)在（一∞，1）上单调递增，在(x1,2)上单调递减，在(2，十∞)上 单调递增， f(1)=x-3x2-(1-1)(3x3-6x1)=-2x1(x3-31十3)<0，f(x2)< 0,f(3)=-2c>0, ∴.函数∫(x)有且仅有一个零点； ③当c=0时，f(x)=x3-3x2, 令f(x)=x3-3x2=0,解得x=0或x=3,f(x)有两个零点； ④当c>0时，>0， (x)=0有一个正根和一个负根灯，2，不妨设灯<0<，：1十龙2=2，灯·=一等 <0,则x2>1, ∴.函数f(x)在（一∞，1）上单调递增，在(x1,2)上单调递减，在(x2,十∞)上 单调递增， f(x1)>f(0)=c>0,f(x2)<f(1)=-2<0,当x一-∞时，f(x)→-∞，当 x一+o时，f(x)一+∞， .函数f(x)有且仅有三个零点： 综上，当c>0时，函数f(x)有三个零点； 当c=0时，函数f(x)有两个零点； 当c<0时，函数f(x)有一个零点. ·独家授权侵权必究·