专题7 第5讲 大题专攻——导数与不等式恒（能）成立问题(专题检测)-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习学生用书Word

画学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 第5讲大题专攻一导数与不等式恒（能）成立问题 1.解：(1)当a=1时，f(x)=x(e+1),f(x)=e(x+1)十1，则f(0)= 2,而f(0)=0, 所以曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y=2x. (2)re(0,+0),fx)≥，得a≥X1 ex e*,则g'()=-2-x 设g(x)=x-1 ex 令g)-21=0.得x=2, 则x∈(0,2)时，g'(x)>0,函数g(x)单调递增，x∈(2，+∞)时，g'(x)< 0,函数g(x)单调递减， 故g(x)mmx=g(2)=e2,故a≥e2, 即实数a的取值范围为[e2,十o). 2解：D由题意得，/()-是+1(>0)，g)= 设函数f(x)与g(x)的图象的切点为(xo,f(x0)),0>0, 则f()= 3 0十1=3，解得w=1或0=-3（合去）， 所以面数了()与g()的图泉的切点为1，之， 将切点坐标代入g(r)=3x+a,得3X1+a,所以a=- 2 1 (2)设h(r)=3nx-2-2r(x>0). “存在x>0,使∫(x)>g(x)成立”等价于“存在x>0,使h(x)=3x-x2-2x >a成立”等价于“x>0时，a<h(x)mx”. ()=3x-2=二X2-2x+3=-（x-1+3) X X X 令h'(x)>0,得0<x<1;令h'(x)<0,得x>1, 所以函数h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，十∞)上单调递减， 所以h(x)=h(q)=-5, 21 部-多 独家授权侵权必究· 画学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 所以实数a的取值范围是(-∞，一 3.解：(1)f(x)=xsinx十cosx,则f(x)=sinx十xcosx-sinx=xcos x. 当x∈(0，x)时，令1()>0，得0<r<7令1()<0.得号<x<元 所以当x∈(0，π)时，函数f(x)的单调递增区间为(0， 受)，单调递减区间为( ，元)· 3 (2)对仁意的∈一，，存在∈0，小.使得26)<g)成立，即[ 1f(i)]m≤[g(2)]m 2 当x∈[一π，π]时，f(一x)=f(x),所以函数f(x)为偶函数. 由()保f)在[0，团上的摄大值为f(受=受所以f)在[-，对上的最大 雀为号 所以对∈[-元动，[)门m×受 故原问题转化为存在6E0,小，使得g()≥成立，即[g(0)]m≥寻 易知函数g(x)=一x2+2ax为二次函数，图象的对称轴为直线x=a. ①当a≤0时，函数g(x)在区间[0,1]上的最大值为g(0)=0,不合题意. ②当0<a<1时，函数g(x)在区间[0,1]上的最大值为g(a)=a2, 令≥}得a≥或a≤-2所以a<1 ③当a≥1时，函数g(x)在区间[0,1]上的最大值为g(1)=2a-1, 令2-1好得≥营所以a≥1 综上，a的取值范围是分十四) 4.解：（1)f(x)=(x3-5x2+4x)e=x(x-1)(x-4)e,x>0, 令f(x)>0,解得x>4或0<x<1, 令f(x)<0,解得1<x<4, 独家授权侵权必究· 画学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 故f(x)在(0,1)，(4，+∞)上单调递增，在(1,4)上单调递减， 故f(x)在x=1处取得极大值，f(1)=e-1=1, f(x)=(2x2-x3)e-=x2(2-x)e,当x>2时，f(x)<0恒成立， 故f(x)在x=1处取得最大值，f(x)max=1. (2)设g(x)=axe-x+|lnx|-a,其中x>0, 则g(x)≥0对任意的x∈(0，十∞)恒成立. ①当x=1时，g(1)=0,符合题意. ②当0<x<1时，g(x)=ax2el-x-lnx-a, g0=a2x-)e-是是0-日， 由(1)知，f(x)在(0,1)上单调递增，故f(x)∈(f(0),f(1)),即 f(x)∈(0,1)， 若a<0,g'(x)<0,则g(x)单调递减，有g(x)>g(1)=0,符合题意； 若a=0,g(x)=-lnx>0,符合题意： 老合≥1，则0<a≤1，g6)<0,则g6)在0,1D上单调递减，有g()> g(1)=0,符合题意： 若0<合1，则a>1.李在6e0.1D,使得/w)=日 当∈(，)时，f)>。故g6x)≥0，则g()单调递增，可符g(x)< g(1)=0,不符合题意， 因此当0<x<1时，a∈(-°，1] ③当x>1时，g(x)=ae+lnx-a,且g(x)=a(2x-x)e+1_g ()+),由②可知只需考虑a≤1， 若-1<<0，则a<-1,由(1)知fG)在(1,2)上单调递减，故 a f(x)∈(f(2),f(1))，即f(x)∈(0,1)， 存在∈(1,2)，使得∫(x)+1=0, a 当xe(1,)时，∫()+。>0，得g(x)<0,则gx)单调递减，可得g(x) <g(1)=0,不符合题意； 独家授权侵权必究· 画学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 若≤-1，则-1≤4<0，由(1)可知：当>1时，f(x)<1,f(x)+<0, Q 故g'(x)>0,则g(x)在(1，十∞)上单调递增，有g(x)>g(1)=0,符合题 意； 若a=0,g(x)=lnx>0,符合题意； 若0<a≤1，下面证明0<a≤1符合题意， 当x≥e时，ar2e-r>0,故g(x)>lnx-a≥lnx-1≥0， 当1≤x<e时，设h(x)=x2e-r-l,则h'(x)=x（2-x)e-x, 可得h(x)在(l,2)上单调递增，在(2，e)上单调递减， 故h(x)>min{h(1),h(e)}=min{0,e3-e-1}=0, 从而g(x)=h(x)+lnx>0,符合题意. 综上，a∈[-1,1]. 独家授权侵权必究· 第5讲　大题专攻——导数与不等式恒（能）成立问题 1.（2024·南京六校联考）已知函数f（x）＝x（aex＋1），a∈R. （1）若a＝1，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； （2）若f（x）≥x2在（0，＋∞）上恒成立，求实数a的取值范围. 2.已知函数f（x）＝3ln x－x2＋x，g（x）＝3x＋a. （1）若函数f（x）与g（x）的图象相切，求实数a的值； （2）若存在x＞0，使f（x）＞g（x）成立，求实数a的取值范围. 3.已知函数f（x）＝xsin x＋cos x. （1）当x∈（0，π）时，求函数f（x）的单调区间； （2）设函数g（x）＝－x2＋2ax，若对任意的x1∈[－π，π]，存在x2∈[0，1]，使得f（x1）≤g（x2）成立，求实数a的取值范围. 4.已知函数f（x）＝（2x2－x3）e1－x，其中x＞0. （1）求f（x）的最大值； （2）若不等式ax2e1－x＋｜ln x｜≥a对于任意的x∈（0，＋∞）恒成立，求实数a的取值范围. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $