专题7 第4讲 大题专攻——利用导数证明不等式(专题检测)-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习学生用书Word

色学科网书城回 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 第4讲大题专攻一利用导数证明不等式 1.解：(1)函数f(x)的定义域为(-∞，十)，且(x)=, （f(1)=吉， 因为x=1时，f(x)有极大值音，所以r(1)=0,解得a=1,6=0, 经检验，当a=1,b=0时，f(x)在x=1时有极大值吉， 所以a=1,b=0. (2)证明：由(1)知，f(x)=盖， 当x>0时，要证f(x)<产x,即证器< 即证e>x十1. 设g(x)=e-x-1,则g'(x)=e-1, 因为x>0,所以g'(x)=e-1>0, 所以g(x)在(0，+∞)上单调递增， 所以g(x)>g(0)=0,即e-x-1>0,即e>x+1, 故当>0时，f(x)<. 2.解：(1)函数f(x)的定义域为(0，十o)，由f(x)=(2x十1)lnx-号可得f (x)=2nx+(2x+1)·是-x=2nx-x+袁+2， 则P(1)=2,所以曲线f(x)在x=1处的切线斜率为k=2, 又因为f(1)=-, 所以切线方程为y+吉=2(-1)，即y=2x-号， 所以a=2,b=-号： (2)证明：要证明f(x)≤x+b,只要证(2x十1)1nx-号-2x+号≤0， 设g(x)=(2x+1)1nx-号-2x+号， 则g(x)=2nx+壹-， 令h(x)=2nx十袁-x, 则(x)=最-意-1 -<0. 所以h(x)在(0，+∞)上单调递减， 又h(1)=0,所以当x∈(0,1)时， h(x)>0,则g(x)在(0,1)上单调递增， 当x∈(1，十∞)时，h(x)<0,则g(x)在(1，+∞)上单调递减， 所以g(x)≤g(1)=0,所以f(x)≤ax十b. ·独家授权侵权必究· 多学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 3.解：(1)当=0时，函数f(x)的定义域为(0，十∞)，(x)=一+壹=x 当a≤0时，.x>0,x-a>0, f(x)>0, f(x)在(0，十∞)上单调递增 当a>0时，若x>a,则f(x)>0,f(x)单调递增；若0<x<a,则P(x)<0,f(x) 单调递减。 综上，当a≤0时，f(x)在(0，十o)上单调递增；当a>0时，f(x)在(a,十∞) 上单调递增，在(0，a)上单调递减. (2)证明：要证g(x)>f(x),即证g(x)一f(x)>0,即证e-ln(x十t)> 0,即证ex-ln(x+t)≥e-ln(x+2)>0. 令F(x)=e-ln(+2)，F(x)=e-2在(-2，+o)上单调递增， （F(-1)<0, “{F0)>0,F(x)=0在(-2，+)上有唯-实根，设为，则∈(-1， 0). 当x∈(-2，xo)时，F'(x)<0,F(x)单调递减，当x∈(xo,十o)时，F'(x) >0,F(x)单调递增. 故当x=x0时，F(x)取得最小值，由F(xo)=0得e0=产，即x0=-n(x十2)， FG)≥e0-nx+2)三2十0三2>0 故当t≤2时，g(x)>f(x). 4.解：(1)由已知得，函数f(x)=一m的定义域为(0，十∞)，(x)= xnx-a）_+1lns 由f(x)=0,得x=ea+1,且当0<x<ea+1时，f(x)>0;当x>ea+1时，f(x)< 0. 所以f(x)在x=ea+1时取得极值， 所以ea+1=e,解得a=0. 所以f(x)=罗-m(x>0),f(x)=, 显然当0<x<e时，f(x)>0, 所以函数f(x)在(0，e)上单调递增： 当x>e时，f(x)<0, 所以函数f(x)在(e,十∞)上单调递减. f(e)=吉一m,且f(e)为f(x)的极大值，也是最大值. 独家授权侵权必究· 色学科网书城回 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 易知当x一→0(x>0)时，f(x)→-∞；当x一十∞时，f(x)→一m. ∫告-m>0, 又f()有两个零点，，所以-m<0. 得0<m<吉， 所以实数m的取值范围为(0，言)· In x1=mx1, (2)证明：由题意，不妨设0<m<2,则nX2=mx2 则n(w2)=m(x十)，ln爵=m(2-灯)， 所以m城，要证>心， 即证ln(x12)>2,即证m(x1十2)>2， 1+安 耶证瞬>2，令1费，则>1， 则只需证当>1时，nt>21 t+1 即证当>1时，1nt-21>0. +1 设g()=lnf-2t1(>1), +1 4 61)2 则g()=-+1=:+1>0, 所以g(t)在(1，十∞)上单调递增， 则g()>g(1)=n1-2x1=0, 1+1 从而原不等式成立， 即xw2>e2成立. ·独家授权侵权必究·学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxxK.com● 您身边的互联网+教辅专家 第4讲 大题专攻一一利用导数证明不等式 1(2024合肥常-次质爱检剥》已知函数f)-。,当=1时，f)有极大值 (1)求实数a,b的值： (2)当≥0时，证明：了0)<年 2(2024乌章木齐第二次质量蓝调》已知fx)=(2x+1Dnx一兰，曲线/x)在X=1处的切线 方程为y=ax十b. (1)求a,b: (2)证明：f(x)≤ax+b. 1/2 ·独家授权侵权必究· 。学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZXXK.com● 您身边的互联网+教辅专家 3.函数f()=ln(x+)+是其中，a为实数。 (1)当t=0时，讨论函数f(x)的单调性； (2)若g()=e+号当≤2时，证明：g(x)f) 4,.已知函数∫(x)=血Xa一m(a,m∈R)在x=e(e为白然对数的底数)时取得极值，且有两 X 个零点x1,x2 (1)求实数a的值，以及实数m的取值范围； (2)证明：xx2>e2 2/2 独家授权侵权必究·