专题7 第3讲 小题研透——导数的简单应用(专题检测)-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习学生用书Word

第3讲　小题研透——导数的简单应用 1.D　＝－·＝－a，则－a＝1－a，解得a＝2.故选D. 2.D　函数f（x）＝6＋12x－x3的定义域为R，且f'（x）＝12－3x2＝3（2－x）·（2＋x），所以当－2＜x＜2时，f'（x）＞0，当x＜－2或x＞2时f'（x）＜0，所以f（x）在（－2，2）上单调递增，在（－∞，－2），（2，＋∞）上单调递减，所以f（x）在x＝－2处取得极小值，在x＝2处取得极大值，即极小值点为－2，极大值点为2. 3.C　f（x）＝xex⇒f'（x）＝ex＋xex＝（x＋1）ex，当x＞－1时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；当x＜－1时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减，所以当x＝－1时，函数f（x）的最小值为－，因此A、B错误，C正确；因为f'（0）＝1，f（0）＝0，所以f（x）的图象在x＝0处的切线方程为y＝x，因此D错误.故选C. 4.AC　根据导函数图象可知：当x∈（－∞，－3）时，f'（x）＜0，当x∈（－3，1）时，f'（x）≥0，∴函数y＝f（x）在（－∞，－3）上单调递减，在（－3，1）上单调递增，故A、C正确；∵f（x）在（－3，1）上单调递增，∴－1不是函数y＝f（x）的最小值点，故B不正确；∵函数y＝f（x）在x＝0处的导数大于0，∴切线的斜率大于零，故D不正确.故选A、C. 5.5　解析：f'（x）＝3x2－，因为函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线与直线2x＋y＋1＝0平行，所以f'（1）＝3－a＝－2，即a＝5. 6.（0，＋∞）　解析：由题可得f'（x）＝ex－a≥0恒成立，又ex∈（0，＋∞），所以a≤0.函数g（x）的定义域为（0，＋∞），g'（x）＝＋2x－（a＋2），x＞0，又2x＋≥2＝4，当且仅当x＝1时取等号，由a≤0得a＋2≤2，则g'（x）＞0，故g（x）的单调递增区间为（0，＋∞）. 7.D　f'（x）＝1＋ln x，则f'（1）＝1＋ln 1＝1，易知f（1）＝0，所以直线l的方程为y＝x－1.因为直线l与g（x）的图象也相切，所以方程组有唯一解，即关于x的一元二次方程x2＋（a－1）x＋1＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝（a－1）2－4＝0，解得a＝－1或a＝3. 8.B　函数y＝f（x）＝x＋aln x在（，e）上有极值点，则f'（x）在（，e）上有零点.f'（x）＝1＋＝（x＞0），令g（x）＝x＋a，则g（x）的零点即为f'（x）的零点，且函数g（x）在（0，＋∞）上单调递增，所以（＋a）（e＋a）＜0，解得－e＜a＜－.所以实数a的取值范围为（－e，－）.故选B. 9.A　因为f'（x）－f（x）＞0，所以＞0.令g（x）＝，则g'（x）＝＞0，所以g（x）在R上单调递增.exf（x＋1）＞e4f（2x－3）⇔＞⇔g（x＋1）＞g（2x－3）⇔x＋1＞2x－3⇔x＜4，所以“x＜2”是“exf（x＋1）＞e4f（2x－3）”的充分不必要条件，故选A. 10.D　由于f（－x）＝（－x）sin（－x）＝xsin x＝f（x），且定义域关于原点对称，所以函数f（x）为偶函数，当x∈［0，］时，f'（x）＝sin x＋xcos x≥0，故函数f（x）在［0，］上单调递增，结合函数为偶函数可知，函数f（x）在［－，0］上单调递减，所以f（x1）＜f（x2）等价于｜x1｜＜｜x2｜，即＜.故选D. 11.C　由导数与函数单调性的关系得f（x）的图象为实曲线，f'（x）的图象为虚曲线，且当x＜0时，f（x）＜f'（x），当x＞0时，f（x）＞f'（x），设g（x）＝f（x）·ex，则g'（x）＝（f（x）＋f'（x））ex＞0，∴g（x）在R上单调递增，故A、B错误；设h（x）＝，则h'（x）＝＝，则h（x）在（－∞，0）上单调递增，在（0，＋∞）上单调递减，∴h（x）在x＝0处有最大值h（0）＝＝1，故C正确，D错误.故选C. 12.AB　由∀x∈R，xf'（x）＝（x＋1）f（x），令x＝0，则0＝（0＋1）f（0），∴f（0）＝0，A正确；当x≠0时，由xf'（x）＝（x＋1）f（x）得xf'（x）－f（x）＝xf（x），故＝，即［］'＝，则＝ex，则f（x）＝xex，f'（x）＝ex＋xex，f″（x）＝ex＋ex＋xex＝ex（2＋x），故f″（－2）＝ex（2－2）＝0，B正确；令g（x）＝（x＞0），g'（x）＝ex＞0，故g（x）在（0，＋∞）上单调递增，故＞，即f（2）＞2f（1），C错误；由于f'（x）＝ex＋xex，令f'（x）＞0，∴ex（1＋x）＞0，即得x＞－1，令f'（x）＜0，∴ex（1＋x）＜0，即得x＜－1，故f（x）在（－∞，－1）上单调递减，在（－1，＋∞）上单调递增，故x＝－1是函数f（x）的极小值点，D错误.故选A、B. 13.（－∞，6]　解析：因为f（x）＝x3－ax2＋6x，所以f'（x）＝3x2－ax＋6，因为函数f（x）＝x3－ax2＋6x在区间（1，3）上单调递增，所以f'（x）＝3x2－ax＋6≥0在（1，3）上恒成立，即x∈（1，3）时，a≤3x＋恒成立，因为3x＋≥2＝6，当且仅当x＝时等号成立，即（3x＋）min＝6，所以a≤6. 14.（－∞，）∪（2，＋∞） 解析：若f（x）＝x3－x2＋ax（x∈R）无极值，则f'（x）＝3x2－2x＋a≥0恒成立，即Δ＝4－12a≤0，解得a≥；若g（x）＝x2＋（2－a）ln x无极值，则g'（x）＝≥0对x∈（0，＋∞）恒成立，所以2－a≥0，即a≤2.所以f（x）与g（x）中恰有一个函数无极值，则或解得a∈（－∞，）∪（2，＋∞）. 15.（e2，e）　解析：函数f（x）＝aln x的定义域为（0，＋∞），可得f'（x）＝，由g'（x）＝，设曲线f（x）＝aln x与曲线g（x）＝的公共点为（x0，y0），由于在公共点处有共同的切线，所以＝，所以x0＝4a2（a＞0），由f（x0）＝g（x0），可得aln x0＝，联立可得解得x0＝e2，所以y0＝e，所以公共点坐标为（e2，e）. 16.ACD　f'（x）＝＋2x－（a＋2）＝，x＞0.当a＝2时，f'（x）＝≥0恒成立，所以f（x）在（0，＋∞）上单调递增，故f（x）无极值点，A正确；当a＜0时，2x－a＞0，f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，f（1）＝－a－1，当x→0＋，f（x）→＋∞，当x→＋∞，f（x）→＋∞，当f（1）＝0即a＝－1时，f（x）有且仅有1个零点；当a＜－1时，f（x）无零点；当－1＜a＜0时，f（x）有2个零点.当a＞0，令f'（x）＝0，解得x＝1或，当x→0＋，f（x）→－∞，当x→＋∞，f（x）→＋∞，①当a＝2时，由A项分析可知f（x）在（0，＋∞）上单调递增，此时有且仅有1个零点，②当0＜a＜2时，f（x）在（0，）上单调递增，在（，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，当a＞2时，f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，）上单调递减，在（，＋∞）上单调递增，f（1）＝－a－1＜0，f（）＝aln－－a＜0，则当a＞2或0＜a＜2时，f（x）在（0，＋∞）上有且仅有1个零点，综上，当f（x）有且仅有1个零点时，a＞0或a＝－1，B错误；当a＝2时，f（2）＝2ln 2－4，f'（2）＝1，所以f（x）在x＝2处的切线方程为y＝x－6＋2ln 2，C正确；当a＞0时，f（a）－f（1）＝aln a－2a＋a＋1＝aln a－a＋1，记h（a）＝aln a－a＋1，h'（a）＝ln a，令h'（a）＞0，解得a＞1，则h（a）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，所以h（a）≥h（1）＝0，即f（a）≥f（1），D正确. 17.①②④　解析：①y＝x2－2｜x｜＝在x＝－1和x＝1处的切线都是y＝－1，故①有“自公切线”；②y＝3sin x＋4cos x＝5sin（x＋φ），其中cos φ＝，sin φ＝，此函数为周期函数，过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合，故②有“自公切线”；③3x2－xy＋1＝0，即y＝3x＋（x≠0），则y'＝3－，假设此函数有“自公切线”，设切点分别为A（x1，3x1＋），B（x2，3x2＋），且x1≠x2，所以切线的斜率k＝3－＝3－，解得x2＝－x1，则B（－x1，－3x1－），故k＝3－＝，化简得3x1＋＝3x1－，无解，所以③没有“自公切线”；④x2＋y2－x－｜x｜－1＝0，当x≥0，则（x－1）2＋y2＝2，当x＜0，则x2＋y2＝1，表示的图形如图，由于圆（x－1）2＋y2＝2与圆x2＋y2＝1相交，有公切线，所以④有“自公切线”. 学科网（北京）股份有限公司 $多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.com○ 您身边的互联网+款辅专家 第3讲 小题研透 导数的简单应用 A级基础回归 1.已知函数f(x)的导函数为f(x),且P(1)=a,im 1以-f(1+x) 2Ax =1一a,则实数a的值为 △x→0 () A.-2 B.-克 c.主 D.2 2.(2024·岳阳质量监测)函数f(x)=6+12x一x3的极小值点为（) A.(4,-10) B.(-2,-10) C.4 D.-2 3.(2024·上饶一模)已知函数f(x)=xe*,则下列说法正确的是() A.f(x)的导函数为f(x)=(x一1)ex B.f(x)在（一1，+∞）上单调递减 C.f(x)的最小值为一 D.f(x)的图象在x=0处的切线方程为y=2x 4.(多选)函数y=f(x)的导函数y=f(x)的图象如图所示，则下列说法正确的是() A.一3是函数y=f(x)的极值点 B.一1是函数y=f(x)的最小值点 C.y=f(x)在区间（一3,1）上单调递增 D.y=f(x)在x=0处切线的斜率小于零 1/4 独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 5.函数f(x)=x3-anx的图象在点(1，f(1))处的切线与直线2x+y+1=0平行，则实数a= 6.若函数f(x)=ex一ax一1(a∈R)为增函数，则g(x)=2lnx+x2-(a+2)x的单调递增区间 为 B级综合练透 7.已知函数f(x)=xlnx,g(x)=x2+ax(a∈R),直线1与f(x)的图象相切于点A(1,0), 若直线1与g(x)的图象也相切，则a=() A.0 B.-1 C.3 D.-1或3 8.设a∈R,若函数y=x十anx在（合，e)上有极值点，则实数a的取值范围为(） A.(告，e) B.(-e,-) C.(-∞，音) D.(-∞，-e)U(-日，0) 9.(2024·南通、如皋、连云港联考)已知函数f(x)的定义域为R,对任意x∈R,有f(x)一f (x)>0,则“x<2”是“ef(x+1)>e4f(2x-3)”的() A.充分不必要条件 2/4 ·独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.2xxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 B.必要不充分条件 C.既不充分又不必要条件 D.充要条件 10.设函数f(x)=simx,若，2∈[-受，变]，且f(:)≤f(x2)，则下列不等式恒成立的是 () A.1<x2 B.x1>x2 C.x1+x2<0 D.好<好 11.(2024·东北三省四市教研联合体模拟)在同一平面直角坐标系内，函数y=f(x)及其导函数y =子(x)的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为(0,1)，则() A.函数y=∫(x)·ex的最大值为1B.函数y=∫(x)·ex的最小值为1 C函数y=的最大值为1 D.函数y=的最小值为1 12.(多选)(2024·金丽衢十二校第二次联考)设定义在R上的函数f(x)的导函数为P(x), 若x∈R,均有xf(x)=(x十1)f(x),则() A.f(0)=0 B."(一2)=0(”(x)为f(x)的二阶导数) C.f(2)<2f(1) D.x=一1是函数f(x)的极大值点 13.(2024·上饶一模)若函数∫(x)=x3-a2十6x在区间(1,3)上单调递增，则a的取值范围 为 3/4 ·独家授权侵权必究· 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 14.已知函数f(x)=x3-x2+a(x∈R),g(x)=x2+(2-a)lnx,若f(x)与g(x)中恰有一 个函数无极值，则实数a的取值范围是 15.(2024·成都模拟)已知函数g(x)=V及的图象与函数f(x)=nx的图象在公共点处有相同 的切线，则公共点坐标为】 C级能力突破 16.(多选)已知函数f(x)=alnx十x2一(a十2)x,其中a∈R且a≠0，则() A.当a=2时，f(x)无极值点 B.当f(x)有且仅有1个零点时，a>0 C.当a=2时，曲线f(x)在x=2处的切线方程为y=x一6+2ln2 D.当a>0时，f(a)≥f(1) 17.若曲线f(x,y)=0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f(x,y)=0的“自公 切线”，则下列方程对应的曲线中存在“自公切线”的序号为 ①y=x2-2|x|;②y=3sinx+4cosx; ③3x2-y+1=0;④x2+y2-x-|x|-1=0. 4/4 ·独家授权侵权必究·