专题7 第2讲 小题研透——基本初等函数、函数与方程(专题检测)-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习学生用书Word

第2讲　小题研透——基本初等函数、函数与方程 1.D　［（ －）－2＋log25－log210＝（36＋log2＝9－1＝8.故选D. 2.A　因为a＝2sin＜2sin＝1，又b3＝7，则b＝，且1＜＜＝2，即1＜b＜2，因为3c＝10，所以c＝log310＞log39＝2，所以c＞b＞a.故选A. 3.A　∵函数y＝xa－1在（0，＋∞）内单调递减，∴a－1＜0，即a＜1，∵a＞0且a≠1，∴0＜a＜1，∴y＝ax是减函数，又a3x＋1＞a－2x，∴3x＋1＜－2x，∴x＜－，即x∈（ －∞，－）. 4.D　设t＝ex－1，则x＝ln t＋1，所以f（t）＝2ln t＋1，t＞0.由f（a）＋f（b）＝0得2ln a＋1＋2ln b＋1＝0，即ln（ab）＝－1，所以ab＝.故选D. 5.BD　当a＞1时，y＝ax在（－∞，＋∞）上是增函数且其图象恒过点（0，1），y＝loga（x－2）在（2，＋∞）上是增函数且其图象恒过点（3，0），则选项B符合要求；当0＜a＜1时，y＝ax在（－∞，＋∞）上是减函数且其图象恒过点（0，1），y＝loga（x－2）在（2，＋∞）上是减函数且其图象恒过点（3，0），则选项D符合要求；综上所述，选项B、D符合要求. 6.5　解析：f（x）的定义域为（0，＋∞），因为y＝ln x和y＝2x－6在（0，＋∞）上均单调递增，所以f（x）在（0，＋∞）上是增函数.又因为f（）＝ln－1＜0，f（3）＝ln 3＞0，所以f（x）的零点在（，3）内，所以整数k＝5. 7.A　由f（x）＝x－＝则可作出函数f（x）＝x－的图象如图，由方程f2（x）－f（x）－6＝0，得f（x）＝3或f（x）＝－2，所以方程f2（x）－f（x）－6＝0的实根个数为3. 8.C　设经过t小时后两位患者体内药品的残余量恰好相等，由题意得800×（1－25％）t＝500×（1－10％）t，整理得（）t＝，两边取常用对数得tlg ＝lg ，即t（lg 5－lg 6）＝lg 5－lg 8，即t（1－2lg 2－lg 3）＝1－4lg 2，所以t＝，即t≈≈2.58，所以大约经过2.58 h时，两位患者体内药品的残余量恰好相等.故选C. 9.A　由奇函数的性质可知，f（0）＝0，∴1－b＝0，∴b＝1，经检验，b＝1符合题意，∴f（x）＝ax－a－x.当a＞1时，f（x）＝ax－a－x在[－1，1]上单调递增，∴f（x）max＝f（1）＝a－a－1＝，解得a＝3或a＝－（舍去）；当0＜a＜1时，f（x）＝ax－a－x在[－1，1]上单调递减，∴f（x）max＝f（－1）＝a－1－a＝，解得a＝或a＝－3（舍去）.综上所述，a＝3或a＝.故选A. 10.B　若y＝ax和y＝logbx在（0，＋∞）上单调递增，y＝xc在（0，＋∞）上单调递减，则有序数对（a，b，c）有·＝4个；若y＝ax和y＝xc在（0，＋∞）上单调递增，y＝logbx在（0，＋∞）上单调递减，则有序数对（a，b，c）有··＝8个；若y＝logbx和y＝xc在（0，＋∞）上单调递增，y＝ax在（0，＋∞）上单调递减，则有序数对（a，b，c）有··＝8个；若y＝ax，y＝logbx和y＝xc在（0，＋∞）上都单调递增，则有序数对（a，b，c）有·＝4个.综上所述，满足题意的有序数对（a，b，c）的个数是4＋8＋8＋4＝24.故选B. 11.AD　对于A，｜f（x）｜＜，即－＜＜，即－＜1－＜，即＜＜，即＜2x＋1＜3，即＜2x＜2，所以－1＜x＜1，故A正确；对于B，f（－x）＝＝＝－f（x），故B错误；对于C，f（x）＝1－，因为u＝2x＋1在R上单调递增，且u＞1，y＝1－在u＞1时单调递增，所以f（x）在R上单调递增，故C错误；对于D，记y＝f（x）＝1－，显然y≠1，则2x＝，由2x＞0得，＞0，解得－1＜y＜1，所以函数f（x）的值域为（－1，1），故D正确.综上，选A、D. 12.BC　依题意，x1＋＝0⇔＝－x1，x2＋ln x2＝0⇔ln x2＝－x2，则x1，x2分别是直线y＝－x与函数y＝ex，y＝ln x的图象交点的横坐标，而函数y＝ex与y＝ln x互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称，又直线y＝－x垂直于直线y＝x，则点（x1，）与点（x2，ln x2）关于直线y＝x对称，则x2＝＝－x1＞0，于是x1＋x2＝0，x1x2＜0，＋ln x2＝0，B、C正确，A错误；易知－1＜x1＜0，0＜x2＜1，则x1x2－x1＋x2－1＝（x1＋1）（x2－1）＜0，即x1x2－x1＋x2＜1，D错误.故选B、C. 13.16　解析：因为log2＝logb4，所以log2a·log2b＝4，所以log2（ab）＝log2a＋log2b≥2＝4，当且仅当log2a＝log2b＝2，即a＝b＝4时取等号，所以（ab）min＝24＝16. 14.[1，3）∪{0}　解析：因为关于x的方程f（x）－m＝0恰有两个不同的实数解，所以函数y＝f（x）的图象与直线y＝m有两个交点，作出函数图象，如图，所以当m∈[1，3）∪{0}时，函数y＝f（x）的图象与直线y＝m有两个交点，所以实数m的取值范围是[1，3）∪{0}. 15.　[－1，＋∞）　解析：函数f（x）＝loga（－x＋1）（a＞0且a≠1）在[－2，0]上的值域是[－1，0]，当a＞1时，f（x）＝loga（－x＋1）在[－2，0]上单调递减，∴无解；当0＜a＜1时，f（x）＝loga（－x＋1）在[－2，0]上单调递增，∴解得a＝.∵g（x）＝（）x＋m－3的图象不经过第一象限，∴g（0）＝（）m－3≤0，解得m≥－1，即实数m的取值范围是[－1，＋∞）. 16.A　由f（2－x）＝f（x）知函数f（x）的图象关于直线x＝1对称.因为f（2－x）＝f（x），f（x）是R上的奇函数，所以f（－x）＝f（x＋2）＝－f（x），所以f（x＋4）＝f（x），f（x）的周期为4，只考虑f（x）的一个周期，例如在[－1，3]上，由f（x）在[0，1]上单调递减知f（x）在（1，2）上单调递增，在（－1，0）上单调递减，在（2，3）上单调递增.对于奇函数f（x），有f（0）＝0，所以f（2）＝f（2－2）＝f（0）＝0，故当x∈（0，1）时，f（x）＜f（0）＝0，当x∈（1，2）时，f（x）＜f（2）＝0，当x∈（－1，0）时，f（x）＞f（0）＝0，当x∈（2，3）时，f（x）＞f（2）＝0.因为方程f（x）＝1在（－1，0]上有实数根，函数f（x）在（－1，0]上单调，所以实数根是唯一的，所以方程f（x）＝－1在（0，1]上有唯一的实数根，结合f（x）的图象关于直线x＝1对称可得方程f（x）＝－1在（1，2）上也有唯一的实数根.因为在（－1，0）和（2，3）上有f（x）＞0，所以方程f（x）＝－1在（－1，0）和（2，3）上没有实数根，从而方程f（x）＝－1在[－1，3]上有且仅有两个实数根.当x∈[－1，3]时，方程f（x）＝－1的两实数根之和为2×1＝2，所以当x∈[3，11]时，方程f（x）＝－1的所有实数根之和为2×（5＋9）＝28.故选A. 17.BD　对于A，当x∈Z时，f（x）＝x，当x∉Z时，f（x）∈Z，而x－1∉Z，因此f（x）≠x－1，A错误；对于B，∀x∈R，n∈Z，令f（x）＝m，则m≤x＜m＋1，m＋n≤x＋n＜m＋n＋1，因此f（x＋n）＝m＋n＝f（x）＋n，B正确；对于C，取x＝，y＝2，0＜lg 2＜1，则f（lg）＝－1，f（lg 2）＝0，f（lg（×2））＝f（0）＝0，显然f（lg）＋f（lg 2）≠f（lg（×2）），C错误；对于D，n∈N*，当1≤n≤9时，f（lg n）＝0，当10≤n≤99时，f（lg n）＝1，而f（lg 100）＝2，因此f（lg 1）＋f（lg 2）＋f（lg 3）＋…＋f（lg 99）＋f（lg 100）＝92，此时n＝100，D正确.故选B、D. 学科网（北京）股份有限公司 $色学科网书城回 品牌书店·知名教辅·正版资源 5.zxXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 第2讲小题研透 一一基本初等函数、函数与方程 A级基础回归 1.(2024宁波一模)计算[( 27）75+1og5-1og10=（) A.-10 B.-8 C.10 D.8 Tπ 2.(2024-临沂二模)若实数a,b,c满足a=2sin12=7,3=10,则（） A.a<b<c B.b<c<a C.a<c<b D.b<a<c 3.已知a>0,且a≠1，若函数y=x2-1在(0，+∞)内单调递减，则在不等式a3x+1>a2x中，x的 取值范围是() A.(-∞，- B- ,十∞) C.（-o,- 1 D.R 4.已知函数f(x)满足f(e)=2x-1,f(a)+f(b)=0,则下列等式正确的是() A.a+b=1 B.a+b=1 e C.ab=1 D.ab=1 e 5.(多选)在同一直角坐标系中，函数y=与y=log(x一2)的图象可能是() 1/4 ·独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 5.ZxXK.com● 您身边的互联网+教辅专家 D 6已知函数了(0=nx十2x-6的零点在（夸，生）(k∈Z)内，则= B级综合练透 1 7.若函数fx)=x-1X,则方程f)-f(x)一6=0的实根个数为() A.3 B.4 C.5 D.6 8.(2024·福州模拟)当药品A注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时25%的速度减少， 另一种药物B注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时10%的速度减少.现同时给两位患者 分别注射800mg药品A和500mg药品B,当两位患者体内药品的残余量恰好相等时，所经过的时 间约为（参考数据：1g2≈0.301,1g3≈0.477）() A.0.57h B.1.36h C.2.58h D.3.26h 6 9.已知奇函数f(xr)=a-b:a(a>0,a≠1)在[-l,上的最大值为3则a=() A.3或3 B.2或2 1 C.3 D.2 10(2024广东-模)已知集合A=克子分子2,3，若a,6,cEA且五不相等，则使 得指数函数y=d,对数函数y=logx,幂函数y=x中至少有两个函数在(0，十∞)上单调递增的 有序数对(a,b,c)的个数是() A.16 B.24 2/4 独家授权侵权必究 色学科网书城回 品牌书店·知名教辅·正版资源 5.ZxXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 C.32 D.48 11.(多选) (2024:温州高三统一测试)已知函数∫(x)= 2*-1 2*+1 ,则() A不等式1f)1<号的解袋是(-1，D B.x∈R,有f(-x)=f(x) C.f(x)在R上单调递减 D.f(x)的值域为（一1,1） 12.(多选)(2024怀化二模)已知函数y=x十e的零点为x1,y=x十nx的零点为2，则() A.x1+x2>0 B.x1x2<0 C.ex+In x2=0 D.x2一x1十x2>1 13.己知a>1,b>1,且log2√a=log4,则ab的最小值为 14.(2024连云港模拟)已知函数∫(x) 12-1,x≤2， 若关于x的方程f(x)一m=0恰有两个 -x+5,X>2. 不同的实数解，则实数m的取值范围为 15.己知函数f(x)=loga(一x十1)(a>0,且a≠1)在[-2,0]上的值域是[-1,0]，则实数a 若函数g(x)=+m一3的图象不经过第一象限，则实数m的取值范围为 C级能力突破 16.定义在R上的奇函数f(x)满足f(2-x)=f(x),且在[0,1]上单调递减，若方程f(x)=1 在（一1,0]上有实数根，则方程f(x)=一1在区间[3,11]上所有实根之和是(） A.28 B.16 C.20 D.12 3/4 独家授权侵权必究 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 5.ZXXK.com● 您身边的互联网+教辅专家 17.(多选)(2024开封第二次质量检测)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其 名字命名的高斯取整函数为f(x)=[x],[x]表示不超过x的最大整数，例如[-3.5]=一4，[2.1] =2.下列命题中正确的有（) A.3x∈R,f(x)=x-1 B.x∈R,n∈Z,f(x+n)=f(x)+n C.Vx,y>0,f (Igx)+f (Igy)=f (Ig (xy)) D.3n∈N,f(1g1)+f(1g2)+f(lg3)+…+f(lgn)=92 4/4 ·独家授权侵权必究