专题6 培优点2 概率与统计中的创新问题(专题检测)-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习学生用书Word

培优点2　概率与统计中的创新问题 1.解：（1）设“某天中午甲去A餐厅用餐”为事件A， “该天晚上甲去B餐厅用餐”为事件B， 由题知n（A）＝50，n（AB）＝20， 所以P（B｜A）＝＝0.4. 所以某天甲同学午餐去A餐厅用餐的情况下晚餐去B餐厅用餐的概率为0.4. （2）证明：由P（｜N）＝P（｜）， 可知＝ ＝， 所以P（N）－P（N）P（N）＝P（）·P（N）－P（N）P（N）， 即P（N）＝P（）P（N）， 所以P（N）－P（MN）＝[1－P（M）]·P（N）， 得P（MN）＝P（M）P（N）， 即M和N相互独立得证. 2.解：（1）当n＝0时，赌徒已经输光了，因此P（0）＝1. 当n＝B时，赌徒停止赌博，因此输光的概率P（B）＝0. （2）记赌徒手中有n元时最终输光为事件M，记赌徒手中有n元时上一局赌赢为事件N，则根据全概率公式可得，P（M）＝P（N）P（M｜N）＋P（）·P（M｜）， 即P（n）＝P（n－1）＋P（n＋1）， 所以P（n）－P（n－1）＝P（n＋1）－P（n）， 所以{P（n）}是一个等差数列. 设P（n）－P（n－1）＝d， 则P（n－1）－P（n－2）＝d，…，P（1）－P（0）＝d， 累加得P（n）－P（0）＝nd，故P（B）－P（0）＝Bd，得d＝－. （3）当A＝100时，由P（n）－P（0）＝nd得P（A）－P（0）＝Ad，即P（A）＝1－， 当B＝200时，P（A）＝50％， 当B＝1 000时，P（A）＝90％. 当B→＋∞时，P（A）→1， 因此可知久赌无赢家，即便是一个这样看似公平的游戏，只要赌徒一直玩下去就几乎有100％的概率输光. 3.解：（1）依题意，4个番石榴的位置从第1个到第4个排序，有＝24种情况， 要摘到那个最大的番石榴，有以下两种情况： ①最大的番石榴是第3个，其他的随意在哪个位置，有＝6种情况； ②最大的番石榴是最后1个，第二大的番石榴是第1个或第2个，其他的随意在哪个位置，有2＝4种情况，所以所求概率为＝. （2）记事件A表示最大的番石榴被摘到，事件Bi表示最大的番石榴排在第i个，则P（Bi）＝，由全概率公式知：P（A）＝P（A｜Bi）P（Bi）＝（A｜Bi）， 当1≤i≤k时，最大的番石榴在前k个中，不会被摘到，此时P（A｜Bi）＝0； 当k＋1≤i≤n时，最大的番石榴被摘到，当且仅当前i－1个番石榴中的最大一个在前k个之中时，此时P（A｜Bi）＝， 因此P（A）＝（ ＋＋…＋）＝ln， 令g（x）＝ln（x＞0），求导得g'（x）＝ln－，由g'（x）＝0，得x＝， 当x∈（ 0，）时，g'（x）＞0，当x∈（ ，n）时，g'（x）＜0， 即函数g（x）在（ 0，）上单调递增，在（ ，n）上单调递减， 则g（x）max＝g（ ）＝，于是当k＝时，P（A）＝ln取得最大值， 所以P的最大值为，此时t的值为. 4.解：（1）①C：4，2，3，1，则逆序对有（4，2），（4，3），（2，1），（4，1），（3，1），则S（C）＝5； ②C：2，4，3，1，则逆序对有（4，3），（3，1），（4，1），（2，1），则S（C）＝4. （2）考虑排列D：d1，d2，…，dn－1，dn与排列D1：dn，dn－1，…，d2，d1， 因为数对（di，dj）与（dj，di）中必有一个为逆序对（其中1≤i＜j≤n）， 且排列D中数对（di，dj）共有＝个， 所以S（D）＋S（D1）＝. 所以排列D与D1的逆序对的个数的算术平均值为. 而对于数字1，2，…，n的任意一个排列A：a1，a2，…，an，都可以构造排列A1：an，an－1，…，a2，a1，且这两个排列的逆序对的个数的算术平均值为. 所以所有S（A）的算术平均值为. （3）证明：①当j＝i＋1，即ai，aj相邻时， 不妨设ai＜ai＋1，则排列A'为a1，a2，…，ai－1，ai＋1，ai，ai＋2，…，an， 此时排列A'与排列A：a1，a2，…，an相比，仅多了一个逆序对（ai＋1，ai）， 所以S（A'）＝S（A）＋1， 所以S（A）＋S（A'）＝2S（A）＋1为奇数. ②当j≠i＋1，即ai，aj不相邻时， 假设ai，aj之间有m个数字，记排列A：a1，a2，…，ai，k1，k2，…，km，aj，…，an， 先将ai向右移动一个位置，得到排列A1：a1，a2，…，ai－1，k1，ai，k2，…，km，aj，…，an， 由①，知S（A1）与S（A）的奇偶性不同， 再将ai向右移动一个位置，得到排列A2：a1，a2，…，ai－1，k1，k2，ai，k3，…，km，aj，…，an， 由①，知S（A2）与S（A1）的奇偶性不同， 以此类推，ai共向右移动m次，得到排列Am：a1，a2，…，k1，k2，…，km，ai，aj，…，an， 再将aj向左移动一个位置，得到排列Am＋1：a1，a2，…，ai－1，k1，…，km，aj，ai，…，an， 以此类推，aj共向左移动m＋1次，得到排列A2m＋1：a1，a2，…，aj，k1，…，km，ai，…，an， 即为排列A'， 由①可知仅有相邻两数的位置发生变化时，排列的逆序对个数的奇偶性发生变化， 而排列A经过2m＋1次的前后两数交换位置，可以得到排列A'， 所以排列A与排列A'的逆序数的奇偶性不同， 所以S（A）＋S（A'）为奇数. 综上，得S（A）＋S（A'）为奇数. 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优点2　概率与统计中的创新问题 　　 1.某大学有A，B两个餐厅为学生提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位学生每天午餐和晚餐都在学校就餐，近100天选择餐厅就餐情况统计如下： 选择餐厅情况 （午餐，晚餐） （A，A） （A，B） （B，A） （B，B） 甲 30天 20天 40天 10天 乙 20天 25天 15天 40天 （1）假设甲、乙选择餐厅相互独立，用频率估计概率，计算某天甲同学午餐去A餐厅用餐的情况下晚餐去B餐厅用餐的概率； （2）某天午餐，甲和乙两名同学准备去A，B这两个餐厅中某一个就餐.设事件M＝“甲选择A餐厅就餐”，事件N＝“乙选择A餐厅就餐”，P（M）＞0，P（N）＞0.若P（｜N）＝P（｜），证明：事件M和N相互独立. 2.（2024·杭州模拟）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.其数学定义为：假设我们的序列状态是…，Xt－2，Xt－1，Xt，Xt＋1，…，那么Xt＋1状态下的条件概率仅依赖前一状态Xt，即P（Xt＋1｜…，Xt－2，Xt－1，Xt）＝P（Xt＋1｜Xt）. 现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型.假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每局赌徒赌赢的概率为50％，且每局赌赢可以赢得1元，每局赌徒赌输的概率为50％，且每局赌输就要输掉1元.赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：一种是手中赌金为0元，即赌徒输光；一种是赌金达到预期的B元，赌徒停止赌博.记赌徒的本金为A（A∈N*，A＜B）元，赌博过程如图所示. 当赌徒手中有n元（0≤n≤B，n∈N）时，最终输光的概率为P（n），请回答下列问题： （1）请直接写出P（0）与P（B）； （2）证明{P（n）}是一个等差数列，并写出公差d； （3）当A＝100时， 分别计算B＝200，B＝1 000时P（A）的值，并结合实际解释当B→＋∞时P（A）的统计含义. 3.（2024·汕头一模）2023年11月，我国教育部发布了《中小学实验教学基本目录》，内容包括高中数学在内共有16个学科900多项实验与实践活动.我市某学校的数学老师组织学生到“牛田洋”进行科学实践活动，在某种植番石榴的果园中，老师建议学生尝试去摘全园最大的番石榴，规定只能摘一次，并且只可以向前走，不能回头.结果，学生小明两手空空走出果园，因为他不知道前面是否有更大的，所以没有摘，走到前面时，又发觉总不及之前见到的，最后什么也没摘到.假设小明在果园中一共会遇到n个番石榴（不妨设n个番石榴的大小各不相同），最大的那个番石榴出现在各个位置上的概率相等，为了尽可能在这些番石榴中摘到那个最大的，小明在老师的指导下采用了如下策略：不摘前k（1≤k＜n）个番石榴，自第k＋1个开始，只要发现比他前面见过的番石榴大的，就摘这个番石榴，否则就摘最后一个.设k＝tn，记小明摘到那个最大番石榴的概率为P. （1）若n＝4，k＝2，求P； （2）当n趋向于无穷大时，从理论的角度，求P的最大值及P取最大值时t的值. （ 取＋＋…＋＝ln） 4.在数字1，2，…，n（n≥2）的任意一个排列A：a1，a2，…，an中，如果对于i，j∈N*，i＜j，有ai＞aj，那么就称（ai，aj）为一个逆序对.记排列A中逆序对的个数为S（A）.如n＝4时，在排列B：3，2，4，1中，逆序对有（3，2），（3，1），（2，1），（4，1），则S（B）＝4. （1）设排列C：a1，a2，a3，a4，写出两组具体的排列C，分别满足：①S（C）＝5，②S（C）＝4； （2）对于数字1，2，…，n的一切排列A，求所有S（A）的算术平均值； （3）如果把排列A：a1，a2，…，an中两个数字ai，aj（i＜j）交换位置，而其余数字的位置保持不变，那么就得到一个新的排列A'：b1，b2，…，bn，求证：S（A）＋S（A'）为奇数. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $