专题6 培优点1 体育比赛与闯关(专题检测)-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习学生用书Word

培优点1　体育比赛与闯关 1.C　甲、乙打满4局比赛的胜负情况如图所示， 由树状图可知，胜负情况共有16种，其中甲赢得比赛的情况有5种，故所求概率P＝. 2.A　要使甲在第5局终止比赛并获胜，可分为2类情况：①甲前2局均失败，后3局中连胜，则甲在第5局终止比赛并获胜的概率为p1＝（ 1－）×（ 1－）×××＝；②甲第1局胜，第2局负，后3局中连胜，则甲在第5局终止比赛并获胜的概率为p2＝×（ 1－）×××＝.所以甲在第5局终止比赛并获胜的概率为p＝p1＋p2＝＋＝. 3.A　设每一轮训练过关的概率为p，则p＝＋××p2×（1－p2）＋××p1×（1－p1）＝－3＋2p1p2（p1＋p2）＝－3＋2p1p2×＝－3＋p1p2.又0＜p1p2≤（ ）2＝，当且仅当p1＝p2＝时等号成立.函数y＝－3x2＋x的图象的开口向下，对称轴为直线x＝，所以0＜－3＋p1p2≤－3×（ ）2＋×＝，依题意，知X～B（n，p），则E（X）＝n（ －3＋p1p2）＝16，n＝≥＝27，所以至少需要27轮.故选A. 4.BCD　对于A，k＝1时，甲、乙比赛结果为平局的概率为××＝，故A错误；对于B，k＝2时，甲赢得比赛的概率为·（）4＋·（）4＝，乙赢得比赛的概率为·（）4＋·（）4＝，故B正确；对于C，由二项分布的数学期望公式知，在2k局比赛中，甲获胜的局数的期望为2k×＝k，故C正确；对于D，在2k局比赛中，甲赢得比赛的概率为·［1－·（）2k］，故随着k的增大，甲赢得比赛的概率会越来越接近，故D正确. 5.0.18　解析：甲队以4∶1获胜包含的情况有：①前5场比赛中，第一场负，另外4场全胜，其概率为p1＝0.4×0.6×0.5×0.5×0.6＝0.036，②前5场比赛中，第二场负，另外4场全胜，其概率为p2＝0.6×0.4×0.5×0.5×0.6＝0.036，③前5场比赛中，第三场负，另外4场全胜，其概率为p3＝0.6×0.6×0.5×0.5×0.6＝0.054，④前5场比赛中，第四场负，另外4场全胜，其概率为p4＝0.6×0.6×0.5×0.5×0.6＝0.054，则甲队以4∶1获胜的概率为p＝p1＋p2＋p3＋p4＝0.036＋0.036＋0.054＋0.054＝0.18. 6.解：（1）前3局比赛甲都获胜的概率为P＝××＝. （2）X的所有可能取值为0，1，2，3， 其中，X＝0表示第1局乙输，第3局是乙上场，且乙输，则P（X＝0）＝×＝； X＝1表示第1局乙输，第3局是乙上场，且乙赢，或者第1局乙赢，且第2局乙输， 则P（X＝1）＝×＋×＝； X＝2表示第1局乙赢，且第2局乙赢，第3局乙输， 则P（X＝2）＝××＝； X＝3表示第1局乙赢，且第2局乙赢，第3局乙赢， 则P（X＝3）＝××＝. 综上，X的分布列为 X 0 1 2 3 P 故X的数学期望为E（X）＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 7.解：（1）由条件，每次抢答题，甲得1分的概率为P甲＝×＋×＝， 每次抢答题乙得1分的概率为P乙＝1－P甲＝1－＝， 若第二题答完比赛结束，则前两次答题甲得2分或者乙得2分， 因此第二题答完比赛结束事件发生的概率P＝（ ）2＋（ ）2＝. （2）根据题意，竞赛结束时抢答题目的总数X的所有可能取值为2，4，6，8，…，2n，…（n∈N*）， 记pn＝P（X＝2n）， 由（1）知，当X＝2时，p1＝P（X＝2）＝，且pn＋1＝pn（n∈N*）， 则X的分布列可表示为： X 2 4 6 … 2n … P p1 p2 p3 … pn … ∴E（X）＝2p1＋4p2＋6p3＋8p4＋…＋2n·pn＋…＝＋4×p1＋6×p2＋8×p3＋…＋2n×pn－1＋…＝＋[4p1＋6p2＋8p3＋…＋2n·pn－1＋（2n＋2）·pn＋…]＝＋[（2p1＋4p2＋6p3＋…＋2n·pn＋…）＋2（p1＋p2＋p3＋…＋pn＋…）]＝＋[E（X）＋2]，解得E（X）＝. 8.解：（1）①记“甲获得第四名”为事件A， 则P（A）＝（1－0.6）2＝0.16. ②记甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场次为随机变量X， 则X的所有可能取值为2，3，4. 连败两局：P（X＝2）＝（1－0.6）2＝0.16. X＝3可分为连胜两局，第三局不管胜负；负胜负；胜负负， P（X＝3）＝0.62＋（1－0.6）×0.6×（1－0.6）＋0.6×（1－0.6）×（1－0.6）＝0.552， P（X＝4）＝（1－0.6）×0.6×0.6＋0.6×（1－0.6）×0.6＝0.288， 故X的分布列如下： X 2 3 4 P 0.16 0.552 0.288 故数学期望E（X）＝2×0.16＋3×0.552＋4×0.288＝3.128. （2）“双败淘汰制”下，甲获胜的概率为p3＋p（1－p）p2＋（1－p）p3＝（3－2p）p3. 在“单败淘汰制”下，甲获胜的概率为p2. 因为（3－2p）p3－p2＝p2（3p－2p2－1）＝p2（2p－1）（1－p），且0＜p＜1， 所以p∈（ ，1）时，（3－2p）p3＞p2，“双败淘汰制”对甲夺冠有利； p∈（ 0，）时，（3－2p）p3＜p2，“单败淘汰制”对甲夺冠有利； p＝时，两种赛制甲夺冠的概率一样. 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优点1　体育比赛与闯关 1.甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，约定打满4局，获胜3局或3局以上的赢得比赛（单局中无平局）.若甲、乙每局获胜的概率相同，则甲赢得比赛的概率为（　　） A.　　　 B.　　　 C.　　　 D. 2.甲、乙两队举行比赛，比赛共有7局，若有一方连胜3局，则比赛立即终止.已知甲每局获胜的概率为，则甲在第5局终止比赛并获胜的概率为（　　） A. B. C. D. 3.（2024·黄冈二模）某校在校庆期间举办羽毛球比赛，某班派出甲、乙两名单打主力，为了提高两位主力的能力，体育老师安排了为期一周的对抗训练，比赛规则如下：甲、乙两人每轮分别与体育老师打2局，当两人获胜局数不少于3局时，则认为这轮训练过关；否则不过关.若甲、乙两人每局获胜的概率分别为p1，p2，且满足p1＋p2＝，每局之间相互独立.记甲、乙在n轮训练中训练过关的轮数为X，若E（X）＝16，则从期望的角度来看，甲、乙两人训练的轮数至少为（　　） A.27 B.24 C.32 D.28 4.（多选）甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛打满2k（k∈N*）局，且每局甲获胜的概率和乙获胜的概率均为.若某人获胜的局数大于k，则此人赢得比赛.下列说法正确的是（　　） A.k＝1时，甲、乙比赛结果为平局的概率为 B.k＝2时，甲赢得比赛与乙赢得比赛的概率均为 C.在2k局比赛中，甲获胜的局数的期望为k D.随着k的增大，甲赢得比赛的概率会越来越接近 5.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是　　　　. 6.（2024·郑州第二次质量预测）有甲、乙、丙三位同学进行象棋比赛，其中每局只有两人比赛，每局比赛必分胜负，本局比赛结束后，负的一方下场.第1局由甲、乙对赛，接下来丙上场进行第2局比赛，来替换负的那个人，每次比赛负的人排到等待上场的人之后参加比赛.设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立. （1）求前3局比赛甲都取胜的概率； （2）用X表示前3局比赛中乙获胜的次数，求X的分布列和数学期望. 7.（2024·河南五市第一次联考）某档电视节目举行了关于迎奥运知识竞赛活动，规则如下：选手每两人一组，同一组的两人以抢答的方式答题，抢到并回答正确得1分，答错则对方得1分，比赛进行到一方比另一方净胜2分结束，且多得2分的一方最终胜出.已知甲、乙两名选手分在同一组，两人都参与每一次抢题，且每次抢到题的概率都为.甲、乙两人每道题答对的概率分别为，，并且每道题两人答对与否相互独立，假设准备的竞赛题足够多. （1）求第二题答完比赛结束的概率； （2）求知识竞赛结束时，抢答题目总数X的期望E（X）. 8.（2024·茂名第二次综合测试）在一场球赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军.比赛采用“双败淘汰制”，具体赛制为：首先，四人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局获得第四名；紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获得第三名；最后，剩下的两人进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获得第二名.甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为p（0＜p＜1），且不同对阵的结果相互独立. （1）若p＝0.6，经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁. ①求甲获得第四名的概率； ②求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望. （2）除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：抽签决定两两对阵，胜者晋级，败者淘汰，直至决出最后的冠军.哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $