专题6 第3讲 大题专攻——随机变量及其分布(专题检测)-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习学生用书Word

第3讲　大题专攻——随机变量及其分布 1.（2024·九省联考）盒中有标有数字1，2，3，4的小球各2个，随机一次取出3个小球. （1）求取出的3个小球上的数字两两不同的概率； （2）记取出的3个小球上的最小数字为X，求X的分布列及数学期望E（X）. 2.（2024·安庆二模）树人高中拟组织学生到某航天基地开展天宫模拟飞行器体验活动，该项活动对学生身体体能指标和航天知识素养有明确要求.学校所有3 000名学生参加了遴选活动，遴选活动分以下两个环节，当两个环节均测试合格时可以参加体验活动. 第一环节：对学生身体体能指标进行测试，当测试值ζ≥12.2时体能指标合格； 第二环节：对身体体能指标符合要求的学生进行航天知识素养测试，测试方案为对A，B两类试题依次作答，均测试合格才能符合遴选要求.每类试题均在题库中随机产生，有两次测试机会，在任一类试题测试中，若第一次测试合格，不再进行第二次测试.若第一次测试不合格，则进行第二次测试，若第二次测试合格，则该类试题测试合格，若第二次测试不合格，则该类试题测试不合格，测试结束. 经过统计，该校学生身体体能指标ζ服从正态分布N（9，2.56）. 参考数值：P（μ－σ＜X＜μ＋σ）＝0.682 7，P（μ－2σ＜X＜μ＋2σ）＝0.954 5，P（μ－3σ＜X＜μ＋3σ）＝0.997 3. （1）请估计树人高中遴选学生符合身体体能指标的人数（结果取整数）； （2）学生小华通过身体体能指标遴选，进入航天知识素养测试，作答A类试题，每次测试合格的概率为，作答B类试题，每次测试合格的概率为，且每次测试相互独立. ①在解答A类试题第一次测试合格的条件下，求测试共进行3次的概率； ②若解答A，B两类试题测试合格的类数为X，求X的分布列和数学期望. 3.（2024·菏泽一模）某商场举行“庆元宵，猜谜语”的促销活动，抽奖规则如下：在一个不透明的盒子中装有若干个标号为1，2，3的空心小球，球内装有难度不同的谜语.每次随机抽取2个小球，答对一个小球中的谜语才能回答另一个小球中的谜语，答错则终止游戏.已知标号为1，2，3的小球个数比为1∶2∶1，且取到异号球的概率为. （1）求盒中2号球的个数； （2）若甲抽到1号球和3号球，甲答对球中谜语的概率和对应奖金如表所示，请帮甲决策猜谜语的顺序（猜对谜语的概率相互独立）. 球号 1号球 3号球 答对概率 0.8 0.5 奖金 100 500 4.（2024·赣州模拟）某人准备应聘甲、乙两家公司的高级工程师，两家公司应聘程序都是：应聘者先进行三项专业技能测试，专业技能测试通过后进入面试.已知该应聘者应聘甲公司，每项专业技能测试通过的概率均为，该应聘者应聘乙公司，三项专业技能测试通过的概率依次为，，m，其中0＜m＜1，技能测试是否通过相互独立. （1）若m＝.求该应聘者应聘乙公司三项专业技能测试恰好通过两项的概率； （2）已知甲、乙两家公司的招聘在同一时间进行，该应聘者只能应聘其中一家，应聘者以专业技能测试通过项目数的数学期望为决策依据，若该应聘者更有可能通过乙公司的技能测试，求m的取值范围. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3讲　大题专攻——随机变量及其分布 1.解：（1）从8个小球中，随机一次取出3个小球， 共有＝＝56（种）结果. 先从数字1，2，3，4中选择3个数字，再从选定的数字中各取1个小球，共有＝32（种）结果. 记事件A：“取出的3个小球上的数字两两不同”， 则P（A）＝＝. 所以取出的3个小球上的数字两两不同的概率为. （2）因为X为取出的3个小球上的最小数字，所以X的所有可能取值为1，2，3， P（X＝1）＝＝， P（X＝2）＝＝， P（X＝3）＝＝. 故X的分布列为 X 1 2 3 P X的数学期望E（X）＝1×＋2×＋3×＝. 2.解：（1）P（ζ≥12.2）＝P（ζ≥μ＋2σ）＝＝0.022 75. 所以符合该项指标的学生人数为3 000×0.022 75＝68.25≈68. （2）①记A1表示解答A类试题第一次测试合格， B1，B2分别表示解答B类试题第一次和第二次测试合格，测试共进行3次记为事件M， 则P（A1）＝，P（A1M）＝P（A1B2）＋P（A1）＝××＋××＝. P（M｜A1）＝＝ ＝＝. ②由题知，X的取值为0，1，2， P（X＝0）＝×＝， P（X＝1）＝××＋×××＝， P（X＝2）＝1－P（X＝0）－P（X＝1）＝， 所以X的分布列为： X 0 1 2 P 数学期望E（X）＝0×＋1×＋2×＝. 3.解：（1）由题意可设1，2，3号球的个数分别为n，2n，n， 则取到异号球的概率P＝＝， 所以＝，即n2＝2n. 解得n＝2. 所以盒中2号球的个数为4. （2）若甲先回答1号球再回答3号球中的谜语， 因为猜对谜语的概率相互独立，记X为甲获得的奖金总额， 则X可能的取值为0元，100元，600元， P（X＝0）＝0.2， P（X＝100）＝0.8×（1－0.5）＝0.4， P（X＝600）＝0.8×0.5＝0.4. X的分布列为 X 0 100 600 P 0.2 0.4 0.4 X的均值为E（X）＝280. 若甲先回答3号球再回答1号球中的谜语，因为猜对谜语的概率相互独立， 记Y为甲获得的奖金总额，则Y可能的取值为0元，500元，600元， P（Y＝0）＝0.5. P（Y＝500）＝0.5×（1－0.8）＝0.1， P（Y＝600）＝0.5×0.8＝0.4， Y的分布列为 Y 0 500 600 P 0.5 0.1 0.4 Y的均值为E（Y）＝290. 因为E（Y）＞E（X），所以推荐甲先回答3号球中的谜语再回答1号球中的谜语. 4.解：（1）记“该应聘者应聘乙公司三项专业技能测试恰好通过两项”为事件A， 由题设P（A）＝×××＋××（）2＝. （2）设“该应聘者应聘甲、乙公司三项专业技能测试中通过的项目数分别记为ζ，η”， 由题设知：ζ～B（3，），所以E（ζ）＝3×＝2， η的所有可能取值为0，1，2，3， P（η＝0）＝××（1－m）＝， P（η＝1）＝××（1－m）＋××（1－m）＋××m＝， P（η＝2）＝××（1－m）＋××m＋××m＝， P（η＝3）＝××m＝＝， 故η的分布列为 η 0 1 2 3 P 从而E（η）＝0×＋1×＋2×＋3×＝， 由得解得＜m＜1， 故m的取值范围为（，1）. 学科网（北京）股份有限公司 $