专题6 第1讲 小题研透——计数原理与统计初步(专题检测)-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习学生用书Word

第1讲　小题研透——计数原理与统计初步 1.（2024·南京、盐城调研测试）从4位男同学、5位女同学中选出3位同学，男女生都要有的选法有（　　） A.140种　 B.44种 　 C.70种 　 D.252种 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2.二项式（－）6的展开式中的常数项为（　　） A.－15 B.20 C.15 D.－20 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 3.已知某地区中小学生人数分布情况如图1所示，为了解该地区中小学生的近视情况，卫生部门根据当地中小学生人数，用分层随机抽样的方法抽取了10％的学生进行调查，调查数据如图2所示，则估计该地区中小学生的平均近视率为（　　） A.50％ B.32％ C.30％ D.27％ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4.（多选）（2024·贵阳适应性考试）设样本数据1，3，5，6，9，11，m的平均数为，中位数为x0，方差为s2，则（　　） A.若＝6，则m＝7 B.若m＝2 024，则x0＝6 C.若m＝7，则s2＝11 D.若m＝12，则样本数据的80％分位数为11 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 5.（2024·济宁一模）（a2－a＋b）5的展开式中a5b2的系数为　　　　. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 6.如图，现要对某公园的4个区域进行绿化，有5种不同颜色的花卉可供选择，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色的花卉，共有　　　　种不同的绿化方案（用数字作答）. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 7.如图，在两行三列的网格中放入标有数字1，2，3，4，5，6的六张卡片，每格只放一张卡片，则“只有中间一列两个数字之和为5”的不同的排法有（　　） A.56种 B.64种 C.72种 D.80种 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 8.（2024·武汉五调）若（1＋2x）10＝a0＋a1（1＋x）＋a2（1＋x）2＋…＋a10（1＋x）10，则a2＝（　　） A.180 B.－180 C.－90 D.90 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 9.（2024·江西红色十校联考）样本中共有5个个体，其值分别为a，1，2，3，4，若该样本的中位数为2，则a的取值范围为（　　） A.（0，1） B.（1，2） C.（－∞，2] D.[1，2] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 10.慢走是一种简单又健康的锻炼方式，它不仅可以帮助减肥，还可以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量等.小南计划近6个月的月慢走里程（单位：公里）按从小到大排列依次为11，12，m，n，20，27，且这6个月的月慢走里程的中位数为16，若要使这6个月的月慢走里程的标准差最小，则m＝（　　） A.14 B.15 C.16 D.17 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 11.（2024·聊城二模）班主任从甲、乙、丙三位同学中安排四门不同学科的课代表，要求每门学科有且只有一位课代表，每位同学至多担任两门学科的课代表，则不同的安排方案共有（　　） A.60种 B.54种 C.48种 D.36种 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 12.（多选）（2024·宁波“十校”联考）已知一组样本数据xi（i＝1，2，3，…，10），其中xi（i＝1，2，3，…，10）为正实数，满足x1≤x2≤x3≤…≤x10，下列说法正确的是（　　） A.样本数据的第80百分位数为x8 B.去掉样本的一个数据，样本数据的极差可能不变 C.若样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则样本数据的平均数大于中位数 D.若样本数据的方差s2＝－4，则这组样本数据的平均数等于2 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 13.（多选）（2024·济南高三模拟考试）下列等式中正确的是（　　） A.＝28 B.＝ C.＝1－ D.（）2＝ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 14.（2024·台州第二次教学质量评估）房屋建造时经常需要把长方体砖头进行不同角度的切割，以契合实际需要.已知长方体的规格为24 cm×11 cm×5 cm，现从长方体的某一棱的中点处作垂直于该棱的截面，截取1次后共可以得到12 cm×11 cm×5 cm，24 cm×cm×5 cm，24 cm×11 cm×cm三种不同规格的长方体.按照上述方式对第1次所截得的长方体进行第2次截取，再对第2次所截得的长方体进行第3次截取，则共可得到体积为165 cm3的不同规格长方体的个数为　　　　. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 15.若（＋）n展开式的所有项的二项式系数和为256，则展开式中系数最大的项的二项式系数为　　　　.（用数字作答） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 16.（多选）现有甲、乙、丙三位篮球运动员连续5场篮球比赛得分情况的记录数据，已知三位球员得分情况的数据满足以下条件： 甲球员：5个数据的中位数是26，众数是24； 乙球员：5个数据的中位数是29，平均数是26； 丙球员：5个数据有1个是32，平均数是26，方差是9.6. 根据以上统计数据，下列统计结论一定正确的是（　　） A.甲球员连续5场比赛得分都不低于24分 B.乙球员连续5场比赛得分都不低于24分 C.丙球员连续5场比赛得分都不低于24分 D.丙球员连续5场比赛得分的第60百分位数大于24 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 17.已知fk（x）＝（n－k＋1）xn－k（其中k≤n，k，n∈N），F（x）＝f0（x2）＋f1（x2）＋…＋fk（x2）＋…＋fn（x2），则F（1）＝　　　　（用n表示）. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题六　概率与统计 第1讲　小题研透——计数原理与统计初步 1.C　法一（直接法）　选出的3位同学中男女生都要有，分为两类：1男2女、2男1女，故共有＋＝70（种）选法，故选C. 法二（间接法）　选出的3位同学中男女生都要有的反面是全男或全女，故共有－－＝70（种）选法，故选C. 2.C　二项式（－）6的展开式的通项为Tr＋1＝·（）6－r·（－）r＝（－1）r·，令＝0得r＝2，∴常数项为（－1）2＝15. 3.D　根据题意，抽取的样本容量为（3 500＋4 500＋2 000）×10％＝1 000，其中小学生、初中生、高中生抽取人数分别为350，450，200，根据题图2知抽取的小学生、初中生、高中生中，近视的人数分别为35，135，100，所以该地区中小学生的平均近视率为×100％＝27％.故选D. 4.ABD　对于A，根据平均数的定义得n＝xi，即7×6＝1＋3＋5＋6＋9＋11＋m，得m＝7，A正确.对于B，根据中位数的定义得，当m＝2 024时，x0＝6，B正确.对于C，若m＝7，则＝6，s2＝×[（1－6）2＋（3－6）2＋（5－6）2＋（6－6）2＋（9－6）2＋（11－6）2＋（7－6）2]＝10，C错误.对于D，i＝7×80％＝5.6，所以样本数据的80％分位数为按从小到大顺序排列后的第6个数11，D正确.综上，选A、B、D. 5.－30　解析：（a2－a＋b）5＝（a2－a＋b）·（a2－a＋b）·（a2－a＋b）（a2－a＋b）·（a2－a＋b），则展开式中含有a5b2的项为（a2）2·（－a）·b2＝－30a5b2，故（a2－a＋b）5的展开式中a5b2的系数为－30. 6.180　解析：如图，从A开始摆放花卉，A有5种颜色花卉摆放方法，B有4种颜色花卉摆放方法，C有3种颜色花卉摆放方法；由D区与B，C区花卉颜色不一样，与A区花卉颜色可以同色也可以不同色.则D有3种颜色花卉摆放方法.故共有5×4×3×3＝180种不同的绿化方案. 7.B　法一　因为5＝1＋4＝2＋3，所以可先考虑排中间一列的卡片，有种可能.余下四张卡片随意排列，有种可能，其中两侧某列的数字之和为5，有种可能，所以不同的排法有（－）＝64（种）. 法二　5＝1＋4＝2＋3，若数字1，4在中间一列，则数字3和2分开在第一列和第三列，共有＝32（种）排法，若数字2，3在中间一列，也有32种排法，所以共有64种排法. 8.A　因（1＋2x）10＝[2（1＋x）－1]10，其二项展开式的通项为：Tr＋1＝[2（1＋x）]10－r（－1）r＝（－1）r210－r（1＋x）10－r，r＝0，1，…，10，而a2是a2（1＋x）2的系数，故只需取r＝8，得T9＝22（1＋x）2＝180（1＋x）2，即a2＝180. 9.C　若3≤a≤4，则这组数据由小到大排列依次为1，2，3，a，4，中位数为3，不合乎题意；若a＞4，则这组数据由小到大排列依次为1，2，3，4，a，中位数为3，不合乎题意；若2≤a＜3，则这组数据由小到大排列依次为1，2，a，3，4，中位数为a＝2；若1≤a＜2，则这组数据由小到大排列依次为1，a，2，3，4，中位数为2；若a＜1，则这组数据由小到大排列依次为a，1，2，3，4，中位数为2.综上所述，实数a的取值范围是（－∞，2].故选C. 10.C　由题意，可得＝16，所以m＋n＝32，所以这6个月的月慢走里程的平均数为＝17，要使这6个月的月慢走里程的标准差最小，需要（m－17）2＋（n－17）2最小，又由（m－17）2＋（n－17）2＝（m－17）2＋（32－m－17）2＝2m2－64m＋172＋152，故当标准差最小时，m＝－＝16. 11.B　第一种情况，甲、乙、丙三位同学都有安排时，先从3个人中选1个人，让他担任两门学科的课代表， 有＝3种结果，然后从4门学科中选2门学科给同一个人，有＝6种结果，余下的两个学科给剩下的两个人，有＝2种结果，所以不同的安排方案共有3×6×2＝36种，第二种情况，甲、乙、丙三位同学中只有两人被安排时，先选两人出来，有＝3种结果，再将四门不同学科均分成两组，有＝3种结果，将学科分给学生，有＝2种结果，所以不同的安排方案共有3×3×2＝18种，综合得不同的安排方案共有36＋18＝54种.故选B. 12.BCD　对于A，由10×80％＝8，所以样本数据的第80百分位数为，故A错误；对于B，由题意存在这样一种可能，若x1＝x2≤x3≤…≤x10，则极差为x10－x1＝x10－x2，若去掉x1或x2，此时样本数据的极差不变，故B正确；对于C，样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，向右边“拖尾”，大致如图，由于“右拖”时最高峰偏左，中位数靠近高峰处，平均数靠近中点处，此时平均数大于中位数，故C正确；对于D，由s2＝－4＝（xi－）2，则－40＝（xi－）2＝－2xi＋10＝－10，所以＝4，因为xi（i＝1，2，3，…，10）为正实数，所以＞0，即＝2，故D正确.故选B、C、D. 13.BCD　对于A，（1＋x）8＝＋x＋x2＋…＋x8，令x＝1，得28＝1＋＋＋…＋＝1＋，则＝28－1，故A错误.对于B，因为＋＝，所以＝＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝＋＋…＋＝…＝＋＝，故B正确.对于C、D，因为－＝，所以＝［－］＝－＋－＋…＋－＝1－，故C正确.（1＋x）16＝（1＋x）8（1＋x）8，对于（1＋x）16，其含有x8的项的系数为，对于（1＋x）8（1＋x）8，要得到含有x8的项的系数，须从第一个式子取出k（0≤k≤8，k∈N）个x，再从第二个式子取出（8－k）个x，它们对应的系数为＝（）2，所以（）2＝，故D正确.故选B、C、D. 14.10　解析：第一类：只选长、宽、高中的某一种棱进行截取，不同规格长方体的个数为＝3，第二类：选长、宽、高中的某两种棱进行截取，不同规格长方体的个数为2＝6，第三类：选长、宽、高三种棱进行截取，不同规格长方体的个数为1.故不同规格长方体的个数为3＋6＋1＝10. 15.28　解析：因为展开式的所有项的二项式系数和为2n＝256，解得n＝8，则（＋）8展开式的通项公式为Tr＋1＝（）8－r（）r＝，r＝0，1，2，…，8，可得第r＋1项的系数为ar＋1＝，r＝0，1，2，…，8，令即解得r＝6，所以展开式中第7项系数最大，其二项式系数为＝28. 16.AD　设甲球员的5场篮球比赛得分按从小到大排列为x1，x2，x3，x4，x5，则x1≤x2≤x3≤x4≤x5，x3＝26，且24至少出现2次，故x1＝x2＝24，A正确；设乙球员的5场篮球比赛得分按从小到大排列为y1，y2，y3，y4，y5，则y1≤y2≤y3≤y4≤y5，y3＝29，取y1＝20，y2＝23，y4＝29，y5＝29，可得其满足条件，但有2场得分低于24，B错误；设丙球员的5场篮球比赛得分按从小到大排列为z1，z2，z3，z4，z5，由已知[（z1－26）2＋（z2－26）2＋（z3－26）2＋（z4－26）2＋（z5－26）2]＝9.6，所以（z1－26）2＋（z2－26）2＋（z3－26）2＋（z4－26）2＋（z5－26）2＝48，若z4≥32，则z5≥32，所以（z1－26）2＋（z2－26）2＋（z3－26）2＋（z4－26）2＋（z5－26）2＞72矛盾，所以z5＝32，（z1－26）2＋（z2－26）2＋（z3－26）2＋（z4－26）2＝12，因为z1，z2，z3，z4，z5的平均数为26，所以z1＋z2＋z3＋z4＝98，取z1＝23，z2＝25，z3＝25，z4＝25，满足要求，但有一场得分低于24分，C错误；因为5×60％＝3，所以丙球员连续5场比赛得分的第60百分位数为，若≤24，则≤24，故z1＋z2＋z3＋z4＜98，矛盾，所以＞24，所以丙球员连续5场比赛得分的第60百分位数大于24，D正确.故选A、D. 17.（n＋2）2n－1　解析：fk（1）＝（n－k＋1），F（1）＝f0（1）＋f1（1）＋…＋fk（1）＋…＋fn（1）＝（n＋1）＋n＋…＋（n－k＋1）＋…＋×1　①.将F（1）倒序书写，可得F（1）＝×1＋×2＋…＋（k＋1）＋…＋n＋（n＋1）　②.将①和②相加，可得2F（1）＝（n＋2）（＋＋…＋＋…＋）＝（n＋2）2n.则F（1）＝（n＋2）2n－1. 学科网（北京）股份有限公司 $