专题5 培优点4 圆锥曲线中的创新类问题(专题检测)-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习学生用书Word

培优点4　圆锥曲线中的创新类问题 1.BCD　设M（x，y）到定点F1（－2，0），F2（2，0）的距离之积为4，则·＝4，整理得（x2＋y2）2＝8（x2－y2），故曲线C的方程为（x2＋y2）2＝8（x2－y2）.把x代换成－x，方程不变，所以曲线C关于y轴对称；把y代换成－y，方程不变，所以曲线C关于x轴对称；把x代换成－x，同时把y代换成－y，方程不变，所以曲线C关于原点对称.所以A错误，B正确；由得x4＝0，所以x＝0，所以y＝0，所以直线y＝x与曲线C只有一个交点O（0，0），C正确；原点O（0，0）在曲线C上，则｜OF1｜＝｜OF2｜，所以曲线C上存在点P满足｜PF1｜＝｜PF2｜，所以D正确.故选B、C、D. 2.（x2＋y2）2－2（x2－y2）＝0　 解析：设P（x，y），∵｜PS1｜·｜PS2｜＝1，∴[（x－1）2＋y2][（x＋1）2＋y2]＝1，即（x2＋y2）2－2（x2－y2）＝0，∴动点P的轨迹C的方程为：（x2＋y2）2－2（x2－y2）＝0；令y＝0，可得x4－2x2＝0，解得x＝0或x＝±，∴A（－，0），A'（，0），由对称性，只考虑第一象限的部分，∵｜AA'｜为定值，∴△APA'面积最大时，即点P的纵坐标最大，又y4＋2（x2＋1）y2＋x2（x2－2）＝0，∴y2＝－x2－1＋，令t＝，则x2＝，∵x∈[0，]，∴t∈[1，3]，令f（t）＝－－1＋t＝－（t－2）2＋，∴当t＝2时，f（t）取得最大值，即＝，∴ymax＝，∴（S△APA'）max＝×2×＝，∴△APA'面积的最大值为. 3.解：（1）设“类椭圆”上任意一点为P（x，y）， 则｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a， 即｜x＋c｜＋｜y｜＋｜x－c｜＋｜y｜＝2a，即｜x＋c｜＋｜x－c｜＋2｜y｜＝2a（a＞c＞0）， 所以“类椭圆”的方程为｜x＋c｜＋｜x－c｜＋2｜y｜＝2a（a＞c＞0）. （2）由方程｜x＋c｜＋｜x－c｜＋2｜y｜＝2a，得2｜y｜＝2a－｜x＋c｜－｜x－c｜， 因为｜y｜≥0，所以2a－｜x＋c｜－｜x－c｜≥0，即2a≥｜x＋c｜＋｜x－c｜， 所以或 或 解得－a≤x≤a， 由方程｜x＋c｜＋｜x－c｜＋2｜y｜＝2a，得｜x＋c｜＋｜x－c｜＝2a－2｜y｜， 即2a－2｜y｜＝所以2a－2｜y｜≥2c，所以c－a≤y≤a－c， 所以“类椭圆”的范围为－a≤x≤a，c－a≤y≤a－c， 将点（－x，y）代入得，｜－x＋c｜＋｜－x－c｜＋2｜y｜＝2a， 即｜x＋c｜＋｜x－c｜＋2｜y｜＝2a，方程不变，所以“类椭圆”关于y轴对称， 将点（x，－y）代入得，｜x＋c｜＋｜x－c｜＋2｜－y｜＝2a， 即｜x＋c｜＋｜x－c｜＋2｜y｜＝2a，方程不变，所以“类椭圆”关于x轴对称， 将点（－x，－y）代入得，｜－x＋c｜＋｜－x－c｜＋2｜－y｜＝2a， 即｜x＋c｜＋｜x－c｜＋2｜y｜＝2a，方程不变，所以“类椭圆”关于原点对称， 所以“类椭圆”关于x轴、y轴、原点对称. 4.解：（1）证明：由题得η＝（1＋2－1）·（－1＋0－1）＝－4＜0， ∴点A，B被直线x＋y－1＝0分隔. （2）直线y＝kx与曲线x2－4y2＝1有公共点的充要条件是方程组有解，即｜k｜＜. ∵y＝kx是曲线x2－4y2＝1的分隔线，故它们没有公共点，即｜k｜≥， 当｜k｜≥时，对于直线y＝kx，曲线x2－4y2＝1上的点（－1，0）和（1，0）满足η＝－k2＜0，即点（－1，0）和（1，0）被y＝kx分隔. 故实数k的取值范围是（－∞，－］∪［，＋∞）. （3）证明：设M的坐标为（x，y），则曲线E的方程为·｜x｜＝1，即[x2＋（y－2）2]·x2＝1.对任意的y0，（0，y0）不是上述方程的解，即y轴与曲线E没有公共点. 又曲线E上的点（－1，2）和（1，2）对于y轴满足η＜0， 即点（－1，2）和（1，2）被y轴分隔. ∴y轴为曲线E的分隔线. 若过原点的直线不是y轴，设其为y＝kx，由得[x2＋（kx－2）2]·x2－1＝0，令f（x）＝[x2＋（kx－2）2]·x2－1， ∵f（0）·f（2）＝（－1）·[16（k－1）2＋15]＜0，∴方程f（x）＝0有实数解. 即直线y＝kx与曲线E有公共点，故直线y＝kx不是曲线E的分隔线. 综上，结论得证. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优点4　圆锥曲线中的创新类问题 1.（多选）在平面直角坐标系xOy中，到定点F1（－a，0），F2（a，0）距离之积等于a2（a＞0）的点的轨迹是双纽线C.若双纽线C对应的a＝2，点P（x0，y0）为双纽线C上任意一点，则下列结论正确的是（　　） A.C不关于x轴对称 B.C关于y轴对称 C.直线y＝x与C只有一个交点 D.C上存在点P，使得｜PF1｜＝｜PF2｜ 2.Cassini卵形线是由法国天文家Jean-DominiqueCassini（1625—1712）引入的.卵形线的定义是：线上的任何点到两个固定点S1，S2的距离的乘积等于常数b2.b是正常数，设S1，S2的距离为2a，如果a＜b，就得到一个没有自交点的卵形线；如果a＝b，就得到一个双纽线；如果a＞b，就得到两个卵形线.若S1（－1，0），S2（1，0）.动点P满足｜PS1｜·｜PS2｜＝1.则动点P的轨迹C的方程为　　　　；若A'和A是轨迹C与x轴交点中距离最远的两点，则△APA'面积的最大值为　　　　. 3.在平面直角坐标系xOy中，重新定义两点A（x1，y1），B（x2，y2）之间的“类距离”为｜AB｜＝｜x2－x1｜＋｜y2－y1｜，我们把到两定点F1（－c，0），F2（c，0）（c＞0）的“类距离”之和为常数2a（a＞c）的点的轨迹叫“类椭圆”. （1）求“类椭圆”的方程； （2）根据“类椭圆”的方程，研究“类椭圆”的范围、对称性，并说明理由. 4.在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax＋by＋c＝0和点P1（x1，y1），P2（x2，y2），记η＝（ax1＋by1＋c）（ax2＋by2＋c），若η＜0，则称点P1，P2被直线l分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P1，P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线. （1）求证：点A（1，2），B（－1，0）被直线x＋y－1＝0分隔； （2）若直线y＝kx是曲线x2－4y2＝1的分隔线，求实数k的取值范围； （3）动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为曲线E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $