专题5 第6讲 大题专攻——圆锥曲线中的证明、存在性问题(专题检测)-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习学生用书Word

第6讲　大题专攻——圆锥曲线中的证明、存在性问题 1.解：（1）由题意得∴ ∴椭圆C的标准方程为＋＝1. （2）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2），Q（x0，y0），则P（2x0，2y0），∴kOP＝. 由得＋＝0，∴＝－·＝－·， ∴kMN·＝－，即kOP·kMN＝－. 2.解：（1）由题意知，2a＝2，＝，解得a＝1，b＝， 所以双曲线C的方程为x2－＝1. （2）若直线PQ的斜率不为0，设直线PQ的方程为x＝my＋2，与x2－＝1联立可得，（3m2－1）y2＋12my＋9＝0， 设P（x1，y1），Q（x2，y2），则3m2－1≠0，Δ＝36m2＋36＞0， y1＋y2＝，y1y2＝. 假设在x轴上存在定点M（t，0），使得·为定值. ·＝（x1－t）（x2－t）＋y1y2＝（m2＋1）·y1y2＋（2－t）m（y1＋y2）＋（2－t）2＝＋（2－t）2. 若·为定值，则必有＝， 解得t＝－1，此时·＝0. 若直线PQ的斜率为0，则可取P（－1，0），Q（1，0）， 所以·＝（0，0）·（2，0）＝0. 所以在x轴上存在定点M（－1，0），使得·为定值0. 3.解：（1）根据题意得且a＞b＞0，解得 ∴椭圆C的标准方程为＋＝1， ∵c2＝a2－b2＝2， 依题意，设双曲线M的标准方程为－＝1（p＞0，q＞0）， 则解得p＝q＝， ∴双曲线M的标准方程是－＝1. （2）证明：易知直线AB的斜率一定不为0，设直线AB的方程为x＝my＋n，A（x1，y1），B（x2，y2），D（－x2，y2）， 联立整理得（m2－1）y2＋2mny＋n2－2＝0， 则y1＋y2＝－，y1y2＝， 由于△ABD的外接圆过原点且关于y轴对称， ∴设外接圆的方程为x2＋y2＋Ey＝0， 将A（x1，y1），B（x2，y2）代入圆的方程得 消去E得y2（＋）＝y1（＋）， 又＝2＋，＝2＋， ∴y2（2＋2）＝y1（2＋2）， 化简得y1y2（y1－y2）＝y1－y2， ∵y1≠y2，∴y1y2＝1， 由y1y2＝＝1，得n2＝m2＋1， ∴原点（0，0）到直线AB的距离为＝1， 即直线AB与圆x2＋y2＝1相切. 4.解：（1）由题可知，双曲线C的蒙日圆方程为x2＋y2＝a2－1，且PM⊥PN，所以MN为蒙日圆的直径，｜MN｜＝2. 又tan∠PMN＝，所以sin∠PMN＝，cos∠PMN＝， ｜PN｜＝｜MN｜sin∠PMN＝，｜PM｜＝｜MN｜cos∠PMN＝. 所以△PMN的周长为（ ＋2）·＝＋2，所以a＝2. 故双曲线C的标准方程为－y2＝1. （2）由（1）得F2（，0），由已知可得，直线AB的斜率k存在且不为0，设直线AB的方程为y＝k（x－），A（x1，y1），B（x2，y2）， 将直线AB的方程与双曲线方程联立得整理得关于x的方程（1－4k2）x2＋8k2x－20k2－4＝0， 当1－4k2＝0，即k＝±时，直线AB与双曲线的渐近线平行，与双曲线只有一个交点，不符合题意，故k≠±，且k≠0. 所以Δ＝（8k2）2－4（1－4k2）·（－20k2－4）＞0，x1＋x2＝，x1x2＝. 设线段AB的中点为R（x0，y0），则x0＝＝，y0＝k（x0－）＝k（ －）＝，所以R（ ，）. 直线RT的斜率为－，方程为y－＝－（ x－），令y＝0，得x＝，故T（ ，0）. 所以｜F2T｜＝｜－｜＝. ｜AB｜＝ ＝＝， 所以＝＝. 所以存在λ使得｜AB｜＝λ｜F2T｜恒成立，λ＝. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6讲　大题专攻——圆锥曲线中的证明、存在性问题 1.（2024·太原模拟）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）经过点（ 1，）且离心率e＝，点P是C上一动点.点Q是OP的中点（O为坐标原点），过点Q的直线交C于M，N两点，且｜MQ｜＝｜NQ｜. （1）求椭圆C的标准方程； （2）当直线OP的斜率kOP和直线MN的斜率kMN都存在时，证明：kOP·kMN＝－. 2.已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的实轴长为2，直线y＝x为C的一条渐近线. （1）求C的方程； （2）若过点（2，0）的直线与C交于P，Q两点，在x轴上是否存在定点M，使得·为定值？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由. 3.已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的四个顶点围成的四边形面积为4，周长为4，一双曲线M的顶点是该椭圆的焦点，焦点是该椭圆长轴上的顶点. （1）求C和M的标准方程； （2）A，B，D是双曲线M上不同的三点，且B，D两点关于y轴对称，△ABD的外接圆经过原点O，求证：直线AB与圆x2＋y2＝1相切. 4.法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：过圆E：x2＋y2＝a2－b2（a＞b＞0）上任意一点作双曲线C：－＝1的两条切线，这两条切线互相垂直.我们通常把这个圆E称作双曲线C的蒙日圆.如图，过双曲线C：－y2＝1（a＞1）的蒙日圆上一点P作C的两条切线，与该蒙日圆分别交于M，N两点，tan∠PMN＝，且△PMN的周长为＋2. （1）求双曲线C的标准方程； （2）过双曲线C的右焦点F2的直线与C交于A，B两点（异于顶点），线段AB的中垂线与x轴交于点T，是否存在常数λ，使得｜AB｜＝λ｜F2T｜恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $