专题5 第5讲 大题专攻——圆锥曲线中的最值、范围问题(专题检测)-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习学生用书Word

第5讲　大题专攻——圆锥曲线中的最值、范围问题 1.（2024·上海春招20题节选）在平面直角坐标系xOy中，已知点A为椭圆Γ：＋＝1上一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点. （1）若点A的横坐标为2，求｜AF1｜； （2）设Γ的上、下顶点分别为M1，M2，记△AF1F2的面积为S1，△AM1M2的面积为S2，若S1≥S2，求｜OA｜的取值范围. 2.已知双曲线C的方程为－＝1（a＞0，b＞0），离心率为2，右顶点为（1，0）. （1）求双曲线C的标准方程； （2）过E（0，2）的直线l与双曲线C的一支交于M，N两点，求·的取值范围. 3.已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的短轴长为2，且离心率为. （1）求椭圆C的方程； （2）设与圆O：x2＋y2＝相切的直线l交椭圆C于A，B两点（O为坐标原点），求线段AB长度的最大值. 4.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书中.阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是若平面内动点M与两定点Q，P的距离的比值＝λ（λ＞0，λ≠1）是一个常数，那么动点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线PQ上.已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为x2＋y2＝4，定点分别为椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的右焦点F与右顶点A，且椭圆C的离心率为e＝. （1）求椭圆C的标准方程； （2）如图，过右焦点F斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆C相交于B，D（点B在x轴上方）两点，点S，T是椭圆C上异于B，D的两点，SF平分∠BSD，TF平分∠BTD. ①求的取值范围； ②将点S，F，T看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若△SFT外接圆的面积为，求直线l的方程. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 第5讲大题专攻一圆锥曲线中的最值、范围问题 1.解：(1)由题意可知a=V6,b=V2,故c=a-b2=2,所以F1(-2,0),F2(2,0), 设点A的坐标为(，），由颜意知=2，则y疗号 所以1A加1-T2-a=56 3 (2)白已知，得S×4X1w1-2n1,S-×22×11-211,且m≠0，n≠0 出超意可得21n1≥21k,刻1121，又香+蓝1，所以=61-艺， 62 所以0长=61-艺)≤2呢. 6 解得y2, 因此10A1=x+y=6-2y∈(2,3101. 5 故1041的取值范围为(2,310]. 5 2.解：(1)由离心率e=C=2, 又c2=a2+b2,所以b2=3a2, 又右顶点为(1,0)， 所以a2=1,所以b2=3, 故双曲线C的标准方程为r-上=L 3 (2)设直线1的方程为y=十2， 设M(x1,y),N(x2,y2), 则父-芳=1， 3 y=kx+2, 得（3-2)x2-4x-7=0, 因为直线l与双曲线C的一支交于M,N两点， 1/5 ·独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 3-k2≠0， 所以4=16k+28(3-k2)>0, 7 320, 解得3<2<7. 因此EMEN=(x1,y1-2)·(x2,2一2) =xx2十(y1-2)(y2-2) =x1X2十K2x2 =(2+1)x2=7 k2+1 2-3 4 =7(1+ k2-31 因为3<2<7，所以0<k2-3<4, 所以2-3>1， 4）>14, 所以EM亦=7(1+2-3 故EM·EN的取值范围为(14，+∞). 3解：(1)由题可知，￡=6， =3,2b=2,又02=b2+c2, 解得a2=3,b2=1, 椭圆C的方程为十y=1. 3 (2)设A(x1,y)，B(x2,y2), ①当AB⊥x轴或y轴时， 易得|AB|=V3. ②当AB与x轴，y轴都不垂直时，设直线AB的方程为y=kx十m(k≠0)， 1m1V3 由已知K+12’ 得m-子伏D, 把y=c十m代入椭圆方程消去y, 2/5 独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 6.ZXXK.com● 您身边的互联网+教辅专家 整理得（32+1)x2+6kmx+3m2-3=0, 则4=362m2-4(32+1)(3m2-3) =362-12m2+12>0, 3k+1=3(m2-1) -6km 故十2 3k2+1 |AB|2=(1+2)(x1-x2)2 =1+e)·[36m-1卫m-1)] (3k2+1)2 3k2+1 =12(k2+1)(3k2+1-m2) (3k2+1)2 =3(k+1)(9K2+1) (3k2+1)2 =3(9k+10k2+1) 9k4+6k2+1 =3(1+ 4k2 9k+6k2+1 12 12 3+9k+*63】 64, 29k2.1 1B1≤2，当且仅当= 2,即k三士3时等号成立， 3 综上可知，|AB|的最大值为2. |c-2「_c+2 4.解：(1)法-（特殊值法）令M(±2,0)，则由题意可得Q-2=a+2且a=2c, 得c2=2,∴.a2=8,b=a2-c2=6, 故柄图C的标准方程为十上=1 86 I MF (x-c)2+y2 法二（定义法）设M(x,y),由题意可得MA一寸x-a)+ =2(1>0,1≠1)，整理得x2 ty+2c-2ax'Xa-c2 -1+-1 =0, 3/5 独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 5.ZxXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 2c-2a2=0, 2-1 则 12a2-c2 X后得0=22,6=92 =一4， 12-1 “=(-c2=6,故椭图C的标准方程为+上=1 86 I MF I(x-c)2+y2 法三设M(x,y)）,则y=4-,由题意可得MA= (x-c)2+4-x (x-a)2+y2V(x-a)2+4-x c2+4-2cx a2+4-2ax .IMF c 1 a为，4-5又9 又a-2得2=8,2=2，∴=a2-c2=6, &椭因C的标准方程为十 (2)①由 ASBF SASDF 1|SB I.I SF I·sin∠BsF I SBI IsDl·|SFIsin∠DsF /SD,日S△E=1BF1得1BSI|BF| 1sAme-DFT得Ds=Dp: 2 BF 令DP=,则B脉=F历，设D(,w)，则由(1)可得3x+4y=24,且B(2(u+1）-, 一00)， 又直线1的斜率k>0,∴.∈(-22，V2). 将0-μx,iyB=-μyd代入3x2+42-24=0得3[2(1+u)-]2+42y-24=0, 化简得(u十1)(5-3-V2)=0, x∈分D,即 3 1 u>0,u= 5-2x0 I DS 的取值范围为(31) IBS BT BF I ②由0知，DS-DT=DF,由阿波罗尼斯圆的定义知，S,TF在以B,D为定点的阿波 罗尼斯圆上，设该圆的圆心为C,半径为r,与直线1的另一个交点为N, 4/5 独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxxK.com● 您身边的互联网+教辅专家 I BFI NB I 2r-VBF 则有DFT=1NDT 2r+|DF|, 1 得r= 1 1 BF DF 又S圆c=元2= 81 8,故r= 292 y 12V2 BF 9 又IDF1=(x,-2)2+y =月(x0-2)2+6-3 40 =202-2 1 2-2x0 1 1 1 5-2x, 1 8mTPT10FTFT3(22-)-282-x,3(22-y) 22 9 解得xo=一 2%=-6 32 4 38V10 -y05 k=2-X。2 直线1的方程为y= 510 2 2 5/5 独家授权侵权必究·