专题5 第4讲 大题专攻——圆锥曲线中的定点、定值问题(专题检测)-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习学生用书Word

第4讲　大题专攻——圆锥曲线中的定点、定值问题 1.解：（1）因为虚轴长2b＝2，所以b＝1. 因为点A（－4，－1）在双曲线C上，所以－＝1， 解得a2＝8. 故双曲线C的方程为－y2＝1. （2）证明：设S（x0，y0），则T（－x0，－y0）， 所以kAS·kAT＝·＝. 因为点S（x0，y0）在双曲线C上， 所以－＝1，得1－＝2－， 于是kAS·kAT＝＝＝， 所以直线AS和直线AT的斜率之积为定值，定值是. 2.解：（1）由椭圆C1的离心率为，可得＝， ∴a＝2c， ∵椭圆C1的右顶点与抛物线C2的焦点重合，∴a＝，得p＝2a，∴p＝4c， 将x＝c代入抛物线C2的方程，可得y2＝2pc， ∴｜y｜＝＝2c， ∵过椭圆C1的右焦点F且垂直于x轴的直线截抛物线C2所得的弦长为4，∴2｜y｜＝4， 即2×2c＝4，解得c＝1， ∴a＝2，p＝4c＝4， 由b2＝a2－c2，可得b2＝4－1＝3， ∴椭圆C1的方程为＋＝1，抛物线C2的方程为y2＝8x. （2）证明：如图，由题知，直线l的斜率存在，设直线l：y＝k（x＋4）， 联立消去y得（3＋4k2）x2＋32k2x＋64k2－12＝0， ∴ 直线EN的方程为y＋y1＝（x－x1）， 即y＋k（x1＋4）＝（x－x1）， 即y＝x－ ， 代入①②可得y＝·（x＋1）， ∴当直线l绕点A旋转时，直线EN经过定点（－1，0）. 3.解：（1）由题意得解得 所以双曲线C的方程为－＝1. （2）证明：由（1）知F（4，0）， 设直线MN的方程为x＝my＋4， 代入－＝1得，（3m2－1）y2＋24my＋36＝0. 则 解得m≠±. 设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x0，y1）， 则y1＋y2＝，y1y2＝， 直线NQ的方程为y＝（x－）. 又因为点P在直线NQ上， 所以y1（my2＋）＝y2（x0－）. 所以x0－＝ ＝ ＝＝－， 所以x0＝－＋＝1， 即点P在定直线x＝1上. 4.解：（1）由题可知点A，B均在抛物线上，故可设A（，y1），B（，y2）， 由题意得当kAB＝－1时，y1＋y2＝－2×2＝－4， 故kAB＝＝＝－＝－1， 所以p＝2. （2）证明：根据题意作图，如图，由（1）知抛物线的方程为y2＝4x，所以F（1，0），准线方程为x＝－1. 因为直线AC过点F，所以与共线，因为点C在抛物线上，所以可设C（，y3），则＝（1－，－y1），＝（－1，y3）， 所以y3（1－）＋y1（－1）＝0，即（y1－y3）·（1＋）＝0，因为y1≠y3，所以y1y3＝－4. 易知直线AB的方程为y－y1＝·（x－），即y＝x＋， 令x＝－1，得yD＝，同理可得yE＝， 所以yDyE＝· ＝. 因为y1y3＝－4，所以yDyE＝＝－4，所以yDyE为定值－4. （3）证明：由题意知抛物线y2＝4x在A，B，C三点处的切线的斜率都存在且不为0. 设抛物线y2＝4x在点A（，y1）处的切线方程为y－y1＝k（x－）（k≠0）， 与y2＝4x联立，消去x并整理得ky2－4y＋4y1－k＝0， 由Δ＝16－4k（4y1－k）＝0，解得k＝. 所以抛物线y2＝4x在点A处的切线方程为y1y＝2x＋. 同理可得抛物线y2＝4x在点B处的切线方程为y2y＝2x＋，在点C处的切线方程为y3y＝2x＋. 故易得P0（，），P1（，），P2（，）， ｜FA｜＝x1＋1＝，｜FB｜＝， ｜FC｜＝， 所以｜FA｜·｜FB｜·｜FC｜＝. 由两点间的距离公式得｜FP0｜＝ ＝， 同理可得｜FP1｜＝，｜FP2｜＝， 所以｜FP0｜·｜FP1｜·｜FP2｜＝· · ＝， 所以｜FA｜·｜FB｜·｜FC｜＝｜FP0｜·｜FP1｜·｜FP2｜. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4讲　大题专攻——圆锥曲线中的定点、定值问题 1.（2024·贵阳适应性考试）已知双曲线C的方程为－＝1（a＞0，b＞0），虚轴长为2，点A（－4，－1）在双曲线C上. （1）求双曲线C的方程； （2）过原点O的直线与双曲线C交于S，T两点（异于点A），已知直线AS和直线AT的斜率存在，证明：直线AS和直线AT的斜率之积为定值. 2.已知椭圆C1：＋＝1（a＞b＞0）的右顶点与抛物线C2：y2＝2px（p＞0）的焦点重合，椭圆C1的离心率为，过椭圆C1的右焦点F且垂直于x轴的直线截抛物线C2所得的弦长为4. （1）求椭圆C1和抛物线C2的方程； （2）过点A（－4，0）的直线l与椭圆C1交于不同的两点M（x1，y1），N（x2，y2），点M关于x轴的对称点为E（x1，－y1）.证明：当直线l绕点A旋转时，直线EN经过定点. 3.已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）过点（4，6），焦距为8. （1）求双曲线C的方程； （2）过C的右焦点F的直线与C交于M，N两点，点Q的坐标为（，0）.过点M作x轴的平行线交NQ于点P.求证：点P在定直线上. 4.我们把抛物线的三条切线围成的三角形称为抛物线的切线三角形，对应的三个切点形成的三角形称为抛物线的切点三角形.如图，△P0P1P2，△ABC分别为抛物线y2＝2px（p＞0）的切线三角形和切点三角形，F为该抛物线的焦点，且当直线AB的斜率为－1时，AB中点的纵坐标为－2. （1）求p； （2）若直线AC过点F，直线AB，BC分别与该抛物线的准线交于点D，E，记点D，E的纵坐标分别为yD，yE.证明：yDyE为定值； （3）若A，B，C均不与坐标原点重合，证明：｜FA｜·｜FB｜·｜FC｜＝｜FP0｜·｜FP1｜·｜FP2｜. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $