专题5 第3讲 大题专攻——直线与圆锥曲线的位置关系(专题检测)-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习学生用书Word

第3讲　大题专攻——直线与圆锥曲线的位置关系 1.解：（1）由A1，A2为双曲线的左、右顶点，知A1（－，0），A2（，0）， 则直线A1P：y＝（x＋）， 直线A2Q：y＝（x－）， 两式相乘，得y2＝（x2－2）， 而点P（x1，y1）在双曲线上， ∴－＝1，即＝， 故所求轨迹E的方程为y2＝－（x2－2）， 即＋y2＝1. （2）设l1：y＝kx＋h，则由l1⊥l2，知l2：y＝－＋h. 将l1：y＝kx＋h代入＋y2＝1，得＋（kx＋h）2＝1， 即（1＋2k2）x2＋4khx＋2h2－2＝0， 由l1与轨迹E只有一个交点，知Δ＝16k2h2－4（1＋2k2）（2h2－2）＝0，即1＋2k2＝h2. 同理，由l2与轨迹E只有一个交点知1＋＝h2. 消去h2，得＝k2，即k2＝1， ∴h2＝1＋2k2＝3，∴h＝. 2.解：（1）直线l的方程为y－2＝（x－4），即y＝x. 设A（x1，y1），B（x2，y2），联立 消去y，整理得x2－18＝0，则x1＋x2＝0，x1x2＝－18. 于是｜AB｜＝·｜x1－x2｜ ＝＝×6＝3， 所以线段AB的长度为3. （2）法一（根与系数的关系、中点坐标公式法）　由题意知，直线l的斜率存在，设l的斜率为k，则其方程为y－2＝k（x－4）. 联立 消去y，得（1＋4k2）x2－（32k2－16k）x＋（64k2－64k－20）＝0. 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝. 因为线段AB的中点恰好为P（4，2）， 所以＝＝4，解得k＝－，且满足Δ＞0. 所以直线l的方程为y－2＝－（x－4），即y＝－x＋4. 法二（点差法）　设A（x1，y1），B（x2，y2），则有 两式相减得＋＝0， 整理得kAB＝＝－. 因为P（4，2）是线段AB的中点， 所以x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，所以kAB＝－＝－， 所以直线AB的方程为y－2＝－（x－4），即y＝－x＋4. 法三（共线法）　设A（x，y），由于点P（4，2）为线段AB的中点，因此B（8－x，4－y）. 因为A，B两点都在椭圆上， 所以 ①－②，得x＋2y－8＝0. 即点A的坐标满足这个方程，根据对称性，点B的坐标也满足这个方程，而过A，B两点的直线只有一条，故所求直线的方程为x＋2y－8＝0. 3.解：（1）将点A（4，8）代入y2＝2px（p＞0）中，得64＝8p，解得p＝8. 将点A（4，8）代入x2＝2qy（q＞0）中，得16＝16q，解得q＝1， 所以C1的方程为y2＝16x，C2的方程为x2＝2y. 由题意知，直线l斜率存在且不为0，设直线l的方程为y＝kx＋m. 联立消去x，得ky2－16y＋16m＝0， 因为直线l与C1相切，所以Δ＝（－16）2－4×16km＝0，整理得km＝4. ① 联立消去y，得x2－2kx－2m＝0， 因为直线l与C2相切，所以Δ'＝4k2＋8m＝0. ② 由①②解得k＝m＝－2. 所以直线l的方程为y＝－2x－2，即2x＋y＋2＝0. （2）因为点M，N分别在C1，C2上，可设M（，a），N（b，）， 由＋＝，得（8－b－，16－a－）＝（9，18）， 即 化简得 由2×③－④，可得2b－a＋－＝0，整理得（2b－a）（2b＋a－8）＝0. （ⅰ）若2b－a＝0，由④知b2＋4b＋4＝0，所以b＝－2，a＝－4，所以M（1，－4），N（－2，2）； （ⅱ）若2b＋a－8＝0，由④知b2－4b＋20＝0，方程无解. 所以直线MN的方程为y－2＝（x＋2），即2x＋y＋2＝0， ｜MN｜＝＝3， 点A到直线MN的距离为＝， 所以△AMN的面积S△AMN＝×3×＝27， 所以△AMN的面积为27. 4.解：（1）由椭圆E的离心率为，故＝， 由椭圆上的点到焦点的最远距离是2＋，故a＋c＝2＋， 解得a＝2，c＝，故b2＝a2－c2＝1， 即椭圆E的方程为＋y2＝1. （2）①由椭圆E的方程为＋y2＝1，则A（0，1），B（2，0），则lAD：y＝x＋1，即lAD：y＝x＋1， lBC：y＝（x－2），即lBC：y＝x－2， 联立直线AD与椭圆方程，有消去y可得5x2＋8x＝0， 解得x＝0或x＝－，由A（0，1），故xD＝－，则yD＝，即D（－，）， 联立直线BC与椭圆方程，有消去y可得5x2－16x＋12＝0， 解得x＝或x＝2，由B（2，0），故xC＝，则yC＝－，故C（，－）， 则kCD＝＝－. ②设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），P（m，n）， 设＝λ（λ≠0）， 则有即 由A在椭圆E上，故＋＝1， D在椭圆E上，故有＋（）2＝1， 化简得λ2＋2mλx1＋m2＋4λ2＋8nλy1＋4n2＝4λ2＋8λ＋4， 由＋＝1，即有λ2＋4λ2＝4λ2， 则有2mλx1＋8nλy1＋m2＋4n2＝8λ＋4， 由直线AB与CD的斜率均为－，故AB∥CD， 则有＝λ（λ≠0），同理可得2mλx2＋8nλy2＋m2＋4n2＝8λ＋4， 故直线lAB：2mλx＋8nλy＋m2＋4n2＝8λ＋4， 即有－＝－＝－，即＝， 则kOP＝＝. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3讲　大题专攻——直线与圆锥曲线的位置关系 1.（2024·重庆学业质量调研）已知双曲线－y2＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P（x1，y1），Q（x1，－y1）是双曲线上不同的两个动点. （1）求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程； （2）若过点H（0，h）（h＞1）的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点，且l1⊥l2，求h的值. 2.已知椭圆＋＝1和点P（4，2），直线l经过点P且与椭圆交于A，B两点. （1）当直线l的斜率为时，求线段AB的长度； （2）当点P恰好为线段AB的中点时，求l的方程. 3.已知抛物线C1：y2＝2px（p＞0）与C2：x2＝2qy（q＞0）都经过点A（4，8）. （1）若直线l与C1，C2都相切，求l的方程； （2）若点M，N分别在C1，C2上，且＋＝，求△AMN的面积. 4.（2024·连云港阶段性调研）已知椭圆E：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆上的点到焦点的最远距离是2＋. （1）求椭圆E的方程； （2）椭圆上有四个动点A，B，C，D，且AD与BC相交于点P. ①若点P的坐标为（4，2），A为椭圆的上顶点，B为椭圆的右顶点，求CD的斜率； ②若直线AB与CD的斜率均为－时，求直线OP的斜率. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $