专题4 培优点1 球的切、接问题(专题检测)-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习学生用书Word

培优点1　球的切、接问题 1.已知圆锥SA的轴截面是边长为2的等边三角形，顶点S和底面圆周上的所有点都在球O的球面上，则球O的体积为（　　） A.4π　 B.π　　 C.π　 D.π 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2.（2024·郑州名校联盟）知名数学教育家单墫曾为中学生写了一个小册子《十个有趣的数学问题》，其中提到了开普勒将球装箱的方法：考虑一个棱长为2的正方体，分别以该正方体的8个顶点及6个面的中心为球心作半径为的球，这些球在正方体内的体积之和与正方体的体积之比为（　　） A.π B.π C.π D.π 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 3.已知三棱锥A-BCD中，AB＝CD＝2，AD＝AC＝BC＝BD＝3，则该三棱锥内切球的表面积为（　　） A. B. C. D. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4.已知一个正六棱锥的所有顶点都在一个球的球面上，六棱锥的底面边长为1，侧棱长为2，则球的表面积为（　　） A. B. C. D.4π 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 5.（2024·开封第二次质量检测）已知圆锥SO的轴截面是正三角形，用平行于底面的截面将圆锥SO分成两部分，若这两部分几何体都存在内切球（与各面均相切），则上、下两部分几何体的体积之比是（　　） A.1∶8 B.1∶9 C.1∶26 D.1∶27 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 6.已知直三棱柱ABC-A1B1C1外接球的直径为6，且AB⊥BC，BC＝2，则该棱柱的体积的最大值为（　　） A.8 B.12 C.16 D.24 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 7.（多选）（2024·惠州第一次调研考试）已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，以正方体中心O为球心的球与正方体的各条棱都相切，点P为球面上的动点，则下列说法正确的是（　　） A.球O的半径为R＝ B.球O在正方体外的部分的体积大于π－1 C.若点P在球O位于正方体外的部分（含正方体表面）上运动，则·∈［－，］ D.若点P在球O位于正方体外的部分（含正方体表面）上运动，则·∈［－，］ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 8.（2023·全国甲卷文16题）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，O为AC1的中点，若该正方体的棱与球O的球面有公共点，则球O的半径的取值范围是　　　　. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 9.若圆锥的内切球（球面与圆锥的侧面以及底面都相切）的体积为，当该圆锥体积取最小值时，该圆锥的表面积为　　　　. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 10.棱长为a的正四面体容器中能放进10个半径为1的小球，则a的最小值为　　　　. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优点1　球的切、接问题 1.B　因为圆锥SA的轴截面是边长为2的等边三角形，则该等边三角形外接圆的半径R＝×2sin 60°＝2，即球O的半径为2，所以球O的体积为V＝πR3＝π.故选B. 2.D　以8个顶点为球心的球各有在正方体内，以6个面的中心为球心的球各有在正方体内，所以这些球在正方体内的体积之和为4个半径为的球的体积之和，所以这些球在正方体内的体积之和与正方体的体积之比为＝π，故选D. 3.D　如图，在长方体AHDG-EBFC中，设EC＝c，EB＝b，EA＝a，则a2＋b2＝4，c2＋b2＝9，a2＋c2＝9，所以a＝b＝，c＝，故四面体ABCD的体积V＝abc－4××abc＝，四面体ABCD的表面积S＝4S△ABC＝4××2×＝8，设三棱锥内切球的半径为r，由等体积可得＝×8r，解得r＝，所以三棱锥内切球的表面积为4π×（）2＝. 4.C　如图，在正六棱锥P-ABCDEF中，连接AD，BE，CF，并交于G，G为正六边形ABCDEF的中心，连接PG，则PG⊥平面ABCDEF，该六棱锥的外接球球心O在PG上，连接OA.因为AG⊂平面ABCDEF，所以PG⊥AG，由题意可知AG＝1，PA＝2，所以PG＝＝.设该六棱锥外接球的半径为R，则OA＝OP＝R，所以OG＝｜－R｜，在Rt△GOA中，OA2＝AG2＋OG2，所以R2＝12＋（－R）2，解得R＝，所以所求球的表面积为4πR2＝4π×（）2＝，故选C. 5.C　作出圆锥SO的轴截面，如图所示，E，O1是切点，设O1B＝r，OD＝R，则BE＝r，DE＝R，SB＝2r，因为CD＝SD，所以2R＝2r＋R＋r，所以R＝3r.因为＝＝，R＝3r，所以＝，所以＝＝.所以＝＝，故选C. 6.C　设AB＝x，则AC＝.设球心为O，由题意知球心O在AC，A1C1中点连线的中点处，连接OC，设AC的中点为O1，则OO1＝＝，三棱柱的高为，则＝·2·x·＝x＝≤＝16，当且仅当x2＝32－x2，即x＝4时，该棱柱的体积取得最大值16. 7.BD　对于A，正方体的棱切球O的半径为R＝＝（面对角线长的一半），故A错误；对于B，由图易知球O在正方体外的部分的体积V＞V球－V正方体＝π·（）3－13＝π－1，故B正确；对于C、D，取棱AB的中点E，可知点E在球面上，且＝－，连接PE，则·＝（＋）·（＋）＝－＝｜｜2－，因为点P在球O位于正方体外的部分（含正方体表面）上运动，所以0≤｜PE｜≤（当PE为球O的直径时，｜PE｜＝），所以·∈［－，］，所以C错误，D正确，故选B、D. 8.[2，2]　解析：由题意知，球O的球面与正方体的棱有公共点，则球O的半径大于或等于正方体的棱切球半径.设棱切球半径为r1，则2r1＝，所以r1＝2.同时球O的半径小于或等于正方体的外接球半径.设外接球半径为r2，则2r2＝，所以r2＝2.所以球O的半径的取值范围为[2，2]. 9.8π　解析：法一　因为圆锥的内切球的体积为，所以该内切球的半径为1.如图，设圆锥底面半径为R，高为h.由△AOF∽△ACE可得＝，即＝，则R2＝（h＞2），所以圆锥的体积为V＝πR2h＝π·＝π·［（h－2）＋＋4］.因为h－2＞0，所以h－2＋≥4，当且仅当h－2＝，即h＝4时取等号，此时圆锥体积最小，且圆锥的底面半径为R＝，圆锥的母线长l＝＝＝3，所以此时该圆锥的表面积为S＝πRl＋πR2＝π××3＋π×（）2＝8π. 法二　由上解得圆锥的体积为V＝πR2h＝π·.令f（h）＝（h＞2），则f'（h）＝＝.当2＜h＜4时，f'（h）＜0；当h＞4时，f'（h）＞0.所以f（h）在（2，4）上单调递减，在（4，＋∞）上单调递增，所以f（h）min＝f（4）＝8，即h＝4时，该圆锥的体积最小.后同上解. 法三　因为圆锥的内切球的体积为，所以该内切球的半径为1，如图，设∠OCE＝θ，θ∈（ 0，），则tan θ＝，所以EC＝，又tan∠ECA＝tan 2θ＝，所以AE＝EC·tan 2θ＝，所以V＝π·EC2·AE＝π·.令tan2θ＝t（0＜t＜1），因为t（1－t）＝－t2＋t＝－（ t－）2＋，当且仅当t＝时t（1－t）取得最大值，此时圆锥的体积最小，且AE＝＝4，EC＝＝，AC＝＝＝3，所以该圆锥的表面积为S＝π·EC·AC＋π·EC2＝π××3＋π×（）2＝8π. 10.4＋2　解析：10个半径为1的小球放进棱长为a的正四面体ABCD中，成三棱锥形状，有3层，则从上到下每层的小球个数依次为1，（1＋2），（1＋2＋3），当a取最小值时，从上到下每层放在边缘的小球都与正四面体的侧面相切，底层的每个球都与正四面体底面相切，任意相邻的两个小球都外切，位于每层正三角形顶点的所有上、下相邻小球的球心连线为一个正四面体EFGH，则该正四面体的棱长为（3－1）（1＋1）＝4，可得其高为EP＝4×＝，所以正四面体ABCD的高为AQ＝AE＋EP＋PQ＝1×3＋＋1＝4＋，进而可得其棱长a的最小值为（4＋）×＝4＋2. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $